Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.01. Математика

Министерство общего и профессионального образования
Свердловской области
ГАПОУ СО «ЕКАТЕРИНБУРГСКИЙ ЭКОНОМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
ДИСЦИПЛИНА ЕН.01. МАТЕМАТИКА
Математические и общие естественно-научные
Гуманитарный профиль
специальность
40.02.01 «ПРАВО СОЦИАЛЬНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ»
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ
Екатеринбург, 2015 г.
Методические рекомендации печатаются по решению Методического Совета ГАПОУ СО «ЕЭТК» № от ______г.
Составитель: Колотова О.В., преподаватель ГАПОУ СО «ЕЭТК»
Рецензенты:
Методические указания для выполнения практических работ являются частью программы подготовки специалистов среднего звена ГАПОУ СО «Екатеринбургский экономико-технологический колледж» по специальности СПО 40.02.01 «Право социального обеспечения» в соответствии с требованиями ФГОС СПО.
Методические указания по выполнению практических работ адресованы студентам очной (заочной) формы обучения.
Методические указания включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных во ФГОС СПО, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практической работы студентов и инструкцию по ее выполнению, методику анализа полученных результатов.
СОДЕРЖАНИЕ
Темы практических занятий страницы
Раздел 1. Основы математического анализа
Тема 1.1. Теория пределов.
Практическая работа № 1. Вычисление пределов с помощью теорем. 5-6
Практическая работа № 2. Вычисление пределов, имеющих неопределенности. 7-10
Раздел 2. Дифференциальное исчисление
Тема 2.1. Дифференцирование сложных функций.
Практическая работа № 3. Производная сложной функции. 11-14
Практическая работа № 4. Экстремумы функции 15-17
Практическая работа № 5. Точки перегиба. 18-20
Тема 2.2. Исследование функций и построение графиков.
Практическая работа студентов №6: Построение графика непрерывной функции. 21-23
Раздел 3. Интегральное исчисление
Тема 3.1. Неопределенный интеграл.
Практическая работа № 7. Нахождение неопределенных интегралов методом непосредственного вычисления 24-27
Практическая работа № 8. Нахождение неопределенных интегралов методом замены. 28-30
Тема 3.2. Определенный интеграл.
Практическая работа студента №9: Вычисление определенного интеграла различными способами. 31-34
Практическая работа студента №10: Вычисление площадей криволинейных фигур с помощью определенного интеграла, путем сведения фигуры к криволинейной трапеции 35-36
Введение
УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!
Методические указания по дисциплине «Математика» для выполнения практических работ созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к ним, правильного составления проектов документов.
Приступая к выполнению практической работы, Вы должны внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами, краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Задания практической работы выполняются в тетради для практических работ и сдаются преподавателю.
Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения допуска к зачету, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую работу Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.
Внимание! Если в процессе подготовки к практическим работам или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.
Желаем Вам успехов!!!
Раздел 1. Основы математического анализа
Тема 1.1. Теория пределов
Название практической работы №1:
«Вычисление пределов с помощью теорем».
Учебная цель: закрепить навыки вычисления пределов функции, применения теорем о пределах функции; раскрытия различных видов неопределенностей.

Учебные задачи:
1. Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
2. Научиться применять теоремы о пределах.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
- применять теоремы о пределах
- вычислять пределы;
знать:
- понятие «предела функции»;
- теоремы о пределах и следствия из них;
Задачи практической работы:
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Решить задачи.
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
Рабочая тетрадь в клетку
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Конечное число A называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x0| < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f(x) − A| < ε. Для обозначения такого предела используют символику:
При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций:
Если функция имеет конечный предел, то он единственный.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела

Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными

Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными

Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль

Пример :
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
Что называется пределом функции в точке?
Какие вы знаете основные свойства о пределах?
Задания для практического занятия:
Задание 1. Вычислить пределы:
limx→-2(2x4-20)limx→03x+52limx→01+8x32x+1limx→07x3+3x25x+9limx→1x2-1x2+6x-7limx→-1x2-3x+124x+5limx→-2(2x3-3x2+6)limx→-2(4x5-50x)limx→1x2-5x+13x+5limx→2x2-42x2-5x+2limx→66-x3-x+3Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
Основные источники:
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. – СПб.: Лань, 2009. – 192 с.
Тема 1.1. Теория пределов
Название практической работы №2:
Вычисление пределов, имеющих неопределенности.
Учебная цель: закрепить навыки вычисления пределов функции, применения теорем о пределах функции; раскрытия различных видов неопределенностей.

Учебные задачи:
1. Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
2. научиться применять теоремы о пределах и правила раскрытия неопределенностей типа 00, ∞∞Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
- применять теоремы о пределах;
- применять правила раскрытия неопределенностей типа 00, ∞∞.знать:
- понятие «предела функции»;
- теоремы о пределах и следствия из них;
- правила раскрытия неопределенностей типа 00, ∞∞.Задачи практической работы:
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Решить задачи.
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003
Рабочая тетрадь в клетку
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.
Функция f(x) определена в предельной точке x = a. Тогда
.
Функция f(x) в предельной точке x = a не определена или же вычисляется предел функции при x→∞. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода.
Необходимо помнить, что
, , , , , .
Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке x = a или при x→∞ представляет собой неопределенность (типа , , , , ,,).
При вычислении пределов при основные теоремы о пределах сохраняют силу и, кроме того, используются правила:
а) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной;
б) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наименьшую степень переменной ;
в) чтобы раскрыть неопределенность типа , иногда достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности;
г) чтобы раскрыть неопределенность типа , зависящую от иррациональности, достаточно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности;
д) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида или .
Примеры вычисления пределов:
Найти предел функции

Решение:
Имеем неопределенность вида
Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x + 2, который при x → -2 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
Найти предел функции

Решение:
Имеем неопределенность вида
Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение, стоящее в знаменателе, на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель x - 4, который при x → 4 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

25946103238500:
Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида
Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.

Первый замечательный предел:

С помощью первого замечательного предела можно вычислять пределы различных функций.
Найти .Решение:
= .
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
Что называется пределом функции в точке?
Какие вы знаете основные свойства о пределах?
Каковы правила раскрытия неопределенностей вида .Привести примеры первого замечательного предела функции.
Задания для практического занятия:
Вычислить пределы:


limx→∞x2-8x3x2-2x+3limx→∞x23x3-1limx→∞3x2-5x+2x2+1limx→∞x2+x-24x2+1limx→2x-2x+2-2limx→55-x3-2x-1Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
Основные источники:
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. – СПб.: Лань, 2009. – 192 с.
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление
Тема 2.1. Дифференцирование сложных функций.
Название практической работы № 3.
«Производная сложной функции».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Понятие производной. Производная высших порядков. Производная сложной функции», закрепить умения находить производную функции первого и второго порядка, используя таблицу основных формул дифференцирования элементарных функций и правила дифференцирования.
Учебные задачи:
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
Научиться применять правила дифференцирования, таблицу основных формул дифференцирования элементарных функций.
Научиться вычислять производные простых и сложных функций.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
- применять правило дифференцирования, таблицу основных формул дифференцирования элементарных функций.
знать:
- понятие дифференцирование, производная;
- определение производной функции;
- основные правила дифференцирования.
Задачи практической работы:
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Решить задачи.
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
Рабочая тетрадь в клетку
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Определение: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:
.
Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.
Механический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции , вычисленной в точке касания, т.е.
Уравнение касательной к графику функции в точке :
Уравнение нормали к графику функциив точке :
Таблица производных основных элементарных функций.
1. (с)/ = 0, с - сonst 9.
2. (xα)/ = αx α – 1 10.
3. 11.
4. 12.
5. 13.
6. 14.
7. 15.
8. 16.
17.
Правила дифференцирования.
1. - вынесение константы за знак производной.
2.- производная суммы равна сумме производных.
3. - производная произведения.
4. - производная частного.
Определение. Пусть функция y = f(x) определена и дифференцируема на интервале (a, b). Если функция f  (x) дифференцируема в точке х0  (a, b), то ее производную называют второй производной или производной второго порядка функции f(x) в точке х0 и обозначают f ′′ (x0), то есть
Определение. Пусть функция y = f(x) имеет на интервале (a, b) производные f  (x), f ′′ (x), …, f (n − 1) (x). Если в точке х0  (a, b) существует производная функции f (n−1) (x0), то эту производную называют производной n-ого порядка, то есть
где производная нулевого порядка − это функция f(x).
Рассмотрим примеры.
Найти производные функций:
Пример 1:
Решение:
+

Пример2:
Решение:
Пример 3:
Решение:

Дифференцирование сложной функции
Пусть y= y(u) , где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем
, или
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.
Рассмотрим примеры.
Пример 1: Найти производную функции
Решение: =
Производные высших порядков
Определение: Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: .Определение: Производная n-ого порядка (n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной: .
Рассмотрим примеры.
Пример 1: Найти производную второго порядка .Решение:



Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
Сформулируйте понятие производной функции.
Перечислите основные правила дифференцирования функции?
Чему равна производная константы?
Как продифференцировать алгебраическую сумму функций?
Как найти производную произведения (частного)?
Задания для практического занятия:
Найдите производную функции:
у=2x5-4x2у= (2x+1)∙x3у=ex+sinxу=(4x+3)6Найдите вторую производную функции:
а) б) в)
г) д) е)
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
Основные источники:
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. – СПб.: Лань, 2009. – 192 с.
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление
Тема 2.1.Дифференцирование сложных функций
Название практической работы № 4.
«Экстремумы функции».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Понятие производной. Производная высших порядков. Производная сложной функции. Экстремумы функции», закрепить умения применять производную к исследованию функций,
Учебные задачи:
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
Научиться применять первое и второе достаточное условие экстремума.
Научиться вычислять экстремумы функций с помощью первой и второй производной.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
- применять первое и второе достаточное условие экстремума.
знать:
- понятие производная, экстремумы функции;
- определение максимума, минимума функции;
- первое и второе достаточное условие экстремума.
Задачи практической работы:
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Решить задачи.
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
Рабочая тетрадь в клетку
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех этой окрестности выполняется неравенство <(максимум) или >(минимум).
Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом), или экстремумом функции.
Первое достаточное условие экстремума
Пусть для функции  выполнены следующие условия:
функция непрерывна в окрестности точки ; или  не существует;
производная  при переходе через точку  меняет свой знак.
Тогда в точке  функция  имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку  производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку  производная меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная  при переходе через точку  не меняет знак, то экстремума в точке  нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию  на экстремум, необходимо:
найти производную ;найти критические точки, то есть такие значения , в которых  или  не существует;
исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
найти значение функции в экстремальных точках.
Пример 1.
Задание. Исследовать функцию  на экстремум.
Решение. Находим производную заданной функции:

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение :
Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку  производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем .
Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале производная , то на этом интервале функция  является убывающей; на интервале  производная , значит заданная функция возрастает на нем.
Ответ. 
Второе достаточное условие экстремума
Пусть для функции  выполнены следующие условия:
она непрерывна в окрестности точки ;первая производная  в точке ;
 в точке  .Тогда в точке  достигается экстремум, причем, если , то в точке  функция имеет минимум; если , то в точке  функция  достигает максимум.
Пример 2.
Задание. Исследовать функцию  на экстремум с помощью второй производной.
Решение. Находим первую производную заданной функции:

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

Вторая производная заданной функции:


В стационарной точке  вторая производная , а значит, в этой точке функция достигает минимум, причем .
Ответ. 
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
Что такое критические точки функции?
Сформулировать достаточные условия возрастания и убывания функции.
Какими точками отделяются промежутки возрастания от промежутков убывания функции?
Сформулируйте правила нахождения точек экстремума функции.
Задания для практического занятия:
Найти точки экстремума с помощью первой производной:



Найти точки экстремума с помощью второй производной:



Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
Основные источники:
1. Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
Тема 2.1.Дифференцирование сложных функций
Название практической работы № 5:
«Точки перегиба».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба», закрепить умения применять производную к исследованию функций,
Учебные задачи:
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
Научиться определять направление выпуклости графика функции с помощью второй производной.
Научиться вычислять точки перегиба.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
- применять правило нахождения точек перегиба.
знать:
- понятие производная, направление выпуклости графика функции;
- определение точек перегиба;
- правило нахождения точек перегиба.
Задачи практической работы:
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Решить задачи.
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
Рабочая тетрадь в клетку
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Определение: Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
26346151162050069469011620500 y y x xОпределение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Определение: Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
118745011430000
y xТочками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения точек перегиба графика функции
Найти вторую производную .Найти критические точки II рода функции , т.е. точки, в которой обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак второй производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции. Если при этом критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то является абсциссой точки перегиба графика функции.
Вычислить значения функции в точках перегиба.
Пример 1: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: .
Решение: Находим , .
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение . .
2
+ 0 -
точка
перегиба
16

Ответ: Функция выпукла вверх при ;
функция выпукла вниз при ; точка перегиба .Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
Дайте определение выпуклости кривых.
Дайте определение точек перегиба.
Сформулируйте правило нахождения точек перегиба графика функции
Задания для практического занятия:
Найти точки перегиба.
Вариант 1 : Вариант 2 :
Вариант 3 : Вариант 4 :
Вариант 5: Вариант 6:
Вариант 7 : Вариант 8 :
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
Основные источники:
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. – СПб.: Лань, 2009. – 192 с.
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.
Тема 2.2. Исследование функций и построение графиков.
Название практической работы №6:
«Построение графика непрерывной функции».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Исследование функций и построение графиков», закрепить умения применять производную к исследованию функций,
Учебные задачи:
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
Научиться исследовать и строить графики функций с помощью производной.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
- исследовать и строить графики функций с помощью производной.
знать:
- схему построения графиков функций с помощью производной.
Задачи практической работы:
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Решить задачи.
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
Рабочая тетрадь в клетку
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Общая схема для построения графиков функций
Найти область определения функции .Найти точки пересечения графика функций с осями координат.
Исследовать функцию на четность или нечетность.
Исследовать функцию на периодичность.
Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.
Найти асимптоты функции.
По результатам исследования построить график .Пример: Исследовать функцию и построить ее график:
.
Решение:
Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения .Найдем точки пересечения с осями координат:
с осью ОХ : решим уравнение
.
с осью ОY:
Выясним, не является ли функция четной или нечет
ной:
.
Отсюда следует, что функция является нечетной.
Функция непериодична.
Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .Критические точки: . -1 1
+ 0 - 0 +
9334511684000 т. max
2 14605011684000 т. min
-2

Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
Критические точки: . 0
- 0 +
4762515113000 точка
перегиба
0 1517651397000

Функция непрерывна, асимптот у нее нет.
По результатам исследования построим график функции:
47498011112500 y 2
x
-2
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:
Дайте определение выпуклости кривых.
Дайте определение точек перегиба.
Сформулируйте правило нахождения точек перегиба графика функции
Задания для практического занятия:
1. Исследовать функцию и построить ее график.
Вариант 1 : Вариант 2 :
Вариант 3 : Вариант 4 :
Вариант 5: Вариант 6:
Вариант 7 : Вариант 8 :
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
Основные источники:
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. – СПб.: Лань, 2009. – 192 с.
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.
Раздел 3. Интегральное исчисление
Тема 3.1. Неопределенный интеграл.
Название практической работы № 7:
«Нахождение неопределенных интегралов методом непосредственного вычисления».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Неопределенный интеграл», закрепить умения находить неопределенный интеграл методом непосредственного вычисления.
Учебные задачи:
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
Научиться находить неопределенный интеграл методом непосредственного вычисления.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
решать задачи на отыскание первообразной функции;
применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания неопределенного интеграла;
решать задачи на отыскание неопределенного интеграла с помощью преобразования подынтегральных выражений.
знать:
понятие первообразной функции;
понятие неопределенного интеграла;
основные правила и формулы интегрирования
Задачи практической работы:
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Решить задачи.
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
Рабочая тетрадь в клетку
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если или .
Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Определение: Совокупность F(x)+С всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается: .Основные свойства неопределенного интеграла:
1. 2. ;
3. 4. ;
5. ; 6. .
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование предполагает использование при нахождении неопределенных интегралов таблицы интегралов
Таблица интегралов


















Пример 1: Найти неопределенный интеграл:
.
Решение: =
=


.
Пример 2: Найти неопределенный интеграл: .Решение: =
.
Пример 3: Найти неопределенный интеграл
Решение: =

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
В чем заключается смысл действия, обратного дифференцированию?
Дать определение первообразной функции
Чем отличаются друг от друга любые две первообразные данной функции?
Как проверить, правильно ли найдена первообразная данной функции ?
Дать определение неопределенного интеграла.
Перечислить свойства неопределенного интеграла
Задания для практического занятия:
Задание № 1. Найти неопределенный интеграл, пользуясь таблицей основных интегралов.
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 11) 12)
13)
Задание № 2. Найти неопределенный интеграл, преобразуя выражения стоящие под знаком интеграла.
14) 15)
16) 17)
18) 19)
20)
Вариант 1:
а) б) в)
Вариант 2:
а) б) в)
Вариант 3:
а) б) в)
Вариант 4:
а) б) в)
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
Основные источники:
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. – СПб.: Лань, 2009. – 192 с.
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.
Раздел 3. Интегральное исчисление
Тема 3.1. Неопределенный интеграл.
Название практической работы № 8:
«Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменной».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Неопределенный интеграл», закрепить умения находить неопределенный интеграл методом замены переменной.
Учебные задачи:
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
Научиться находить неопределенный интеграл методом замены переменной.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
решать задачи на отыскание первообразной функции;
применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания неопределенного интеграла;
решать задачи на отыскание неопределенного интеграла методом замены переменной.
знать:
понятие первообразной функции;
понятие неопределенного интеграла;
основные правила и формулы интегрирования
Задачи практической работы:
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Решить задачи.
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
Рабочая тетрадь в клетку
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Метод подстановки в неопределенном интеграле (метод замены переменной)
Этот метод заключается в том, что заменяют переменную х на,где -непрерывно дифференцируемая функция, полагают и получают
При этом получают искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t значением , которое находится из соотношения .
Рассмотрим нахождение интегралов методом подстановки.
Пример 1: Найти неопределенный интеграл
Решение:=

Пример 2: Найти неопределенный интеграл
Решение:
=
Пример 3: Найти неопределенный интеграл
Решение:=
Пример 4: Найти неопределенный интеграл
Решение:=
==.
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
Что называется первообразной функции f(x)?
Что называется неопределенным интегралом функции f(x)?
Сформулируйте теорему о множестве первообразных функции f(x)?
Перечислите известные вам методы интегрирования.
Охарактеризуйте каждый из них.
Задания для практического занятия:
Задание № 1. Найти неопределенный интеграл, пользуясь методом замены переменной.
Вариант 1:
а) б)
Вариант 2:
а) б)
Вариант 3:
а) б)
Вариант 4:
а) б)
Задание № 2. Найти неопределенный интеграл.
6.
7.
8.
9.
10.
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
Основные источники:
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. – СПб.: Лань, 2009. – 192 с.
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.
Тема 3.2. Определенный интеграл.
Название практической работы студента №9:
«Вычисление определенного интеграла различными способами».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Определенный интеграл», закрепить умения вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница различными методами.
Учебные задачи:
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
Научиться находить определенный интеграл различными методами.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
решать задачи на отыскание первообразной функции;
применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания определенного интеграла;
решать задачи на вычисление определенного интеграла.
знать:
понятие первообразной функции;
понятие определенного интеграла;
основные правила и формулы интегрирования.
Задачи практической работы:
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Решить задачи.
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
Рабочая тетрадь в клетку
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Определенный интеграл и его свойства
Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку k и обозначим через длину каждого такого отрезка.
Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида

Определение: Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл
Простейшие свойства определенного интеграла
Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
Отрезок интегрирования можно разделить на части:

с-точка, лежащая между а и b.
6) Если на отрезке , то .
Для вычисления определенного интеграла от функции , в том случае , когда можно найти соответствующую первообразную , служит формула Ньютона-Лейбница:
=F(b)-F(a)
Рассмотрим нахождение простейших определенных интегралов.
Пример 1: Вычислить определенный интеграл .Решение: =
Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .Решение:

.
Вычисление определенного интеграла методом замены переменной
При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки или в определенный интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами t1 и t2, которые находятся из исходной подстановки.
Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: .Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений .Таким образом, имеем

Пример 1: Вычислить определенный интеграл методом замены переменной
Решение: =
.
Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .Решение:

.
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
Дать определение определенного интеграла.
Перечислить свойства определенного интеграла.
Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
В чем отличия методов замены переменной в определенном и неопределенном интегралах?
Задания для практического занятия:
Задание № 1. Вычислить определенный интеграл.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
Основные источники:
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. – СПб.: Лань, 2009. – 192 с.
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.
Тема 3.2. Определенный интеграл.
Название практической работы студента №10:
«Вычисление площадей криволинейных фигур с помощью определенного интеграла путем сведения фигуры к криволинейной трапеции».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Определенный интеграл», закрепить умения »; закрепить умения интегрировать функцию, используя таблицу основных интегралов, сформировать умения вычислять площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла.
Учебные задачи:
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
Научиться вычислять площадь криволинейных фигур с помощью определенного интеграла.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
решать задачи на отыскание первообразной функции;
применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания определенного интеграла;
решать задачи на вычисление определенного интеграла;
решать задачи на вычисление площади криволинейной трапеции.
знать:
понятие первообразной функции;
понятие определенного интеграла;
основные правила и формулы интегрирования;
понятие криволинейной трапеции;
правила вычисления площади криволинейной трапеции.
Задачи практической работы:
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Решить задачи.
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
Рабочая тетрадь в клетку
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
План вычисления площади криволинейной трапеции:
Схематический чертеж.
Представление искомой площади как суммы или разности площадей.
Записать каждую функцию в виде y = f(x).
Вычислить площадь каждой криволинейной трапеции или площади искомой фигуры.
Площади фигур.
297942034290002362205715000 у у
S х
х S


Если рассмотренная фигура не является криволинейной трапецией, тогда площадь нужно представить как сумму или разность криволинейных трапеций.
251904580010004800608001000
m n
S1 S2
a b
S = S1 + S2 S = S amb – S anbВопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
Что называется первообразной функции f(x)?
Что называется определенным интегралом функции f(x)?
Формула Ньютона-Лейбница.
Свойства определенного интеграла.
Сформулируйте понятие криволинейной трапеции.
Сформулируйте правила нахождения площади криволинейной трапеции.
Задания для практического занятия:
Задание № 1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями.
1) x – y + 2 = 0, y = 0, x = -1, x = 2 2) x – y + 3 = 0, x + y – 1 = 0, y = 0
3) y = x2, y = 0, x = 0, x = 3 4)
6) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π/2
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
Основные источники:
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. – СПб.: Лань, 2009. – 192 с.
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.

Колотова Ольга Викторовна
Преподаватель математики
ГАПОУ СО «Екатеринбургский экономико-технологический колледж»
СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
40.02.01 право и организация социального обеспечения
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ