Урок обобщения и систематизации знаний. Квадратные уравнения

1876425000Дарханова Майрамкул Куралбаевна - учитель математики высшей категории
Западно - Казахстанская область, Бурлинский район , г. Аксай, СШ №4
Тема: Квадратные уравненияТип урока: Урок обобщения и систематизации знаний. Углубленное изучение свойств квадратных уравнений.
Образовательные цели урока: Обеспечить закрепление теоремы Виеты. Обратить внимание на решение квадратных уравнений ах2+bc+c=0 , в которых а+b + c =0; привить навыки устного решения таких уравнений.
Воспитательные цели урока: Способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов; развивать самостоятельность и творчество.
Оборудование к уроку:
Мультимедийный проектор: Задания с тестами «Квадратные уравнения», задания для работы на уроке.
Карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Карточки с индивидуальными заданиями для учащихся.
Таблицы:
а) теорема Виета;
б) свойства квадратных уравнений.
Ход урока
Организационный момент
Учащимся сообщаются задачи урока:
Контроль знаний с помощью тестирования (тест на заполнение пропусков, чтобы получилось верное определение, формулировка, правило).
Решение задач на применение прямой и обратной теорем Виета.
Изучение нового свойства квадратных уравнений.
Повторение пройденного материала:
Решить уравнение: (по заранее написанному)
7х2 - 9х +2=0.
Решение:
D = (-9)2-4·7·2=25; D > 0.
х1 = 9+52·7 ; х2 = 9-52·7 ; х1 = 1; х2 = 27 .
ответ: 1; 27 .
Тест «Квадратные уравнения»
Мультимедийный проектор: Задания с тестами «Квадратные уравнения». В тетрадях записывают ответы на пропуски (многоточие)
Тест проводится в двух вариантах. На заполнение этого задания дается 5 минут.
Задания теста
Вариант 1
…уравнением называется уравнение
ах2+bc+c=0,
где а,b,с – заданные числа, а≠0,х – переменная.
Уравнение х2=а, где а >0, имеет корни х1 = …; х2 = … .Уравнение ах2 =0, где а≠0, называют … квадратным уравнением.
Уравнение ах2+bc+c=0,где а≠0, b≠0, называют … квадратными уравнениями.
Если ах2+bc+c=0- квадратное уравнение (а≠0), то b называют … коэффициентом.
Корни квадратного уравнения ах2+bc+c=0 вычисляют по формуле
х1,2 = …±…… .Приведенное квадратное уравнение х2+рх+q=0, совпадает с уравнением общего вида, в котором а = …, b=…, с = … .Если х1 и х2 – корни уравнения х2+рх+q=0,то справедливы формулы
х1+х2 = …; х1*х2 = ….

Вариант 2
Если ах2+bc+c=0 – квадратное уравнение, то а называют … коэффициентом, с - … членом.
Уравнение х2=а, где а< 0, не имеет … .Уравнение вида ах2+с = 0, где а≠0, с≠0, называют … квадратным уравнением.
Корни квадратного уравнения ах2+bc+c=0 вычисляют по формуле
х1 = -…-…2а ; х2 = -…+…2а
Квадратные уравнения ах2+bc+c=0 имеет два различных действительных корня, если b2-4ас…0.
Квадратное уравнение вида х2+рх+q=0 называют … .Сумма корней приведенного уравнения равна … коэффициенту, взятому с … знаком, а произведение корней равно … члену.
Если числа р, q, х1,х2 таковы, что х1+х2 =-р, х1*х2 =… , то х1 и х2 – корни уравнения …
Тесты сдаются на проверку. Ответ сравнивают с доской (проектор)
3.Задание (устно) на определение вида уравнения( задания на доске).
Вопрос учащимся: Здесь вы видите уравнения, определенные по какому- то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?
а) 1) 2х2-х=0; б) 1) х2-5х+1=0;
2) х2-16=0; 2) 9х2-6х+10=0;
3) 4х2+х-3=0; 3) х2+2х-2=0;
4) 2х2=0; 4) х2-3х-1=0;
Ответы:
а) 3)-лишнее, так как это полное квадратное уравнение . 1),2),4) – неполные квадратные уравнения.
б) 2)- лишнее, так как это уравнение общего вида. 1),3),4) –приведенные квадратные уравнения.
4. а) вопрос учащимся:
- Как можно решить приведенное квадратное уравнение?
( Ответ: по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета.)
- Сформулировать теорему Виета (отвечают учащиеся).
Использование таблицы:
х2+рх+q=0
х1+х2= - р
х1∙х2 = q
б) вопрос учащимся:
- как используется теорема Виета при решение квадратного уравнения общего вида а2+bх+с=0?
( ответ: заменить это уравнение равносильным ему приведенным квадратным уравнением).
Один из учеников записывает равносильное уравнение:
х2+ bax+ca= 0, (а≠0).
Использование таблицы:
ах2+bх+c=0,a≠0x2+bax+ca=0
х1+х2=-baх1∙ х2 = c aРешение задач с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)
Задание: (по заранее записанному)
Дано уравнение: х2-6х+5=0.
Не решая уравнения, найти:
Сумму корней…
Произведение корней…
Квадрат суммы корней…
Удвоенное произведение…
1х1+1х₂=х₂+х₁х₁*х₂ = …
Подобрать корни…
Класс выполняет задания в тетрадях. Учитель записывает ответы, полученные учащимися, на доске.
Задание (устно).
а) найти сумму и произведение корней следующих уравнений:
х1+х2 х1* х2
х2-3х-4=0; ? ?
х2-9х+14=0; ? ?
2х2-5х+18=0; ? ?
3х2+15х+1=0; ? ?
б) для уравнений 1),2) найти подбором корни.
Ответ: 1) х1=4, х2=-1; 2) х1=7, х2=2.
Задание:
Составить приведенное квадратно уравнение, если известны его корни (перед выполнением задания учащиеся формулируют обратную теорему Виета).
а) учитель сам решает задание, записанное на доске:
х1=-3; х2+рх+q=0;
х2=1. х2+2х+(-3)=0;
р=2; q=-3;
х1+х2=-3+1=-2 х2+2х-3=0;
-р=-2; р=2
х1∙х2= q
х1∙х2= -3; q=-3.
б) Самостоятельная работа в четырех вариантах (с проверкой в классе).
Вариант I Вариант II Вариант III Вариант IV
х1=5, х1=-5, х1=5, х1=-5 х2=6, х2=6, х2=-6, х2=-6 Записать на доске полученные уравнения (к доске приглашаются по одному ученику от каждого варианта, остальные ученики проверяют.)
ответы к вариантам:
I) х2-11х+30=0.
II) х2-х-30=0.
III) х2+х-30=0.
IV) х2+11х+30=0.
Во время самостоятельной работы два ученика работают у доски по карточкам.
Каточка 1
Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни: х1=7; х2=-3.
Каточка 2
Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни: х1=8; х2=-4
После проверки составленных уравнений необходимо сделать вывод о знаке перед свободным членом квадратного уравнения.
Изучение нового свойства квадратных уравнений
1. Ребята, мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня мы познакомимся еще с одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.
2. Задание (устно)
Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.
сумма
коэффициентов
х2-5х+1=0; 1-5+1=-3.9х2-6х+10=0; 9-6+10=13.
х2+2х-2=0; 1+2-2=2.
х2-3х-1=0; 1-3-1=-3.- При решение некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов. Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решили дома.
3. Проверка домашнего задания. Применение решения к изучению нового свойства.
(На доске записаны квадратные уравнения, решить которые нужно было дома.)
сумму
коэффициентов
х2+х-2=0; х1=1, х2=-2 0
х2+ 2х-3=0; х1=1, х2=-3 0
х2-3х+ 2=0; х1=1, х2=2 0
5х2-8х+ 3=0; х1=1, х2=35 0
Учащиеся отвечают, чему равны корни квадратного уравнения.
- Ребята, а сейчас посмотрим на эти уравнения и их корни.
Попробуйте найти какую-то закономерность:
в корнях этих уравнений;
в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;
в сумме коэффициентов.
Ученики отвечают то, что они здесь увидели (заметили):
первый корень равен 1;
второй корень равен c или ca ;
сумма коэффициентов равна 0.
- Ребята, к какому выводу вы пришли. Придумайте правило.
Делаем вывод:
Если в уравнениях ах2+bх+c=0, а+b+c=0, то один из корней равен 1, а другой ( по теореме Виета) равен ca.
Запись этого свойства в тетрадях имеет вид:
ах2+bх+c=0;
а+b+c=0;
х1=1, х2= ca (если a=1, то х1=1, х2= с).
Это свойство применяют для устного решения квадратных уравнений. Рассмотрим это на следующих примерах.
V. Решение задач на закрепление свойств.
1.Обратить внимание учащихся на уравнение, которое было решено в начале урока.
7х2-9х+2=0;
7-9+2=0;
х1=1, х2= 27 .2.Сделать вывод о значимости данного свойства.
VI. Самостоятельная работа
(по карточкам в двух вариантах)
Задание. Решить уравнение:
Вариант I
х2+23х-24=0;
2х2+х-3=0;
-5х2+4,4х+0,6=0;
13х2+ 223х-3=0;
Вариант II
х2+15х-16=0;
5х2+х-6=0;
-2х2+1,7х+0,3=0;
14х2+ 334х -4=0;
Проверить задания учащихся, быстро справившихся с решением. Выставляется оценка. Остальные учащиеся сдают работы на проверку.
VII. Задание на дом
Придумайте 3 уравнения, в которых а+b+c=0.
№335
VIII. Итог урока
Выставление оценок учащимся за работу на уроке.