Майстер клас6 Особливості викладання теми «Застосування метода інтервалів при розв`язуванні нерівностей».

Особливості викладання теми «Застосування метода інтервалів при розв`язуванні нерівностей».
Епіграф
Любіть Україну – вашу власну державу. Не на словах, а на ділі, роблячи все, аби вона була процвітаючою, міцною, багатою, незалежною, розумною і щасливою. О. Захаренко
Кошик очікувань.
Які асоціації у наших учнів та їх батьків виникають при словах ЗНО?
Зачитати анкети учнів.
Я вважаю що в цих анкетах учні висловлюють не тільки свою думку, а і й думку оточуючих іх дорослих. Як вчитель середньої освітньої школи я вважаю, що крім фундаментальних знань математики, я повинна ще дати учням впевненість у тому, що вони подолають труднощі перед складанням іспитів на отримання атестата про повну середню освіту.
Вже 7 років випускники українських шкіл мають можливість вступати до ВНЗ за допомогою тестів ЗНО з математики. На початку цього процесу йому передувало експериментальне тестування, яке не було обов`язковим. ЗНО, як експеримент почалось з 2001/2003 навчального року. Сьогодні учні і їх батьки вже впевнились у тому, що оцінювання за допомогою тестів дає можливість отримати вищу освіту згідно їх підготовки. Яка роль вчителя математики при підготовці учнів до ЗНО?
Сутність ЗНО полягає в втому, що рівень навчальних досягнень учня (абітурієнта) визначається поза межами школи та вищого навчального закладу,у Центрі тестових технологій та регіональних центрах. Під час ЗНО передбачено реалізацію трьох основних функцій;
- сертифікаційну ( встановлюється відповідність навчальних досягнень учнів державним освітнім стандартам або навчальним програмам);
- селективну (здійснюється відбір кращих випускників для продовження навчання у вищих навчальних закладах;
- діагностичну (вивчається рівень засвоєння учнями шкільного матеріалу з конкретного предмета).
В основу побудови змісту й організації процесу навчання математики покладено компетентнісний підхід, відповідно до якого кінцевим результатом навчання предмета є сформовані певні компетентності учнів. Їх сутнісний опис подано в програмі в розділі «Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів».
Скажи мені - я забуду, покажи мені - я запам ’ятаю, залучи мене - я навчусь. Східна приказка Як ви вважаєте, коли треба починати підготовку до ЗНО?
Я вважаю що готувати до тестування треба починати із початкової школи, але ми, викладачі математики, починаємо свою підготовку з 5 класу.
Знайомство з методом інтервалів учні починають ще на уроках алгебри в 9 класі.
Наприклад : х2 -5х + 6 <0
Розкладемо квадратичний тричлен на множники:
х2 - 5х + 6 = (х - 2)(х - 3)
отримаємо квадратичну нерівність виду: (х -2)(х-3) < 0
отже розглянемо функцію
у = (х - 2)(х - 3)
Знайдемо Д(у): (-∞;+∞)
Нулі функції розбили Д(у) на проміжки знакосталості.
Визначимо знаки проміжків.
Отже : х є(2;3)
Взагалі, якщо функцію задано формулою виду:
f(x) = (x-xl)(x-x2)...(x-xn), де х - змінна, а хх,х2...хп- не рівні одне одному числа. Причому числа х1,х2...хп є нулями функції,то на кожному із проміжків, на які область визначення розбивається нулями функції, знак зберігається, а при переході через нуль її знак змінюється. Ця властивість використовується для розв'язування нерівностей виду:
(х-х1)(х-х2)...(х-хп) <0, (х-х1)(х-х2)...(х-хп) >0, де хІ, х2...х„ не рівні між собою числа.
Ми сьогодні розв'язуємо нерівності другого степеню, але ця теорема дає можливість розв'язувати нерівності і більш високих степенів, і в майбутньому до способу розв'язування нерівностей методом інтервалів ми будемо повертатися неодноразово.
Отже: (x + 4)(x + 2) > 0
1.Введемо функцію.у = (х + 4)(х+2)
Знайдемо її область визначення. Д(у): х є (-∞;+∞) .
Нулі функції: у=0, якщо їх=-4,х=-2.
Визначимо знак функції на крайньому правому проміжку він співпадає за знаком коефіцієнта старшого члена многочлена.Використовуючи вивчену теорему, знаки функції на інших проміжках чередуемо.
Отже розв'язком нерівності є об'єднання проміжків.
Відповідь: х є (-∞;-4) ∪ (-2;+∞).
Але на цю тему відводиться дуже обмаль часу.
Більш фундаментально вивчається метод інтервалів у профільному 10 класі, та в 11 класі.
За теоремою Больцано-Коші , якщо функція f неперервна на відрізку a;b і на кінцях цього проміжку набуває значень різних знаків, то існує така точка с∈(a;b), що f(с)=0.
Наслідок. Якщо функція неперервна на проміжку I і немає нулів на деякому проміжку I ,то вона на цьому проміжку зберігає свій знак. Використовується для розв’язування нерівностей f(x)>0 f(x)<0, f(x)≥0, f(x)≤0. Метод ґрунтується на тому, що неперервна на проміжку функція може змінювати знак тільки в тих точках, де її значення дорівнює нулю (але може й не змінювати).
     Щоб розв’язати нерівність методом інтервалів, потрібно:
1. знайти область визначення функції y=f(x);
2. знайти значення х, при яких функція дорівнює нулю (знайти всі нулі функції): f(x)=0;
3. розбити область визначення на проміжки, у яких кожен із кінців є коренем рівняння f(x)=0 або кінцевою точкою проміжку визначення функції y=f(x);
4. визначити знак f(x) на кожному з утворених проміжків;
5. об’єднати проміжки, на яких функція f(x) задовольняє нерівність, у множину розв’язків.
Для усвідомлення цього матеріалу учням можна запропонувати такі завдання:
  Приклад 1. Розв’яжіть нерівність x2-2x-3x2+3x-4≥0Розв’язання     Розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники й одержимо x-3x+1x-1x+4≥0     Позначимо на чиловій прямій точки 3; -1; 1; -4, у яких чисельник або знаменник дробу перетворюється на нуль. Ці точки поділяють числову пряму на п’ять проміжків. При х>3 усі множники чисельника і знаменника дробу додатні, то дріб є додатним.

     При переході від одного проміжку до іншого дріб змінює знак, тому можна розставити знаки. Значення х=-1, х=3 задовольняють дану нерівність, а при х=1, х=-4 дріб не має змісту. Таким чином дана нерівність має розв’язок -∞;-4∪-1;1∪3;+∞.
     Відповідь: -∞;-4∪-1;1∪3;+∞.
Бліц опитування засвоєного матеріалу може виглядати у вигляді самостійної роботи.
Варіант 1.
№1. Розв'язати методом інтервалів нерівність:
а) б)
№2. Знайти область визначення функції:
Варіант 2.
№1. Розв'язати методом інтервалів нерівність:
а) б)
№2. Знайти область визначення функції:
Тепер я запропоную Вам типові приклади, які містять множники зі степенями.
Приклад . Розв'язати нерівність:
х+56∙х+23∙х∙х-12∙х-35≥0По-перше, відмітимо, що якщо у розкладанні многочлена на множники міститься множник
, то кажуть, що - корінь многочлена кратности .
Данный многочлен має корні: кратності 6; кратності 3; кратності 1; кратності 2; кратності 5.
Нанесемо корені на числову пряму. Відмітимо корені парної кратності особливим способом, а корені непарної кратності – іншим способом
,
Визначимо знаки многочлена на кожному інтервалі і отримаємо діаграму знаків многочлена на всій числовій прямій:

Тепер легко дати відповідь на питання задачі

З малюнка бачимо, що.х∈-5∪-2;0∪1∪3;+∞.
Проаналізуємо зміну знаків в коренях різної кратності.
У коренях парної кратності зміна знаків не відбулась.
Подивіться, будь ласка, на діаграму знаків,що можна побачити?
Давайте подивимось, чи підтвердиться дане спостереження, при розв`язуванні інших нерівностей?
Приклад . Розв'язати нерівність:
1 варіант:
2 варіант:
Загальна схема спостереження:
Для розв`язку нерівностей важливо знати, чи є k парним, або непарним числом.
При парному k многочлен справа і зліва від x0 має один і той же знак (тобто знак многочлена не змінюється).
При непарному k многочлен справа і зліва від x0 має протилежні знаки (тобто знак многочлена змінюється).
Тепер розглянемо способи розв`язування раціональних нерівностей PxQx≥0 методом інтервалів.

Відмітимо, щ раціональні нерівності легко можна звести до системи
Px∙Qx≥0Qx≠0, якщо обидві частини нерівності помножити на многочлен Q(x)2 , який буде додатній при всих допустимих значеннях х, тому що Qx≠0. Пригадаємо, що знак добутку і знак частки буде однаковим .
Приклад . Розв'язати нерівність:
Оскільки знаменник даного дробу не може дорівнювати нулю, звідси:
Зведемо дану нерівність до алгебраїчної.
Отримаємо .
Розклавши квадратний тричлен на множники отримаємо : .
Знаходимо корені многочлена,визначаємо їх кратність:х =1 (парна кратність), інші корені корни 3, -1, 0, 5, -2 (непарна кратність).Відмічаємо корені на числовому промені,враховуючи область визначення нерівності і визначаємо знаки на проміжках із врахуванням кратності коренів.

Відповідь: -∞;-2∪-1;0∪1∪3;5.
Звернувши увагу на умови завдань ЗНО попередніх років,я пропоную учням завдання, в яких міститься у відповіді одне число.
Приклад . Знайти кількість цілих розв’язків нерівності х-1х+24х-35х+6х2х-73≤0 Для виконання цього завдання требам розв'язати нерівність: х-1х+24х-35х+6х2х-73≤0,
х∈-6;0∪0;1∪3;7.
Відповідь:11.
У різних варіантах можна запропонувати учням найти найбільший або найменший розв’язок нерівності.
Приклади у навчанні - корисніші за правила. Исаак Ньютон.
Відпрацювати отримані навички можна на наступних прикладах дома самостійно.
а)
б)
в)
г)
д)
При розв’язуванні вправ за допомогою метода інтервалів слід нагадати учням, що нам постійно треба записувати функцію у вигляді добутку.
Теорема Вієта дуже добре допомагає у старшій школі зберегти час, відведений на написання тестів, особливо при розв’язуванні вправ на розкладання на множники і потім застосування методу інтервалів.
х2-5х+6=0; х2+5х+6=0; х2-5х-6=0; х2+5х-6=0 .
Достатньо потренувати абітурієнтів на чотирьох прикладах, а потім весь час спонукати учнів до застосування теореми при знаходженні цілих коренів зведеного квадратного рівняння. Хто швидший знайде корені за теоремою Вієта?
Застосування методу інтервалів дуже актуально, при дослідженні функції на монотонність та знаходження екстремумів функції.
Приклад 12.31 .Знайти точки мінімуму і максимуму функції
fх=cosхcosх-π3.
Для знаходження критичних точок функції обчислимо
f '(х) =cosх'cosх-π3+cosх-π3'cosх=
=-sinх∙cosх-π3-sinх-π3∙cosх=-sin2х-π3=0,
2х-π3=πn, де n∈z.2х=π3+πn ; х=π6+π2n,де n∈z.Застосовуючи загальний метод інтервалів наносимо на числову пряму критичні точки функції , з`ясовуємо знак функції на кожному з інтервалів.

π 6 2π 3 7π6 max min max
f '(х)=-sin2х-π3. f '(0)=-sin0-π3 >0.
f '(π2)=-sinπ-π3 =-sin2π3<0. f '(π )=-sin2π-π3=-sin5π3 >0.
Відповідь: x min=π6+πn . x max= 2π3+πn, n∈z.Тригонометричне коло. Заготовки та шляхи подачі матеріалу, пропедевтика розв`язування тригонометричних рівнянь та нерівностей. Вивчення радіанної міри кута.



Приклад . 12.34 При яких значеннях параметра а точка х0=1 є точкою мінімуму функції
y=x33+ax2+a2-4x+7 ?
y'=x2+2ax+a2-4=0 приx=-2a±4a2-4a2+162=-a±2.
-a-2 -a+2
max min
при х0=1 ,a=1 .
Приклад 21.44. При яких значеннях параметра а рівняння
х-аlog23х-7=0 має єдиний розв`язок?
log23х-7=0 має розв’язок при 3х-7>0, х>73, х>213.
При х≤213 рівняння немає роз`вязків.
log23х-7=0 , при 3х-7=1 , х=83 , х=223, і х=а=223, тобто при всіх інших значеннях параметра а рівняння буде мати більше ніж один розв’язок.
Відповідь: а=223 або а≤213.
Приклад . Розв'язати нерівністьlog12log8х2-1х-2≤0.х2-1х-2>0log8х2-1х-2>0log12log8х2-1х-2≤log121. ; х2-1х-2>0х2-1х-2>1log8х2-1х-2≥log88. ;х2-х+1х-2>0х2-8х+15х-2≥0 ; оскільки х2-х+1>0 , тох-2>0х-3х+5х-2≥0 .
Відповідь: х∈2;3∪5;+∞.
Приклад .Знайдіть область визначення функції у=4-х2log12х+5.
4-х2log12х+5≥0
Відповідь: х∈-4;-2∪2;+∞.
Перенесення знань на змінені ситуації.
Викладаючи економіку у старших класах я знову повертаюсь до вивченого метода вже при розв’язуванні задач економічного змісту Загальний (валовий) дохід (виторг) (total revenue, ТR) — сума грошей, яку отрималопідприємство від реалізації продукції за певний проміжок часу. Загальний дохід обчислюється заформулою: TR = P*Q ,
Функція сукупних витрат фірми дорівнює: Р = Q2 -8Q + 7.
Ціна одиниці продукції Р=12 (фірма конкурента). При яких обсягах виробництва фірма буде мати економічний прибуток (ЕР > 0)?
Розв’язання:
ЕР - економічний прибуток , ЕР = ТР-РС, ТЯ - виторг -Q2 +8Q - 7 >0. Q2 – 8Q + 7 < ОQ =7 або Q=1

1<Q<7
Фірма буде мати економічний прибуток, якщо обсяг виробництва буде в межах від 1 до 7.
Не можливо дати іншому те, чого не маєш сам. Так не може виховувати та навчати інших той, хто сам не є розвиненим і вихованим.  А.Дістервег.