Урок по геометрии на тему Конус (11 класс)

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Гимназия № 7 города Буденновска
Буденновского района»
Урок по геометрии
«Конус»
11б класс
19 октября 2015 года
Подготовила
учитель математики
Бородина Нина Петровна
2015 год
Цель: формирование навыков решения практических задач по теме
Задачи:
Образовательная: сформировать понятия: конической поверхности, сечений конуса и его элементов; формировать навыки решения задач на нахождение элементов конуса, навыки использования формул вычисления боковой и полной поверхности конуса, навыки решения прикладных задач; показать связь теории с практикой
Развивающая: способствовать развитию логического мышления учащихся и расширению кругозора; развивать пространственное воображение учащихся, умение применять формулы планиметрии при решении стереометрических задач; развивать и совершенствовать умения применять накопленные знания в измененной ситуации; развивать грамотную математическую речь, навыки самоконтроля.
Воспитательная: воспитывать аккуратность при оформлении работ в тетрадях, ответственность за результат своего труда; формировать навыки и умения коммуникативного общения.
Средства обучения: компьютер, мультимедийный проектор, экран, аудиоколонки, классная доска, учебник «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян, рабочая тетрадь, чертёжные инструменты, ресурсы Интерната, USB-модем
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, диалог, работа с материалами слайда, учебника; самостоятельная и исследовательская работа.
Методы: наглядный, словесный, условно-символический, исследовательский.
Приложение: слайдовая презентация в программе PowerPoint
Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий».
Цитаты урока: «Изучение геометрии без должной связи с жизнью,
без наглядности мешает развитию логического
мышления; снижает уровень математической
подготовки учащихся».
А.И.МаркушевичОжидаемые результаты:
должны знать:
основные понятия: конической поверхности, сечений конуса и его элементов,
формулы и методы для нахождения основных компонентов конуса,
формулы площади боковой и полной поверхности конуса;
должны уметь:
строить чертежи по условию задачи,
решать практические задачи на нахождение элементов конуса,
видеть фигуры вращения.
51142901631951 этап: Организационный.
2 этап: Повторение. Подготовка учащихся к экзамену по математике в форме ЕГЭ. Устное решение задач В3 из материалов типовых тестовых заданий.
(Закрепление навыков нахождения площадей геометрических фигур.
С целью организации самопроверки на слайдах приводятся решения заданий)
1. Найдите площадь ΔABC, считая стороны квадратных клеток 5119370-612140равными 1.(Ответ: 9)(см. слайд 2)
1500505404495Решение: Проведем высоту AH. Тогда BC = 6, AH = 3 и, следовательно
511429061595
2. Найдите площадь ΔABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.(Ответ: 7,5)(см. слайд 3)
5114290360680Решение: Разобьем данный ΔABC на два треугольника ABDи BDC. Их общая сторона BD = 3, а высоты, к ней проведенные, равны соответственно 1 и 4. Площадь ΔABD равна 1,5, а площадь ΔBDC равна 6. Площадь ΔABC равна сумме площадей этих треугольников и, следовательно, равна 7,5
-1714552451049853854584703. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1, 1), (4, 4), (5, 1). (Ответ: 6) (см. слайд 4)
Решение: из вершины B ΔABC опустим высоту BH= 3. Сторона AC= 4. Следовательно, площадь треугольника равна 6
4841240927103 этап: Определение темы урока. Постановка задач
Учитель: Назовите тему урока, разгадав ребус.
(см. слайды 5-6)
4 этап: Теоретический опрос.
По материалам учебника «Понятие конуса» и «Площадь поверхности конуса»
(с целью проверки усвоения теоретических понятий)
Учитель: Ребята, а вы знаете, что латинское слово «conus» заимствовано из греческого языка (konos - втулка, сосновая шишка)… С конусом люди знакомы с глубокой древности. В книге Архимеда (287 – 212гг. до н.э. «О методе» приводятся решения практических задач, связанных с конусом.
А исследование свойств конуса принадлежит школе Платона (428 – 348 гг. до н.э.), над входом которой было написано: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». (см. слайд 7)
Подробнее о конусе из видеоролика (лекция «Конус»: что называется конусом; что такое коническая поверхность; пример конической поверхности, и что называется круговым конусом). (Просмотр видеоролика- 2минуты 26 секунд)
Учитель:
Ребята, ответьте, пожалуйста, на вопросы из слайда :
1. Что называется конусом?
2. Что такое образующая?
3. Что называется радиусом конуса?
4. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра?
5. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра?
6. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и плоскостью основания?
7. Что является развёрткой конуса?
8. Чему равна площадь боковой поверхности конуса? (см. слайд 8-9)
(На слайдах приводится наглядная интерпретация, с целью развития навыков самоконтроля и формирования пространственных представлений учащихся)
9. Почему цилиндр и конус называют телами вращения? (см. слайд 10)
Учитель:
Познакомится с алгоритмом построения, рассмотреть трехмерное изображение конуса можно на страницах Интернета
http://www.youtube.com/watch?v=DGn6fXsHQx0 (просмотр 1 минута 16 сек)
Или пройдя по ссылке http://www.youtube.com/watch?v=aY1uVp4EoRIhttp://www.youtube.com/watch?v=o1LGLUcU5O0 (см. слайд 11)
5 этап: Знакомство с практическим применением.
Учитель:
Конус можно рассмотреть в различных предметах, начиная с обычного мороженого и заканчивая техникой.
В детстве многие ваши игрушки, или их составляющие имели форму конуса… А как часто его можно встретить в природе. (см. слайды 12-19)
«Природа говорит языком математики:
буквы этого языка – круги,
треугольники и иные геометрические фигуры»
Г. Гильберт
Учитель:
Это формы деревьев, рельеф земной поверхности: горы и холмы. Их можно найти и на дне океана. «Конусами» называется семейство морских моллюсков. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.
Формы конуса могут принимать и природные явления, и космические объекты. (см. слайды 20-24)
А без конусов архитектурные сооружения не были бы так привлекательны и великолепны! (см лайды 25-30)
6 этап: Выполнение среза (самостоятельной) работы.
(с целью проверки усвоения теоретических понятий)
4170680284480Учитель: Проверим ваши знания. Ответьте, пожалуйста, письменно в тетрадях на вопросы:
1. Какое из изображённых тел является конусом?
2.Ответы запишите в столбик. Из первых букв составьте слово:
Фигура, полученная при поперечном сечении конуса?
Отрезок, соединяющий вершину с окружностью основания?
Имеет ли конус центр симметрии?
Тело, полученное при пересечении конуса плоскостью, параллельной основанию?
Фигура, являющаяся боковой поверхностью конуса?(см слайды31-32)
Учитель: Теперь попрошу вас обменяться тетрадями и проверить работу друга по слайду. Каковы результаты? (см.слайд 33)
7 этап: Решение задач по готовым чертежам.
(с целью формирования навыков решения задач на нахождение элементов конуса, используя знания и навыки решения прямоугольных и равнобедренных треугольников)
Задача №1.Найти радиус и высоту конуса, если его образующая равна а, а угол при вершине составляет 90°.
Решение: По свойству равнобедренного треугольника высота является медианой и биссектрисой. Зная, что диагональ квадрата , а также гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна находим катеты. Ответ:R=3, h=3. (см. слайд 34)
Задача №2.Найти высоту и диаметр основания конуса, если его образующая равна 6, а угол при вершине составляет 120°.
Решение: Находим величины острых углов прямоугольного треугольника. По второму свойству прямоугольного треугольника и по Теореме Пифагора находим катеты. Определяем диаметр основания конуса.
Ответ:h=3, d= (см.слайд 35)
53479702622558 этап: Решение практических задач.
Учитель: Понятие «Освещённость» как физическая величина, численно равная световому потоку, падающему на единицу поверхности, известна вам из курса физики. Освещённость прямо пропорциональна силе света источника света. А мы сегодня будем вычислять площадь освещаемой поверхности.
Задача № 3. Фонарь установлен на высоте 8 м. Угол рассеивания фонаря 120°. Определите, какую поверхность освещает фонарь.
4141470824230F120°8мОCРешение:
Освещаемая поверхность – круг, основание конуса. Лампа фонаря – вершина конуса. Лучи направленные на окружность основания – образующие конуса. Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник. Опустим высоту. Она поделит данный треугольник на два равных прямоугольных треугольника с острыми углами в 30° и 60°.
Из FOC по второму свойству прямоугольного треугольника находим FC=16 м. По определению тангенса (или по теореме Пифагора) вычисляем ОС=.
Площадь освещаемой поверхности равна площади основания (круга).
S = πR2 = 192π ≈ 603(м2). Ответ: S= 603 м2. (см. слайд 36)
4938522767969АВСН5м12м?Задача № 4. Вычислите, сколько метров гирлянды понадобится для украшения ёлки? Гирлянды будут висеть под углом 300 при вершине, высота елки – 12 м, а длина еловой ветви при основании - 5 м.
Решение: Форму елки примем за конус с высотой 12м и радиусом основания – 5 м.
Нити гирлянд закреплены на макушке елки и распределены по боковой поверхности конуса через 30°.
Сколько нитей гирлянд на елке? 360°:30° = 12 (нитей). Как найти длину одной нити?
Она равна образующей конуса.
Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Из прямоугольного НВС находим ВС= 13 см.
Чтобы найти длину всей гирлянды, длину нити умножаем на количество нитей. Длина гирлянды 12·13 =156 (м) Ответ: 156 м. (см. слайд 37)
Учитель:
А сейчас представьте туристические палатки. Они могут быть разнообразных форм. Мы сегодня будем решать задачу о палатке-конусе. Решаем её с комментированием.(см. слайд 38)
Задача № 5. Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания 6 метров?
На подгиб и швы необходимо добавить 5%.(см. слайд 39)
4751324742954336lАBCHДано: конус, h=4 м, dосн=6 м
Найти: Sбок=?
Решение: Палатка имеет форму конуса, следовательно, нам необходимо вычислить площадь поверхности конуса. Мы знаем, что Sпол = Sосн + Sбок ,гдеSбок = πRℓ и Sосн = πR2
R=d:2 = 6:2 = 3(м)
Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Опустим высоту (медиану) ВН. Она разобьет АВС на два равных прямоугольных треугольника. Из ВНС по теореме Пифагора найдем образующую, ВС = 5м.
Sбок=πRℓ= π· 3·5 = 15 π ≈ 47,1 (м2), (см.слайд 40)
Sосн = πR2= 9π ≈ 28,26(м2),
Sпол = Sосн + Sбок = 75,36 ≈ 75,4(м2) брезента
Найдем 5% от Sпол,что составит 3,8 м2. Значит S= Sпол+ 3,8 =79,2(м2)
Ответ: 79,2м2 брезента потребуется для палатки.
Учитель:
Молнии, атмосферные разряды – постоянный и практически повсеместный источник угрозы для человека и его имущества. Это одно из самых разрушительных и устрашающих природных явлений, с которыми повсеместно сталкивается человек. Последствия, в тех случаях, когда в доме нет надежной системы молниезащиты (грозозащиты) – унесенные жизни, разрушенные здания, пожары, выход из строя электропроводки, оборудования и приборов. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1000000 жителей.
Молниеотвод («громоотвод») — устройство, устанавливаемое на зданиях и сооружениях и служащее для защиты от удара молнии. (см слайд 41)
Первый молниеотвод был изобретён Бенджамином Франклином в 1752 году.
Я предлагаю вам самостоятельно решить следующую задачу. Решите! Сверим ответы.(см.слайды 42-43)
Задача № 5.Вычислите высоту молниеотвода, если радиус "защищенного" круга 15 м, а угол между молниеотводом и образующей конуса безопасности 60 º
Решение: Поток света от фонаря можно сравнить с конусом. Тогда наша задача сведется к нахождению высоты конуса.
4415028122555АВСН15м?60ºРассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник. Опустим высоту ВН. Она разобьет АВС на два равных прямоугольных треугольника. Из ВНС по определения тангенса имеем tg60°= .
Значит ВН = = =≈ 8,5 (м).
Ответ: высота молниеотвода должна быть не менее 8,5 метров
8 этап: Подведение итогов.
Учитель: Все вы хорошо поработали. Я попрошу каждого закончить предложение: «Сегодня на уроке МЫ……»
(Выставление оценок, запись домашнего задания
Д/З п.55-57 № 562,565. )(см.слайд 44)
А урок хочется закончить словами Татьяничевой Л:
Да, путь познания не гладок,
Но знаем мы со школьных лет:
Загадок больше чем разгадок
И поискам предела нет.