Элективный курс по геометрии Расстояния в пространстве (10-11 класс)

Средняя общеобразовательная школа - филиал
негосударственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Тольяттинская академия управления»,
г. Тольятти, Самарская область
УТВЕРЖДАЮ к использованию
Директор _________ Беляева И.А.
29.08.2013
ПРОГРАММА
ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
НАЗВАНИЕ ПРОГРАММЫ, КЛАСС (Ы) ______________________________
_______Расстояния в пространстве __________
____________________10-11 классы_________________________________
ПРЕДМЕТ (или ПРЕДМЕТНАЯ ОБЛАСТЬ) __________геометрия_________
ТИП ПРОГРАММЫ ________расширение содержания_______________
АВТОР ПРОГРАММЫ ____________Ившина Е.В,_________________
______________________________авторская________________________
ГОД ИЗДАНИЯ 2013 г.
Элективный курс «Расстояния в пространстве»
Пояснительная запискаПрограмма элективного курса «Расстояния в пространстве» предназначена для учащихся 10-11 классов и направлена на расширение и углубление знаний учащихся, прочное и сознательное овладение системой умений и навыков, необходимых при сдаче экзаменов. Для освоения курса необходимы базовые знания по курсу планиметрии основной школы. Нахождение расстояний в пространстве является той важнейшей частью стереометрии, на которой основывается все метрические вопросы пространственной геометрии, в том числе – нахождение углов, площадей и объемов.
Элективный курс разработан на основе примерной программы по геометрии для 10 – 11 классов. Содержание программы соотнесено с примерной программой по геометрии, а также на основе примерной учебной программой профильного уровня авторов Е.В. Потоскуева, Л.И. Звавича.
Данная программа по геометрии в 10 классе по теме "Расстояния в пространстве» представляет углубленное изучение теоретического материала укрупненными блоками. Курс рассчитан на учеников, желающих основательно подготовиться к сдаче ЕГЭ. В результате изучения этого курса будут использованы приемы парной, групповой деятельности для осуществления элементов самооценки, взаимооценки, умение работать с математической литературой и выделять главное.
Новизна программы состоит в том, что она расширяет умение видеть и находить расстояние между точками, прямыми и плоскостями, а также дополняет навык нахождения расстояний и углов.
Актуальность предлагаемой программы обусловлена тем, что данная программа может способствовать формированию более сознательных мотивов учения. Содержание данной программы представлено несколькими разделами. Особое внимание в программе уделяется умению «видеть» и находить расстояния между точками, прямыми и плоскостями в различных геометрических комбинациях.
Педагогическая целесообразность программы объясняется тем, что она позволяет решить важные педагогические задачи в рамках дополнительных занятий в школе, так как формирование хорошего геометрического образования, пространственного воображения и логического мышления необходимо не только профессиональному математику, но и инженеру, и экономисту, и юристу и специалисту других профессий. Включение в данную программу примеров и задач, относящихся к вопросам метрических задач, убеждают учащихся в значении геометрии для различных сфер человеческой деятельности, способны создавать уверенность в полезности и практической значимости геометрии, ее роли в современной сфере деятельности. Такие задачи вызывают интерес у обучающихся, пробуждают любознательность.
Цель элективного курса состоит в формировании теоретических знаний, развития логического аппарата учащихся для дальнейшего осознанного и обоснованного решения задач.
Задачи программы элективного курса:
- формирование у учащихся верного и наглядного изображения пространственных фигур на плоскости;
- развитие пространственного воображения, умения представлять геометрический объект;
- выработка умений корректно аргументировать утверждения, возникающие по ходу решения любой геометрической задачи;
- знакомство учащихся с различными методами решения геометрических задач;
- совершенствование навыков решения задач;
- знакомство учащихся с историей измерения длины;
- организация работы с дополнительной литературой.
Тематическое планирование (на 34 учебных часа): состоит из четырех блоков. Описаны отличительные особенности данного элективного курса, ожидаемые результаты и основные формы подведения итогов; предлагается содержание элективного курса и темы для исследовательской работы учащихся.
Отличительные особенности данного элективного курса:
- с точки зрения структуры, данный курс построен на блочной подаче материала, что дает возможность в каждом новом разделе предлагать учащимся новое содержание, но освоить его можно, только опираясь на те умения, которые были получены в предшествующем блоке.
- с точки зрения используемого материала, элективный курс построен на основе тематических контрольных работ, самостоятельных работ, тестов взятых из современных научно-популярных изданий.
Форма занятий: фронтальная, коллективная, групповая, индивидуальная.
Ожидаемые результаты и способы определения их результативности
В результате изучения программы данного элективного курса учащиеся должны:
- правильно употреблять новые термины, связанные с основными геометрическими понятиями;
- знать основные (простейшие) свойства многогранников;
- уметь строить искомый перпендикуляр двух скрещивающих прямых;
- умения решать геометрические задачи различными методами;
- сформировать навык самостоятельной работы с таблицами и справочной литературой.
Основными формами проведения итогов реализации данной образовательной программы являются контрольная работа и проект.
Данная программа может быть использована в классах с углубленными профильным изучением математики.Курсу отводится 1 час в неделю. Всего 34 часов.
Таблица 2
УЧЕБНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
№ Содержание темы Кол-во часов Виды занятий
I ОБОБЩЕНИЕ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 4 1 Решение опорных задач планиметрии 2 Уроки-практикумы.
2 Решение задач координатно-векторным методом 2 II РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 9 1 Расстояние от точки до прямой в пространстве 2 Урок-лекция.
2 Расстояние от точки до плоскости 2 Уроки-практикумы.
самостоятельного
решения
3 Теорема о существовании и единственности общего перпендикуляра скрещивающихся прямых 1 4 Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых 1 5 Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми 2 6 Геометрические места точек в пространстве 1 III НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЙ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА 8 1 Расстояние от точки до прямой в пространстве 2 Урок лекция.
Урок практикум
2 Расстояние от точки до плоскости 2 Урок практикум, самостоятельного решения
3 Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых 2 Урок консультации
4 Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми 2 Урок обобщение, практикум
IV НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЙ С ПОМОЩЬЮ КООРДИНАТНОГО МЕТОДА 13 1 Расстояние от точки до прямой в пространстве 2 Урок-лекция, практика
2 Расстояние от точки до плоскости 2 практикум
3 Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых 2 практикум
4 Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми 2 практикум
5 Контрольная работа 2 Урок самостоятельного решения
6 Защита проектов 3 Учебно-исследовательская конференция
Содержание элективного курсаУчебно-тематическое планирование элективного курса представлено в Таблице 2. Ниже показано содержание элективного курса и тематика исследовательской работы учащихся.
Раздел 1. Обобщение курса планиметрии(4 ч)
1.1.Решение опорных задач планиметрии. Решение задач координатно-векторным способом.
Основная цель - вспомнить с учащимися основные свойства многоугольников, теоремы помогающие решать задачи.
Многоугольники; основные свойства медиан, биссектрис, высот в равнобедренном, равностороннем, прямоугольном треугольнике; формулы площадей многоугольников; вписанные и описанные многоугольники и окружности; теоремы о касательной к окружности, о четырёхугольниках и окружностях; решение задач.
В результате изучения данного раздела учащиеся должны аргументировать утверждения при решении задач, правильно пользоваться определениями и свойствами фигур. Учащиеся должны знать и при необходимости использовать специальные свойства многоугольников.
Задания для самостоятельной работы:
1) Решить цикл задач [2] из раздела«Метрические соотношения в плоских фигурах»(номера задач и их количество определяет учитель).
2) Используя тематические тесты [1] различных разделов, например, «Отрезки, лучи, прямые», «Треугольники», «Высота, медиана, биссектрисы треугольника. Неравенство треугольника», «Соотношения в прямоугольном треугольнике», «Окружность».
Примеры задач из данных учебных пособий:
1. Точка А лежит на лучах МК и КМ, причем МА : АК = 3:1. Найдите расстояние между точками М и А, если это расстояние на 6 см больше, чем расстояние между точками А и К.
2. Точка С – середина отрезка АВ, точка М – середина отрезка ВС, а точка В – середина отрезка АК. Сколько процентов составляет длина отрезка КМ от длины отрезка АК?
.
.
.
.
А
В
С
D
Рис. 1
3. АВ=9, ВС=4, CD=6 (рис. 1). Найдите сумму длин всех отрезков, изображенных на этом рисунке отрезков.
4. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и CD на рисунке 1, если АВ=9, ВС=4, CD=6.
5. Отрезка А, С, К, В лежат на одной прямой, причем АВ=22, АС=11, КВ=7. Найдите наименьшую длину отрезка СК.
6. Периметр треугольника МРК равен 32. Точка Н лежит на стороне МК этого треугольника так, что сумма периметров треугольников МРН и КРН равна 44. Найдите длину отрезка РН.
7. Периметр равнобедренного треугольника АКС равен 143 см, а АК : АС = 5 : 3. Найдите все возможные значения длины отрезка АС.
8. Диагонали РН и ВС выпуклого четырехугольника ВРСН пересекаются под прямым углом. Найдите расстояние между серединами сторон РС и ВН равно 7 м.
9. Точка К лежит на основании АС равнобедренного треугольника АВС. Найдите площадь этого треугольника, если длина его боковых сторон АВ и ВС равны 11, а расстояния от точки М до этих сторон равны соответственно 3 и 7.
10. В треугольнике АВС известно, что АВ=30, ВС=26, АС=28, BD–высота, Е – середина стороны ВС. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BDE.
11. В треугольнике АВС известны длины сторон: АВ=47, АС=57; ВС=67. Найдите расстояние от вершины В до точки пересечения высот треугольника АВС.
12. Около окружности с радиусом 5 описана равнобедренная трапеция. Расстояние между точками касания ее боковых сторон равно 8. Найдите площадь трапеции.
Ответы:1. 9; 2. 62,5%; 3. 61; 4. 9,5; 5. 4; 6. Невозможно определить; 7. 33 см и 39 см; 8. 7 м; 9. 55;10. 16,9;11. 9; 12. 125;
Литература:
1. Звавич, Л.И. Тематические тестовые задания 7-9 классы (ЕГЭ: шаг за шагом) / Л.И. Звавич, Е.В. Потоскуев // - М. : Дрофа, 2011. – 189 с.
2. Черняк, А.А. Геометрия. 7 – 11 классы (ЕГЭ: шаг за шагом) / А.А. Черняк, Ж.А. Черняк // – М.: Дрофа, 2011. – 247 с.
Раздел 2.Расстояния в пространстве(9 ч.)
2.1. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Теоретический зачет.
Основная цель - изучить приемы нахождения расстояний между двумя точками; между точкой и фигурой; между двумя фигурами; изучить приемы нахождения этих расстояний. Формировать умения «видеть» и вычислять различные расстояния в пространстве, используя многогранники и многоугольника, расположенные в пространстве; решать задачи метрического характера на нахождение расстояний, углов, площадей, используя куб, правильную пирамиду, правильный тетраэдр, параллелепипед, корректно аргументируя каждый шаг построения изображения, доказательной и вычислительной частей решения задачи; используя геометрические места точек в пространстве, осуществлять пропедевтическую работу по подготовке учащихся к решению содержательных задач в 11 классе при изучении многогранников и фигур вращения.
В результате изучения данного раздела учащиеся должны определять расстояния: от точки до прямой и до плоскости; между двумя параллельными плоскостями; между двумя скрещивающимися прямыми; знать основные геометрические места точек в пространстве; Примеры задач из данных учебных пособий:
1. Точка Н – середина ребра РВ правильного тетраэдра РАВС. Опустите перпендикуляры из точки Н: а) на прямую АС; б) на высоту РО тетраэдра, Оϵ(АВС). Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно 22.Ответ: а) 2; б) 63.
2. Расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба равно m. Найдите ребро этого куба. Ответ:m3.
3. В кубе ABCDA1B1C1D1найдите расстояние до прямой BDот вершин: а) В1; б) А; в) А1; г) С1, если ребро куба равно 6.
Ответ: а) 6; б) 32; в) 36; г) 36.
4. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние: от вершины С до прямой АС1.
Ответ:74.
5. Точка Н – середина ребра РВ правильного тетраэдра РАВС. Опустите перпендикуляр из точки Н на плоскость АВС и найдите длину этого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно 26. Ответ: 2.
6. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние: от точки А до плоскости C1BD. Ответ:255.
Задания для самостоятельной работы:
1. Решить цикл задач из раздела «Расстояния в пространстве» [4], [5] (номера задач и их количество определит учитель).
2. Решить указанные учителем задачи из статей соответствующей тематики журналов «Математика в школе» или «Математика» [1], [2], [3].
Литература:
1. Варшавский, И.К. Стереометрия на едином государственном экзамене. / И.К.Варшавский, М.Я. Гаиашвили, Ю.А. Глазков // Математика в школе – 2006. - №4 – С. 2-7.
2. Елизарова, Н.Г. О расстоянии от точки до плоскости. / Н.Г. Елизарова, Р.С. Понарядова // Математика в школе – 2009. - № 4 – С. 67 – 73.
3. Кожухов С.К. О некоторых способах вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми / С.К. Кожухов, В.К. Володин // Математик в школе – 2008. - №1. – С.15-17.
4. Потоскуев Е.В. Решение задач по стереометрии. Практикум. Подготовка к ЕГЭ. – М.: Илекса, 2012. – 108 с.
5. Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011. – 64 с.
Раздел 3.Нахождение расстояний в пространстве
векторным методом
3.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов. Применение векторного метода к решению стереометрических задач. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Контрольная работа.
Основная цель - формировать умения учащихся переводить условие геометрической задачи в векторную терминологию и символику (на «векторный язык»), затем грамотно выполнять соответствующие алгебраические операции над векторами и, наконец, полученный в векторной форме результат верно переводить «обратно», на «язык чисто геометрический».
В данном разделе учащиеся знакомятся с алгебраическими операциями над векторами, с переводом условия геометрической задачи в векторную символику (на «векторный язык»), используя изображения куба, пирамиды, параллелепипеда векторным методом определить взаимное расположение точек, прямых и плоскостей, а также находить расстояния, аргументировано обосновывая каждый шаг решения задачи.
Задания для самостоятельной работы:
1. Решить указанные учителем задачи из статей соответствующей тематики журнала «Математика»[1-3]. Подобрать задачи для решения из пособия [4].
Примеры задач из данных учебных пособий:
1. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями АВ1 и ВС1 смежных граней АА1В1В и ВВ1С1С куба ABCDA1B1C1D1, если ребро этого куба равно 12.
2. В тетраэдре РАВС два плоских угла при вершине Р прямые, а величина третьего плоского угла равна 600. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды, если РА=РВ=РС=12.
Ответ: 221. Указание. В качествебазисных принять вектора РА=a, PB=b, PC=c.
3. А…F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найти величину угла между: а) АВ1 и CF1; б) АВ и CD1; в) ВА1 и СВ1.
Ответ: а) arccos1010; б) arccos24; в)arccos34.
Решить задачи второго раздела, используя векторный метод.
Литература:
1. Потоскуев, Е.В. Векторный метод решения стереометрических задач / Е.В. Потоскуев // Математика (еженедельное приложение к газете "Первое сентября").– 2009. - №6. – С. 27 – 34.
2. Прокофьев, А. О решении стереометрических задач координатно – векторным методом / А. Прокофьев, В. Бардушкин // Математика (еженедельное приложение к газете "Первое сентября").- 2013. - №1. – С. 26-34.
3. Пятерикова, А. Векторные методы решения задач по стереометрии / А. Пятерикова, И. Шведова // Математика (еженедельное приложение к газете "Первое сентября").- 2013. - №6. – С. 27 – 32.
4. Севрюков, П.Ф. Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии: учебное пособие / П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса; НИИ Школьных технологий; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. – 164 с.
Раздел 3.Нахождение расстояний в пространстве
координатным методом
4.1. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Декартовы прямоугольные координаты точки. Формулы нахождения: расстояния между точками в координатах; точки координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, середины отрезка. Решение простейших задач стереометрии в координатах. Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Контрольная работа.
Основная цель - формировать умения учащихся с помощью уравнений прямых и плоскостей решать задачи стереометрии на нахождения расстояний, используя в качестве объектов правильный тетраэдр, правильную пирамиду, сферу, шар.
В результате изучения данного раздела ученик должен в координатной форме знать и понимать выражение скалярного произведения и условие перпендикулярности двух векторов; условие коллинеарности двух векторов, условие компланарности трех векторов; формулу вычисления длины вектора, а также формулу расстояния между двумя точками, деления отрезка в данном отношении. Формулу для вычисления расстояния от данной точки до данной плоскости. Уметь: находить длину вектора, расстояние между двумя точками и координаты точки, делящей данный отрезок в данном отношении; вычислять скалярное произведение двух векторов и определять, перпендикулярны ли они; вычислять расстояние: от данной точки до данной плоскости (прямой); между параллельными плоскостями; между параллельными прямой и плоскостью. С помощью уравнений прямых и плоскостей решать метрические задачи стереометрии.
Примеры задач из данных учебных пособий:
1. Найдите геометрическое место точек, удаленных от плоскости x+2y-2z-5=0 на расстояние равное 2.
А также решить задачи второго раздела, используя координатный метод.
Задания для самостоятельной работы:
1. Подобрать задачи из журнала «Математика» или «Квант» [1-4].
Литература:
1. Потоскуев, Е.В. Прямые и плоскости в координатах. /Е.В. Потоскуев // Математика (еженедельное приложение к газете "Первое сентября"). – 2012. - №6. – С. 22 – 33.
2. Прокофьев, А. О решении стереометрических задач координатно – векторным методом / А. Прокофьев, В. Бардушкин // Математика (еженедельное приложение к газете "Первое сентября").- 2013. - №1. – С. 26-34
3. Шувалова, Э. Координатный метод / Э. Шувалова// Квант – 1977. - №11. - С. 82 – 89.
Контрольная работа
Вариант №1
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние до АВ1 от вершин: а) С1; б) В; в) С, если ребро куба равно 8.Ответ: а) 8; б) 42; в) 46.
2. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние:1) между вершинами А и С; 2) между вершиной А и серединой Н отрезка С1Е1. Ответ: 1) 3; 2) 132.
3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние до А1ВC1 от вершин: а) B1; б) D1; в) D, если ребро куба равно 9.Ответ: а) 33; б) 33; в) 63.
4. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние:от точки В до плоскости А1EF.
Ответ:2217.
5. РАВС – правильный тетраэдр с ребром, равным 22. Найдите расстояние между прямыми: АС и ВР. Ответ: 112.
6. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми F1Ви EF. Ответ:32.
Вариант №2
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние до ВD1 от вершин: а) A1; б) D; в) С1, если ребро куба равно 8.Ответ: а) 863; б) 863; в) 863.
2. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние:1) между вершинами А и С1; 2) между вершиной А и серединой К отрезка В1F1. Ответ: 1) 2; 2) 52.
3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние до АВ1C от вершин: а) B; б) С1; в) D1, если ребро куба равно 6.Ответ: а) 23; б) 23; в) 43.
4. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние: от точки В до плоскости АВ1С.
Ответ:55.
5. РАВС – правильный тетраэдр с ребром, равным 22. Найдите расстояние между прямыми: АР и ВС. Ответ: 112.
6. АВСDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми A1В и C1D.
Ответ:355.
Литература:
1. Потоскуев Е.В. Решение задач по стереометрии. Практикум. Подготовка к ЕГЭ. – М.: Илекса, 2012. – 108 с.
Тематика исследовательской работы учащихся
Предлагаемые ниже темы исследовательских работ могут быть использованы учащимися при выполнении индивидуальных или групповых проектов или в качестве индивидуальных научно-исследовательских работ.
Темы выдаются в начале изучения программы. Защита проектов или работ проходит в рамках учебно-исследовательской конференции. Лучшие работы отбираются на школьную или городскую научную конференцию учащихся.
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
2. Расстояние от точки до плоскости.
3. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
4. Нахождение расстояний в пространстве векторным методом.
5. Нахождение расстояний в пространстве координатным методом.
6. Расстояние между параллельными плоскостями
7. Геометрическое место точек в пространстве.
8. Расстояния в правильном тетраэдре
9. Расстояния в кубе.
10. Расстояния в правильной шестиугольной призме.
План работы группы:
Определение понятия, основные теоремы помогающие при решении задач.
Подобрать способы нахождения расстояний.
Способ построения расстояния между фигурами.
Подобрать задачи, используя многогранники и многоугольники, расположенные в пространстве.
Аргументация каждого шага построения изображения, доказательной и вычислительной частей решения задачи.
Система оценивания
Система оценки достижений учащихся в овладении нахождения, построения, вычисления расстояний в рамках элективного курса происходит в течение всего срока обучения в виде контрольных работ различного уровня сложности для текущего, промежуточного и итогового контроля, а также для коррекции ошибок. 
Оценка «отлично» (5) – учащийся блестяще освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных математических задач, имеющих прикладной характер; в процессе написания и защиты проектов, где продемонстрировал умение работать с научной литературой. Выполнил в контрольной работе 5 заданий.
Оценка «хорошо» (4) – учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартным заданием; ученик справился с написанием проекта, но без проявления творческих способностей. Выполнил в контрольной работе 4 задания.
Оценка «удовлетворительно» (3) – учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнить 3 задания в итоговой контрольной работе самого простого состава задач.
Оценка «неудовлетворительно» (2) – ученик не проявил ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса. Отклонился от участия в написании проектов. В итоговой контрольной работе самого простого состава задач справился всего с 1-2 задачами.