Методические рекомендации по подготовке к ЕНТ по математике
Методические рекомендации по подготовке к ЕНТ по математике
«Мы прекрасно понимаем, что перспективы страны связаны не только с нефтью и газом, не только с промышленными гигантами, а с тем качеством образования, которое мы сможем дать подрастающему поколению. По состоянию системы образования можно судить о перспективах страны. Появление новых технологий и знаний, о которых мы даже не подозреваем, глобализация процессов развития позволяет дать двадцать первому веку определение как веку Знаний. Поэтому я со всей определенностью могу сказать: все, что служит системе образования, служит и будущему нашей страны»
Н.А. Назарбаев
ЕНТ как форма итоговой аттестации становится неотъемлемой частью современной системы школьного образования.
В настоящее время тестирование стало методом контроля знаний, умений и навыков, учащихся не только на уроках, но и во время экзаменов.
В условиях перехода к единой форме сдачи итоговой аттестации в форме ЕНТ становится актуальным вопрос о целенаправленной, системной, качественной подготовке учащихся к экзамену. Учащиеся должны уметь быстро ориентироваться среди данных вариантов ответов, а для этого надо знать и уметь применять эффективные способы решения. Ведь ЕНТ выявляет не только знания, которые дают на уроке, но и умение ориентироваться в предложенной схеме, уровень тестовой культуры, а также психологическую готовность демонстрировать свои знания и умения в непривычной обстановке . Как лучше подготовить к ЕНТ –этот вопрос сейчас волнует как учеников, родителей, так и учителей. Подготовка выпускников к ЕНТ является одним из направлений деятельности учителей математики. И я не исключение.
Цель данных методических рекомендаций: оказать помощь учителям математики в организации подготовки учащихся к ЕНТ и вывести подготовку учащихся к ЕНТ по математике на качественно новый уровень.
Задачи:
1. Углубление и расширение знаний учащихся по предмету.
2. Систематизация знаний.
3. Отработка навыков выполнения тестовых заданий.
4. Обучение работе с дополнительной литературой.
5. Развитие памяти, логического мышления, умения обобщать.
6. Научить применять различные «хитрости» и «логически выстроенные рассуждения» для получения ответа наиболее простым и быстрым способом.
Если в деятельности субъектов образовательного процесса при подготовке к ЕНТ по математике применяется эффективная система, включающая психологическую подготовку учащихся к тестированию, дифференцированный подход, тематическую работу по предмету, выполнение тестов в ограниченное время; отслеживание результатов на пробных тестированиях, то улучшится качество результатов ЕНТ.
Пути улучшения готовности учащихся к ЕНТ по математике.
- Чтобы достичь максимального результата на ЕНТ, нужно убедить учащихся в необходимости серьезного отношения к подготовке к ЕНТ, так как очень многие из учащихся старшей ступени школы переоценивают свои возможности.
- При проверке заданий выявлять проблемные зоны процесса тестирования учащихся по математике, а также в знаниях, умениях и навыках учеников, анализирует сущность ошибок и структурировать их.
- Часто , помогая учащимся подготовиться к ЕНТ, мы пытается прорешать как можно больше вариантов тестов предыдущих лет. Опыт показывает, что такой путь неперспективен Поэтому намного разумнее учить школьников общим универсальным приёмам и подходам к решению.
Принципы построения методической подготовки к ЕНТ:
Первый принцип – тематический. «Правило спирали» - от простых типовых заданий до заданий со звёздочками .
Второй принцип – на этапе подготовки тематический тест должен быть выстроен в виде логически взаимосвязанной системы, где из одного вытекает другое, т.е. выполненный сегодня тест готовит к пониманию и правильному выполнению завтрашнего.
Третий принцип – переход к комплексным тестам разумен только в конце подготовки, когда у школьников накоплен запас общих подходов к основным типам заданий и есть опыт их применения на заданиях любой степени сложности.
Четвёртый принцип – все тренировочные тесты следует проводить с жёстким ограничением времени.
Пятый принцип – максимализация нагрузки по содержанию и по времени для всех школьников в равной мере. Это необходимо, поскольку тест по определению требует всех ставить в равные условия и предполагает объективный контроль результатов.
Шестой принцип – нужно учиться использовать наличный запас знаний, применяя различные «хитрости» и «логически выстроенные рассуждения» для получения ответа наиболее простым и быстрым способом.
Основные направления деятельности учителя при подготовке к ЕНТ:
Начинайте формировать систему работы по подготовке к ЕНТ как можно раньше: с 5 класса приучайте ребят вести рукописный сборник правил,
С 5 класса приучайте учеников к различным видам тестового контроля (комплексное тестирование, тематическое тестирование, тесты открытые, закрытые и т. д.).
Учите школьников среднего звена анализировать результаты тестирования, выявлять свои успехи и недочёты.
Основываясь на сформированных ЗУНах, распределите учебный материал таким образом, чтобы каждый раздел курса математика был отработан по трём направлениям: повторение, систематизация, углубление.
Планируя систему контроля, проводите контрольные тестирования .Это могут быть комплексные или тематические тестирования.
Уже в 10 классе введите подготовку к ЕНТ в структуру урока. Выберите один из тестников и «порциями» давайте по 3 задания для выполнения на этапе актуализации знаний. На одном уроке используйте три разнотипных задания.
Используйте тесты на этапе проверки знаний как вид самостоятельной работы. Для этого вида работы лучше подходят тематические тесты (по теме урока).
Используйте тесты как один из видов домашнего задания.
Уже в 10 классе организуйте индивидуальные занятия.
Обязательно ведите количественный и качественный учёт всех видов тестирований для организации индивидуальных консультаций.
Анализ пробных тестирований проводите индивидуально, можно работать с группой учеников, допустивших однотипные ошибки.
Работайте с тестниками разных лет.
Используйте разные виды консультаций: «произвольную» консультацию (ответы на любые вопросы любого раздела ), тематическую консультацию (выбранную учителем на основании своего мониторинга), консультацию «по требованию» (ученик вне графика проведения консультации обращается с интересующим вопросом) и т. п.
При необходимости использую такой тактический приём: намеренно составляю сложные тесты, результаты которых должны озадачить и даже испугать ребят, то есть создаю «ситуацию неуспеха». А затем показываю пути выхода из сложной ситуации: делай вот так (даю алгоритм работы по подготовке к успешной сдаче ЕНТ ) - и всё будет хорошо.
Структура работы:
Теоретическое повторение материала по блокам, темам.
Закрепление в виде решения задач, развивающих логику, позволяющих установить причинно-следственную связь, диктантов на знание терминов, понятий, процессов.
Тестовый контроль, включающий в себя различные типы тестовых заданий по темам, которые мы изучаем.
Главное: краткость, наглядность, сущность.
По результатам пробных тестирований ведется мониторинг – это отслеживание результатов с целью коррекции.
После результатов пробного тестирования, тестового тематического контроля с целью коррекции знаний проводятся индивидуальные консультации с каждым учащимся или группой учащихся допустивших однотипные ошибки.
Обязательно ведется письменный сравнительный анализ допущенных ошибок при пробном тестировании. Также каждый ученик по установленной форме проводит анализ индивидуальных ошибок, допущенных при тестировании.
На основе данных мониторингов предметником составляются рекомендации по недопущению ошибок при дальнейших тестированиях.
«Тысяча учителей – тысяча методов».
Китайская пословица
Научить максимально использовать свой наличный запас знаний, применяя различные «хитрости» для получения ответа наиболее простым и быстрым способом.
Для развития познавательного интереса к предмету и успешной сдачи ЕНТ , предлагаю: некоторые способы быстрых вычислений, исторический материал, старинные способы решения задач, хитрые приемы при решении задач в которых ответ находится сам собой, почти автоматически без серьезных усилий со стороны решающего…
Раздел1 Задачи на смеси и сплавы
Задачи на смеси и сплавы вызывают наибольшие затруднения у школьников. В процессе решения каждой такой задачи целесообразно действовать по следующей схеме.
1. Изучение условия задачи. Выбор неизвестных величин (их обозначаем буквами х, у и т.д.), относительно которых составляем пропорции. Выбирая неизвестные параметры, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.
2. Поиск плана решения. Используя условия задачи, определяем все взаимосвязи между данными величинами.
3. Осуществление плана, т.е. оформление найденного решения – переход от словесной формулировки к составлению математической модели.
4. Изучение полученного решения, критический анализ результата.
При решении задач на смеси часто путают проценты и доли, раствор и растворенное вещество. Необходимо помнить, что массовая доля находится делением значения процентной концентрации на 100%, а масса растворенного вещества m(в-ва) равна произведению массы раствора m(р-ра) на массовую долю:
m(в-ва) = m(р-ра).
В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, иллюстративные рисунки или вспомогательные таблицы.
Задача . В каких пропорциях нужно смешать а%-й и b%-й растворы кислоты (a < b), чтобы получить с%-й раствор?
1 способ
Возьмем х г а%-го раствора и у г b%-го раствора кислоты. Составим таблицу: Kонцентрация раствора, % Масса раствора, гМасса кислоты,гaх0,01ax
bу0,01by
c (смесь)x + y0,01c(x + y)
Составим и решим уравнение:
0,01ах + 0,01by = 0,01c(x + y),
(b – с)у = (с – а)х,
x : у = (b – с) : (с – а).
2 способ
Воспользуемся диагональной схемой:
В этой схеме а и b – концентрации исходных растворов, с – требуемая концентрация кислоты в процентах, а «крест-накрест» – записаны их разности (b – с) и (с – а), соответствующие отношению масс растворов а и b.
Задача : Имеется лом стали двух сортов содержанием никеля 5 % и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля 30%?
Решение:
5% 40-30=10
30%
40% 30-5=25
Значит, отношение никеля в ломе составляет
10: 25 = 2:5
140 : 7 – 20, значит I сорта надо взять 20 х 2 = 40 т,
II - 100 т.Ответ: 40 т, 100 т.
Задачи в которых говорится, что нужно смешать два вещества и получить новое вещество , можно решать по формуле: m1 n1 + m2 n2 = n3 (m1 + m2)
где m - масса вещества, a n - процентное содержание его в смеси или сплаве.
Задача: смешали 300 гр 50% и 100 гр 30% раствора кислоты . Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси.
Решение: 300· 50 + 100 · 30 = х (300 + 100)
Ответ: 45 %
В задачах, где говорится об изменениях в одном и том же веществе, применяется формула:
m1 n1 = m2 n2,
где m1 и n1 – это масса и процентное содержание вещества до изменения, а m2 и n2 – масса и процентное содержание вещества после изменения.
Задача1: Сколько воды следует добавить к 40 кг 5 % - го раствора соли в воде, чтобы получить 4 % - ный раствор.
Решение: так как в данном растворе не меняется масса самой соли, то составим равенство
m1 n1 = m2 n2
40 · 5 = (40 + х) · 4 , х = 10 кг
Ответ: 10 кг
Задача:
1. Цену на машину сначала снизили на 15%, а затем повысили 10%. Сколько процентов от первоначальной стоимости составляет теперь цена машины?
0,85 · 1,1 = 0, 935 93,5%
Тренажёр Задачи на смеси и сплавы
№1 Смешали 30%-ый и 10% -ый растворы соляной кислоты. Получили 600 г 15%- го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
А) 150г и 450г
В)250г и 350г
С)220г и 380г
Д)125г и 475г
Е)300г и 300г
№2 : Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2 : 3, а другая – в отношении 3 : 7. По сколько ведер нужно взять из каждой бочки, чтобы получить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода находятся в отношении 3 : 5?
А)2 и 10
В)5 и 7
С)6 и 6
Д)4 и 8
Е) 3 и 9
№3 Один раствор содержит 30% ( по объёму) азотной кислоты, а второй 55% азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго растворов, чтобы получить 100л 50% - ного раствора азотной кислоты?
А) 40л,60л
В) 20л, 80л
С)25л, 75л
Д) 22л,78л
Е)30л,70л
№4 Свежая малина содержит 85 % воды, а сухая – 20 %. Найдите массу сухой малины, если свежая была весом 36 кг.
А) 6кг
В) 25,4кг
С) 6,75кг
Д) 6,7кг
Е) 6,785кг
№5 Хранившееся на складе зерно имело влажность 20%. После просушивания влажность его стала 15 %. При первоначальной влажности на складе было 51т зерна. После просушивания масса зерна стала равна:
А) 48,7т
В) 50,7т
С) 48т
Д) 38т
Е) 50т
№6 Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов, из 22 кг свежих?
А) 2,25кг
В)2,5кг
С)15кг
Д)1,85кг
Е)1,5кг
№7Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие 20% воды. Сколько нужно взять свежих грибов, что бы получить 4,5 кг сухих?
А) 25кг
В)22,5кг
С)15кг
Д)36кг
Е)31,5 кг
№8 В свежем хлебе содержится 45% воды, сколько получится килограммов сухарей из 255кг хлеба с содержанием воды 15%.
А)165кг
В)200кг
С)195,5кг
Д)150кг
Е)205кг
№9 Сухие фрукты содержат 20% воды, а свежие 72% воды. Чтобы получить 7 кг сухих фруктов, свежих надо взять?
А) 24,5кг
В)70кг
С)28кг
Д)20 кг
Е) 35кг
№10 Имеется 500кг целлюлозной массы, содержанием 85% воды. Сколько килограммов целлюлозы останется после выпарки, чтобы оставшаяся масса содержала 75% воды?А) 170 кг
В) 300кг
С)223кг
Д) 350 кг
Е) 420кг№11 Влажность свежей скошенной травы составляет 85%. Сколько испарилось воды из 1 т травы, если ее влажность после сушки составила 75 % ?
А) 500кг
В) 400кг
С)600кг
Д) 300кг
Е) 700кг
№12 Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляет 98%. После подсушивания их влажность составила 93%. Какова масса грибов после подсушивания?
А)42кг
В)38кг
С) 32кг
Д)36кг
Е) 40кг
№13 Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды нужно добавить к 80 кг морской, чтобы концентрация соли составила 4%.
А) 10кг
В)15кг
С) 20кг
Д) 56кг
Е) 22,5кг
№14 Морская вода содержит 8% соли. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5 %?
А) 15кг
В)18кг
С) 20кг
Д) 5кг
Е) 22,5кг
№15 Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену снизили на 25%. На сколько всего процентов снизили первоначальную цену?
А) 40%
В) 60%
С)35%
Д) 20%
Е) 45%
№16. Зарплату токарю повысили сначала на 10%, а затем, через год, еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата токаря по сравнению с первоначальной?
А) 30%
В) 25%
С) 32%
Д) 15%
Е) 45%
№17 Некоторый товар сначала подорожал на 10%, а затем подешевел на 10%. Как изменилась цена этого товара?
А) цена уменьшилась на 1%.
В) цена уменьшилась на10%
С) цена увеличилась на10%
Д) цена уменьшилась на15%
Е) цена увеличилась на1%
№18. Цену товара сначала снизили на 20 %, затем новую цену снизили еще на 15%. На сколько процентов снизили первоначальную цену товара?
А) 32%
В) 35%
С) 25%
Д) 30%
Е)45%
Приёмы решения квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений по «коэффициентам»
Пусть дано квадратное уравнение
ах2 + bx + c = 0.
Если а + b + c = 0, то х1 = 1, х2 = с/а
Если а + c = b , то х1 = -1, х2 = - с/а
Примеры:
1. Решить уравнение 12х2 – х – 11 = 0 .
Решение: Так как 12 -1- 11 = 0, то х1 = 1,
х2 = -11/12
Ответ: 1; -11/12
2. Решить уравнение 7х2 + 3 х – 4 = 0 .
Решение: Так как 7 – 4 = 3,
то х1 = -1, х2 = 4/7
Ответ: - 1; 4/7
Способ «переброски старшего коэффициента»
Пример: Решить уравнение
6х2 – 11х – 2 = 0 .
Решение
Заменим данное уравнение на уравнение вида: t2 – 11t – 2· 6 = 0
t2 – 11t – 12 = 0
Так как 1 – 12 = - 11, то t1 = -1 , t2 = 12, тогда
х1 = -1/6, х = 2.
Ответ: -1/6; 2
Применение квадратных уравнений при решении различных уравнений
1. 2 cos2 x - 5 cos x + 3 = 0
2 – 5 + 3 = 0, значит,
cos x = 1, cos x = 1,5 > 1
x = 2πn, n Z нет решений
2. 4х - 9· 2х + 8 < 0,
22х - 9· 2х + 8 < 0
1 – 9 + 8 = 0, значит, 2х = 1, 2х = 8
х = 0 х = 3
т.к 2х↑, значит, х (0; 3)
Пример: 3∙32х – 29 ∙3х + 18 = 0
t2 – 29t + 54 = 0
t1· t2 = 54.
t1 + t2 = 29, t1 = 2 t2 = 27, значит, 3х = 23 , 3х = 9
х = log32 - 1, х = 2
Ответ: х = log32 - 1, х = 2
Тренажёр Приёмы решения квадратных уравнений.
№1 х2 + х – 2 = 0
№2 х2 + 2х – 3 = 0
№3 х2 +3 х – 4 = 0
№4 х2 + 4х – 5 = 0
№5 х2 + 8х – 9 = 0
№6 х2 + 14х – 15 = 0
№7 345х2 - 137х - 208 = 0.
№8 132х2 - 247х + 115 = 0.
№8 2х2 - 11х + 15 = 0.
№9 х2 – 2х – 3 = 0.
№10 4Х2 + 7х + 3 = 0.
№11 4х2 + 7х + 3 = 0.
№12 4х2 + 12х + 9 = 0
№13 х2 +8х + 7 = 0
№14 3х2–14х + 16 = 0
№15 5х2 – 7х + 2 = 0
№16 5х2 – 7х + 2 = 0
№17 3х2 +5х - 8 = 0
№18 11х2 +25х - 36 = 0
№19 11х2 +27х + 16 = 0
№20 839х2 - 448х - 391 = 0
№21 939х2 +978х + 39 = 0
№22 313х2 +326х + 13 = 0
№23 2006х2 - 2007х + 1 = 0
№24 2х2 - 9х + 9 = 0.
№25 10х2 - 11х + 3 = 0.
№26 3х2 + 11х + 6 = 0.
№27 6х2 -+5х - 6 = 0.
№28 3х2 +1х – 4 = 0.
Решение тригонометрических уравнений и неравенств
Решение тригонометрических уравнений и неравенств зачастую у учащихся вызывают затруднения и на выполнение такого задания они тратят много времени. В своей работе после того как мы научились решать тригонометрические уравнения , неравенства и их системы я предлагаю учащимся при работе с тестами анализировать ответы.
Пример № 1 Решите уравнение: cos (2x + π4)= 12А) (-1)k+1 π3 + π3 + πk, k ∈ Z
B) π6 - π8 + πk, k ∈ Z
С) ± π3 - π4 + 2πk, k ∈ Z
D) ± π6 - π8 + πk, k ∈ Z
E) (-1)k π3 - π4 + πk, k ∈ Z
Проанализировав все ответы учащиеся делают вывод, что ответы под буквой А, В, Е не удовлетворяют, так как решая простейшее тригонометрическое уравнение cos x= а, х = ± arccos x + 2πк, к ϵ Z, ответ под буквой С то же не удовлетворяет, так как период 2πк, следовательно искомый ответ под буквой D.
Пример №2 Решите неравенство: 0 <cosx ≤1244354751087120A) -π2+ 2πn; - π3+ 2πn∪ π3+ 2πn;π2+ 2πn, n ∈ Z
B) -π2+ 2πn; π2+ 2πn, n ∈ Z
C) π3+ 2πn; π2+ 2πn∪ 3π2+ 2πn; 2πn, n ∈ Z
D) -π2+ πn; - π3+ πn∪ π3+ 2πn;π2+ πn, n ∈ Z
E) π3+ 2πn; π2+ 2πn, n ∈ Z
Для решения тригонометрического неравенства 0 <cosx ≤12способом исключения ответов, предварительно мы делаем геометрическое изображение решения неравенства, а затем перебираем и исключаем не верные ответы : очевидно видно что ответ: В и Е сразу не подходят ( ), ответ Д не подходит так как период косинуса 2π, остается ответ А или С, но и ответ С так же не подходит, так как мы начинаем от-π2. Ответ под буквой А.
пример №3 Решите уравнение: sin.
I cпособ решения sin,
sin ; sin;
= (-1) = (-1)
Объединяя решения, получаем ответ, данный в тестах: х =
.
При решении тригонометрических уравнений и неравенств вида
sin, чтобы получить ответ, данный в тестах, нужно решать, используя формулы понижения степени:
II cпособ решения:
sin,
,
,
,
2x =
x =
Тренажёр Решение тригонометрических уравнений и неравенств
№ 1 Решите уравнение: 2 sin 2x + 1 = 0
A) ± π8 + πk, k ∈ Z
B) π4 + 2πk, k ∈ Z
C) π8 + πk, k ∈ Z
D) (-1)k+1 π8 + π2 k, k ∈ Z
E) (-1)k π8 + π2 k, k ∈ Z
№ 2 Решите уравнение: tg (x + π5 ) = 3A) 3π15 + πn, n ∈ Z
B) 2π15 + πn, n ∈ Z
C) 2π15 + 2πn, n ∈ Z
D) π15 + πn, n ∈ Z
E) π3 + πn, n ∈ Z
№ 3 Решите уравнение: 3 tg x + 1 = 0
A) - 3π4 + πn, n ∈ Z
B) - π6 + πn, n ∈ Z
C) - 5π6 + πn, n ∈ Z
D) 5π6 + πn, n ∈ Z
E) π6 + πn, n ∈ Z
№ 4 Решите уравнение: tg (x - π6 ) = - 3A) - π6 + πn, n ∈ Z
B) - π3 + πn, n ∈ Z
C) π3 + πn, n ∈ Z
D) - π6 + 2πn, n ∈ Z
E) - π3 + 2πn, n ∈ Z
№ 5Решите уравнение: sin ( - x3 )= 22A) π2 + πk, k ∈ Z
B) (-1)k 3π4 + πk, k ∈ Z
C) (-1)k + 1 3π4 + 3πk, k ∈ Z
D) - 3π4 + πk, k ∈ Z
E) 3π4n , k ∈ Z
№ 6 Решите уравнение: cos (x - π3 ) = 1A) 2πk, k ∈ Z
B) ±π3 + πk, k ∈ Z
C) π3 + πk, k ∈ Z
D) - π3 + 2πk, k ∈ Z
E) π3 + 2πk, k ∈ Z
№ 7 Решите уравнение: cos ( 0.5x) = 1
A) 3π + 4πk, k ∈ Z
B) π2 + 2πk, k ∈ Z
C) 2π + 4πk, k ∈ Z
D) π2 + π2k, k ∈ Z
E) π + 2πk, k ∈ Z
№ 8 Решите уравнение: 2 cos 3x + 1 = 0
A) ± π4 + 2π3n, n∈ Z
B) ±2π3 + 2πn , n∈ Z
C) ±2π9 + 2π3n, n∈ Z
D) ± 2π9+ 2πn , n∈ Z
E) ± π9 + 2π3n, n∈ Z
№ 9 Решите уравнение: 2 sin x + 1 = 0
A) π4 + πk, k ∈ Z, - π2 + πk, k ∈ Z
B) - π4 + πk, k ∈ Z, π2 + πk, k ∈ Z
C) π2 + 3πk, k ∈ Z
D) (-1)k π4 + πk, k ∈ Z, πk, k ∈ Z
E) (-1)k + 1 π4 + πk, k ∈ Z
№ 10 Решите уравнение: 2 sin(3x - π4 )= 3A) 736π+ 2π 3 k, k ∈ Z
B) (-1)k π9 + π12 + π 3 k, k ∈ Z
C) 526π+ 2π 3 k, k ∈ Z
D) (-1)k π12 + π9 + 2π 3 k, k ∈ Z
E) (-1)k 7π36 + 2π 3 k, k ∈ Z
№ 11 Решите уравнение: 2 sin2x – sin x = 0
A) (-1)k π6 + πk, k ∈ Z, 2πn, n ∈ Z
B) (-1)k π6 + πk, k ∈ Z, πn, n ∈ Z
C) (-1)k π4 + πk, k ∈ Z, πn, n ∈ Z
D) - π2 + πk, k ∈ Z πn, n ∈ Z
E) π4 + πk, k ∈ Z, πn, n ∈ Z
№ 12 Решите уравнение: sin ( x - π4 ) = 0A) π4 + 2πk, k ∈ Z
B) π4 + πk, k ∈ Z
C) - π4 + πk, k ∈ Z
D) πk, k ∈ Z
E) 2πk, k ∈ Z
№ 13 Решите уравнение: cos 3x = 12A) ± π3 + 2πk, k ∈ Z
B) ± π + 6 πk, k ∈ Z
C) ±π9 + 23 πk, k ∈ Z
D) ±π9 + πk, k ∈ Z
E) ±π9 + 2 πk, k ∈ Z
№ 14 Решите уравнение: 4 sin2x – 4 cos x - 1= 0
A) ±π3 + 2 πk, k ∈ Z, ± arccos ( - 32 ) + 2 πn, n ∈ Z
B) - π3 + πk, k ∈ Z
C) ±π6 + 2 πk, k ∈ Z
D) ±2π3 + 2 πk, k ∈ Z
E) ±π3 + 2 πk, k ∈ Z
№ 15Решите уравнение: sin ( 4x - π3 ) = 12A) (-1)k π8 + π4 k, k ∈ Z,
B) - π8 + π4 k, k ∈ Z,
C) (-1)k π24 + π12 + π4 k, k ∈ Z,
D) π8 + π2 k, k ∈ Z,
E) (-1)k π6 + π2 k, k ∈ Z,
№ 16 Решите уравнение: sin5x∙cos x - cos5x∙sin x = - 12A) - π3 + πk, k ∈ Z
B) (-1)k π12 + π2 k, k ∈ Z,
C) (-1)k+1 π24 + π4 k, k ∈ Z,
D) π2 + πk, k ∈ Z
E) (-1)k π24 + π4 k, k ∈ Z,
№ 17 Решите уравнение: cos ( 3x + π4 ) = - 32A) 5π18 + π12 + 23 πk, k ∈ Z,
B) ±5π18 + π12 + π3 k, k ∈ Z,
C) ±5π3 + 6 πk, k ∈ Z
D) ±π18 - 3π4 + 6 πk, k ∈ Z
E) ± 5π18 - π12 + 23 πk, k ∈ Z,
№ 18Решите уравнение: 2 sin2x – sin x – 1 = 0
A) π2 + 2πk, k ∈ Z
B) π + 2πk, k ∈ Z
C) (-1)k π6 + πk, k ∈ Z
D) - π2 + πk, k ∈ Z, πn, n ∈ Z,
E) π4 + πk, k ∈ Z, πn, n ∈ Z,
№ 19 Решите уравнение: cos ( x - π6 ) = 32A) ± π6 + π6 + 2πk, k ∈ Z
B) π2 + 2πk, k ∈ Z
C) - π3 + 2πk, k ∈ Z
D) πk, k ∈ Z
E) - π2 + πk, k ∈ Z
№ 20 Решите уравнение: 3cos5x-3sin5x-3 = 0
A) π20 + π5 k, k ∈ Z,
B) 9° + π2 k, k ∈ Z,
C) 23π k + 1, k ∈ Z,
D) ±π2 + 2πk, k ∈ Z
E) 2π5k, k ∈ Z
№ 21 Решите уравнение: 2sinx- 3cos8x-8 = 0
A) π3 + 3πk, k ∈ Z
B) ± arccos 88 + 2πk, k ∈ Z, π3 + πn, n ∈ Z
C) ±2 + 2πk, k ∈ Z
D) ±arccos1+ 2πk, k ∈ Z, ±π3 + πn, n ∈ Z
E) ( -1)k π3 + πk, k ∈ Z
№ 22. Решите уравнение: sin.
А)
В)
С)
D)
Е)
№23. Решите уравнение: cos.
А) .
В) .
С) .
D) .
Е) .
№24. Решите уравнение: sin3cos.
А) .
В) .
С) .
D) .
Е) .
№25. Решите уравнение:
А) .
В) .
С) .
D) .
Е) .
Рассмотрим некоторые текстовые задачи , предлагавшиеся на экзаменах. Для решения этих задач не потребуется никаких вычислений, а ответ находится сам собой, почти автоматически без серьезных усилий .1. Средняя линия трапеции равна 7 см. Одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найти основания трапеции.
А) 10 см, 4 см В) 5 см, 6 см C) 5 см, 9 см D) 11 см, 3 см Е) 2 см, 12 см.
Прежде всего, в глаза бросается, что ответ В) неверен, так как в трапеции с основаниями 5 см и 6 см средняя линия не равна 7 см. Однако эта попытка решения весьма слабая и не приводит сразу к ответу. Лучше не спешить и обратить внимание на то, что одно из оснований трапеции должно быть больше другого на 4 см и тогда ответ С) находится однозначно и мгновенно.
2. Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Определите, за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если известно, что из первой трубы в час вытекает на 50 % больше вода, чем из второй.
А) 10 ч, 20 ч В) 15 ч, 10 ч C) 30 ч, 15 ч D) 25 ч, 20 ч Е) 18 ч, 23 ч.
Если время, необходимое для работы медленного насоса, увеличить на его половину, то получим время работы более производительного насоса. Такому условию удовлетворяет только ответ В).
3. Найдите три числа, из которых второе больше первого настолько насколько третье больше второго, если известно, что произведение двух меньших чисел равно 85, а произведение больших равно 115.
А) 8,5; 9; 12 В) 9,1; 3; 4 C) 5; 7; 9 D) 8,5; 10; 11,5 Е) 12; 11; 10.
Удобнее всего в этом задании вычислить произведения двух меньших чисел в каждом из приведенных ответов. Это произведение будет равно 85 только в ответе D). Ответ D) удовлетворяет также остальным двум условиям задания.
Тренажёр
1. На птицефабрике было гусей в 2 раза больше, чем уток. Через некоторое время число гусей увеличилось на 20%, а число уток - на 30%. При этом оказалось, что число гусей и уток увеличилось на 8 400 голов. Узнайте, сколько стало на птицеферме гусей и уток.
А) 24 000 и 12 000; В) 26 8000 и 17 6000; C) 32 800 и 20 800; D) 28 800 и 15 600; E) 30 600 и 18 600.
2. Одна из сторон прямоугольника на 5 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 14 см2.
A) 3,5 см и 4 см; В) 14 см и 1 см; С) 8 см и 3 см; D) 2 см и 7 см; Е) 12 см и 5 см.
3. В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла делит большее основание трапеции на отрезки 6 см и 30 см. Найдите основания трапеции.
A) 26 см и 34 см; B) 12 см и 24 см; C) 24 см и 36 см;
D) 41 см и 20 см; E) 22 см и 32 см.
4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см. Найдите его катеты, если один из них на 4 больше другого.
А) 7см, 13см;В) 12см, 14см;С) 24см, 4см;
Д) 12см, 16см;Е 11см, 9см;
5. Катеты прямоугольного треугольника 30см и 40см. Найдите радиус описанной окружности.
А) 50смВ) 40смС) 60смД) 35смЕ) 25см
6. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6м. Найдите его стороны, если основания меньше боковой стороны на 3 м.
А) 3,2м; 3,2м;6,2мВ) 3,2м; 7,2м: 5,2мС) 5,2м;5,2м;5,2м
Д) 4,2м;4,2м;7,2мЕ) 6,2м; 6,2м; 3,2м
Пример 1. Найдите наименьшее решение неравенства.
х3-3х2- х+3х2+ 3х+2 >0.
A) 0. 1. C) -1. D) -2. E) 2.
Если не читать ответы совсем, то нужно решить данное неравенство, например, методом интервалов, найти правильный ответ. Для этого потребуется около пяти - десяти минут времени. Попробуем последовать нашему совету. Обратите внимание, что нужно найти наименьшее решение неравенства. А что, если взять наименьшее число из предложенных ответов и подставить его в неравенство? Многие кинутся вычислять сначала числитель дроби из левой части неравенства. Не нужно этого делать. Вычислите лучше сначала знаменатель. Он будет равен нулю. Тогда и числитель не нужно вычислять. Значит, - 2 - не искомое решение.
Далее по аналогии проверяем в качестве наименьшего решения предложенный ответ С). Здесь также начнем вычисления со знаменателя и приходим к выводу, что С) – неверный ответ, и так далее. Верным будет ответ А).Таким образом, если бы мы не читали ответов, то, наверное, либо не решили бы это задание, либо потратили бы на него очень много времени.
Пример 2. Сократите дробь х2+ 16х-1210-13х-3х2
Обратим внимание на то, что в данной дроби отношение старших коэффициентов является отрицательным числом. При сокращении дроби знак этого отношения не изменяется, следовательно, правильным является ответ В) или Е). Кроме того, заметим, что разность показателей многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби, равна нулю, и при сокращении дроби она не изменяется. Значит, правильный ответ Е).
Пример 2. Найдите значение выражения
4У2- 3ХУ+Х2Х2-ХУ+ У2 , если ху=21) 2/3; 2)3/2; 3) 1; 4)-2/3 5) -3/2.
Здесь также в дело пустим ответы, которые явно говорят, что правильный ответ от х и y не зависит, лишь бы ху=2Поэтому подберем х и y так, чтобы ху=2, например, х = 2 и y = 1. Тогда данное выражение примет значение 2/3 (вычислите сами!). Значит, правильный ответ 1). И это все, могут спросить некоторые. Да, все, ответ найден.
Пример3. Вычислите значение дроби (3xz +x2 -2xy)/(4y2 - yz - 2z2) при условии, что x/z = -2, z/y = -1.
1) 1,6; 2) 2,5; 3) 3; 4) -1,5; 5) -2.
Пример 4 Упростите: sin α+63°+ sin( α-57°)2 cos( α-87°)А)32; В)-1; С) 1; Д)- 12 Е) 12 .
Решение. Хорошо тому, кто помнит формулу преобразования суммы синусов в произведение. А если забыл ее . Как быть в этом случае?
Обратим внимание на то, что правильный ответ не должен зависеть от значения α. Тогда, подставив в данное выражение вместо α, например, 27°,
получим sin90°+sin(-30°)2 cos( -60°) = 12пример 5 Упростить выражениеleft0 А) 2 В) 1 С) 0 D) 6 E) 4.Некоторые выпускники могут и забыть необходимые для решения этого задания тригонометрические формулы. Но не беда. Будем считать в соответствие со вторым советом α = β = γ. Тогда сразу получим, что значение данного выражения равно 0 (ответ С).
Пример6. Упростите: [cos(α + 32o) + cos(α - 28o)]/cos(88o - α)
1)-3; 2)√3; 3) √3/2; 4)-√3/2; 4) 1.
Пример 7 Если ав= 14, то число а2+2авв2+2ав равно:
А) 932 В) 94 С) 324 Д) 38 Е) 4
Пример 8 Найдите значение выражения: а2- в22а2+ 5ав+3в2, если а+ва-2в= 23А) 8 В) 37 С) 811 Д) 1 Е) 2
Пример 9 Вычислите: sinα +cosαsinα-cosα, если tg α = 35А) 5 В) -5 С) 3 Д) -4 Е) 4
На тестированиях не позволяют пользоваться калькуляторами. Выполнение вычислений – одно из необходимых умений ученика. В процессе решения и при записи ответа часто возникает необходимость в переводе дроби из десятичной в обыкновенную. Это не вызывает особых затруднений. А вот обратно – особенно если десятичная дробь оказывается бесконечной периодичной – оказывается затруднительно.
Я предлагаю учащимся алгоритм которые не трудно запомнить:
Чистая периодическая дробь превращается в обыкновенную дробь, числитель которой равен числу, которое стоит в периоде, а знаменатель – число, записанное количеством девяток равным количеству цифр в периоде.
0,(35) = 3599; 2,(21) = 2 2199=2 733; 0,(15)=1599= 5.33 Смешанная десятичная периодическая дробь равна обыкновенной, в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода ; а знаменатель записан столькими девятками, сколько цифр в периоде и столькими нулями, сколько цифр между запятой и периодом.
1) 0,12 (3) = 123-12900=111990=37.3002) 0,2(15) = 215-2990 = 213990= 71330;
3) 0,41 (6)=416-41900 = 375900 = 512.
4) 0,10 (6)=106-10900=96900=875.
5) 0,6 (54)=654-6990=648990=3655.
6) 0,5 (3)=53-590=4890=815.
7) 4,5(34) = 4 534-5990= 4529990Вычислить: 0,666…+ 13 :1,250,12333…:0,0925+ 12,5 ∙0,64 ( 11)
Найдите значение выражения: ( 36,27(3,) – 6,2(3)): 0,2
В заключение, хочется сказать, что самая сложная задача, которая стоит перед учителем, заключается в том, чтобы научить каждого ученика учиться, осознанно получать знания и уметь их применять на практике. Подготовка к ЕНТ не должна сводиться к зубрежке и простому запоминанию материала.
Тренажёр
№ 1 Решите неравенство: tg ( 3x - π4 ) < 13A) ( - 5π36+ πn3; π12+ πn3 ) , n∈ Z
B) ( - 5π36+ πn; π12+ πn ) , n∈ Z
C) ( - π12+ πn3; 5π36+ πn3 ) , n∈ Z
D) ( - π12+ 2πn3; 5π36+ 2πn3 ) , n∈ Z
E) ( - 5π36+ πn3; π12+ πn4 ) , n∈ Z
№ 2 Решите неравенство: - 12<cosx ≤0A) π2+ 2πn; 2π3+ 2πn, n ∈ Z
B) π2+ 2πn; 2π3+ 2πn∪4π3+ 2πn; 3π2+ 2πn, n ∈ Z
C) π2+ 2πn; 2π3+ 2πn∪4π3+ 2πn; 3π3+ 2πn, n ∈ Z
D) π2+ 2πn; 2π3+ 2πn∪ 4π3+ 2πn;3π2+ 2πn, n ∈ Z
E) π2+ 2πn; 2π3+ 2πn∪ 4π3+ πn;3π2+ πn, n ∈ Z
№ 3 Решите систему неравенств : tgx>0sinx>0A) 2πn; π2+ 2πn, n ∈ Z
B) π2+ πn; π+ πn) , n ∈ Z
C) π2+ 2πn; π+ 2πn) , n ∈ Z
D) 2 πn; π2+ 2πn, n ∈ Z
E) π/2+ πn; π+ πn, n ∈ Z
№ 4 Решите неравенство: tg 2x – 1 <0A) - π4 + πn <x < π8 + πn, n ∈ Z
B) - π4 + πn2 <x < π4 + πn2, n ∈ Z
C) - π4 + 2πn <x < π4 + 2πn, n ∈ Z
D) - π4 + πn2 <x < π8 + πn2, n ∈ Z
E) - π4 + πn <x < π4 + πn, n ∈ Z
№ 5 Решите систему неравенств : sinx <0cosx >0A) - π2 + 2πn <x < 2πn, n ∈ Z
B) - π2 + <x < π+ πn, n ∈ Z
C) π2 + 2πn ≤x ≤ π+ 2πn, n ∈ Z
D) π2 + 2πn ≤x ≤ 3π2+ 2πn, n ∈ Z
E) π2 + 2πn <x < 2π+ πn, n ∈ Z
№ 6 Решите неравенство: - 12<sinx <12A) - π6+ 2πn; π6+ 2πn∪5π6+ 2πn; 7π6+ 2πn, n ∈ Z
B) - π6+ 2πn; π6+ 2πn∪5π/6+ 2πn;7π6+ 2πn, n ∈ Z
C) 5π6+ 2πn;; 7π6+ 2πn, n ∈ Z
D) - π6+ 2πn;; π6+ 2πn, n ∈ Z
E) - π6+ 2πn;; 7π6+ 2πn, n ∈ Z
№7 Решите неравенство: - 12<cosx≤12A) π3+ 2πn;2π3+ 2πn, n ∈ Z
B) (π3+ 2πn; 2π3+ 2πn), n ∈ Z
C) π3+ 2πn; 2π3+ 2πn∪4π3+ 2πn; 5π3+ 2πn, n ∈ Z
D) π6+ 2πn;2π3+ 2πn, n ∈ Z
E) π3+ 2πn; 2π3+ 2πn∪4π3+ 2πn; 5π3+ 2πn , n ∈ Z
№8 Решите неравенство: tg ( x + π4 ) ≥ 1A) - π4 + <x ≤ π2+ 2πn, n ∈ Z
B) πn ≤x ≤ 2πn, n ∈ Z
C) 0 ≤x< πn, n ∈ Z
D) - π2 + 2πn <x< π+ 2πn, n ∈ Z
E ) πn ≤x<π4 + πn, n ∈ Z№ 9 Решите систему неравенств :sinx >15cosx <15A) arcos15 + 2πn≤x≤ arcsin 15+ 2πn, n ∈ Z
B) arcos15 + πn<x< arcsin 15+ πn, n ∈ Z
C) arcsin 15+ 2πn<x<π- arcos15 + 2πn, n ∈ Z
D) arcsin 15+ 2πn≤x≤ arcos15 + 2πn, n ∈ Z
E) arcos15 + 2πn<x<π- arcsin 15+ 2πn, n ∈ Z
№10. Решите неравенство: 3 – 4 соs
А) (. В) (. С) (. D) (.
Е) (.Тренажёр
1. Решите уравнение: sin.
Решение:
, , , , , , .
А)
В)
С)
D)
Е)
2. Решите уравнение: cos.
А) .
В) .
С) .
D) .
Е) .
3. Решите уравнение: sin3cos.
А) .
В) .
С) .
D) .
Е) .
4. Решите уравнение:
А) .
В) .
С) .
D) .
Е) .
5. Решите неравенство: 3 – 4 соs
А) (. В) (. С) (. D) (.
Е) (.