Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Красногвардейская школа №1»
Материал для подготовки к ЕГЭ
по теме:
«Применение производной.
Различные способы составления уравнения касательной к графику функции»
Составили учителя математики
Коваленко И.Н., Строган Л.А.
2015г.
Пояснительная записка
Задания на составление уравнения касательной к графику встречаются на вступительных экзаменах, на централизованном тестировании, в вариантах ЕГЭ. Данный материал содержит теорию и практические задания, поможет учащимся самостоятельно подготовиться по теме: «Применение производной».
Способы составления уравнения касательной
к графику функции
Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .
Возьмем на касательной произвольную точку с координатами:
И рассмотрим прямоугольный треугольник :
В этом треугольнике
Отсюда
Или
Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .
Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .
Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.
1. Дана точка касания
2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .
3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.
Рассмотрим каждый тип задач.
1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке .а) Найдем значение функции в точке ..
б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:
Ответ: .
2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.
Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.
а) Найдем производную функции .
б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :
Приравняем каждый множитель к нулю, получим:
Ответ: 0;3;5
3. Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .
Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.
Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.
Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.
а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.
Сначала найдем уравнение производной.
Нам нужно найти производную дроби.
Приравняем производную к числу -1.
или
или
б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .
Найдем значение функции в точке .
(по условию)
Подставим эти значения в уравнение касательной:
.
б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .
Найдем значение функции в точке .
(по условию).
Подставим эти значения в уравнение касательной:
.
Ответ:
4. Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку
Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки в уравнение функции.
. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.
Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.
Найдем значение .Пусть - точка касания. Точка принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:
.
Значение функции в точке равно .
Найдем значение производной функции в точке .
Сначала найдем производную функции . Это сложная функция.
Производная в точке равна .
Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :
Решим это уравнение.
Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:
Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:
Упростим числитель дроби и умножим обе части на - это выражение строго больше нуля.
Получим уравнение
Это иррациональное уравнение.
Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.
Решим первое уравнение.
Решим квадратное уравнение, получим
или
Второй корень не удовлетворяет условию , следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .
Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение - мы его уже записывали.
Получим:
Ответ: