Олимпиадные задания по математике для 7 класса (школьный этап)

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ 2015-2016 ГГ.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП
7 КЛАСС
1. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?
2. На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками?
3. Написав контрольную работу, ученики Володя, Саша и Петя сообщили дома:Володя: «Я написал на 5».Саша:«Я написал на 3».Петя: «Я написал не на 5».После проверки выяснилось, что один из мальчиков получил 3, другой 4, третий 5. Какую оценку получил каждый, если известно что из трех сделанных высказываний одно ложно, а два других истинны?
4. В примере a ∙ b + c ∙ d + e ∙ f , a увеличили на 20%, b уменьшили на 20%, c увеличили на 60%, d уменьшили на 40%, e увеличили на 50%, f уменьшили на 36%. После этого пример решили и получили 80. Найти a ∙ b + c ∙ d + e ∙ f.
5. Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки.
Каждое задание оценивается в 7 баллов. Всего – 35 баллов.
РЕШЕНИЕ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ 7 КЛАСС
1. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?
Решение: При первом взвешивании в одну из чашек весов кладем гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 13 и 12 кг гвоздей. Первую кучку откладываем, а остальные гвозди делим пополам, взвешивая без гири: 12 = 6 + 6. Получили искомое количество гвоздей: 19 = 13 + 6.
2. На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками?
Решение: В момент, когда часы показывают половину девятого, минутная стрелка указывает на цифру 6, а часовая на середину дуги между цифрами 8 и 9 (см. рисунок). Если из центра часов провести два луча к соседним цифрам циферблата, то между ними будет угол 3600 :12=300 . Угол между стрелками часов, когда они показывают половину девятого, в два с половиной раза больше. Следовательно, он равен 750 .

3. Написав контрольную работу, ученики Володя, Саша и Петя сообщили дома:Володя: «Я написал на 5».Саша:«Я написал на 3».Петя: «Я написал не на 5».После проверки выяснилось, что один из мальчиков получил 3, другой 4, третий 5. Какую оценку получил каждый, если известно что из трех сделанных высказываний одно ложно, а два других истинны?
Решение:
Володя Л 4 или 3 П 5 П 5
Саша П 3 П 3 Л 4
Петя П 4 или 3 Л 5 П 3
― ― ОТВЕТ: Володя — 5; Петя — 3; Саша — 4.
4. В примере a ∙ b + c ∙ d + e ∙ f , a увеличили на 20%, b уменьшили на 20%, c увеличили на 60%, d уменьшили на 40%, e увеличили на 50%, f уменьшили на 36%. После этого пример решили и получили 80. Найти a ∙ b + c ∙ d + e ∙ f.
Решение: 1,2a∙0,8b + 1,6c ∙ 0,6d + 1,5e ∙ 0,64f = 0,96a ∙ b + 0,96c ∙ d + 0,96e ∙ f = 0,96 (a ∙ b + c ∙ d + e ∙ f) = 80
a ∙ b + c ∙ d + e ∙ f = 8313ОТВЕТ: 83135. Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки.
Решение: