Примеры задач по темам: „Натуральные числа”, „Обыкновенные дроби”

Примеры задач по темам: „Натуральные числа”, „Обыкновенные дроби”
Задачи на развитие внимания
1.Тип задачи: Умение выделять существенное.
1.1. 3а 40 секунд запомните 20 чисел и их порядковые номера:
1) 13; 2) 12; 3)10; 4) 23; 5) 22; 6) 20; 7) 33; 8) 32; 9) 30; 10) 43; 11) 42; 12) 40; 13)53; 14) 52; 15) 50; 16) 63; 17) 62; 18) 60; 19) 73; 20) 72.1.2. Вася записывает последовательность чисел. Определите правило, по которому он записывает каждое следующее число и запишите несколько следующих: 12, 31, 24, 12, 51…
(Поставив запятую после каждой третье цифры, ответ становится очевиден).
2.Тип задачи: Задачи с несформулированным вопросом
2.2. В двух кассах магазина находится 14000 рублей. Если из первой кассы переложить во вторую 1500 рублей, то в обеих кассах будет поровну. (Сколько денег было в каждой кассе?).
2.3. У мальчика столько сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев (Сколько братьев и сколько сестер в этой семье?).
3. Тип задачи: Задачи на выделение геометрических элементов и фигур из общего фона
3.1. Разрежьте фигуру (см. рис.) на 5 частей одинаковой формы и одинакового размера так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному серому квадратику.
Решение.

Рис.1. „Интересная фигура”
3.2. Какой фигуры нет на этом рисунке?

Рис.2. “Сказочная мордашка”
A) круга; B) треугольника; C) квадрата
D) прямоугольника; E) все перечисленные фигуры есть.
Упражнения на развитие восприятия
1.Тип задачи: „Поиск информации”
1.1. Дана 100-клеточная таблица, заполненная цифрами (графическими изображениями, геометрическими фигурами разной формы и двух цветов, с набором букв). Задание: подсчитать, сколько раз встречается каждое из чисел от 0 до 9 (сколько раз встречается тот или иной знак, фигура, цвет и т.п.).
2.Тип задачи: Задачи на метод „проб и ошибок”
2.1. Между некоторыми цифрами 1, 2, 3, 4, 5 поставить знаки действий и скобки так, чтобы значение выражения было равно 40.
2.2. Ученик переписал числовое выражение 9664 : 32 – 2 · 195 – 37 · 5, значение которого равно 3000. Где в этом выражении должны стоять скобки?
4.Тип задачи: Задачи с неполным составом условия
4.1. Класс получил общие и простые тетради – всего 42 штуки. Общая тетрадь стоит 6 рублей, а простая 1 рубль. Сколько тех и других тетрадей получил класс? (Нужно знать общую стоимость тетрадей).
4.2. В библиотеке всего 6100 книг на французском, английском и русском языках. Французских книг больше английских на 25%. Сколько книг на каждом языке? (Нет данных о количестве книг на каком-нибудь одном языке).
5. Тип задачи: Задача с избыточным составом условия
5.1. На автостоянке находятся 40 машин – автомобили и мотоциклы. У них вместе 100 колес и 40 рулей. Сколько тех и других машин?
6. Тип задачи: Задачи с взаимопроникающими элементами (способность быстрого переключения с одного аспекта восприятия на другой).
6.1. Представьте первые пятнадцать чисел натурального ряда, обходясь лишь одной цифрой 2, применяя ее только 5 раз и используя арифметические действия
(Ответ: 1 = 2 + 2 – 2 – , 2 = 2 + 2 + 2 – 2 – 2, 3 = 2 + 2 – 2 + , 4 = 2 • 2 • 2– 2 –2, 5 = 2 + 2 + 2 – , 6 = 2 + 2 +2 + 2 – 2 , 7 = 22 : 2 – 2 – 2, 8 = 2 • 2 • 2 + 2 – 2 , 9 = 2 • 2 • 2 +, 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2, 11 = 22 : 2 + 2 – 2, 12 = 2 • 2 • 2 + 2 + 2, 13 = (22 + 2 + 2) : 2, 14 = 2 • 2 • 2 • 2 – 2, 15 = 22 : 2 + 2 + 2.)
 Задачи на развитие памяти
1 .Тип задачи: Задачи с различной степенью наглядности решения
1.1. Юля и Саша решили посчитать кусты пионов, которыми был засажен школьный двор. Обход пришкольного участка дети совершили в одном направлении, но считать начали с разных кустов. Пион, который у Юли был восемнадцатым, у Саши он был пятым, а пион, который у Юли был пятым, у Саши был – сорок вторым. Сколько же кустов пионов росло вокруг пришкольного участка? Объясни числовые равенства: 1) 18 + 5 = 13 (л);
2) 42 +8 = 50 (л); откуда возникло при решении число 8?
2. Тип задачи: Задачи в словесном и наглядном оформлении
3289300905510002.1 .Пятиклассники поехали отдыхать летом в оздоровительный лагерь. В первый автобус село 23 человека, а во второй на 5... . Продолжи задачу так, чтобы условие соответствовало бы данному рисунку.
4572004254500 1.23
44450030416500195580062230004445006223000 На 5 б?
19431001270002286000127000
Рис.3. Схема условия задачи.
3.1. а) комод, балда, букет, кладь, бритва, ковер; б) 246, 758, 371, 623, 782, 735; в) Боря, Даша, Нина, Алик, Вика, Женя (задания в виде игры).4. Тип задачи: Задачи со сложным для запоминания условием
4.1. В первый день со склада отгрузили 2/11 находящегося там картофеля, во второй день вдвое больше, в третий день 1/5 остатка, после чего осталось 48 тонн. Сколько картофеля было на складе?
5.Тип задачи: Задания на выявление соотношения наглядно-образных, и словесно- логических компонентов интеллектуальной деятельности
5.1. 1-ая часть задания: рассмотреть образец в течение 3 секунд; 2-ая часть задания: узнать его среди 10 предъявленных ему весьма
сходных изображений (10 секунд) и описать его признаки.
6.Тип задачи: Задача с несколькими решениями
6.1. Прямоугольник 3 х 5 разграфлен на 15 одинаковых квадратов и центральный квадрат удален. Найдите 5 способов разрезания оставшейся фигуры на 2 равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадрата.
Задачи на развитие представления и воображения
1. Тип задачи: Задачи в словесном и наглядном оформлении
1.1. Прямоугольник разрезали на три одинаковых квадрата, сумма периметров которых 24 см. Найдите площадь исходного прямоугольника. а) 16 см2; б)6 см2; в)18 см2; г)12 см2.
1.2. В квадрате 4 х 4 расставьте цифры от 1 до 4 так, чтобы в каждой строке и по главным диагоналям каждая из названных цифр встречалась бы один раз.
Ответ: 2 4 1 3
1 3 2 4
3 1 4 2
 4 2 3 1
1.3. . Фигуры P, Q, R и S – квадраты. Периметр квадрата P равен 16 м,
а периметр квадрата Q равен 24 м. Чему равен периметр квадрата S ?2. Тип задачи: Задачи с различной степенью наглядности
2.1. Можно ли замостить плоскость данной фигурой?
3. Тип задачи: Задачи на „фантастические гипотезы”
3.1. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб?
4. Тип задачи: Творческие задачи
4.1. Придумай сказку, решением которой будет выражение 53 – 4 – 11 + 5.
4.2. Составить описание, нарисовать картину о том, что произойдет, если в мире что-либо изменится. „Если бы...: а) все объемные геометрические фигуры превратились в плоские; б) хищники стали травоядными; в) все люди переселились на Луну; и т.п.”.
5. Тип задачи: Гиперболизация (увеличение или уменьшение объекта познания, его отдельные части или качества).
5.1. Придумайте самое длинное слово, самое малое число.
Задачи на развитие мышления
Анализ
1. Тип задачи: Задачи на аналитический способ решения
1.1. На двух кустах сидели 16 воробьев. Скоро со второго куста 2 воробья улетели совсем, а затем с первого куста на второй перелетели 5 воробьев. После этого на каждом кусте оказалось одно и то же число воробьев. Сколько воробьев было на каждом кусте вначале?
1.2. У двух зрячих один брат слепой, но у слепого нет зрячих братьев. Как это может быть? (Ответ: это сестры).
2. Тип задачи: Задачи на перестройку действия
2.1. Третью часть пути турист прошел пешком, 2/5 оставшегося расстояния проехал на велосипеде, после чего ему осталось преодолеть еще 120 км. Найди запланированный путь туриста.
3 .Тип задачи: Задачи с несколькими решениями
3.1. На складе хранились яблоки в ящиках по 6 кг, 8 кг и 10 кг. Кладовщик должен отпустить для школы 100 кг яблок целыми ящиками, не вскрывая ни одного из них. По скольку ящиков каждого веса он должен брать, чтобы получилось ровно 100 кг (Рассмотри 10 способов решения этой задачи и запиши их)?
4. Тип задачи: Задачи с меняющимся содержанием
4.1. За 1 час Вася прочитал четверть всех страниц книги. Сколько страниц осталось ему почитать, если в книге 184 страницы? Составь задачу обратную данной.
4.2. Составьте задачу заданного типа, но другого предметного содержания: у каждого из пяти мальчиков было не меньше одного шара, а всего у них было 7 шаров. Мог ли кто-либо из них иметь: а) 3 шара? б) 4 шара?
Синтез
1. Тип задачи: Задачи на соединение
1.1. Предлагается пять равносторонних ромбов с углами по 60º и 120º, расположенных раздельно, в беспорядке. Что получиться в результате (соединения) синтеза этих пяти равносторонних ромбов? (Ответ: в результате соединения (синтеза) этих пяти фигур получится пятиконечная звезда)
2. Тип задачи: Комбинаторные задачи
2.1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? (Ответ: 25 чисел).
2.2. Мальчик собрал в коробку пауков и жуков – всего 8 штук. Если пересчитать, сколько всех ног в коробке, то окажется 54 ноги. Сколько же в коробке пауков и сколько жуков? (У жука 6 ног, у паука 8 ног). Ответ: 5 жуков, 3 паука.
2.3. Расставьте числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 в вершины прямоугольного параллелепипеда так, чтобы сумма четырех чисел, расположенных на каждой из шести граней параллелепипеда, была одинаковой.
3 .Тип задачи: Задачи с несколькими решениями
3.1. Решите анаграммы, дающие два решения, одно из которых – математический термин:
КТЕОВР, ОУНСК, РТСКЕО.
Сравнение
1. Тип задачи: Задачи на выделение существенного
1.1. Найдите общие признаки у чисел: а) 25 и 52; б) 25 и 35; в) 3333 и 444; г) 7 и 19; д) 8 и 192; е) 3 и 711; ж) 201 и 20101.
1.2. Найдите принцип „устройства” ряда и продолжи этот ряд:
а) 1, 1, 2, 3, 5, ... ; б) д, ж, з, к, ....
1.3. Вставьте пропущенное число:
а) 19/30/11 23/../27 6)7/91/13 8/../3 в) 283/81/431 526/../783.
1.4. Установите, чем с точки зрения математики отличаются и чем похожи слова: кот и ток; рост и сорт; клоун и уклон; приказ и каприз?
2. Тип задачи: Задачи, наталкивающие на самоограничение
2.1. Всем членам семьи сейчас 73 года. Состав семьи: муж, жена, дочь и сын. Муж старше жены на 3 года, дочь старше сына на 2 года. Четыре года тому назад всем членам семьи было 58 лет. Сколько лет теперь каждому члену семьи? (Часто считают, что задача составлена неправильно, т.к. 4 года тому назад всем четырем членам семьи должно было быть на 16 лет меньше, а не на 15. Учащиеся не учитывают того, что это указывает на то, что самого младшего члена семьи 4 года назад еще не было)Обобщение
1. Тип задачи: Задачи с постепенной трансформацией из конкретного в абстрактный
1.1. Преобразуйте данную задачу из конкретной в абстрактную и решите: АО „Кама” должен был выпустить 100 детских велосипедов и поэтому наметил изготовлять по 4 велосипеда в день. Но рабочие перевыполнили план и изготовляли ежедневно на 1 велосипед больше, чем планировалось. На сколько дней раньше срока завод выполнил заказ?
4. Тип задачи: „Нереальные” задачи (Примечание: термин задач введен В.А. Крутецким.)
4.1. Пароход весь путь от А до Б (по течению) и обратно (против течения) шел с максимальной скоростью. Фактически, ввиду наличия течения, скорость его была различной: от А до Б он шел со скоростью 20 км /час, а обратно со скоростью 30 км/час. Какова его средняя скорость за весь путь?
5. Тип задачи: Образование искусственных понятий
5.1. Длина комнаты а м, ширина и высота по b м. Каков объем п таких комнат?
5.2. Длина комнаты 6 м, ширина 3 м, высота с м. Каков объем Р таких комнат?
6.Тип задачи: Составление задач заданного типа
6.1. Составьте задачу заданного типа, но другого предметного содержания: в детском саду 375 детей. Докажите, что среди них обязательно найдутся хотя бы два ребенка, которые отмечают свое рождение в один и тот же день.
6.2. Решите данную задачу и составьте задачу заданного типа. В коробке лежат карандаши: 4 красных и 3 синих. В темноте берут карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не менее одного синего?
Абстрагирование и конкретизация
1.Тип задачи: Задачи на общие рассуждения
1.1. Объясните, почему сложение в столбик дает правильный результат?
 +351
 232
 583
Решение: 351 + 232 = (300 + 50 + 1) + (200 + 30 + 2) = (3 · 100+ 5 · 10 + 1) + (2 · 100 + 3 · 10 + 2) = (3 · 100 + 2 · 100) + (5 · 10 + 3 · 10) + (1 + 2) = 5 · 100 + 8 · 10 + 3 = 583; (свойства десятичной нумерации; разложение на разрядные слагаемые; сочетательный и переместительный законы сложения; распределительный закон умножения, табличное сложение; свойства десятичной нумерации).
2. Тип задачи: Взаимообратные задачи
2.1. Прямая. В бак влили 16 литров воды, и при этом бак наполнился на 2/5 своего объема. Каков объем бака?
Обратная. В бак вместимостью 80 литров влили воды до 2/5 его объема. Сколько литров воды влили в бак?
2.2. Прямая. Площадь прямоугольника равна 48 см2. Чему равна длина прямоугольника, если она больше ширины в 3 раза?
 Обратная. Длина прямоугольника равна 12 см. Найдите его площадь, если ширина прямоугольника в 3 раза меньше длины.
3. Тип задачи: Задачи с постепенной трансформацией из конкретного в абстрактный
3.1. Преобразуйте задачу в абстрактную и решите. На швейной фабрике „Москвичка” за месяц производится 2150 женских костюмов. Сколько мужских и женских костюмов производится на фабрике за 3 года, если женские костюмы составляют 3/4 от количества производимых мужских костюмов?
Классификация
1. Тип задачи: Задача на перестройку действия
1.1. Зашифровывая слово „азиат”, мы пишем „бикбу”. Как таким же шифром написать слово „европеец”?
1.2. Половина пришкольного участка занята садом, 50% остатка огородом, остальная площадь (0,3 га) занята цветами. Какова площадь пришкольного участка?
2. Тип задачи: Задачи на выделение существенного
2.1. Подумайте, что объединяет напечатанные заглавными буквами слова, и отметьте в нижнем ряду слово, которое к ним подходит:
 ЧЕТЫРЕ, ВОСЕМНАДЦАТЬ, СТО
а) пять, б) одиннадцать, в) тридцать семь, г) нуль, д) один.
Систематизация
1. Тип задачи: Поиск закономерностей
1.1. Продолжите числовой ряд: 18, 20, 24, 32,.…
1.2. Вставьте пропущенное число:
а)42/47/5 31/?/8; б)36/25/11 48/?/12; в) 6/66/11 5/?/12; г) 48/4/12 100/?/5.
1.3. Вставьте пропущенное
 7 (Х – 5) = 14 7/2 14Х – 20 = Х + 6
 8Х = 4 (Х + 3) – 4 ? Х + 4 = 9
1.4. Найти цифровое значение букв в этой условной записи сложения многозначных чисел (одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами)
 +смех
 гром
 греми
1.5. Вставьте пропущенное число.
 971 (27) 316
 568 (36) 845
 203 (?) 149
1.6. Какие из предлагаемых чисел следует выбрать, чтобы вставить в круг?
60% 90% 75% 10% 25% 40%
Умозаключение
1. Тип задачи: Задачи на доказательство
1.1.  В школе учится 370 человек. Докажите, что среди всех учащихся найдутся два человека, празднующих свой день рожденья в один и тот же день.
1.2.  Докажите, что сумма ++++ меньше 1.
1.3. Докажите, что два натуральных числа а и b обладают следующим свойством: либо а, либо b, либо (а + b), либо (а – b) делится на 3.
1.4. Два простых числа называются близнецами, если они являются соседями в ряду всех нечетных чисел. Доказать, что всякое число, находящееся между близнецами и большее 4, делится на 6.
2. Тип задачи: Логические задачи
2.1. В лесу проводился кросс. Одна белка сказала: „Первое место занял заяц, а второй была лиса”. Вторая белка сказала: „Заяц занял второе место, а лось был первым”. На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а вторая – нет. Кто был первым и кто вторым в кроссе?
2.2. В кафе встретились три друга: Желтов, Буров и Краснов. „Как замечательно, что один из нас одет в желтую, другой в бурую, а третий в красную рубашку, но ни у одного из нас цвет рубашки не соответствует нашей фамилии”, – заметил человек в красной рубахе. Какого цвета рубашка у Желтова?