Методическое пособие для подготовки к ОГЭ по теме: «Функции и графики функций».

Методическое пособие для подготовки к ОГЭ по теме: «Функции и графики функций».
Данное задание требует умения строить и читать графики изученных функций, определять значение функции (аргумента) по значению аргумента (функции) при различных способах задания функции, определять свойства функции по её графику (промежутки возрастания, убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения).
Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y - зависимой переменной . Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.
Записывают так: y=fx, где f- данная функция, т.е. функциональная зависимость между переменными x и y; fx есть значение функции, соответствующее значению аргумента x ( говорят также, что fx есть значение функции в точке x).
Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Обозначают: D(f).Все значения, которые принимает функция fx (при x, принадлежащих области её определения), образуют область значений функции. Обозначают: E(f).Способы задания функции.
Название Описание Пример
Аналитическое задание функции Задание функции с помощью формулы y=fx, где fx - выражение с переменной x. y=2x2+3Табличное задание функции Задание с помощью таблицы, указывающей значения функции для имеющихся в таблице аргументов. x0 1 -1 2
fx3 5 5 11
Графическое задание функции Задание с помощью графика.
Словесное задание функции (описательное)
Задание функции с помощью словесного описания. Значение функции равно квадрату аргумента.
Чётные и нечётные функции.
Функция y=fx называется чётной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство
f-x=fx. Функция y=fx называется нечётной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство
f-x=-fx.
Свойство: Если функция является чётной, то её график симметричен относительно оси ординат. Свойство: Если функция является нечётной, то её график симметричен относительно начала координат.
Периодические функции.
Функция y=fx называется периодической, если существует такое отличное от нуля число T, такое что для любого x из области определения функции справедливо равенство
fx+T= fx=fx-T.Число T называется периодом функции y=fx.
Монотонные функции.
Функция y=fx называется возрастающей на промежутке X, если для любых x1 и x2 из X, таких, что любых x1< x2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2), т.е.
x1< x2 f(x1)<f(x2)Функция y=fx называется убывающей на промежутке X, если для любых x1 и x2 из X, таких, что любых x1< x2, выполняется неравенство f(x1)>f(x2), т.е.
x1< x2 f(x1)>f(x2)Наибольшее и наименьшее значения функции.
Значение функции y=fx в точке x0 называется наибольшим значением этой функции на множестве X, если для любого x∈X выполняется неравенство yx0≥ yx.Значение функции y=fx в точке x0 называется наименьшим значением этой функции на множестве X, если для любого x∈X выполняется неравенство y(x0)≤ y(x). Обозначается: yнаиб= yx0Обозначается: yнаим= yx0
Справедливы утверждения:
1) Если у функции существует yнаим , то функция ограничена снизу.
2) Если у функции существует yнаиб , то функция ограничена сверху.
3) Если функция не ограничена снизу, то yнаим не существует.
4) Если функция не ограничена сверху, то yнаиб не существует.
Графики элементарных функций.
Линейная функция y=kx+b(k>0,b>0) Линейная функция y=kx+b(k>0,b<0) Линейная функция y=kx+b(k<0, b>0) Линейная функция y=kx+b(k<0, b<0) Линейная функция y=kx+b(k=0,b>0) Линейная функция y=kx+b(k=0,b<0)
k - угловой коэффициент прямой. Графиком линейной функции является прямая.
Прямая пропорциональность
y=kx (k>0, b=0) Прямая пропорциональность
y=kx(k<0, b=0) Обратная пропорциональность
y=kx (k>0) Обратная пропорциональность
y=kx (k<0) Функция y=x
k - угловой коэффициент прямой. Графиком линейной функции является прямая. График функции y=kx называется гипербола .Функция y=ax3(a>0)
Функция y=ax3(a<0)
Функция
y=x
Функция
y=3x
График функции y=ax3 называется кубическая парабола. Квадратичная функция
Функция y=ax2(a>0)
Функция y=ax2(a<0) Функция y=ax2+bx+c(a>0) Функция y=ax2+bx+c(a<0)
График квадратичной функции называется параболой.
Подготовительные задания.
1. Укажите номер рисунка, на котором изображена:
а) гипербола;
б) прямая;
в) парабола;
г) кубическая парабола.
1) 2) 3) 4)

2. Найдите значение k по графику функции y=kx, изображённому на рисунке

3. Найдите значение k по графику функции y=kx, изображённому на рисунке

4. По графику функции y=ax2+bx+c , изображённому на рисунке, найдите:
а) значение c ;б) значение a;
в) значение b.

5. На рисунке изображён график квадратичной функции y=fx.
Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера.
1) Функция убывает на промежутке -1;+∞);2) fx>0 при x<-1 и при x>2;3) Наименьшее значение функции равно -9.
4) f0>f(1);
5) Функция возрастает на промежутке -2;3);6) Наибольшее значение функции равно 1.
Примеры заданий с решениями.
№1. На рисунке изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками.
Графики
1 2 3 4
Коэффициенты
А) k>0, b<0;Б) k>0, b>0;
В) k<0, b<0.
Решение.
Графиком функции вида y=kx+b является прямая, направление которой определяется знаками коэффициентов k и b.
k<0k>0
Используя данную таблицу, определяем по графику знаки коэффициентов k и b.
1 2 3 4
k<0 b<0k>0 b<0k>0 b>0k<0 b>0Вывод:
А Б В
2 3 1
Ответ: 231.
№2. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.
Формулы
A) y=-3x Б) y=-13x В) y=13x
Графики
1) 2) 3)
Решение.
Графиком функции вида y=kx является прямая, которая проходит через точку (0;0) направлена в соответствии со знаком коэффициента k.
k<0k>0
Используя таблицу, определяем по графику знаки коэффициента k.
1) 2) 3)
k<0 k<0 имееют две формулы A) y=-3x и Б) y=-13x. Для определения значения коэффициента выберем произвольную точку графика, например (1;-3) и подставим в формулу общего вида y=kx. Получаем -3=k∙1 k=-3:1 k=-3. Значит данному графику соответствует формула A) y=-3x . k>0 k>0 имеет формула В) y=13x k<0 k<0 имееют две формулы A) y=-3x и Б) y=-13x. Для определения значения коэффициента выберем произвольную точку графика, например (3;-1) и подставим в формулу общего вида y=kx. Получаем -1=k∙3 k=-1:3 k=-13. Значит данному графику соответствует формула Б) y=-13x .Вывод:
А Б В
1 3 2
Ответ: 132.
№3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы
А) y=19x Б) y=9x В) y=-9xГрафики
1 2 3 4

Решение.
Графиком функции y=kx является гипербола, расположение которой определяется знаком коэффициента k.
k>0k<0
Используя таблицу, определяем по графику знаки коэффициента k.
1 2 3 4
По графикам 1 и 2 определяем , что k<0, что соответствует формуле В) y=-9x. Для определения соответствующего графика подставим координаты произвольной точки каждого графика в формулу. По графикам 3 и 4 определяем , что k>0, что соответствует формулам А) y=19x и Б) y=9x . Для определения соответствующего графика подставим координаты произвольной точки каждого графика в формулу.
Выберем произвольную точку графика, например x=1 и подставим в формулу В) y=-9x. Получаем -91=-9 , что не соответствует графику( при x=1 значение y>-1).
Выберем произвольную точку графика, например (3;-3) и подставим в формулу В) y=-9x. Получаем -3=-93
-3=-3.
Вывод: В 2 . Выберем произвольную точку графика, например (3;3) и подставим: Выберем произвольную точку графика, например x=1 и подставим
в оставшуюся формулу А) y=19x.Получаем
y=19 ∙1=19, что соответствует графику( при x=1 значение y<1).
Вывод: А 4.
в формулу
А) y=19x.
Получаем 3≠19 ∙ 3
3≠127 . в формулу Б) y=9x. Получаем 3=93
3=3.
Вывод: Б 3. Анализируя все рассуждения получаем А Б В
4 3 2
Ответ: 432.
№4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы
1) y=x2-2 2) y=x2 3) y=2x 4) y=-2xГрафики
А) Б) В)

Решение.
А) Б) В)
Графиком является парабола, соответствующая формуле 1) y=x2-2 (функция вида y=x2, сдвинута на 2 единицы вниз). Графиком является гипербола, соответствующая формуле 4) y=-2x.
Графиком является прямая, соответствующая формуле 3) y=2x.
Вывод: А Б В
1 4 3
Ответ: 143.
№5. На рисунке изображены функции вида y=ax2+bx+c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) Б) В)
Коэффициенты
1) a<0, c>0; 2) a<0, c<0; 3) a>0, c<0; 4) a>0, c>0.
Решение.
Для определения знака коэффициента a замечаем, что
a<0 - ветви параболы направлены вниз;
a>0 - ветви параболы направлены вверх.
Для определения знака коэффициента c находим координату точки пересечения параболы с осью Oy, это значение равно коэффициенту c.
А) Б) В)
a>0, c>0a>0, c<0 a<0, c>0Вывод: А Б В
4 3 1
Ответ: 431.
№6. На рисунке изображены функции вида y=ax2+bx+c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.
Графики
А) Б) В) Г)
Знаки чисел
1) a>0, D>0;2) a>0, D<0;3) a<0, D>0;4) a<0, D<0.Решение.
Графиком функции вида y=ax2+bx+c является парабола.
При этом возможны следующие случаи:
a>0a<01. Парабола пересекает ось x (т.е. уравнение ax2+bx+c=0 имеет два корня, D>0 ).
2. Парабола не пересекает ось x (т.е. уравнение ax2+bx+c=0 не имеет корней, D<0 ).
3. Парабола пересекает ось x в одной точке (т.е. уравнение ax2+bx+c=0 имеет один корень, D=0).
Используя таблицу, определяем по графику знаки значения коэффициента a и дискриминанта D.
А) Б) В) Г)
a>0, D>0a<0, D<0a>0, D<0a<0, D>0Вывод: А Б В Г
1 4 2 3
Ответ: 1423.
№7. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) Б) В)
Формулы
1) y=2x2+6x+3 2) y=2x2-6x+3
3) y=-2x2-6x-3
4) y=-2x2+6x-3 .
Решение.
А) Б) В)
По графику можно определить, что a<0, c=-3, но этому условию соответствует две функции :
3) y=-2x2-6x-3
4) y=-2x2+6x-3
Для дальнейшего определения найдём абсциссу вершины параболы x0=-b2 ∙a .По графику можно определить, что a>0, c=3, но этому условию соответствует две функции :
1) y=2x2+6x+32) y=2x2-6x+3
Для дальнейшего определения найдём абсциссу вершины параболы x0=-b2 ∙a .По графику можно определить, что a<0, c=-3, но этому условию соответствует две функции :
3) y=-2x2-6x-3
4) y=-2x2+6x-3.
Для дальнейшего определения найдём абсциссу вершины параболы x0=-b2 ∙a . 3)
y=-2x2-6x-3
x0=--62 ∙-2=6-4= x0=-1,5.
Вывод: А 34)
y=-2x2+6x-3
x0=-62 ∙-2=-6-4= x0=1,5 - не соответствует графику.
1)
y=2x2+6x+3
x0=-62 ∙ 2=-64= x0=-1,5.
Вывод: Б 12)
y=2x2-6x+3
x0=-(-6)2 ∙ 2=64= x0=1,5 - не соответствует графику.
3)
y=-2x2-6x-3
x0=--62 ∙-2=6-4= x0=-1,5 - не соответствует графику.
4)
y=-2x2+6x-3
x0=-62 ∙-2=-6-4= x0=1,5.
Вывод: В 4Анализируя все рассуждения получаем А Б В
3 1 4
Ответ: 314.
№8. На рисунке изображены графики функций вида y=ax2+bx+c. Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.
Утверждения
А) Функция возрастает на промежутке
Б) Функция убывает на промежутке Промежутки
1) 0;3 2) -1;1 3) 2;4 4) 1;4Решение.
1) [0;3] 2) [-1;1] 3) [2;4] 4) [1;4]

Вывод: функция на данном промежутке не монотонна. Вывод: функция на данном промежутке возрастает, т.е. А 2 .Вывод: функция на данном промежутке убывает, т.е. Б 3 .Вывод: функция на данном промежутке не монотонна.
Анализируя все рассуждения получаем А Б
2 3
Ответ: 23.
№9. На рисунке изображён график квадратичной функции y=fx.
Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера.
1) fx>0 при x>2;
2) Функция убывает на промежутке 2;+∞);3) f0<f5.Решение.
1) fx>0 при x>22) Функция убывает на промежутке 2;+∞)3) f0<f5
Вывод: утверждение не верно. Вывод: утверждение верно. Вывод: утверждение не верно.
Ответ: 2.
Задания для самостоятельного решения.
Зачётные задания.
1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.
Графики функций
А) Б) В)
Формулы
1) y=x+3 2) y=-3x 3) y=3 4) y=3x .
2. На рисунке изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками.
Графики
1 2 3 4
Коэффициенты
А) k<0, b<0;Б) k<0, b>0;
В) k>0, b<0.
3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) Б) В)
Формулы
1) y=-16x 2) y=16x 3) y=-6x 4) y= 6x .
4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы
1) y=x2+2 2) y=-2x 3) y=2x 4) y=xГрафики
А) Б) В)
5. На рисунке изображены функции вида y=ax2+bx+c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) Б) В)
Коэффициенты
1) a>0, c<0; 2) a<0, c<0; 3) a>0, c>0; 4) a<0, c>0.
6. На рисунке изображены функции вида y=ax2+bx+c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.
Графики
А) Б) В) Г)
Знаки чисел
1) a>0, D>0;2) a>0, D<0;3) a<0, D>0;4) a<0, D<0.7. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) Б) В)
Формулы
1) y=x2+7x+16 2) y=-x2-7x-16
3) y=-x2+7x-16
4) y=x2-7x+16
8. На рисунке изображён график квадратичной функции y=fx.
Какие из следующих утверждений о данной функции являются неверными? Запишите их номера.
1) f(x)<0 при x<1;2) Наибольшее значение функции равно 3;
3) f0>f4.9. На рисунке изображены графики функций вида y=ax2+bx+c. Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.

Утверждения
А) Функция возрастает на промежутке
Б) Функция убывает на промежутке Промежутки
1) 2;5 2) 0;1 3) -3;-1 4) -2;2