Занятие в 11 классе по теме Текстовые задачи на ЕГЭ

Текстовые задачи на ЕГЭ.
Задачи на сплавы и концентрацию.
Смешали 14 л 30% водного раствора некоторого вещества с 10 литрами 18% раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:
Пусть p – концентрация получившегося раствора. Тогда
0,3∙14+0,18∙10=p100∙244,2+1,8=0,24p0,01p=0,25p=25Имеются 2 слитка сплава золота с медью. 1 слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток - 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определите массу (в г) куска, взятого от первого куска.
Решение:
Масса первого куска – 250 г (т.к. 230 г золота и 20 г меди), масса второго куска – 300 г (т.к. в нем 240 г золота и 60 г меди).
Найдем процентное содержание золота в первом слитке: 230250∙100%=92%Найдем процентное содержание золота во втором куске: 240300∙100%=80%В полученном сплаве содержится 0,84∙300=252 г золота.
Пусть от первого куска взяли х г, а от второго – (300-х), тогда
Составим уравнение:
0,82∙x+0,8300-x=2520,92x+240-0,8x=2520,12x=12x=100Ответ: от первого куска взяли 100 г.
Первый сплав содержит серебра и меди 70 г, а второй сплав – 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82% серебра. Сколько граммов серебра содержится в первом сплаве?
Решение:
Пусть в первом сплаве содержится х г серебра.
Масса второго сплава 75 г. Составим уравнение:
xx+70∙225+210300∙75=0,82∙300225xx+70+0,7∙75=0,82∙300225x+52,5x+70=246x+7031,5∙x=13545x=430Ответ: в первом сплаве 430 г серебра.
Задачи на концентрацию.
Из сосуда, доверху наполненного 94% раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и долили 1,5 л 70% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?
Решение.
Пусть x – количество литров, которое вмещает сосуд.
Первоначально в сосуде находилось 0,94х г кислоты.
Отлили 1,5∙0,94 г кислоты, долили 1,5∙0,7 г кислоты.
После этого в сосуде стало 0,86x г кислоты.
Составим уравнение.
0,94x-1,5∙0,94+1,5∙0,7=0,86x0940,86x=0,360,08x=0,36x=4,5Ответ: сосуд емкостью 4,5 литра.
В колбе было 800 г 80% спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил в нее 200 г воды. Определите концентрацию (в %) полученного спирта.
Решение.
Пусть x- концентрация полученного раствора. Тогда согласно условиям задачи, составим уравнение:
0,8∙800-0,8∙200=x100∙800640-160=8x8x=480x=60Ответ: 60% раствор.
Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12% раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получили 15% раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора.
Решение.
Пусть x- концентрация первого раствора, y- концентрация второго раствора, тогда составим систему уравнений:
x100∙8+y100∙2=0,12∙10x100+y100=0,15∙2 8x+2y=120x+y=30 x=10%, y=20%Ответ: x=10%, y=20%В сосуде было 12 л соляной кислоты (чистой). Часть кислоты отлили и добавили такое же количество воды. Затем снова отлили столько же раствора и опять добавили воды. Сколько литров жидкости отливали каждый раз, если в результате в сосуде оказался 56,25% раствор соляной кислоты?
Решение.
Пусть x - количество отливаемой жидкости, причем в первом случае – это чистая кислота, во втором – раствор с некоторой концентрацией.
После того, как отлили x л кислоты и добавили x л воды, то в сосуде стало (12- x)л кислоты и x л воды. Концентрация полученного раствора равна: k=12-x12 (где k- концентрация раствора). Значит, когда второй раз отливали x л раствора, то здесь содержалось kx л той кислоты. Тогда в сосуде осталось 12-x-kx=12-x-12-x12x=12-x1-x12=12-x212 л кислоты.
С другой стороны это количество составляет 56,25% от 12 литров.Составим уравнение.
12-x212=0,5625∙1212-x=0,75∙12x=3Ответ: 3
В первом сплаве золота и серебра количество этих металлов находится в отношении 1:2, а во втором – в отношении 2:3. Из этих металлов получили 19 г сплава с отношением золота и серебра 7:12. Сколько граммов первого сплава было взято?
Решение.
Пусть в первом сплаве содержится x г золота и 2x г серебра.
Аналогично во втором сплаве содержится 2y г золота и 3y г серебра.
Так как масса полученного сплава равна 19 г, то в нем 7 г золота и 12 г серебра.
Составим систему уравнений.
2x+3y=12x+2y=7 Решая систему, находим y=2, x=3. В итоге масса первого сплава равна 9 г.
Ответ: 9
Смешали 20%-й раствор соли с 40%-м раствором и добавили 5 кг воды. В результате получили 10%-й раствор. Если бы вместо воды добавили5 кг 96%-го раствора соли, то получили бы 70%-й раствор. Сколько килограмм первого раствора было взято?
Решение.
Пусть x- количество первого раствора, а y - количество второго раствора. Тогда в обоих случаях после добавления получилось x+y+5 кг раствора.
Так как первый раствор содержит 20% соли и 80% воды, то в нем содержится 0,8 x кг воды, а во втором – 0,6 y кг воды.
После того, как добавили воду в первом случае, получили раствор, в котором 0,9x+y+5 кг воды.
Получили первое уравнение системы: 0,8x+0,6y+5=0,9x+y+5После того, как во втором случае добавили 5 кг 96% раствора соли (0,04∙5=0,2 кг воды) получили раствор, в котором 0,3x+y+5 кг воды.
Получили второе уравнение системы: 0,8x+0,6y+0,2=0,3x+y+5.
Составим систему уравнений:
0,8x+0,6y+5=0,9x+y+50,8x+0,6y+0,2=0,3x+y+58x+6y+50=9x+y+58x+6y+2=3x+y+5Решая уравнение одним из методов, получим: x=2, y=1Ответ: 2
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй сплав – 30% никеля. Из этих сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограмм масса первого сплава меньше массы второго?
Решение.
Пусть x- масса первого сплава, тогда масса второго сплава – 200-x.
Составим уравнение, учитывая условия задачи:
0,1x+0,3200-x=0,25∙2000,1x+60-0,3x=50x=50Следовательно, масса первого сплава – 50 кг, тогда масса второго сплава – 150 кг и масса первого сплава меньше массы первого на 100 кг.
Ответ: 100
Имеется 10 л 60% раствора соли. Сколько литров воды нужно долить, чтобы получить 40% раствор соли?
Решение.
Пусть надо долить x л воды. Тогда, с учетом условий задачи, составим уравнение:
0,6∙10=0,410+x0,4x=2x=5Ответ: 5
Задачи на проценты
Цена холодильника в магазине уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, насколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 8 000 рублей, он через два года был продан за 6480 рублей.
Решение.
Пусть x – количество процентов, на которые уменьшалась цена холодильника. Тогда x% от 8 000: x100∙8000=80x.
8000-80x - цена холодильника после первого снижения цены.
x% от 8000-80x: 8000-80x100∙x=80-0,8xx 8000-80x-80-0,8xx - цена холодильника после второго снижения.
Составим уравнение:
8000-80x-80-0,8xx=64800,8x2-160x+1520=0x2-200x+1900=0x1=180 x2=10Ответ: 10%
В течение года цену товара повышали 2 раза: сначала на 20% , затем на 10%. Но в конце года ее уменьшили на 25%. Сколько процентов составляет итоговая цена от первоначальной?
Решение.
Пусть x - цена первоначальная товара
Увеличение цены на 20% означает, что она стала 1,2xУвеличение цены на 10% означает, что она стала 1,2x∙1,1=1,32xПонижение цены на 25% означает, что она стала 1,32x∙0,75=0,99xТаким образом, первоначальная цена -x, итоговая цена - 0,99x. Следовательно, новая цена составляет от первоначальной 99%.
Ответ: 99%
В январе завод перевыполнил план на 10%, а в феврале перевыполнил январский выпуск на 6%. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
Решение.
Пусть x - месячный план выпуска продукции. Тогда в январе выпуск составил 1,1 x. В феврале – 1,06∙1,1x=1,166x . Тогда за два месяца перевыполнение плана составило 2,266 x при плане 2 x.Превышение составило 2,266 x x=1,133 или 13,3%. Ответ: 13,3%
Численность волков в двух заповедниках в 2009 году составляла 220 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике6 численность волков возросла на 10%, а во втором – на 20%. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 250 особей. Сколько волков было в первом заповеднике в 2009 году?
Решение.
Пусть в первом заповеднике было x особей, тогда во втором – 220 – x. Учитывая, что в первом заповеднике количество особей возросла на 10%, то особей стало – 1,1x , а во втором – 1,2220-x. Так как, количество особей в заповеднике стало 250, составим уравнение:
1,1x+1,2220-x=250x=140Ответ: 140
7 рубашек дешевле одного костюма на 9%. На сколько процентов 11 рубашек дороже одного костюма?
Решение.
Пусть стоимость одной рубашки – x, стоимость одного костюма – y.
7 рубашек дешевле одного костюма на 9%.
Следовательно, стоимость 7 рубашек – 0,91y. С другой стороны, стоимость 7 рубашек - 7x.7x=0,91yx=0,13y11x=1,43y11x=143100yСтоимость 11 рубашек составляет 143% от стоимости костюма. Следовательно, стоимость рубашек дороже стоимости костюма на 43%.
Ответ: 43
3 кг черешни стоят столько же, сколько 5 кг вишни. 3 кг вишни – столько же сколько 2 кг клубники. На сколько процентов 1 кг клубники дешевле 1 кг вишни?
Решение.
Пусть стоимость черешни – x, стоимость вишни – y, стоимость клубники – z.
Составим систему:
3x=5y3y=2z y=0,6x3∙0,6x=2z 1,8x=2z 1,82=zx 90100=zxСледовательно, стоимость 1 кг клубники составляет 90% от стоимости 1 кг черешни
Ответ: 10%
Задачи на работу
Первый рабочий может за 1 час изготовить 25% всех заказанных деталей. Производительность второго рабочего составляет 23 от производительности первого, а производительность первого относится к производительности третьего как 3:1. За сколько часов будет выполнен весь заказ, если все трое рабочих будут работать вместе?
Решение.
Пусть заказано x деталей.
Тогда за 1 час первый рабочий изготовит 0,25x=14xВторой рабочий изготовит за 1 час 14x∙23=16x.
Третий рабочий - 14x∙13=112x.
Таким образом, весь заказ будет выполнен за:
x4+x6+x12=x2Ответ: 2 часа
Через первую трубу бак объема 12 м3 наполняется со скоростью x м3/ч, а через вторую – опорожняется со скоростью 2 м3/ч. При пустом баке были открыты обе трубы. Когда бак наполнился на 40%, вторую трубу закрыли. В результате бак стал полным через 4 часа 12 мин. Чему равен x?
Решение.
Бак, объемом 12 м3, заполняется на 40% (т.е. на 4,8 м3) за время 4,8x-2. Оставшееся время 4,2-4,8x-2 бак наполнялся со скоростью x м3/ч и при этом налилось 12-4,8=7,2 м3 воды. Таким образом, составим уравнение:
4,2-4,8x-2x=7,242x-84-48x=72x-1447x2-34x+24=0x1=4, x2=67Очевидно, что второй корень нам не подходит. Вода будет выливаться из бака быстрее, чем наливаться. Поэтому x=4.
Ответ: 4
Секретарю фирмы поручили разослать письма адресатам по списку. Секретарь, отдав своему помощнику часть списка, содержащую 80% адресатов, взял оставшуюся часть себе и разослал письма по своей части списка за время в 6 раз меньшее, чем помощник по своей. Сколько процентов списка адресатов секретарь должен был сразу отдать помощнику (взяв себе остальное), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время?
Пусть производительность труда секретаря – xПроизводительность труда помощника – yВремя работы секретаря – t, время работы помощника - 6 t, вся работа – 1. Тогда, учитывая условия задачи, составим систему уравнений:
tx=0,26ty=0,8tx6ty=0,20,8x6y=28xy=32Отсюда следует, что производительность секретаря составляет 3 части, а производительность помощнику – 2 части. Всего 5 часов. Пусть вся работа 100%, тогда, с учетом условий задачи, секретарю необходимо взять 60% всей работы, а помощнику отдать 40%.
Ответ: 40
Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты за 8 часов. Если первый оператор будет работать 3 часа, а второй 12 часов, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?
Решение.
Вся работа - 1
Пусть время работы первого оператора – xВремя работы второго оператора – y.Тогда, производительность труда первого оператора - 1x, производительность труда второго оператора - 1y.
Учитывая условия задачи, составим систему уравнений:
11x+1y=83x+12y=34 xyx+y=81x+4y=14 1x+1y=181x+4y=14 x=12 y=24Ответ: 12 ч и 24 ч
Задачи на движение
Первую четверть пути поезд двигался со скоростью 80 км/ч, а затем снизил скорость на x км/ч. Чему равен x, если средняя скорость движения поезда на всем пути равна 64 км/ч?
Решение.
Пусть 1 – весь путь. Тогда первую четверть пути поезд прошел за 14∙80 ч, а оставшиеся 34 пути поезд прошел за 3∙14∙80-x ч. На весь путь поезд затратил 14∙80+3∙14∙80-x=164 .
14∙80+3∙14∙80-x=164180+380-x=1164x=80x=20Ответ: 20.
Два тела равномерно движутся по окружности. Если они движутся в разные стороны, то встречаются каждые две минуты. Если же тела двигаются в одну сторону, то первое тело догоняет второе каждые 10 минут. На сколько секунд первое тело быстрее проходит окружность?
Решение.
Пусть v1 м/мин – скорость первого тела, v2 м/мин – скорость второго тела. При движении в разные стороны они сближаются со скоростью v1+v2, а при движении в одну сторону - сближаются со скоростью v1-v2. Пусть 1 – длина окружности. Тогда 1v1+v2=2 мин – время между встречами при движении в разных направлениях, а 1 v1-v2= 10 мин - время, за которое первое тело догоняет второе.
Получим систему уравнений:
1v1+v2=21 v1-v2= 102v1+2v2=110v1-10v2=1Отсюда v1=0,3, v2=0,2 . Тогда первое тело проходит окружность за 10,3=103 минут,
Второе тело – за 10,2=102=5 минут.
Разница составляет 300-200=100 сек.
Ответ: 100 секунд.