Статья «Методология расчетов стержней на растяжение (сжатие)»

Методология расчетов стержней на растяжение (сжатие)

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю.

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ N
Рисунок
  Продольная сила - это внутреннее усилие, которое возникает между отдельными частями элемента под действием внешних сип (центрально-сжимающих или центрально-растягивающих).
Для определения продольной силы используется метод сечений. Растяжение обозначается плюсом (+), сжатие минусом (-). (рис. 1).
В соответствии с методом сечений; разрезаем, отбрасываем, заменяем, уравновешиваем:    1. Скачок в эпюре N равен приложенной в этом сечении сосредоточенной силе.    2. В сечении 'А' (заделка) есть реакция Ra, которую можно найти из формулы: Но проще идти со свободного конца, и затем найти реакцию Ra по эпюре в точке А: Ra = P.
Рисунок 1
При центральном растяжении (сжатии) в поперечном сечении возникают нормальные напряжения:
где N - продольная сила;
F - площадь поперечного сечения.
Эти напряжения распределены по поперечному сечению равномерно (рис. 2). 
 Рисунок 2
Проверка прочности центрально растянутого стержня выполняется по условию: 

При растяжении и сжатии бруса меняются его продольные и поперечные размеры (рис. 3). 
Рисунок 3 
При растяжении: 
Длина бруса меняется на  (удлинение), Ширина бруса меняется на  (сужение). При сжатии: 
 (укорочение)
 (увеличение)Закон Гука выражает прямо пропорциональную зависимость между нормальным напряжением и относительной деформацией: 
или, если представить в другом виде:
где Е - модуль продольной упругости.
Это физическая постоянная материала, характеризующая его способность сопротивляться упругому деформированию.
EF - жесткость поперечного сечения бруса при растяжении-сжатии.

абсолютная деформация (см, м)
относительная деформация безразмерная
коэффициент поперечной деформации, коэффициент Пуассона

l продольная
продопьная


b поперечная
поперечная


 Деформация бруса (растяжение или сжатие) вызывает перемещение поперечных сечений.
Рассмотрим три случая нагружения при растяжении.
В первом случае при растяжении бруса сечение n-n перемещается в положение n1-n1 на величину . Здесь: перемещение сечения равно деформации (удлинению) бруса  = l. 
Рисунок 4 
Во втором случае растяжения (рис. 5)
Рисунок 5

I-ый участок бруса деформируется (удлиняется) на величину l1, сечение n-n перемещается в положение n1-n1 на величину лев = l1.
II-ой участок бруса не деформируется, так как здесь отсутствует продольная сила N, сечение m-m перемещается в положение m1-m1 на величину В третьем случае рассмотрим деформации бруса при схеме нагружения, представленной на рисунке (рис. 6).
Рисунок 6
В этом примере: перемещение сечения n-n (лев) равно удлинению 1-ого участка бруса: 
Сечение m-m переместится в положение m1-m1 за счет деформации 1-ого участка бруса, а в положение m2-m2 за счет своего собственного удлинения: 
Суммарное перемещение сечения m-m: 
В данном случае:
Рисунок 7 
С использованием эпюры N получаем такой же результат (снимаем N с эпюры) (рис. 8).
Рисунок 8 
Перемещение конца консоли можно получить, используя только внешние силы (2Р,Р). Тогда

Для решения статически неопределимых задач необходимо получить столько дополнительных уравнений, сколько имеется лишних неизвестных (т.е. сколько раз статически неопределима задача).
Эти дополнительные уравнения получают из рассмотрения деформации системы - составляют условие совместности деформаций (рис. 9). 
Рисунок 9 
В этой системе мы можем взять следующие условия совместности деформаций:  (перемещение сечения А равно нулю, т.к. в этом сечении - заделка),  (то же). 
 (т.е. общее удлинение бруса равно нулю) 
Нам нужно выбрать только одно условие. Допустим, мы выбрали . Тогда отбросим заделку В' и заменим ее реакцией Rb, которая должна обеспечить неподвижность этого сечения (рис. 9).
Получили необходимое дополнительное уравнение, из которого определяем Rb
Строим эпюру N.
В статически неопределимых задачах эпюры внутренних усилий (у нас это - эпюра N) всегда двузначные, т.е. переходят с плюса на минус (или наоборот).


Пример решения работы

Условие задачи:
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с размерами см; см, см и площадью поперечного сечения нижнего участка см2, а верхнего – см2 нагружен внешними осевыми силами кН и кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .

Расчетная схема для задачи:


Рисунок 10

Решение задачи:
Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке
Учитывая, что , направим опорную реакцию вниз. Тогда из уравнения равновесия находим:
кН.
Строим эпюру продольных сил 
Разбиваем длину стержня на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.
Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.
Cечение 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что
кН.
Сечение 2 – 2. Внешняя сила растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает (напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила , противодействующая сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:
кН.
Сечение 3 – 3. Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она направлена к сечению и равна:
кН.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействует сжатию. Она равна:
кН.
При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.
Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия, поэтому кН.
Для построения эпюры продольных сил проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.
Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.
Полученную эпюру обводим жирной линией.
Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения внешних сил на эпюре имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис. д, никак не сказывается на характере эпюры .
Строим эпюру нормальных напряжений 
Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле
,
где и – продольная сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.
В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно
кН/см2,
во втором –
кН/см2,
в третьем –
кН/см2.
Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.
Оцениваем прочность стержня
Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым напряжением . Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда
кН/см2.
Условие прочности имеет вид . В нашем случае
кН/см2 > кН/см2,
следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.
Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную см2, нам необходимо увеличить.
Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.
Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:
см2.
Принимаем на втором участке см2.
Вычисляем удлинение всего стержня 
При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле
,
где E – модуль Юнга, а – длина соответствующего участка стержня.
Тогда
см.
Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.


Задания для решения работы

Условие задачи:
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) находится под действием внешних осевых сил и . Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .

Схемы для задачи:


Рисунок 11

Исходные данные к задаче:
Номер схемы
F, см2
a, м
b, м
c, м
P, кН

1
2,0
1,2
1,4
1,6
11

2
2,2
1,4
1,6
1,4
12

3
2,4
1,8
1,6
1,2
13

4
2,6
1,6
2,0
1,0
14

5
2,8
2,0
1,8
1,2
15

6
3,0
2,2
1,6
1,4
16

7
3,2
2,4
1,4
1,6
17

8
3,4
2,6
1,2
1,8
18

9
3,6
2,8
1,0
1,4
19

0
3,8
2,4
1,6
1,2
20




Рисунок 1