Уравнения касательной и нормали

Т е м а: Понятия касательной и нормали.
Уравнения касательной и нормали.
Цели:
Предметные: познакомить студентов с понятиями: касательная и нормаль к кривой; закрепить данные понятия при решении задач на составление уравнений касательной и нормали; выяснить, каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали.
Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию невраждебным для оппонентов образом; уметь слушать и слышать друг друга.
Познавательные: устанавливать причинно-следственные связи; выражать смысл ситуации различными средствами (рисунки, символы, схемы, знаки).
Регулятивные: принимать познавательную цель, сохранять ее при выполнении учебных действий, регулировать весь процесс их выполнения и четко выполнять требования познавательной задачи.
Личностные: формирование познавательного интереса к изучению нового, мотивации к самостоятельной и коллективной исследовательской деятельности.
Ход урока:
1. Актуализация опорных знаний студентов:
( Введение понятий касательной и нормали к кривой)
Мы знаем аналитический и физический смысл производной: ( ответы студентов:
аналитический смысл – это lim∆x→0∆y∆x , физический – это скорость процесса, заданного функцией).
Выясним геометрический смысл производной.
Для этого введём понятие касательной к кривой в данной точке.
Из школьного курса геометрии, вы знаете понятие касательной к окружности. ( ответы студентов: касательная к окружности определяется как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку).

Но такое определение касательной неприменимо для случая произвольной кривой. Например, для параболы y=x2 оси Ox и Oy имеют по одной общей точке с параболой. Однако ось Ox является касательной к параболе, а ось Oy – нет. Дадим общее определение касательной к кривой в данной точке.
Пусть M и M0– некоторые точки произвольной кривой L. M0M – секущая кривой. При приближении точки M к M0 по кривой секущая M0M будет поворачиваться вокруг точки M0.Определение. Предельное положение секущей M0M при неограниченном приближении точки M к M0 по кривой называется касательной к кривой в точке M0. Определение. Нормалью к кривой в точке М0 называется прямая, проходящая через точку М0, перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.

K Если M0K – касательная к кривой L в точке M0,
то M0N, перпендикулярная M0K будет нормалью к кривой L в точке M0.
M0 L N
Объяснение нового материала:
(Выясним, в чем заключается геометрический смысл производной , каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали).
Пусть кривая L является графиком функции y=fx. Точки М0x0;y0 и Mx;yлежат на графике функции. Прямая M0K – касательная к кривой L.
y L
y M
∆y K
y0 M0 y0 α 0 x0 ∆x x x
α - угол наклона касательной

Производная функции y=fx в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в точке x0 или угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. y'x0=tg α=k 1 Уравнение касательной к кривой y=fx в точке x0;y0 имеет вид
y-y0=yx0'x-x0 2 Уравнение нормали к кривой y=fx в точке x0;y0 имеет вид
y-y0=-1yx0'x-x0 (3)
Проблемные вопросы: посмотрите на уравнения касательной и нормали, в чем их различие и сходство?
Чему равно произведение yx0'(-1yx0')? Почему так происходит?
(Студенты должны дать следующие ответы на вопросы: -1, так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны)

Закрепление теоретического материала на практике:
(Решение задач в аудитории)
П р и м е р 1. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе y=x2 в точках 1;1, 2;4.
Решение. Из геометрического смысла производной (формула 1) угловой коэффициент касательной k=y'x0.
Найдём производную функции: y'=2x.
Найдём значение производной в точке x0=1. y'1=2∙1=2. Следовательно, k1=2.
Найдём значение производной в точке x0=2. y'1=2∙2=4. Следовательно, k2=4.
П р и м е р 2. У параболы y=4x-x24 проведены касательные в точках 0;0, 2;1. Найдите углы наклона касательных к оси Ох.
Решение. По формуле (1) y'x0=tg α.
Найдём y'. y'=14(4x-x2)'=144-2x=1-12x.
Вычислим значение производной в точке 0;0: y'0=1-12∙0=1.
Следовательно, tg α=1 и α=45°.
Аналогично в точке 2;1 y'2=1-12∙2=0.
Следовательно, tg α=0 и α=0°.П р и м е р 3. В какой точке касательная к кривой y=lnx наклонена к оси Ох
под углом π4 ?Решение. По формуле (1) y'x0=tg α.
y'=lnx'=1x ; tg α=tg π4=1. Следовательно, 1x=1 и x=1. Подставив x=1 в функцию y=lnx, получим y=ln1=0. Получили точку 1;0.
П р и м е р 4. Составить уравнение касательной и нормали к параболе y=x2-3x-1 в точке 3;-1.Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид y-y0=yx0'x-x0.
Из условия задачи x0=3, y0=-1. Найдём производную y'.
y'=x2-3x-1 '=2x-3; y'x0=y'3=2∙3-3=3.
Подставив все значения в уравнение 2, получим уравнение касательной
y+1=3∙x-3 или y=3x-10.
Составим уравнение нормали, воспользовавшись формулой 3:
y+1=-13∙x-3 или y=-13xЗадачи для самостоятельного решения:
1.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой y=x3 в точке С-2;-8.
2.Кривая задана уравнением y=x2+5x+3. Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси Ox, проведённых к кривой в точках в точках с абсциссами x=-2 и x=0.
3.На кривой y=4x2-6x+3 найти точку, в которой касательная параллельна прямой y=2x.
4.В какой точке касательная к кривой y=x2-1: а) параллельна оси Ox; б) образует с осью Ox угол 45°?
5.Найти абсциссу точки параболы y=-x2+x+34 , в которой касательная параллельна оси абсцисс.
6.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой y=3x2-2x+1 в точке 0,5;5.
7.В какой точке касательная к кривой y=x2+5 образует с осью Ox угол 30°?
8.В какой точке касательная к графику функции y=x+2x-2 образует угол 135°с осью Ox?
9.В какой точке касательная к графику функции y=2x3-3x2-4 параллельна оси абсцисс?
10.В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе y=x3 равен 3?
11.Найти угол наклона касательной к кривой y=112x3+5 в точке, абсцисса которой равна 2.
12.Составить уравнение касательной к параболе y=x2-4x в точке с абсциссой x0=1.13.Составить уравнение касательной к гиперболе y=1x в точке 1;1.
14.Составить уравнение касательной к кривой y=x3-4x2+8x+6 в точке 2;14.
15.Найти касательную к кривой y=x3+x в точке с абсциссой x=1.
Ответы: 1).12 2).45°, arctg 5 3).(1;1) 4).(0;-1) (0,5;-0,75) 5).1/2 6).1 7).(3/6;61/12) 8).(0:-1) (4;3) 9).(0;4) (1;-5) 10).(1;1) (-1;-1) 11). 45° 12).у = -2х-1 13).у = -х+2 14).у=4х+6 15).у = 4х-2.
Критерий оценки: «5»-15 заданий
«4»-11-14 заданий
«3»-8 заданий
4.Итоги урока: выставление оценок; + и – урока для студента (что понял и в чем еше предстоит разобраться?)
5.Домашнее задание: подготовить ответы на вопросы:
Дайте определение касательной к кривой.
Что называется нормалью к кривой?
В чём заключается геометрический смысл производной? Запишите формулу.
Запишите уравнение касательной к кривой в данной точке.
Запишите уравнение нормали к кривой в данной точке.
Решить задачи 1-15 по выбору критерия оценки; дополнительно по желанию: составить и решить карточку по данной теме.