Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Математика»
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НОВОКУЙБЫШЕВСКИЙ НЕФТЕХИМИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»
Методические рекомендации
для выполнения практических работ
по дисциплине «Математика»
Преподаватель:
Позднякова Е.И.
Новокуйбышевск
2014
Данная работа содержит методические указания к практическим работам по дисциплине «Математика» и предназначена для обучающихся профессиям начального профессионального образования и специальностям среднего профессионального образования.
Цель разработки: оказание помощи обучающимся в выполнении практических работ по предмету «Математика».
Разработчик(и):
ГБОУ СПО ННХТ преподаватель Е.И.Позднякова
(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)
Одобрено на заседании методической комиссии общеобразовательных дисциплин
Протокол №_______ от «_____» _________ 20____г.
Председатель МК ________________________ /______________/
Пояснительная записка
Практические занятия служат связующим звеном между теорией и практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения практических знаний. Практические задания выполняются студентом самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений, полученных от преподавателя при выполнении практического задания. К практическому занятию от студента требуется предварительная подготовка, которую он должен провести перед занятием. Список литературы и вопросы, необходимые при подготовке, студент получает перед занятием из методических рекомендаций к практическому занятию.
Практические задания разработаны в соответствии с учебной программой. В зависимости от содержания они могут выполняться студентами индивидуально или фронтально.
Зачет по каждой практической работе студент получает после её выполнения и предоставления в печатном или электронном виде, оформления отчета в котором указывает полученные знания и умения в ходе выполнения практической работы, а также ответов на вопросы преподавателя, если таковые возникнут при проверке выполненного задания.
Содержание
1. Тема №1. Предел функции. Замечательные пределы ..5
2. Тема №2. Производная функции и ее приложения10
3. Тема №3. Интеграл. Методы интегрирования.
Определенный интеграл.17
4. Тема №4. Дифференциальные уравнения..24
5. Тема №5. Матрицы. Линейные операции над матрицами.
Определитель матрицы..35
6. Тема №6. Комплексные числа.
Действия над комплексными числами49
7. Тема №7. Ряды...60
8. Рекомендуемая литература...70
Тема №1. Предел функции. Замечательные пределы
Цель: Сформировать умение находить пределы функций, использовать замечательные пределы для нахождения пределов.
1.1. Предел функции в точке
Пусть функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определена в некоторой окрестности точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, кроме, быть может, самой точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется пределом функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, стремящемся к 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (записывается 13 EMBED Equation.DSMT4 1415), если для любого сколь угодно малого числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 найдется такое чи сло 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (вообще говоря, зависящее от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415), что для всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 таких, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, выполняется неравенство 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Предел функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 обозначается так:13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1.2. Предел функции на бесконечности
Пусть функция f(x) определена на бесконечном промежутке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Число А называется пределом функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при x стремящемся к бесконечности (записывается 13 EMBED Equation.DSMT4 1415) если для любого числа ( > 0 найдется такое число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что для всех значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет место неравенство | f(x) – А| < (.
Если число А является пределом функции f(x) при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, стремящемся к бесконечности, то пишут 13 EMBED Equation.3 1415.
1.3. Операции над пределами
Пусть функции13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415определены в некоторой окрестности точ ки х0 и имеют пределы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Перечислим без доказательства свойства пределов от суммы (разности), произведения и частного этих функций.
1. Предел суммы (разности) этих функций равен сумме (разности) их пределов:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Предел произведения функций равен произведению их пределов:
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда, в частности, вытекает, что постоянный множитель можно выносить за знак предела функции:
13 EMBED Equation.3 1415
3. Предел частного функций равен частному их пределов (при усло вии В (0):
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.1. 13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415 = 2.
Из этого примера следует, что указанный предел может быть найден, если в выражение 13 EMBED Equation.3 1415 подставить значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 1.2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Аналогично предыдущему примеру, нетрудно убедиться, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415=11,
поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 1.3.
Найдем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Не трудно убедиться, что числитель этой дроби стремится к 11, а знаменатель стремится к 0 (см. пример 1.2), поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Здесь (и в дальнейшем) запись в квадратных скобках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 означает, что знаменатель этой дроби не равен 0, а только стремится к этому значению (соответственно и числитель не равен, а только стремится к 11).
1.4. Раскрытие неопределенностей.
При определении пределов часто возникают ситуации, называемые неопределенностями. Мы рассмотрим неопределенности следующих видов
1)13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – неопределенность “ноль делить на ноль”.
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – неопределенность “бесконечность делить на бесконечность”.
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 –неопределенность “ноль умножить на бесконечность”.
Нахождение пределов в этих случаях называется раскрытием неопределенностей.
Рассмотрим некоторые приемы раскрытия каждой неопределенности в отдельности.
Неопределенность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 появляется при нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 1.4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415= 4 – 10 + 6 = 0 и 13 EMBED Equation.3 1415 = 0. Числитель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. имеет место неопределенность 13 EMBED Equation.3 1415. Для раскрытия неопределенности в рассматриваемом случае числитель и знаменатель дроби разложим на множители и сократим на величину 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, дающую 0 в числителе и знаменателе:
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = –13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.5.
Найти предел: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Здесь также имеем дело с неопределенностью 13 EMBED Equation.3 1415. Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение 13 EMBED Equation.3 1415, которое называется сопряженным выражению 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Неопределенность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 появляется при нахождении предела отношения двух бесконечно больших 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 1.6.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Здесь имеет место неопределенность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отметим, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 самая большая степень, в которой переменная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 входит в числитель и знаменатель дроби. Для раскрытия неопределенности вынесем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 за скобки и в числителе и в знаменателе и сократим. Получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 =
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отметим, что в данном примере высшая степень 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в числителе равна высшей степени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415в знаменателе. Предел равен отношению коэффициентов при высших степенях 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в числителе и знаменателе.
Пример 1.7.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 0.
Отметим, что в данном примере высшая степень 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в числителе меньше высшей степени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415в знаменателе. Предел равен нулю.
Пример 1.8.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В данном примере высшая степень 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в числителе больше высшей степени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415в знаменателе. Предел равен бесконечности. В результате рассмотрения примеров 1.6, 1.7 и 1.8 сформулируем общее правило нахождения предела вида
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 =
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1.9.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
Здесь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, поэтому предел равен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Выполнить задания
№
Задания
Ответы
1
–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
2: Производная функции и ее приложения.
Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом виде, находить производные сложных функций, знать геометрический смысл производной, применять правило Лопиталя для нахождения пределов.
2.1. Приращение аргумента и приращение функции
Пусть дана функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Зафиксируем некоторое значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Дадим переменной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 произвольное приращение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функция будет иметь значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Разность между новым значением функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и ее старым значением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется приращением функции и обозначается 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, приращением функции называется величина
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найдем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2.2. Понятие производной.
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 произвольная функция пере менной х. Зафиксируем некоторое значение аргумента х и вычислим соответствующее значение функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Придадим аргументу приращение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получим новое значе ние 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и вычислим соответствующее приращение функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Составим отношение
13 EMBED Equation.3 1415
и рассмотрим предел
13 EMBED Equation.3 1415.
Этот предел называется производной функции у = f(x) в точке х и обозначается у', у'x , f'(x) или 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, производной называется предел отношения прираще ния функции к приращению аргумента, когда приращение аргу мента стремится к нулю.
13 EMBED Equation.3 1415
Операция нахождения производной функции на зывается дифференцированием этой функции.
2.3. Геометрический смысл производной
Пусть функция у = f(x) имеет производную в точке x0. Тогда к графику функции в точке М0(x0, y0) можно провести касательную, уравнение которой имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
В этом уравнении 13 EMBED Equation.3 1415= tg( – где ( – угол наклона касательной к оси Ох.
Рис.2.1
Таким образом, геометрически производная есть угловой коэффициент касатель ной к кривой в рассматриваемой точке.
2.4. Физический смысл производной
Пусть точка движется по прямой так, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – путь, пройденный точкой к моменту времени t. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени (t от момента t до момента t+(t, равен (S = f(t+(t)–f(t). В этом случае
13 EMBED Equation.3 1415
есть средняя скорость точки за промежуток времени от t до t+(t.
Скоростью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точки в данный момент называется предел ее средней скорости за промежуток времени (t, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Из (1.2) и определения производной (1.1) следует, что 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. производная от пути по времени при прямолинейном движении есть скорость.
2.5. Правила вычисление производных
Справедливы следующие формулы, выражаю щие правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций, а также вычисления производной от постоянной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) Производная постоянной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равна нулю:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) Производная суммы равна сумме производных:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2.1
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3) Производная произведения:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2.2
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4) Постоянную можно выносить за знак производной:
13 EMBED Equation.3 1415.
Это правило является следствием правила 1) и правила 3).
Пример 2.3
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5). Производная частного:
13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь предполагается, что рассматриваемые значения знаменателя не равны нулю.
Пример 2.4
13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415.
2.6. Производная сложной функции.
Таблица производных
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется сложной функцией от переменной x. Рассмотрим примеры сложных функций.
Пример 2.5
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – сложная функция переменной x.
Пример 2.6
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – сложная функция переменной x.
Пример 2.7
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – сложная функция переменной x.
Пример 2.8
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– сложная функция переменной t.
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415имеет производную по переменной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – по переменной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Рассмотрим вопрос о нахождении производной сложной функции y(u(x)) по x. Используя определение производной, последовательно получаем
13 EMBED Equation.3 1415( 13 EMBED Equation.3 1415( 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, если сложную функцию записать в виде цепочки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то производная от y по x вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(2.1)
Пример 2.9
Найти производную функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Положим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и по формуле (2.1) получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.10
Найти производную функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В таблице производных 2.1 все формулы приведены при условии, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(в формуле 14 табл. 2.1).
Таблица 2.1
1
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415
5
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415
13
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2.7. Производные высших порядков
Пусть функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана на промежутке Х и имеет на нем производную13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Производная от производной, если она существует, называется производной второго порядка (второй производной) функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, по определению 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично определяется производная 3-го порядка: 13 EMBED Equation.3 1415 Производная от производной (n–1)-го порядка называется про изводной п-го порядка или п-й производной и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, по определению
13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415.
Выполнить задания: Найдите производные следующих функций
№
Задания
№
Задания
1)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
8)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2)
(4x+1)2
9)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3)
13 EMBED Equation.3 1415
10)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4)
13 EMBED Equation.3 1415
11)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5)
13 EMBED Equation.3 1415
12)
(x2–4x+8)ex/2
6)
1–2x3
13)
(x–1)13 EMBED Equation.3 1415
7)
13 EMBED Equation.3 1415
14)
x2(2x–1)
Ответы
№
Ответы
№
Ответы
1)
13 QUOTE 141513 QUOTE 13 QUOTE 1415 1415
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
2.8. Правило Лопиталя
Теорема 2.1. (Теорема Лопиталя). Пусть функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дифферен цируемы в некоторой окрестности точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , кроме, быть может, самой этой точки, и g'(x)( 0 для всех х(U(х0), 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда если 13 EMBED Equation.3 1415f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415g(x) = 0 (или 13 EMBED Equation.3 1415f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415g(x) = () и существует 13 EMBED Equation.3 1415, то существует и 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Если отношение13 EMBED Equation.3 1415 в свою очередь представляет собой неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, то правило Лопиталя можно приме нять второй раз и т. д.
Пример 2.10
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.11
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 2.12
Найти 13 EMBED Equation.3 1415xlnx.
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить задания
Найти пределы, используя правило Лопиталя.
№
Задания
Ответы
11)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
-8/3
22)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
-5
3)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2
4)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1/3
5)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
log(4)/3
6)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3
Тема №3: Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл.
Цель: сформировать умение вычислять неопределенные и определенные интегралы, используя различные методы интегрирования.
3.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 3.1.
Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является первообразной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 так как (х3)' =3x2 . Отметим при этом, что вместе с функцией 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 первообразной для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является всякая функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – произвольное постоянное число (это следует из того, что производная постоянной равна нулю).
Таким образом, если известна какая-нибудь первооб разная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 данной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то все множество первообразных для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 исчерпывается функциями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Другими словами, нахождение пер вообразной для функции возможно лишь с точностью до некоторого постоянного слагаемого.
Определение 2. Выражение F(x) + С, где F(x) первооб разная функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и обозначается сим волом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, причем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется подынтегральной функцией, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – подынтегральным выражением, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– переменной интегрирования, знак 13 EMBED Equation.3 1415– знаком интеграла. Таким образом, по опреде лению, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существует первообразная, а значит и неопределенный интеграл. Ответ на этот вопрос дает теорема:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то на этом отрезке для функции f(x) существует первообразная.
Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие два свойства.
1. 13 EMBED Equation.3 1415=f(x) и, значит, d 13 EMBED Equation.3 1415=f (x)dx.
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что может быть переписано так:
13 EMBED Equation.3 1415=F(x) +C.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
13 EMBED Equation.3 1415
Действительно, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415cf(x).
Совершенно так же доказывается свойство 4.
4.Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:
13 EMBED Equation.3 1415
3.2. Непосредственное интегрирование по таблице
Таблица содержит фор мулы, легко проверяемые непосредственным дифференцированием.
Таблица 3.1
1
13 EMBED Equation.3 1415+С;
7
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 + C;
2
13 EMBED Equation.3 1415+С;
8
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3
13 EMBED Equation.3 1415+С;
9
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
4
13 EMBED Equation.3 1415+С;
10
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
5
13 EMBED Equation.3 1415+С;
11
13 EMBED Equation.3 1415;
6
13 EMBED Equation.3 1415+C;
12
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Метод непосредственного интегрирования связан с приведением подынтег рального выражения к табличной форме путем преобразований и применения свойств неопределенного интеграла.
Пример 3.2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 3.3.
13 EMBED Equation.3 1415+C
Пример 3.4.
13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415+C.
Выполнить задания
№
Задания
Ответы
1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBE
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·.3. Замена переменной интегрирования
Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не может быть непосредственно преобразован к форме табличного интеграла. Сделаем подстановку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где ( (t) функция, имею щая непрерывную производную. Тогда:
f(x) =f[((t)], dx=13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 1415
Эта формула называется формулой замены, переменной в неопределен ном интеграле.
Пример 3.5.
Интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 найдем подстановкой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415=213 EMBED Equation.3 1415dt=2et +C=213 EMBED Equation.3 1415+C.
Во многих случаях нет необходимости записывать, какое выраже ние мы принимаем за новую переменную. Вычисления удобно распо лагать так, как указано в следующих примерах.
Пример 3.6.
13 EMBED Equation.3 1415 .
Пример 3.7.
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3.8.
13 EMBED Equation.3 1415.
3.4. Интегрирование по частям
Пусть и == u(x) и (= ((x) – непрерывно дифференцируемые функции. По формуле для дифференциала произведения имеем d(и() = (dи + иd(, откуда иd( = d(и() ( du. Интегрируя послед нее соотношение, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
или
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(3.1)
(произвольная постоянная интегрирования 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 здесь включена в сла гаемое 13 EMBED Equation.3 1415). Это и есть формула интегрирования по частям.
Применение способа интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой части окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл.
Пример 3.9.
13 EMBED Equation.3 1415.
К интегралам, вычисляемым по частям, отно сятся, например, интегралы вида: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – многочлен (в частности, степенная функция xn), 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – одна из следующих функций: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. При этом для интегралов вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, за и принимается многочлен P(x), а для интегралов вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
за и принимается 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 3.10.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 3.11.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 3.12.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 =
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 + С.
Пример 3.13.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Иногда необходимо повторное интегрирование по частям.
Пример 3.14.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 =
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Выполнить задания
№
Задания
Ответы
1)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415+C
3)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415+C
4)
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ln2x–2lnx+2)+C
13)
13 EMBED Equation.3 1415
– 13 EMBED Equation.3 1415
3.5. Определенный интеграл и его вычисление
Формула Ньютона-Лейбница
Если для непрерывной на отрезке [a;b] функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415может быть найдена ее первообразная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница
13 EMBED Equation.3 1415(x)dx=F(x) 13 EMBED Equation.3 1415=F(b)–F(a).
(3.2)
Выполнить задания
№
Задания
Ответы
1)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
75/4
2)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
40
3)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
-148/3
4)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
520
5)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
-32
6)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
90
Тема №4: Дифференциальные уравнения. Виды дифференциальных уравнений. Методы решения.
Цель: Сформировать умение вычислять дифференциальные уравнения.
4.1. Общие понятия
Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие производные некоторой функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В дальнейшем вместо слов дифференциальное уравнение будем писать ДУ.
Если ДУ содержит обычные производные функции одной переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если уравнение содержит частные производные функции нескольких переменных, то оно называется ДУ в частных производных.
Самый высокий порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Решением ДУ называется функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, которая обращает это уравнение в тождество.
Решение, содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения, называется общим решением ДУ.
Например, общее решение уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Это решение, содержащее одну произвольную постоянную, является общим решение ДУ первого порядка.
Очевидно, что решением уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является любая постоянная. Таким образом общее решение уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можно записать в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Подставляя конкретные значения постоянной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, будем получать решения уравнения, которые называются частными решениями.
4.2. Дифференциальные уравнения
первого порядка
В самом общем случае ДУ первого порядка содержит независимую переменную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, неизвестную функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и производную первого порядка этой функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому в общем виде ДУ первого порядка можно представить так:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(4.1)
Примером записи ДУ в форме (4.1) является уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если из соотношения (4.1) можно выразить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
то такая форма записи ДУ называется уравнением, разрешенным относительно производной.
Решить или проинтегрировать данное дифференциальное урав нение значит найти его общее решение в той или иной форме. Постоянную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можно найти, если задано начальное условие – значение искомой функции в некоторой точке
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Здесь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 это некоторое известное число.
Решение, которое получается из общего решения при некотором фиксированном значении произвольной постоянной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, называется частным решением.
4.3. Уравнения с разделяющимися переменными.
Пусть ДУ первого порядка записано в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Это уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
то есть представляет собой произведение функции только от переменной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на функцию только от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В этом случае уравнение записывается в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(4.2)
“Разделение переменных” заключается в приведении уравнения (4.2) к виду (разделили на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и умножили на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Общее решение получается в результате интегрирования
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 4.1.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
Перепишем, используя другое обозначение для производной,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Разделение переменных приводит к равенству 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В результате вычисления интегралов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; где13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – произвольная постоянная.
Пример 4.2.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
Перепишем уравнение в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Разделение переменных приводит к равенству 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В результате вычисления интегралов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - произвольная положительная постоянная.
Произвольная постоянная записана в форме 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для удобства записи формы общего решения.
Далее, используя свойства логарифмов, из последнего равенства получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отсюда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отрицательные и неотрицательные решения охватываются одной формулой: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- произвольная постоянная.
Ответ. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - произвольная постоянная.
Пример 4.3.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
Интегрируя, находим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Здесь постоянная интегрирования обозначена 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, так как левая часть последнего ра венства неотрицательна. Умножая последнее равенство на 2, получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Это уравнение семейства концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 4.4.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
Разделяя переменные, получим: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Интегрируя последнее уравнение, будем иметь: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Здесь произвольная постоянная записана как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415для удобной записи общего решения. Используя формулу для суммы логарифмов и потенцируя последнее равенство, получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Если считать 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то это решение можно записать 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Это же решение описывается равенством 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, в котором 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 произвольная постоянная любого знака. Это семейство прямых, проходящих через начало координат.
Пример 4.5.
Решить задачу Коши
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – общее решение уравнения.
Найдем частное решение, удовлетворяющее условию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Подставим найденное значение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – решение задачи Коши.
Пример 4.6. (Задача об охлаждении тела)
Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и тем пературой воздуха. Температура воздуха равна 20° С. Известно, что в течение 20 мин тело охлаждается от 100 до 60° С. Определить закон изменения температуры в теле в зависимости от времени I.
Решение.
Согласно условию задачи имеем:
13EMBED Equation.DSMT41415,
где k- коэффициент пропорциональности. Разделяя переменные и интегрируя, получаем
13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415
что после потенцирования дает
13EMBED Equation.DSMT41415
и, следовательно,
13EMBED Equation.DSMT41415
Для определения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 используем начальное условие: при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отсюда: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия: при 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отсюда:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
и, следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Итак, искомая функция
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Выполнить задания
№
Задания
Ответы
1
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2
3
4
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
U(x,y)=Const
4.4. Однородные уравнения первого порядка
Уравнение вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415называется однородным уравнением первого порядка, если функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 представляется в виде функции, зависящей только от величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Таким образом, однородное уравнение первого порядка имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Для решения данного уравнения используется подстановка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- новая искомая функция. Производная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 находится по формуле нахождения производной произведения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, кроме этого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В результате подстановки последних выражений уравнение преобразуется к виду
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
После переноса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в правую часть уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Разделение переменных приводит уравнение к виду
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В результате интегрирования 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Здесь постоянная интегрирования представлена в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415для удобства записи окончательного ответа.
Дальнейший ход решения заключается в вычислении интеграла 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при известной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 4.7.
Найти общее решение уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ответ:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– произвольная постоянная.
4.5. Линейные дифференциальные уравнения
первого по рядка
Уравнение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением пер вого порядка.
Решение уравнения будем искать в виде произведения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
двух неизвестных функций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. После преобразований получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Выражение в круглых скобках приравняем нулю:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
отсюда следует равенство
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Разделяя переменные и интегрируя, последовательно получаем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Подстановка функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дает 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Интегрируя последнее равенство, находим вторую неизвестную функцию
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Общее решение уравнения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 4.8.
Найти общее решение уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 =
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Таким образом, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– общее решение исходного уравнения.
Пример 4.9. (Закон перехода вещества в раствор)
Рассмотрим процесс перехода вещества в раствор. Известно, что при фиксированной температуре количество вещества, содержащееся в определенном объеме растворителя, не может превзойти некоторого, определенного для каждого вещества числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, соответствующего насыщенному раствору. Известно также, что по мере приближения к насыщенному раствору уменьшается количество вещества, перехо дящего в раствор за единицу времени. Иными словами, чем больше вещества перешло в раствор, тем меньше скорость перехода.
Решение
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 количество вещества, перешедшего в раствор к моменту времени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 скорость перехода, и в соответствии со сказанным можно написать:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415стремится к нулю при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 . Эксперименты по казывают, что для многих веществ функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 пропорциональна разности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и, следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 > 0 – коэффициент пропорциональности.
Далее преобразуем последнее уравнение к виду 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Это – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - момент времени, с которого начался процесс перехода ве щества в раствор. Очевидно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и, значит,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(4.3)
Значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определяются характером растворенного вещества и растворителя. Из (4.3) видно, что при любых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 стремится к 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вид функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 хорошо согла суется с экспериментальными данными. Поэтому формулу (4.3) можно рассматривать как закон перехода вещества в раствор.
4.6. Дифференциальные уравнения второго порядка
1. Дифференциальное уравнение второго порядка, его об щее решение и начальные условия.
Дифференциальное уравне ние второго порядка, разрешенное относительно у", имеет вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(4.4)
В общее решение уравнения второго порядка входят две произвольные постоянные 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415на зывается его общим решением.
4.7. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(4.5)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - заданная функция, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- числовые (постоянные) коэффициенты называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Пример 4.11.
Найти общее решение уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
Составим характеристи ческое уравнение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Оно имеет два различных действительных корня 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому общее решение есть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2) Корни 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 действительные и равные 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В этом случае одно частное решение уравнения (6.47) выразится функцией 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Можно показать, что частным решением уравнения в случае 2) будет так же функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Общим решением уравнения будет 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 4.12.
Найти общее решение уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
Составим характеристи ческое уравнение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Оно имеет два равных корня 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому общее решение есть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3) Корни 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – комплексные. Можно показать, что общее решение уравнения в этом случае будет иметь вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 4.13.
Найти общее решение уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
Составим характеристи ческое уравнение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Оно имеет комплексные корни 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому общее решение есть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Выполнить задания
№
Задания
Ответы
1)
2)
3)
4)
5)
Тема №5: Матрицы. Линейные операции над матрицами. Определитель матрицы.
Цель: Сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами, находить определители матриц.
5.1. Матрицы. Основные понятия
В общем случае матрицей размерности m(n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:
А(m(n) = 13EMBED Equation.31415.
Числа 13EMBED Equation.31415называются элементами матрицы, первый индекс 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – номер строки, второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13EMBED Equation.31415– квадратная матрица второго порядка,
13EMBED Equation.31415– квадратная матрица третьего порядка.
В квадратной матрице диагональ, образованная элементами a11, a22, a33, ., an n , называется главной диагональю матрицы.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю:
13EMBED Equation.31415.
Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей:
E =13EMBED Equation.31415.
Большой буквой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в дальнейшем будем обозначать единичную матрицу.
5.2. Линейные операции над матрицами
Матрицы можно складывать между собой и умножать на числа. Такие действия называются линейными операциями над матрицами.
1. Суммой двух матриц 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 одинаковой размерности m(n называется матрица 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и В. Из этого определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов.
1) А+В = 13EMBED Equation.31415;
2) матрицы
А =13EMBED Equation.31415 и В =13EMBED Equation.31415
сложить нельзя, так как они имеют разное количество столбцов.
2. Произведением матрицы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на число ( называется матрица (А, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число (.
3(13EMBED Equation.31415=13EMBED Equation.31415
(1.8)
3. Две матрицы A и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 одинаковой размерности m(n считаются равными, если равны их соответствующие элементы aik = bik .
5.3. Умножение матриц
Рассмотрим умножение матрицы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на матрицу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Подчеркнем, что число столбцов матрицы А, равно числу строк матрицы В. Отличие произведения А(3(3) ( В(3(2) от формулы (1.6), рассмотренной в третьем разделе, заключается только в том, что матрица В имеет теперь два столбца, поэтому матрица D = А(3(3)( В(3(2) тоже имеет два столбца, т.е. столько же столбцов, сколько их в матрице В. При этом первый столбец матрицы D равен произведению матрицы А на первый столбец матрицы В, а второй столбец матрицы D – это произведение матрицы А на второй столбец матрицы В:
А(3(3)( В(3(2) = 13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415.
Приведем еще несколько примеров умножения матриц.
Пример 5.1.
Покажем, что АЕ = ЕА = А, где А – квадратная матрица произвольного порядка, Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Действительно, пусть А – квадратная матрица третьего порядка, тогда
АЕ =13 EMBED Equation.3 1415 =
=13 EMBED Equation.3 1415=
= 13 EMBED Equation.3 1415= А.
Равенство ЕА = А доказывается аналогично.
Пример 5.2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 5.3.
13 EMBED Equation.3 1415.
В этом случае произведение не существует, так как число столбцов матрицы А (равно 2) не равно числу строк матрицы В (равно 3).
Пример 5.4.
А=13EMBED Equation.31415, В =13EMBED Equation.31415.
Найти АВ и ВА.
Решение
АВ =13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415=
=13EMBED Equation.31415=13EMBED Equation.31415;
ВА =13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415=
=13EMBED Equation.31415 =13EMBED Equation.31415.
Как видим, в этом случае существуют оба произведения АВ и ВА, однако они не равны между собой.
Пример 5.5.
13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415=
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 5.6.
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415=
=13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
=13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Выполнить задания
Найдите произведения матриц:
№
Задания
Ответы
1)
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415.
13 EMBED Equation.3 1415
2)
13 EMBED Equation.3 1415(13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415
3)
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415.
13 EMBED Equation.3 1415
4)
13EMBED Equation.31415.
13 EMBED Equation.3 1415
5)
13 EMBED Equation.3 1415(13EMBED Equation.31415.
13 EMBED Equation.3 1415
6)
13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
7)
13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415
8)
13 EMBED Equation.3 1415(13EMBED Equation.31415.
13 EMBED Equation.3 1415
5.4. Определители второго и третьего порядков
Рассмотрим матрицу второго порядка А=13EMBED Equation.31415. Определитель матрицы А называется определителем второго порядка, обозначается detA или |A| и вычисляется как разность произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали. Таким образом, по определению
= detA= det13EMBED Equation.31415=13EMBED Equation.31415 = a11 a22 – a12 a21.
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника, которое схематически изображено ниже.
13EMBED Equation.31415=
=13EMBED Equation.31415 + 13EMBED Equation.31415 + 13EMBED Equation.31415–13EMBED Equation.31415–13EMBED Equation.31415–13EMBED Equation.31415=
= a11(a22(a33 + a12( a23(a31 + a21 (a32 (a13 – a31 (a22 (a13 – a21 (a12 (a33 – a32 (a23 (a11.
По схеме правила треугольника определитель третьего порядка равен сумме произведений диагональных элементов и элементов, расположенных в вершинах треугольников. При этом произведения элементов, образующих главную диагональ и два первых треугольника, берутся со знаком плюс (т.е. со своим знаком), а произведения элементов, образующих вторую диагональ и два других треугольника – со знаком минус (т.е. с противоположным знаком).
Пример 5.7.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 = (–3)(5 – 2((–4) = –15+8 = –7.
2) 13 EMBED Equation.3 1415= (–1)(4((–3)+ (–2)(0(2+3(1(5–5(4(2–3((–2)((–3) –
–1(0((–1) = 12 +15 – 40 –18 = – 31.
5.5. Матричные обозначения в методе Гаусса
Пример 5.8
Решить систему уравнений
13EMBED Equation.31415
Решение
Выпишем матрицу системы и через разделительные черточки припишем к ней столбец правых частей уравнений.
13 EMBED Equation.3 1415.
Такая матрица называется расширенной матрицей системы.
Со строками и столбцами расширенной матрицы можно производить преобразования, которые равносильны сложению уравнений системы, перестановке местами слагаемых в уравнениях и другим действиям, преобразующим данную систему к эквивалентной. Такими преобразованиями являются:
1) перестановка местами строк матрицы (эквивалентно перестановке местами уравнений системы);
2) перестановка местами столбцов “левой части” матрицы (эквивалентно перестановке слагаемых в уравнениях);
3) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на число, неравное нулю (эквивалентно умножению уравнения на некоторое число);
4) прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки (эквивалентно сложению двух уравнений системы).
Рассмотрим последовательность применения этих операций.
1. Процесс исключения удобно начать, когда ведущим элементом является единица. Для этого поменяем местами вторую строку с первой:
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Оставляя первую строку без изменений, к элементам второй строки прибавим элементы первой строки, умноженные на –3, а к элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на – 4, расширенная матрица преобразуется к виду:
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Ведущим элементом второго шага является –1 во второй строке и втором столбце. Первую и вторую строку оставим без изменений, а к третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на –5:
13 EMBED Equation.3 1415.
4. Теперь вторую строку умножим на –1, а третью – разделим на –11, тогда расширенная матрица будет иметь вид
13 EMBED Equation.3 1415,
которому соответствует преобразованная система уравнений:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Последнее уравнение дает х3 = 2; подставляя это значение во второе уравнение, получаем х2 = 3 и, наконец, из первого уравнения находим х1= –1.
Таким образом, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – решение системы.
Пример 5.9.
Решить систему линейных уравнений АХ = В методом Гаусса:
А=13 EMBED Equation.3 1415; В =13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Для того чтобы на каждом шаге исключения ведущим элементом была единица, при решении этой системы производится перестановка столбцов матрицы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, поэтому сверху над столбцами указываются неизвестные, содержащиеся в этом столбце:
х1 х2 х3
13 EMBED Equation.3 1415.
Поменяем местами первый и второй столбцы матрицы
х2 х1 х3
13 EMBED Equation.3 1415.
Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 4, а к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на –2, получим
х2 х1 х3
13 EMBED Equation.3 1415.
Поменяем местами вторую строку с третьей
х2 х1 х3
13 EMBED Equation.3 1415.
К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 11, тогда расширенная матрица будет иметь вид
х2 х1 х3
13 EMBED Equation.3 1415,
которому соответствует преобразованная система уравнений:
13EMBED Equation.31415
Последнее уравнение дает х3 = 1; подставляя это значение во второе уравнение, получаем х1 = 3 и, наконец, из первого уравнения находим х2 = 1. Решение системы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решите системы линейных уравнений АХ = В методом Гаусса.
Выполнить задания
№
А
В
Х (ответы)
1)
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
2)
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
3)
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
4)
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
5)
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
6)
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
5.6. Свойства определителей
Свойство 1. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Представление определителя в виде такой суммы называется разложением определителя по элементам строки (или столбца). Например,
13 EMBED Equation.3 1415 –
– разложение определителя по элементам первой строки;
13 EMBED Equation.3 1415 –
– разложение определителя по элементам второго столбца.
Как видим, с помощью такого разложения вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.
Пример 5.10.
Вычислить определитель
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
Разложим определитель по элементам первого столбца, получим
13 EMBED Equation.3 1415= 8(13 EMBED Equation.3 1415 – 0(13 EMBED Equation.3 1415+0(13 EMBED Equation.3 1415= 8((2+4) = 48.
Свойство 2. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.
Этим свойством можно воспользоваться для “создания” нулей в определителе и последующего применения свойства 1.
Пример 5.11.
Вычислить определитель
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
К элементам первого столбца прибавим соответствующие элементы второго столбца, умноженные на (–3). Так как по свойству 2 определитель не изменится, получаем
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=14(13 EMBED Equation.3 1415=14(29 = 406.
Свойство 3. Если все элементы некоторой строки (или столбца) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю. Это следует из свойства 1.
Свойство 4. Если в матрице А строки заменить столбцами, то ее определитель не изменится:
13 EMBED Equation.3 1415.
Свойство 5. При перестановке двух строк матрицы ее определитель меняет знак:
13 EMBED Equation.3 1415.
Свойство 6. Если матрица А имеет две одинаковые строки, то detA=0.
Доказательство следует из свойства 1; при перестановке двух строк матрицы знак определителя должен измениться, но, с другой стороны, определитель должен остаться прежним, так как перестановка одинаковых строк местами не изменит матрицу. Следовательно, detA= = – detA ( detA=0.
Свойство 7. Общий множитель элементов некоторой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.
Рассмотрим это свойство для определителя третьего порядка. Пусть элементы третьей строки имеют общий множитель (. Тогда по свойству 7 выполняется равенство
13 EMBED Equation.3 1415.
Из этого равенства следует, что для умножения определителя на некоторое число ( достаточно умножить на это число одну строку (или столбец) определителя (сравните с правилом умножения матрицы на число).
5.7. Решение систем линейных уравнений
по формулам Крамера
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
13 EMBED Equation.3 1415
Обозначим ( определитель матрицы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: (=13 EMBED Equation.3 1415.
Умножим на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 обе части этого равенства. По свойству 7 умножение определителя на число эквивалентно умножению его строки или столбца на это число, поэтому, умножая на х1 первый столбец, получим равенство
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Прибавим к элементам первого столбца элементы второго столбца, умноженные на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , и элементы третьего столбца, умноженные на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .
По свойству 2 определитель не изменится.
((х1 =13 EMBED Equation.3 1415.
((х1 =13 EMBED Equation.3 1415 = (1 .
Здесь (1 обозначен последний определитель.
Таким же образом можно получить еще два аналогичных равенства, добавляя которые к последнему равенству, получаем
((х1 = (1 ;
((х2 = (2 ;
((х3 = (3 .
(=13 EMBED Equation.3 1415, (1 =13 EMBED Equation.3 1415, (2=13 EMBED Equation.3 1415,
(3 =13 EMBED Equation.3 1415.
х1 = 13 EMBED Equation.3 1415; х2 = 13 EMBED Equation.3 1415; х3 = 13 EMBED Equation.3 1415
формулы Крамера
2) ( = 0, а хотя бы один из определителей (1 , (2 или (3 не равен нулю. В этом случае система несовместна.
3) ( = (1 = (2 = (3 =0.
Система имеет бесчисленное множество решений.
Пример 5.12.
В качестве примера рассмотрим применение метода Крамера для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение
Переставим слагаемые в первом уравнении:
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислим определители.
( = 13 EMBED Equation.3 1415= –16 – 9 = –25; (х = 13 EMBED Equation.3 1415= 4–54 = –50;
(y = 13 EMBED Equation.3 1415= –72 – 3 = –75.
Найдем неизвестные по формулам Крамера:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 = 2; y = 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 = 3.
Таким образом, решение системы (2; 3).
Пример 5.13.
Решить систему 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по формулам Крамера.
Решение
Вычислим определители
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
– 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 15 + 1 + 9 + 10 = 35;
13 EMBED Equation.DSMT4 14
– 13 EMBED Equation.DSMT4 14151513 EMBED Equation.DSMT4 1415 = –20 + 6 – 12 + 40 = 14;
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
– 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = –120 – 4 – 18 – 40 = – 182;
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
– 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 24–18 + 8 + 72 – 4 – 12 = 70.
Найдем неизвестные по формулам Крамера:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Таким образом, решение системы (0,4; –5,2; 2).
Выполнить задания
Решите системы линейных уравнений по формулам Крамера.
№
Система уравнений
Ответы
1
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тема №6: Комплексные числа. Действия над комплексными числами.
Цель: Сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.
6.1. Алгебраическая форма комплексного числа
Комплексным числом называется выражение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(6.1)
в котором 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(действительные числа), а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415такое число, квадрат которого равен –1,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(6.2)
Число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называют мнимой единицей.
Выражение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называют алгебраической формой комплексного числа, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – действительной частью, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – мнимой частью комплексного числа z. При этом используются обозначения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– действительное число. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – такое число называют чисто мнимым
Два комплексных числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 считаются равными, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ( 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ( у = 0. Понятия “больше” и “меньше” для комплексных чисел не существуют.
Комплексное число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415называется сопряженным по отношению к комплексному числу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Например, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Очевидно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
С комплексными числами можно производить арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).
1) Сложение (вычитание). Чтобы сложить два комплексных числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 нужно сложить их действительные и мнимые части
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(6.3)
Аналогично производится вычитание 13 EMBED Equation.DSMT4 1415+
+ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 6.1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2) Умножение:
13 EMBED Equation.3 1415.
(6.4)
Формула умножения комплексных чисел (6.4) получается, если числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 перемножить как два многочлена и учесть, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. При умножении комплексных чисел удобнее использовать это правило, чем формулу (1.4).
Пример 6.2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 –
–13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 6.3.
В качестве примера, найдем произведение комплексно сопряженных чисел:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Здесь использована формула сокращенного умножения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, в которой принято 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Таким образом, произведение сопряженных комплексных чисел равно сумме квадратов действительной и мнимой частей, т.е. равно действительному числу
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(6.5)
На формуле (6.5) основано построение формулы деления комплексных чисел:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(6.6)
Таким образом, делитель и делимое нужно умножить на комплексное число, сопряженное делителю, тогда в знаменателе будет действительное число. Потом нужно перемножить комплексные числа в числителе.
Пример 6.4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 6.5.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Выполнить задания
1. Выполните действия над комплексными числами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
1)13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2)13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3)13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответы:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Найдите действительную и мнимую части комплексного числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= – 0,1; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 1,7.
3. Представить в алгебраической форме комплексное число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4. Найдите 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5. Решите уравнение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
6.2. Тригонометрическая форма комплексного числа
Каждому комплексному числу можно сопоставить точку на плоскости. Эта точка будет иметь координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Рис.1.1
Соединим начало координат с точкой z. Расстояние от начала координат до точки z называется модулем комплексного числа z и обозначается 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Угол 13 EMBED Equation.3 1415 (рис.1.1) называется аргументом комплексного числа и обозначается 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называют главным значением аргумента. Все множество аргументов опишется соотношением
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Нетрудно видеть: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Заметим: а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не определен,
в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Используя равенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 EMBED Equation.DSMT4 1415, комплексное число z можно записать в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(6.7)
Такое выражение называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример 6.6.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 6.7.
Представить в тригонометрической форме комплексное число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
Из рисунка видно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Запишем комплексное число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в тригонометрической форме:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 6.8.
Представить в тригонометрической форме комплексное число
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Таким образом, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Запишем комплексное число в тригонометрической форме:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задачи для самостоятельного решения
1. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:
1) –1; 2) – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответы:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 +
+ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 +
+ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
6.3. Показательная форма комплексного числа
Рассмотрим разложения функций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в ряд Маклорена
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .
Положим 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Получили формулу
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(6.8)
Равенство (1.8) называется формулой Эйлера.
С учетом этой формулы, комплексное число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, записывается в форме,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(6.9)
которая называется показательной формой комплексного числа.
Пример 6.9.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
=13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Умножение, деление и возведение в целую положительную степень удобно производить, когда комплексное число записано в показательной форме.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Рассмотрим операцию извлечения корня.
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Из последних равенств следует формула извлечения корня из комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(6.10)
.Приравнивая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 числам 0,1, 2, , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 значений корня.
Пример 6.10.
Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Подставляя 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получаем три значения корня:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Рис. 1.2
Тот факт, что комплексные числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 являются значениями корня третьей степени из единицы, означает, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Проверим, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, используя алгебраическую форму числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 +
+13 EMBED Equation.DSMT4 1415 + 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 +
+ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 1.
Здесь последнее произведение комплексных чисел является произведением комплексно сопряженных чисел и равно сумме квадратов действительной и мнимой частей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (см. пример 1.3).
Пример 6.11
Вычислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 6.12
Вычислить
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 6.13
Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
Воспользуемся тригонометрической формой числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
6.4. Понятие о функции комплексного переменного
Обозначим множество комплексных чисел С.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Если каждому комплексному числу13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по некоторому правилу поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то говорят, что на множестве 13 EMBED Equation.DSMT4 1415задана функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Множество 13 EMBED Equation.DSMT4 1415называется областью определения, а множество 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 областью значений функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Если каждому значению z соответствует одно значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то функция называется однозначной, если несколько – функция многозначная.
Обозначая13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получим, что задание функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 комплексного переменного 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равносильно заданию двух функций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 двух действительных переменных x и y. Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= =13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 6.14.
Для данной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, найти действительную часть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и мнимую часть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 6.15.
Какая линия описывается уравнением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Подставляя это выражение в заданное уравнение, получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – уравнение гиперболы.
Задачи для самостоятельного решения
Для данных функций найти их действительную часть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и мнимую часть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
6.5. Основные элементарные функции комплексной переменной
Показательная функция13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По определению,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(6.11)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Можно показать, что при таком определении выполняются все обычные свойства показательной функции, например
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Покажем, что показательная функция (1.11) является периодической с периодом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Тригонометрические функции. По определению,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(6.12)
Можно показать, что при таком определении выполняются все известные формулы для тригонометрических функций, например,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и т.д.
Пример 6.16.
Решить уравнение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, в это уравнение подставим выражение (6.5) для синуса, получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .
Выполнить задания
№
Задания
Ответы
1
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4
Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
64
5
Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
16
6
Какая линия описывается уравнением
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ?
Окружность с центром в начале координат и радиусом 2
7
Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
8
Вычислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
9
Вычислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
10
Решить уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
11
Какие из функций являются аналитическими
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
Только в)
12
Решить уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тема № 7 Ряды.
Цель: Дать определение числовым, функциональным и степенным рядам. Сформировать умение выполнять действия с рядами.
7.1. Числовые ряды
1. Основные понятия. Пусть дана бесконечная последовательность чисел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Определение. Выражение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(7.1)
называется числовым рядом, или просто рядом, а числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, . . . , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называются членами ряда, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- выраженное как функция номера называется общим членом ряда.
Выражение (7.1) можно кратко записать с помощью знака 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(7.2)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- общий член ряда.
Пример 7.1.
Рассмотрим ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Здесь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- общий член ряда.
Рассмотрим суммы, составленные из конечного числа членов ряда (7.1):13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, ..., 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , . . . Такие суммы называются частичны ми суммами ряда. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-ой частичной суммой ряда. Таким образом, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415частичная сумма это сумма 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(конечного числа) слагаемых:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(7.3)
Последовательность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, ..., 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, ... или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.называется последовательностью частичных сумм ряда (7.1).
Определение. Если существует конечный предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то ряд (1.1) называется сходящимся, а число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - суммой этого ряда. В этом случае пишут
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если последовательность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не имеет предела, то ряд (7.1) называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.
Пример 7.2.
Исследовать на сходимость ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
Общий член ряда можно представить в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (n = 1, 2, 3, . . .).
Поэтому
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отсюда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Следовательно, данный ряд сходится, и его сумма равна 1.
Пример 7.3. (геометрическая прогрессия)
Рассмотрим последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается в результате умножения предыдущего члена на одно и то же число:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, . . . , 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, . . .
(7.4)
Последовательность (7.4) называется геометрической прогрессией [ ] . В геометрической прогрессии (7.4) первый член обозначен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется знаменателем прогрессии.
Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии: . . .
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(7.5)
Иногда сам ряд (7.5) называют геометрической прогрессией.
Частичная сумма ряда (7.5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 представляет собой сумму 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 членов геометрической прогрессии и
вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(7.6)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ряд (7.5) сходится. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ряд (7.5) расходится. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда (7.5) превращается в ряд 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... . Для такого ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ряд (7.5) расходится.
При рассмотрении рядов, важным является вопрос о сходимости (расходимости). Для решения этого вопроса в примерах 7.1 и 7.2 использовалось определение сходимости. Чаще для этого используются определенные свойства ряда, которые называются признаками сходимости ряда.
Теорема 7.1. (необходимый признак сходимости). Если ряд (7.1) сходится, то его общий член 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 стремится к нулю при неограниченном возрастании 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т. е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(7.7)
Доказательство. Пусть ряд (7.1) сходится. Общий член ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можно представить в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 =
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отметим, что доказанный признак является необходимым, но недостаточным, т.е. из выполнения условия (7.7) не следует, что ряд (7.1) сходится.
Пример 7.4.
Рассмотрим ряд
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(7.8)
Ряд (7.8) называется гармоническим рядом.
Для этого ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Однако, никакого вывода о сходимости ряда (7.8) пока сделать нельзя, так как утверждение, обратное теореме 7.1, не является верным.
Покажем, что ряд (7.8) расходится. Это можно установить рассуждениями от противного. Предположим, что ряд (7.8) сходится, и его сумма равна S. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 –
– 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что противоречит неравенству
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Следовательно, гармонический ряд расходится.
Необходимым признаком можно воспользоваться для установления факта расходимости ряда. Действительно, из теоремы 7.1 следует, что если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.
Пример 7.5.
Рассмотрим ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Здесь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Предел не равен нулю, следовательно, ряд расходится.
.. Таким образом, если выполняется условие (7.7), вопрос о сходимости ряда (7.1) остается открытым. Ряд может расходиться, а может и сходиться. Для решения этого вопроса могут
быть использованы свойства ряда, из которых следует сходимость этого ряда. Такие свойства называются достаточными признаками сходимости рядов.
Ряды с положительными членами. Рассмотри достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
Теорема 7.2.(Признак Даламбера).
Пусть дан ряд (7.1), все члены которого положительны:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(7.9)
и существует предел
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(7.10)
(где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 обозначение найденного предела). Тогда:
1) если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, ряд (7.1) сходится;
2) если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, ряд (7.1) сходится;
3) если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, рассматриваемый признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Примечание. Ряд (7.1) будет расходиться и в том случае, когда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, так как тогда, начиная с некоторого номера N, будет 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и, значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не стремится к нулю при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 7.6.
Исследовать на сходимость ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 =
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найденный предел меньше единицы. Следовательно, данный ряд сходится.
Пример 7.7.
Исследовать на сходимость ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 =
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найденный предел больше единицы. Следовательно, данный ряд расходится.
Теорема 7.3.( признак Коши).
Пусть дан ряд (7.1), все члены которого положительны:
и существует предел
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(7.11)
(где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 обозначение найденного предела). Тогда:
1) если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, ряд (7.1) сходится;
2) если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, ряд (7.1) сходится;
3) если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, рассматриваемый признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Пример 7.8.
Исследовать на сходимость ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
Найдем предел (7.11):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 >1.
Найденный предел больше единицы. Следовательно, данный ряд расходится (теорема 7.3).
Обобщенный гармонический ряд. Обобщенным гармоническим рядом называется ряд вида
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(7.12)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– действительное число.
Ряд (7.12) ведет себя следующим образом:
1) сходится, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2) расходится, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Доказательство можно найти в [ ].
3накочередующиеся ряды. Знакочередующимся, называется ряд вида
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(7.13)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Теорема 7.3. (теорема Лейбница). Если для ряда (7.13) выполняются два условия:
1) члены ряда по абсо лютной величине монотонно убывают:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2) общий член ряда стремится к нулю:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
то ряд (7.13) сходится.
.
Пример 7.9.
Рассмотрим знакочередующийся ряд
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(7.14)
Для этого ряда условия теоремы (7.13) выполнены:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Следовательно, ряд (7.12) сходится.
Следствие из теоремы 7.3. Остаток 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 знакочередующегося ряда (7.13), удов летворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.
Пример 7.10. Вычислить с точностью до 0,1 сумму сходящегося ряда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В качестве приближенного значения суммы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ряда мы должны взять ту частичную сумму 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для которой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Согласно следствию, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, достаточно положить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т. е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отсюда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с точностью до 0,1.
Абсолютная и условная сходимость. Рассмотрим ряд, члены которого имеют произвольные знаки
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(7.15)
Рассмотрим также ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (7.13)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
(7.16)
Отметим, что ряд (7.16) является рядом с положительными членами и для него применимы соответствующие теоремы, приведенные выше.
Теорема 7.4 (Признак абсолютной сходимости). Если сходится ряд (7.16) , то сходится и ряд (7.15).
(Доказательство теоремы можно найти, например, в [ ]).
Определение.
Если сходится ряд (7.16), то соответствующий ряд (7.15) называется абсолютно сходящимся абсолютно сходящимся.
Может оказаться, что ряд (7.16) расходится, а ряд (7.15) сходится. В этом случае ряд (7.15) называется условно сходящимся.
Отметим, что знакочередующийся ряд (7.13) является частным случаем ряда, члены которого имеют произвольные знаки. Поэтому для исследования знакочередующегося ряда также можно применить теорему 7.5.
Пример 7.11.
Ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 исследовать на сходимость.
Решение
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Этот ряд сходится, т. к. это обобщенный гармонический ряд (7.12) со значением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Следовательно, по признаку абсолютной сходимости (теорема 7.5) исходный ряд сходится абсолютно.
Пример 7.12.
Ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 исследовать на сходимость.
Решение
по теореме Лейбница сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 расходится (это гармонический ряд). Следовательно, исходный ряд сходится условно.
7.2. Функциональные ряды
Рассмотрим ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, члены которого являются функциями переменной х. Такие ряды называются функциональными. Ограничимся рассмотрением двух наиболее употребительных видов функциональ ных рядов - степенных и тригонометрических.
Интервал сходимости. Функциональный ряд вида
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(7.17)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 постоянные вещественные числа, называется степенным рядом. Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(7.18)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 некоторое постоянное число.
Ряд (7.18) приводится к виду (7.17), если положить13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
поэтому в дальнейшем будем рассматривать только ряды вида (7.17).
При каждом конкретном значении 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ряд (7.17) становится числовым. Поэтому при каких-то значениях 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 этот ряд сходится, а при других – расходится. Множество значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, при которых
функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
Можно доказать, что для каждого степенного ряда су ществует положительное число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, такое, что этот ряд абсолютно сходится при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и расходится при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется радиусом сходимости рассматриваемого ряда, а интервал 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется интервалом сходимости этого ряда.
На концах интервала сходимости (в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415) степенной ряд может сходиться или расходиться. Этот вопрос
решается для каждого числового ряда, получающегося из степенного ряда в результате подстановки в него указанных значений.
Очевидно, всякий степенной ряд (7.17) сходится при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 0. Может оказаться, что ряд сходится только при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 0, в этом случае 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Может также оказаться, что ряд вида (7.17) схо дится на всей числовой прямой, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В простейших случаях радиус сходимости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 степенного ряда (7.17) можно определить с помощью признака Даламбера или радикального признака Коши. Указанные признаки применяются к рядам с положительными членами, поэтому можно использовать только для ряда, составленного из абсолютных величин ряда (7.17):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
(7.19)
Рассмотрим применение признака Даламбера. Пусть существует предел
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Применим признак Даламбера к ряду (7.17) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В соответствии с этим признаком, ряд (7.17) сходится, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и расходится, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Из последних неравенств определяется интервал сходимости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и радиус сходимости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при любом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и ряд (7.17), а значит, и ряд (7.15) сходятся на всей числовой оси, т. е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если же 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при любом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 из числовой оси и при любом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ряд расхо дится, т. е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 7.13. Для ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Следовательно, R = 3. Поэтому данный ряд абсолютно сходится в интервале ( 3; 3) и расходится вне отрезка [ 3; 3]. В точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получаем гармонический ряд, т. е. в этой точке заданный ряд расходится. В точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеем ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, который сходится в силу теоремы Лейбница. Значит, в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 заданный ряд сходится условно. Пример 7.14. В случае ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Значит, R= 0.
Пример 7.15. Для ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Разложение функций в степенные ряды. Для приложений важно уметь данную функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 разлагать в степенной ряд, т. е. функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 представлять в виде суммы степенного ряда, так как тем самым мы получаем возможность просто вычислять значения этой функции с любой степенью точности.
Разберем частные случаи.
Рассмотрим степенной ряд
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Этот ряд сходится при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, причем сумма его равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (7.18)
и это равенство справедливо при всех х из интервала ( 1; 1).
Формула (7.18) называется разложением функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в степенной ряд.
Выполнить задания
№
Задания
Ответы
1)
2)
3)
4)
5)
2
6)
7)
-1
· x
· 1
Рекомендуемая литература
Данко П. А., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т 1-2.- М.: Высшая школа, 2009г.
Кудрявцев Л. Д. и другие. Сборник задач по математическому анализу – С.-П., 2009г.
Пак.В.В., Носенко Л.Ю. Высшая математика. г. Донецк – 2011г. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих. М-20012г.
Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. М.: Высшая школа, 2010г.
Валуце И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 2010г.
Шипачёв В. С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 2011г.
Дадаян А.А. Математика. Профессиональное образование. – М. ФОРУМ – ИНФРА – М 2012г.
Богомолов Н.В. «Математика» СПОМ, «Дрофа», 2009г
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / под ред. В.А. Гусева. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2009г.
Вся математика в одном месте. Форма доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Учителям информатики и математики и их любознательным ученикам.
Форма доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
13 PAGE \* MERGEFORMAT 146015
y
Im z
z = x + i y
(
(
y
13 EMBED Equation.3 1415
0 00O
x
x
Re z
О
Z=1
(0=1
2/3(
2/3(
(1
(2
Рисунок 2Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native+Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 608Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativelEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeЧV