Урок Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства (геометрия 7 класс)

Сценарий и технологическая карта урока
«Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства»,
геометрия 7 класс.
Автор: Корнилова Любовь Александровна,
Учитель МБУ «Лицей № 6» г. Тольятти
Тема: Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства.
Класс: 7
Учебно-методическое обеспечение: Учебник: Геометрия, 7-9: учеб.для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.
Урок изучения нового материала.
Педагогические технологии: Технология деятельностного метода обучения. Информационно-коммуникационная технология.
I этап. Мотивация к деятельности
Глава, которую мы изучаем называется «Соотношения между сторонами и углами треугольника».
- Какую фигуру мы рассматриваем в этой главе?
- Треугольник.
Вспомним теоремы и определения, которые характеризуют эту фигуру. Сформулируйте их.
Теорема о сумме углов треугольника.
Виды треугольников.
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
Следствия из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
Неравенство треугольника.
Вспомним, что еще мы рассматривали углы, которые не являются внутренними углами треугольника. Как они называются?
Дайте определение внешнему углу треугольника. Напомним теперь теорему о внешнем угле треугольника.
А теперь возьмите листочек на парте, сейчас выполним «Мини-тест». Запишите свою фамилию. В столбик запишите номера с 1 до 5. Напротив каждого номера запишите букву верного ответа. Слайд 1.
Засекаем три минуты. Время пошло.
А теперь проведем самопроверку выполненной работы. Поставьте плюсы напротив верно выполненных заданий и минусы напротив неверно выполненных заданий. Оцените вашу работу.
Критерии оценки следующие: «3» - за 3 верно выполненных задания,
«4» - за 4 верно выполненных задания,
«5» - за 5 верно выполненных задания.
Поднимите руки у кого «3», «4», «5». Молодцы.
Сегодня на уроке мы остановимся на рассмотрении прямоугольного треугольника.
Слайд 2.
Еще раз вспомним элементы такого треугольника ∆АВС. Обычно ∠С – прямой, но не всегда.
- Катет, катет, гипотенуза.
Прямоугольный треугольник занимал почетное место уже Вавилонской геометрии, упоминание о нем часто встречается в папирусе Ахмеса.
Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «hypoteinsa» (ипонейнуоза), обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая».
Термин  «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означало отвес, перпендикуляр
Прямоугольный треугольник обладает, как и любая другая фигура, своими индивидуальными свойствами.
Учитель фиксирует на доске прямоугольные треугольники различного вида.
Изучим их сегодня. В связи с этим сформулируйте тему урока.
Так как же назовем тему сегодняшнего урока?
- Тема: «Свойства прямоугольного треугольника». Запишем ее в тетради.
- Какие перед нами стоят цели?
- выявить свойства прямоугольных треугольников, доказать их, научиться применять их на практике при решении задач.
Нарисуем в тетради прямоугольный треугольник АВС.
II этап Учебно-познавательная деятельность
Рассмотрим Задание № 1. Слайд 3.
Найдите ∠А + ∠В в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С.
-3175254000Дано: ∆ АВС, ∠С=90°. Найти: ∠А + ∠В.
Решение: ∠А+ ∠В+ ∠С=180° по теореме о сумме углов треугольника.
∠С=90° по условию => ∠А+ ∠В+ 90°=180°, ∠А+ ∠В=180°- 90°, ∠А+ ∠В=90°.
Ответ: ∠А+ ∠В=90°.
Какой вывод можно сделать о сумме углов прямоугольного треугольника. Каких углов прямоугольного треугольника? Изменится ли результат суммы двух острых углов прямоугольного треугольника другого вида.
- Сформулируем первое свойство прямоугольного треугольника.
Свойство. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Запишем в тетради: 1. ∠А+ ∠В=90°.
Решим устно несколько задач по первому свойству. Слайд 4.
№ 1

∠ А = ?№ 2

∠А = ? ∠В = ? № 3

∠А = ?
Задание № 2. Слайд 5.
Докажите, что в прямоугольном ΔАВС с прямым углом С катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.
В случае затруднения, дать   подсказку (через 2-3 минуты) о том, чтобы достроить треугольник, равный данному.
5461028829000
Дано: ∆ АВС, ∠С = 90°, ∠В=30°. Доказать: АС=АС=АВ.
Доказательство: 1. Дополнительное построение ∆ВСД = ∆ВСА.
46748704191000 Получили ∆АВД. ∠В = ∠Д = 60° => АД=АВ, но по свойству равнобедренного треугольника биссектриса ВС является также и медианой. Тогда АС= QUOTE 12 АД= QUOTE 12 АВ.
Значит, АС= QUOTE 12 АВ. ЧТД.
- На основании этого задания давайте сформулируем следующее свойство прямоугольного треугольника.
Свойство. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Верна и обратная теорема. Давайте попробуем её сформулировать.
Свойство. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенуз, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Рассмотрим устно несколько задач по первому свойству. Слайд 6.
№ 4

АС = ?№ 5

∠ В = ?№ 6
АС = ?Задание № 3. Слайд 7.
38735-885761500Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Дано: ∆АВС, ∠С = 90°, СМ – медиана.
Доказать: СМ = QUOTE 12 АВ.
Доказательство: 1. Дополнительное построение СМ = МD.
2. Рассмотрим ∆АВС и ∆СDВ.
1) ВМ = МА, т. к. СМ – медиана,
2) СМ = МD по построению,
3) ∠СМА = ∠ DМВ по теореме о вертикальных углах.
Значит, ∆СМА = ∆DМВ по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, АС = ВD.
3. Рассмотрим ∆СDВ и ∆АВС.
1) ВС – Общая сторона,
2) АС = ВD по доказанному выше,
3) ∠АСВ = ∠ DВС= 90°, так как ∠АСВ – прямой по условию, а ∠АВD = ∠САВ из ∆СМА = ∆DМВ и ∠ DВС = ∠СВА+ ∠АВD=∠СВА+∠САВ= 90º по свойству углов прямоугольного треугольника.
Значит, ∆СDВ = ∆АВС по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, АВ = СD.
4. М – середина отрезков АВ и СD. => АМ = МВ = СМ = МD.
Значит, СМ = QUOTE 12 АВ. ЧТД.
Сформулируем следующее свойство прямоугольного треугольника.
Свойство. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Верна и обратная теорема. Давайте попробуем его сформулировать.
Свойство. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный.
Рассмотрим устно несколько задач по первому свойству. Слайд 8.
№ 7
№ 8

АС = 112см,
ВН= ? № 9

∠ ВСМ = ?
Решим теперь, используя изученные свойства, задачу. Слайд 9.
Сдвиньте парты, чтобы сесть парами. Следующие задачи решаем совместно с соседом. Желающие к доске есть. Пожалуйста.
№ 1
317504635500В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота СD. Найдите отрезок АD, если ∠СВА = 30°, а гипотенуза АВ = 8 см.
Дано: ∆АВС, ∠С = 90°, СD – высота, ∠СВА = 30°, АВ = 8 см.
Найти: АD.
Решение: 1. АС = 4 см по свойству угла в 30° прямоугольного треугольника.
2. ∠А = 60° по свойству острых углов прямоугольного треугольника.
3. ∠ АСD = 30° по свойству острых углов прямоугольного треугольника.
4. АD = QUOTE 12 АС = 2 см по свойству угла в 30° прямоугольного треугольника.
Ответ: 2 см.
Решим ещё одну задачу. Слайд 10.
№ 2 -2108202222500 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена высота ВН = 6 см, а точка М – середина боковой стороны ВС. Найдите отрезок МН, если
∠АВС = 120°.
Дано: ∆АВС – равнобедренный, ВН = 6 см – высота, ∠АВС = 120°, ВМ = МС.
Найти: МН.
Решение: 1. QUOTE ∠А АВН = QUOTE ∠ ВНС=60°, так как ВН –биссектриса QUOTE ∠ В, по свойству высоты равнобедренного треугольника.
2. ∠ВСН=30°по свойству углов прямоугольного треугольника
=> ВН = QUOTE 12 ВС, ВС = 12 см.
3. МН = QUOTE 12 ВС = 6 см, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Ответ: 6 см.
III этап. Контроль и оценка результатов деятельности
Сегодня мы изучили свойства прямоугольного треугольника. Оцените результаты своей работы сегодня на уроке геометрии.
Я всё понял и могу доказать все свойства.
Я всё понял и могу доказать некоторые свойства.
Для полного понимания  мне необходимо повторить тему дома.
Я ничего не понял.
Я надеюсь, что вы хорошо все усвоили. Откройте дневники и запишите домашнее задание. Домашнее задание. Слайд 12.
Выбрать  задание  одного  из  уровней:
Пункт 34: выучить все свойства и доказательство любых двух.  №  255.
      2.  Пункт 34: выучить все свойства и  их  доказательство.   № 258
Пункт 34: выучить все свойства и   их  доказательство.   № 260
Творческое задание(пожеланию):  придумать  и  решить  задачу  на  применение  всех  свойств  прямоугольного треугольника.
Технологическая карта
Тема: Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства
Тема Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства (1час)
Цель темы
Научить школьников применять свойства прямоугольного треугольника при решении задач; проверить свои знания в ходе выполнения заданий.
Основное содержание темы, термины и понятия
Треугольник. Виды треугольников. Прямоугольный треугольник, катет, гипотенуза. Свойства прямоугольного треугольника:
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Планируемый результат Предметные Познавательные Регулятивные Коммуникативные Личностные
Сформировать умение применять свойства прямоугольного треугольника при решений задач.
Поиск и выделение необходимой информации, осуществление анализа объектов с выделением существенных и несущественных свойств планировать решение учебной задачи
организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками
Формирование познавательного интереса к изучению нового, способам систематизации и обобщения знаний
Организация пространства
Межпредметные связи Формы работы Ресурсы
Физика Фронтальная, в парах, индивидуальная
Учебник: Геометрия, 7-9: учеб.для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.
Методическое пособие: Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Метод. Рекомендации к учеб.: Кн. Для учителя / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков и др.
Наглядный и раздаточный материал: Дидактические материалы по геометрии для 7 кл. / Б. Г. Зив, В. М. МейлерI этап. Мотивация к деятельности
Цель – мотивировать учащихся на выявление свойств прямоугольного треугольника
Проблемная ситуация
Глава, которую мы изучаем называется «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Вспомним теоремы, которые мы уже изучили из этой главы.
1. Теорема о сумме углов треугольника.
2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
3. Неравенство треугольника.
4. Повторим виды треугольников.
Диагностика (мини-тест: Задание 1)
Сегодня мы остановимся на рассмотрении прямоугольного треугольника. Назовите элементы такого треугольника.
- Катет, катет, гипотенуза.
Прямоугольный треугольник обладает, как и любая другая фигура, своими индивидуальными свойствами.
Изучим их сегодня.
Так как же назовем тему сегодняшнего урока?
- Тема: «Свойства прямоугольного треугольника».
II этап Учебно-познавательная деятельность
Последовательность
Изучения Учебные задания Универсальные учебные действия Диагностические
задания
Познавательные Регулятивные Коммуникативные Личностные Цель – мотивировать учащихся на вывод свойств прямоугольного треугольника
Задание № 1
Найдите ∠А + ∠В в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С. Общеучебные: структурирование знаний;
моделирование;
Логические: анализ, синтез, подведение под понятие, построение логической цепи рассуждений Целеполагание, коррекция, саморегуляцияВыдвижение гипотез и их обоснование Карточка 2
Работа с готовыми чертежами
Задание № 2
В прямоугольном ΔАВС с прямым углом С ∠А=30°. Докажите, что катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы. Общеучебные: структурирование знаний;
моделирование;
Логические: анализ, синтез, подведение под понятие, построение логической цепи рассуждений Целеполагание, коррекция, саморегуляцияВыдвижение гипотез и их обоснование Карточка 2
Работа с готовыми чертежами
Задание № 3
Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Общеучебные: структурирование знаний;
моделирование;
Логические: анализ, синтез, построение логической цепи рассуждений Целеполагание, коррекция, саморегуляцияВыдвижение гипотез и их обоснование Карточка 2
Работа с готовыми чертежами
№ 256
Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника. Общеучебные: структурирование знаний;
моделирование;
Логические: анализ, синтез, подведение под понятие, построение логической цепи рассуждений Целеполагание, коррекция, саморегуляцияВыдвижение гипотез и их обоснование Задание № 4
На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взята точка Е, внутри треугольника – точка Д. Перпендикуляр ЕМ к прямой АС делит катет АС пополам, ∠В=45º, ∠СДА=90º, ∠ДСА=60º. Докажите, что ЕМ = ДС. Общеучебные: структурирование знаний;
моделирование;
Логические: анализ, синтез, построение логической цепи рассуждений Целеполагание, коррекция, саморегуляцияДиагностика качества учебно-познавательной деятельности
Цель Самостоятельная
Работа Предметные результаты УУД
Познавательные Регулятивные Коммуникативные Личностные
Задание 1
Актуализация опорных знаний учащихся Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий Целеполагание, коррекция, саморегуляцияРабота в парах Задание 2
Работа с готовыми чертежами
Сформировать умение применять свойства прямоугольного треугольника при решений задач. Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий
Целеполагание, коррекция, саморегуляцияIIIэтап. Интеллектуально-преобразовательная деятельность
Цель – учить школьников самоорганизации при выполнении учебного задания Репродуктивное задание (по образцу). Формируется репродуктивное мышление.
Карточка 2
Продуктивные задания. Формируется продуктивное мышление
№ 256
Импровизационное задание
Задание № 3
Эвристическое задание
Задание № 4
IV этап. Контроль и оценка результатов деятельности
Формы контроля: контрольное задание Самооценка учителя / рефлексия своей деятельности по изучению данной темы
Мини-тест, индивидуальное задание, работа с готовыми чертежами Учителем организован способ активного взаимодействия учащихся с проблемно представленным содержанием обучения, в ходе которого они приобщаются к объективным противоречиям научного знания и способам их разрешения, учатся мыслить, творчески усваивать знания. Урок
направлен на самостоятельный поиск учащимися новых понятий и способов действия.
Предполагает последовательное и целенаправленное выдвижение перед учащимися познавательных проблем, разрешая которые, они под руководством учителя активно усваивают новые знания.
Набор учебных задач поставлен в соответствие с дидактической целью урока, по таксономии учебных задач Д.Толлингеровой максимально приближен к 1.