Методические рекомендации по изучению темы Текстовые задачи на работу

Методическая копилка
Формирование
умения решать
текстовые задачи « на работу»
Учитель математики
первой квалификационной категории
МБОУ лицей №2
Бугульминского муниципального района
Мальцева Ирина Федоровна
г. Бугульма
2016
Польский математик Стефан Банах говорил: « Математик – это тот, кто умеет находить аналогии».
Аналогия – сходство в каком-нибудь отношении между явлениями, предметами, понятиями. Хороший математик всегда сведёт задачу к уже известной.
В начальной школе учащиеся очень много решают задач «на движение». Эти задачи не вызывают затруднений даже у среднестатистического школьника. В среднем звене появляются задачи «на работу». Задачи вызывают затруднение как при изучении, так и на экзаменах в 9 и 11 классах. Нужно суметь подвести детей тому, что эти задачи аналогичны задачам на движение.
Проследим сами эту аналогию.
В задачах «на движение» участвуют три величины: скорость , время , расстояние ( пройденный путь).
v (скорость)
км/ч, м/с … t (время)
ч, с… S (путь)
км, м…
1 2
Известно, что
s = v ∙ t
откуда следует, что
v = stи
t= svВ задачах «на работу» также три величины:
производительность (скорость работы, показывает какая часть работы выполняется за единицу времени),
время работы,
работа (площадь вспаханного или убранного поля, количество деталей, объём бассейна и т. д.).
v (производительность)
детали в час, гектары в день, литры в минуту … t (время)
часы, дни, минуты… А (работа)
Детали, площадь, объём …
1 2 Вместе Аналогично задачам на движение имеем
А = v ∙ t
откуда следует, что
v = Atи
t= AvПровести такую аналогию можно уже в 6 классе.
Задача 1. Первый конвейер выпускает 67 кг карамели за 108 минут, а второй конвейер 51 кг карамели за 106 минут. Какой из конвейеров имеет большую производительность?
v (производительность)
кг в минуту t (время)
минуты А (работа)
кг
1 конвейер 108 67
2 конвейер 106 51
Так как v = At , то
67: 108 = 67108 (кг/мин) - v1
51:106 = 51106 (кг/мин) - v2
67108 >12 , а 51106<12 , значит 67108>51106 .
Ответ: производительность 1 конвейера больше.
Следующие задачи из экзаменационных материалов 9 и 11 классов.
Задача 2. Плиточник должен уложить 182 м2 плитки. Если он будет укладывать на 9 м2 в день больше, чем запланировано, то закончит работу на 1 день раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
v (производительность)
м2 в день t (время)
дни А (работа)
Площадь, м2По плану х182х182
Фактически х+1 182х+1,
на 1 меньше 182
По принципу « из большего вычитаем меньшее равно разнице» записываем уравнение 182х - 182х+1 = 1.
По условию задачи х>0, х1 =13, х2 <0 – не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 13 м2.
Задача 3. На изготовление 21 детали первый рабочий затрачивает на 4 часа меньше. Чем второй рабочий на изготовление 35 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
v (производительность)
детали в час t (время)
часы А (работа)
всего деталей
По плану х + 2 21х+2,
на 4 меньше 21
Фактически х35х35
По принципу « из большего вычитаем меньшее равно разнице» записываем уравнение 35х - 21х+2 = 4.
По условию задачи х>0, х1 =5, х2 <0 – не удовлетворяет условию задачи.
Ответ:5 деталей в час.

Ещё большие затруднения вызывают задачи «на совместную работу». Здесь важно подвести детей к тому, что скорость совместной работы равна сумме скоростей участников этой работы.
По аналогии с задачами на движение многие учащиеся называют эту величину «общей скоростью».
v общая = v1 + v2
Важный момент в задачах на работу: если про объём работы не говорится конкретно (не указывается количество литров, деталей, гектаров и т. д.), то работа принимается равной 1.
Об этом можно формировать понятие уже в 6 классе.
Задача 4: Один комбайн уберёт всё поле за 6 дней, а другой – за 4 дня. Какой комбайн имеет большую производительность? На сколько? Какую часть поля уберут оба комбайна за 2 дня, работая совместно?
v (производительность)
часть поля в день t
(время)
дни А (работа)
поле
1 комбайн ? 6 1
2 комбайн ? 4 1
Вместе ? 2 ?
Так как v = А/t, то
1:6= 16 (поля в день) - v1
1:4= 14 (поля в день) - v2
Так как Vобщая = v1 + v2, то
16 + 14 = 512(поля в день) - вместе за 1 день (vобщая).
Так как А = v ∙ t, то
512 ∙ 2 = 56 (поля) - вместе за 2 дня.
Ответ: 56 поля.
Следующие задачи из экзаменационных материалов 9 и 11 классов.
Задача 5. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 часа. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая?
v (производительность)
часть бассейна в час t
(время)
часы А (работа)
бассейн
1 труба 1хх1
2 труба 1х+3х+3 1
Вместе
122 1
Так как Vобщая = v1 + v2, то составляем уравнение:
1х + 1х+3 = 12По условию задачи х>0, х1 =3, х2 <0 – не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: за 3 часа.
Задача 6. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать некоторый участок дороги на 4 часа быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок первая бригада, если известно, что за 24 часа совместной работы они заасфальтировали 5 таких участков?
v (производительность)
часть бассейна в час t(время)
часы А (работа)
бассейн
1 бригада 1хх1
2 бригада 1х-4х - 4 1
Вместе
52424 5
Так как Vобщая = v1 + v2, то составляем уравнение:
1х + 1х-4 = 524По условию задачи х>4, х1 =12, х2 <4 – не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: за 12 часов.
Задача 7. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу и через 2 ч, не закрывая её, открыли вторую. Через 4 ч совместной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна первая. За сколько часов может наполнить одна первая труба?
v (производительность)
часть бассейна в час t
(время)
часы А (работа)
бассейн
1 труба 1хх1
2 труба 23х1,5х 1
Вместе 1 труба 1х2 +4 =6 6х1
2 труба 23х4 83хУравнение:6х + 83х =1По условию задачи х>0, х1 =8, х2 = 0 – не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: за 8 часов.
Задача 8. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий – за 12 минут, первый и третий – за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
v (производительность)
часть бассейна в мин t
(время)
минуты А (работа)
бассейн
1 и 2 насосы x+y9 1
2 и 3 насосы y+z12 1
1и 3 насосы x+ z 18 1
Вместе
x+y+z? 1
Так как v = А/t, то
x+y = 19 ;
y+z = 112 ;
x+ z = 118.
Тогда 2х +2y + 2z = 14 ,
откуда x+y+z = 18 ( бассейна в мин) - vобщая .1 : 18 = 8 (мин) время заполнения бассейна совместно.
Ответ: за 8 минут.
Некоторые нестандартные задачи можно решить этим же способом.
Задача 9. Два кота одновременно начали есть палку колбасы с разных сторон и съели её за 4 минуты. Один из котов съел бы всю колбасу за 12 минут. За сколько минут съел бы всю колбасу второй кот?
v(производительность)
часть колбасы в минуту t
(время)
минуты А (работа)
колбаса
1 кот ? 12 1
2 кот ? ? 1
Вместе
? 4 1
1:12 = 112 (колбасы в минуту) – 1 кот
1: 4 = 14 (колбасы в минуту) –вместе
14 - 112 = 16(колбасы в минуту) –2 кот
1: 16 = 6 (минут) – t 2-го кота.
Ответ: за 6 минут съест всю колбасу второй кот.
Задача учителя научить детей замечать закономерности и аналогии, преподносить учебный материал так, чтобы сложное казалось простым. Предложенный методический подход к объяснению данного типа задач, надеюсь, будет полезен и учителям, и учащимся.
Литература.
Математика 6, Виленкин Н.Я, Жохов В.И, Чесноков А. С., Шварцбурд С.И., М: Мнемозина, 2013г.
Алгебра, 9,Макарычев Ю. И., Миндюк Н. Г. и др. М: Просвещение, 2013
Семёнов А. Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. М: «Экзамен», 2014
Открытый банк заданий ФИПИ.