Конспект урока по геометрии на тему Взаимное расположение плоскостей. Параллельность плоскостей
Взаимное расположение плоскостей.
Параллельность плоскостей
Цель урока: рассмотреть возможные случаи взаимного расположения плоскостей; изучить определение и признаки параллельности плоскостей.
Развить познавательный интерес к предмету творческое мышление.
Оборудование: компьютер (проектор), стереометрический ящик, модель куба.
Дидактический материал: мультимедийные презентации.
Тип урока: изучение нового материала.
Формы работы на уроке: фронтальная, групповая, индивидуальная, работа в парах.
Ход урока
Вначале урока звучит музыка, на фоне которой идет презентация эпиграфа урока
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Актуализация знаний.
Вопросы к классу.
С каких «тёмных понятий» мы начинали раздел геометрии – стереометрию? (точка, прямая, плоскость, расстояние)
Как постепенно от урока к уроку проливался свет на эти темные понятия? (вначале изучались аксиомы, в которых давалось описание и основные свойства этих понятий, являющихся основополагающими в стереометрии;
затем начали изучать связи между этими понятиями, опираясь на аксиомы).
Взаимное расположение каких объектов мы изучили?
(точка и прямая – используя аксиому о точке и прямой – есть точки принадлежащие прямой, есть ей не принадлежащие;
точка и плоскость – используя аксиому о точке и плоскости – есть точки принадлежащие плоскости, есть точки ей не принадлежащие;
взаимное расположение прямых – аксиома о прямой проходящей через две точки (через две точки проходит единственная прямая): две прямые имеют две общие точки – совпадают, одну общую точку – пересекаются, нет общих точек – параллельны или скрещиваются;
взаимное расположение прямой и плоскости – аксиома о прямой и плоскости: прямая и плоскость имеют две общие точки – прямая лежит в плоскости, одна общая точка – прямая пересекает плоскость, нет общих точек – параллельны).
Взаимное расположение, каких объектов осталось рассмотреть? (Плоскостей)
Сформулируйте мне тему сегодняшнего урока.
На доске записывается тема урока под диктовку учащихся:
«Взаимное расположение различных плоскостей»
Изучение нового материала
Вопросы к классу.
Каким может быть взаимное расположение плоскостей?
Чтобы аргументировать свои предположения, вспомните аксиому, в которой говорится о взаимном расположении плоскостей. (Аксиома пересечения плоскостей – две плоскости имеющие одну общую точку, имеют общую прямую).
Исходя из этой аксиомы, скажите, каким может быть взаимное расположение различных плоскостей? (Плоскости имеют одну общую точку – пересекаются и не имеют общих точек – не пересекаются) .
Идёт показ слайда о взаимном расположении различных плоскостей до «не имеют общих точек»
Как вы думаете, как плоскости будут располагаться, если они не имеют общих точек? (параллельны).
Выполняя графическую работу дома, вы уже изображали параллельные плоскости и пересекающиеся.
Заканчивается показ слайда «Взаимное расположение различных плоскостей».
Итак, плоскости могут пересекаться или быть параллельными. Далее надо более подробно изучить эти расположения.
Какое взаимное расположение будем изучать первым? (параллельность).
Почему? (так как с параллельности начинали изучать взаимное расположение прямой и плоскости).
Уточните тему урока.
На доске записывается тема «Параллельность плоскостей»
По какому плану будем изучать эту тему? (По такому же как взаимное расположение прямой и плоскости, т. е. определение, признак, построение, свойства)
На доске записывается план изучения темы.
Дайте определение параллельности двух плоскостей.
Приведите примеры параллельных плоскостей из окружающей действительности. Будут ли указанные плоскости параллельными?
Существуют ли в природе параллельные плоскости? Может это только нам кажется, что есть параллельные плоскости?
Если мы сможем построить плоскость, параллельную данной, то тогда сможем утвердительно ответить на этот вопрос.
Следующим вопросом будет построение плоскости параллельной данной и проходящей через данную точку. Как это можно сделать?
Используя планшет, постройте плоскость, параллельную плоскости планшета, для этого вспомните способы задания плоскостей.
Идет практическая работа в парах по построению плоскости параллельной плоскости планшета, проходящая через конкретную точку и вырабатывается алгоритм по ее построению .
Алгоритм
Через точку А провести 2 пересекающиеся прямые парал лель ные данной плоскости
(Прямая а
· а1 и b
·b1, a1((, b1(()
2) Эти две прямые задают плоскость
·, которая будет параллельна данной.
3) Почему построенная плоскость ( будет параллельна данной (?
(От противного: если (((=с( что или a(c и ( или b(c и (, а это противоречит тому, что а
·( и b
· (, значит ( и ( не пересекаются, т. е. параллельны.)
Как вы строили плоскость (
·(
Исходя из построения, сформулируйте признак параллельности плоскостей.
Учащиеся формулируют теорему: «Если две пересекающиеся прямые плоскости, параллельны другой плоскости, то данные плоскости параллельны».
К доске выходит один из учеников и записывает краткое условие задачи, делает чертёж:
Дано: a((, b((, a(b=M
а
·(, b
·(.
Доказать: (
·(
Доказательство (методом от противного) идет в виде беседы.
Вопрос: в чём суть этого метода? (Вспоминают метод )
Итак, 1) Пусть (((=с, а ( (, b ( (, c ( (,
a(b ( c(a или с(b.
2) Пусть с(b=К. Тогда с((, К(((b((=K, а это противоречит условию b
·(.
3) Предположение не верно т.е. (
·(.
Теорема доказана.
Какую теорему мы только что доказали?
Единственная ли построенная плоскость? (Да. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость )
Обоснуйте параллельность противолежащих граней куба, используя этот признак. Обоснуйте параллельность плоскостей в ваших примерах.
Когда прямая параллельна плоскости? (Если она параллельна прямой этой плоскости.)
Сформулируйте еще один признак параллельности плоскостей.
(Если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны).
Этот признак параллельности плоскостей докажем, посмотрев презентацию, которую подготовил Коленченко Игорь.
Эту теорему можно доказать по – другому. Иной способ доказательства рассмотрите дома.
Итак, что нового узнали на уроке?
(Взаимное расположение различных плоскостей, определение и признаки параллельности плоскостей)
Скажите, как изменится классификация взаимного расположения плоскостей, если убрать слово «различных»?
(в имеющейся классификации добавится еще один вид плоскостей –совпадающие )
Показ слайда «Взаимное расположение плоскостей».
Какие плоскости называются пересекающимися?
Какие плоскости называются параллельными?
Какие плоскости являются параллельными?
Когда плоскости совпадают?
Где эти знания могут быть применены далее? (При решении задач на доказательство, при построении сечений, а также при определении взаимного расположения плоскостей).
Закрепим полученные знания при решении задач на определение вида взаимного расположения плоскостей .
Закрепление нового материала
Работа в группах.
Класс разбит на 3 группы, каждая из которых получает по 2 задания для определения взаимного расположения плоскостей. По выбору учащихся решение одного задания будет показано на доске, решение его вытекает непосредственно из признаков. Для решения другого – одних признаков будет маловато и поэтому при его решении могут возникнуть затруднения. Это задание будет рассмотрено немного позже.
Задания первой группе:
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М – середина А1В1, N – середина В1С1, К – середина АD, Р – середина DC. Определить взаимное расположение плоскостей
а) MNK и MNP;
б) А1В1С1 и АDC.
Задания второй группе:
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М – середина А1В1, N – середина В1С1, К – середина АD, Р – середина DC. Определить взаимное расположение плоскостей
а) MKP и BB1D;
б) D1KP и BMN.
Задания третьей группе:
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М – середина А1В1, К – середина АD, Р – середина DC. Определить взаимное расположение плоскостей
а) A1DC1 и AB1C;
б) АС1С и МКР.
Пока идёт обоснование решений при работе в группе, один из членов группы делает чертеж на доске. Затем следующий ученик – лидер группы – защищает решение у доски, все остальные учащиеся класса следят за логикой рассуждений и записывают предложенное решение к себе в тетрадь.
Второй урок
Итак, решив одну часть задач, подведем итог того что мы сделали сегодня на первом уроке: рассмотрели виды взаимного расположения плоскостей, конкретно, при изучении параллельности узнали определение, построение плоскости параллельной данной, признаки параллельности плоскостей.
Что осталось рассмотреть по плану изучения темы? (свойства параллельности плоскостей).
Именно они помогут закончить решение оставшихся заданий рациональным способом.
Перед вами модели куба, грани которых параллельны. Попробуем угадать, какими свойствами они могут обладать, если проводить через них плоскость, прямую
Ученики делают предположения о свойствах параллельных плоскостей, учитель их корректирует и постепенно открывается слайд «Свойства параллельных плоскостей».
Свойства параллельных плоскостей
Прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.
Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.
Заранее каждой из групп было дано задание доказать по два каких-то свойства. Каждая группа для доказательства одного свойства делала презентацию, а другое – доказывали традиционно у доски. Доказательство у доски проводил лидер группы. Класс, при этом, задавал уточняющие вопросы или отвечал на вопросы учителя по ходу доказательства.
Ниже приведены примеры некоторых презентаций, изготовленных членами групп.
Первая группа:
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Вторая группа:
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Третья группа:
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
После того, как свойства уже доказаны, у нас есть необходимые знания для того, чтобы продолжить работу в группах для завершения решения задач, начатых еще на прошлом занятии.
Идет работа в группах по решению оставшихся задач, решение которых проверяется у доски .
Итог урока.
Какие пункты, записанного на доске плана мы выполнили?
Что осталось для изучения на следующих уроках? (как могут пересекаться плоскости )
Где эти знания нам пригодятся дальше?
Какой практический опыт вы приобрели?
Вернёмся к началу урока:
На какие «тёмные понятия» мы пытались сегодня «пролить свет»?
Какое из понятий по логике вроде бы не вписывается в этот ряд?
(Расстояние)
Почему Потаскуев Е.В. включил его все же в ряд «тёмных понятий»? Может быть подсказкой вам послужит перевод слова стереометрия с греческого языка на русский.
Значит, мы в стереометрии будем заниматься не только изучением взаимного расположения основных объектов, но и измерять все возможные расстояния т.е. решать вычислительные задачи, предварительно сделав чертеж, при построении которого обосновав взаимное расположение прямых, плоскостей из которых он состоит.
Работали все активно. Оценки получают не только те кто работал у доски, но и учащиеся, по мнению членов группы, кто был более активен при работе в группе.
Задание на дом:
Выучить признаки и определение параллельности плоскостей.
Номера.
13PAGE 15
13PAGE 141415
А
(
(
(
a
b
M
c
К
a
b
a1
b1
Ђ
·
·
· Ђ’ Ђ
·@
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
·Q
·
·
·
·<
·Q
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·+
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·$
·
·
·
·-
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·P
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·џ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
··
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·'
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·O
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·—
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·T
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ъ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·V
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·C
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ј
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·$
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·c
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·»
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·!
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#
·
·
·
·
·
·
·#
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·І
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ћ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·a
·
·
·
·
·
·%
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·%
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·…
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·%
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·V
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ќ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ж
·
·j
·
·
·
·
·
·%
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·c
·
·
·
·
·
·
·Ў
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·%
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·…
·
·Њ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ћ
·
·ђ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·N
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·€
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·‹
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·™
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·€
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·L
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ш
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·8
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ћ
·
·н
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·[
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·*
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ґ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·E
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·G
·
·
·
·
·
·
·Џ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·З
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·]
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·U
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·K
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·K
·
·
·
·
·
·
·hАЂ
·
·
·
·
·
·
·
·
·b@
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·@Ђ
·
·c
·
·
·
·
·
·- Ђ
·@
·
·@
· @Ђ
·
·°
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Заголовок 115