Курс по выбору 8-9 класс Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль
Пояснительная записка
Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа. Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения.
Предлагаемый курс своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 8–9 классов, которым интересна математика. Данный курс направлен на расширение знаний учащихся, повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач.
Навыки в решении уравнений, неравенств, содержащих модуль, и построение графиков элементарных функций, содержащих модуль, совершенно необходимы любому ученику, желающему не только успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо подготовиться к поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения.
Материал данного курса содержит различные методы, которые позволяют более эффективно решать широкий класс заданий, содержащих модуль.
Для реализации компетентностного подхода применяются такие виды деятельности, как творческий отчет, применение ИКТ, игровые технологии.
Наряду с основной задачей обучения математики – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, выбору профиля дальнейшего обучения, развитию творческого потенциала учащихся.
Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, связанные с абсолютной величиной, подготовиться для дальнейшего изучения тем, использующих это понятие, научиться решать разнообразные задачи различной сложности.
Цели курса:
обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме «Абсолютная величина»;
повышение уровня математической подготовки школьников.
Задачи курса:
научить учащихся преобразовывать выражения, содержащие модуль;
научить учащихся решать уравнения и неравенства, содержащие модуль;
научить строить графики, содержащие модуль;
помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования.
способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;
способствовать формированию познавательного интереса к математике.
Требования к уровню усвоения учебного материала
В результате изучения программы элективного курса учащиеся получают возможность знать и понимать:
определение абсолютной величины действительного числа;
основные операции и свойства абсолютной величины;
правила построения графиков уравнений (в т. ч. функций), содержащих знак абсолютной величины;
алгоритмы решения уравнений, неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Уметь:
применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к решению конкретных задач;
читать и строить графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины;
решать уравнения, неравенства, содержащих переменную под знаком модуля.
Содержание программы
Тема 1. Модуль: общие сведения. Преобразование выражений, содержащих
модуль (2 ч)
Занятие 1,2. Модуль. Общие сведения: определение, свойства модуля, геометрический смысл модуля. Преобразование выражений, содержащих модуль.
М е т о д ы о б у ч е н и я: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Тема 2. Решение уравнений , содержащих модуль (5 ч)
Занятие 3. Решение уравнений, содержащих модуль (1 ч). Решение уравнений вида:
.
М е т о д ы о б у ч е н и я: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Занятие 4. Решение уравнений, содержащих модуль методом интервалов.(1ч.)
М е т о д ы о б у ч е н и я: Лекция, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Занятие 5. Решение уравнений, содержащих модуль под знаком модуля (1ч.)
М е т о д ы о б у ч е н и я: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Занятие 6. Решение уравнений, содержащих модуль методом замены переменной и графическим методом.(1 час)
М е т о д ы о б у ч е н и я: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Занятие 7. Решение уравнений , содержащих модуль разными методами.(1ч.).
Проверка усвоения способов решения уравнений, содержащих модуль. Групповая работа с обсуждением домашнего задания. Выполнение самостоятельной работы в 4 вариантах
( Приложение № 3).
М е т о д ы о б у ч е н и я: Выполнение тренировочных упражнений
.Ф о р м ы к о н т р о л я: Самостоятельная работа.( 25 мин.)
Тема 3. Решение неравенств , содержащих модуль.(6ч.)
Занятие 8. Решение неравенств, содержащих модуль (1 ч). Решение неравенств вида:
|f(x)| ≤ a , |f(x)| ≤ |g(x)|, |f(x)| ≤ g(x) , |f(x)| ≥ g(x), │f(x)│< g(x) , │f(x)│> g(x) , │f(x)│>│g(x)│.
М е т о д ы о б у ч е н и я: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Занятие 9. Решение неравенств, содержащих несколько модулей. (1 ч.)
Познакомить учащихся с методом интервалов при решении неравенств с модулем.
М е т о д ы о б у ч е н и я: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Занятие 10. Решение неравенств. содержащих модуль в модуле.(1 ч.)
М е т о д ы о б у ч е н и я: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Занятие 11. Метод введения новой переменной при решении неравенств с модулем. Задания, сводящиеся к решению неравенств со знаком модуля.(1 ч.)
М е т о д ы о б у ч е н и я: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Занятие 12. Решение неравенств с модулем на координатной прямой.Нестандартные способы решения неравенств с модулем.(1 ч.)
М е т о д ы о б у ч е н и я: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Занятие 13. Решение неравенств, содержащих модуль.(1 ч.)
Проверка усвоения материала в ходе самостоятельной работы. Примерная самостоятельная работа см. Приложение № 5.3.
М е т о д ы о б у ч е н и я: выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Тема 4. Графики функций, содержащих модуль (3 ч)
Занятие 14.. Построение графиков функций, содержащих модуль (1 ч). Построение графиков функций вида:
у = ; у = ; y=fx и уравнений ; |у| = |f (х)|, у=f(x)М е т о д ы о б у ч е н и я: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Занятие 15. Построение графиков кусочно заданных функций.(1 ч.)
М е т о д ы о б у ч е н и я: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решеннных задач.
Занятие 16. Проверка знаний по теме построение графиков функций, содержащих модуль.( 1 ч.)
Проверка может быть в виде творческого отчета или выполнения самостоятельной работы (см. Приложение № 6.6).
М е т о д ы о б у ч е н и я: выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Тема 5. Модуль в заданиях ГИА (2 ч)
Занятие 17.Решение заданий ГИА, содержащих модуль.(1 ч.)
М е т о д ы о б у ч е н и я: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Занятие 18.Проверка усвоения программы курса.(1 ч.)
Выполнение тестовой работы (см. Приложение№5.1.) или выполнение итоговой проверочной работы (см. Приложение № 5.2.) на усмотрения учителя.
М е т о д ы о б у ч е н и я: выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Приложения.
Приложение № 1. Задания на упрощение выражений с использованием модуля.
Приложение № 2. Задания по теме « решение уравнений, содержащих модуль».
Приложение № 2.1. Решение уравнений, содержащих модуль.
Приложение № 2.2. Решение уравнений, сводящихся к уравнениям со знаком модуля.
Приложение № 2.3. Самостоятельная работа по теме « решение уравнений, содержащих модуль».
Приложение № 3. Задания по теме « Решение неравенств, содержащих модуль».
Приложение № 3.1. Решение неравенств, содержащих модуль.
Приложение № 3.2. Задания, сводящиеся к решению неравенств со знаком модуля.
Приложение № 3.3. Самостоятельная работа по теме « решение неравенств, содержащих модуль».
Приложение № 4. Задания по теме « построение графиков функций, содержащих модуль».
Приложение № 4.1. Задания на построение графиков функций, содержащих модуль.
Приложение № 4.2. Задания на построение графиков функций с использованием определения модуля.
Приложение № 4.3. Задания на построение графиков с использованием геометрических преобразований.
Приложение № 4.4. Творческие задания на построение графиков, содержащих модуль.
Приложение № 4.5. Решение некоторых заданий на построение графиков функций, содержащих модуль.
Приложение № 4.6. Самостоятельная работа по теме « построение графиков функций, содержащих модуль».
Приложение № 5. Задания для проверки усвоения программы курса.
Приложение № 5.1. Заключительный тест .Приложение № 5.2. Итоговая проверочная работа в 3 вариантах.
Учебно-тематический план
Тема
№ Наименование
тем курса Всего часов В том числе Форма контроля Форма контроля
лекция практика 1 Модуль: общие сведения. Преобразование выражений, содержащих модуль 2 1 1 Самостоятельная работа
2 Решение уравнений, содержащих модуль 5
1,5 3,5 Самостоятельная работа
3 Решение неравенств, содержащих модуль 6 1,5 4,5 Самостоятельная работа
4 Графики функций, содержащих модуль 3 1 2 Творческий отчет (или самостоятельная работа)
5 Модуль в заданиях ГИА 2 - 2 Итоговый тест (или проверочная работа)
Всего 18 часов.
Тема 1.
Модуль: общие сведения. Определение, свойства, геометрический смысл модуля.Преобразование выражений, содержащих модуль.
Занятие 1.
Модуль : общие сведения. Определение, свойства, геометрический смысл модуля
Цели: повторить и уточнить знания учащихся; рассмотреть свойства модуля; способствовать выработке навыков в упрощении выражений, содержащих модуль.
Ход занятия
I. Лекция.
О п р е д е л е н и е. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательное, и число противоположное а, если а отрицательное.
Чаще всего применяют запись:
|a| =
П р и м е р ы. |5| = 5; ; |–8| = 8;
, так как .
Отметим некоторые свойства модуля.
1) |–a| = |a|
2) |a·в| = |a|·|в|
Докажем это свойство, рассмотрев все случаи:
а) если а = 0, в = 0, или в ≠ 0, или а ≠ 0, но в = 0, то очевидно |a·в| = |a|·|в| = 0;
б) если а > 0 и в > 0, тогда а = |a|; в = |в| и ав > 0.
Значит, |a·в| = ав = |a|·|в|;
в) если а < 0 и в < 0, тогда –а = |a|; –в = |в| и ав > 0.
Значит, |a·в| = ав = (–а)·(–в) = |a|·|в|;
г) если а > 0 и в < 0, тогда а = |a|; –в = |в| и ав < 0.
Значит, |a·в| = –ав = а·(–в) = |a|·|в| и свойство (2) доказано.
3) , где в ≠ 0.
4) |a + в| = |a| + |в| тогда и только тогда, когда а ≥ 0 и в ≥ 0.
5) |a| + |в| = а + в тогда и только тогда, когда а ≥ 0 и в ≥ 0.
6) |a – в| = |a| + |в| тогда и только тогда, когда ав ≤ 0.
7) Для а1, а2 … ап справедливо
|a1 + а2 + … + ап| ≤ |a1| + |а2| + … + |ап|.
8) .
9) |a|2 = а2.
10) |a| – |в| ≥ 0 тогда и только тогда, когда а2 – в2 ≥ 0.
Г е о м е т р и ч е с к о е т о л к о в а н и е: каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображением данного числа.
Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Это расстояние или длина отрезка рассматривается всегда как величина неотрицательная. Таким образом, геометрическая интерпретация модуля действительного числа а будет рассматриваться от начала отсчета до точки, изображающей число.
II. Решение упражнений.
№1. Найдите значение выражения:
а) х+у при х=0, у=5;
б) а+в2 при а=- 57 , в=4;
в) (|а|-|в|)/с при а = - 3, в = - 2, с = - 1;
г) x2ув при х = 3; у = 1; в = -3 .
№2. Упростите выражение:
а) ( х-3)2 , если х-3≥0.
б) (5-3)2в) (3-6)2 №3. Решите уравнения:
а) х-3=0; б) х-6=0; в) х+2,5=1. г) 2х-1+3; д) 2-3,5х=6,2; е) 0,4х+1=2,3.
№4. Упростить выражение:
а) х2-4х+4х-2 ; Отв. : 1, если х>2; -1, если х<2.
б) х2+10х+25х+5 ; Отв.: 1, если х>-5; -1, если х<-5.№5. Упростить выражения:
а) 2+5-5-32; Отв. 25-1.б) (5-30)2+ (6-30)2; Отв. 1.
в) 6-√32)2+ (4-32)2; Отв. 2.№ 6. Упростить выражение .
Р е ш е н и е.
Дробь определена для любых значений а.
При а ≥ 0 .
При а < 0 .
Возможно другое решение.
Учитывая свойство |a|2 = а2 , имеем:
= |a| – 2.
О т в е т: а – 2 при а ≥ 0,
–(а + 2) при а < 0.
№ 7. Упростить выражение .
Р е ш е н и е.
Дробь определена при а ≠1. Нули подмодульных выражений: 0; 1. Данные точки делят числовую ось на интервалы (–∞; 0); [0; 1); [1; +∞).
Упростим дробь на каждом из интервалов:
(I) а < 0: ;
0 ≤ а < 1: .
а > 1: .
О т в е т: при а < 0;
1 – а при 0 ≤ а < 1;
а – 1 при а > 1.
Решить самостоятельно с последующей проверкой:
№8. Упростите выражение:
х-1+ х+х3x2-3х,
если 1) х<0, Отв. -13х.
2) 0<х<1, Отв. х+13хх-1. 3) х>1, Отв. 3х-13х(х-1).
4) 12≤х≤34, Отв. х+13хх-1.Домашнее задание:
№1.Упростите выражение: а) 4+6-(6-2)2; Отв.6.
б) (10-4)2-10-4; Отв. -2√10.в) (4-23)2-(5-23)2; Отв. 2.
г) (3-22)2+ (2-22)2; Отв. 1.
№2.Упростите выражение
в-1∙вв2-в+1-в, если 1) в<0; Отв. в(в-1)в2+1.
2) 0<в<1; Отв. в1-в.
3) в>1; Отв. вв-1.
4) 5≤в≤6; Отв. вв-1.
Занятие 2.
Преобразование выражений, содержащих модуль.
Цель: Закрепление навыков в использовании определения модуля при упрощении выражений, содержащих модуль.
Ход занятия
I. Повторить определение модуля, его геометрическую интерпретацию.
Проверить домашнее задание.
II. Самостоятельное решение упражнений с комментариями.
Р е ш и т ь с а м о с т о я т е л ь н о.
1.
О т в е т: при т (–∞; –2) (–2; 0) [3; +∞);– при т (0; 3).
2. Доказать, что данное выражение-целое число.
III. Решение примера.
Доказать, что данное выражение – целое число .
Р е ш е н и е.
= =
= .
IV. Самостоятельное решение со взаимопроверкой по вариантам.
I в а р и а н т Доказать, что данное выражение - целое число.
3-12+6√3II в а р и а н т Доказать, что данное выражение - целое число.
402-57-402+57.Домашнее задание:
№1. Упростить выражение: а) х-2+4х-2∙x2-4; б) х+3x2-9; в) х∙х-1x2-х+1-х.
№2.Вычислите: а) 5-2√6 - 5+2√6;
б) 7+4√3 - 7-4√3 ; в) 8+2√7 - 8-2√7 .
Тема 2.
Решение уравнений, содержащих модуль
Занятие 3
Решение простейших уравнений, содержащих модуль.
Цели: закрепить изученный материал; познакомить учащихся с решением простейших уравнений, содержащих модуль используя определение модуля, его геометрический смысл, свойства модуля. Тренироваться в решении простейших уравнений.
Ход занятия
I. Фронтальный опрос.
1. Дайте определение модуля числа.
2. Дайте геометрическое истолкование модуля.
3. Может ли быть отрицательным значение суммы 2 + |x| ?4. Может ли равняться нулю значение разности 2|x| – |x| ?5. Как сравниваются два отрицательных числа?
II. Устная работа :Раскрыть модуль:
1) |π – 3|;6) ;
2) ;7) ;
3) ;8) при а ≥ 3
4) ;9) при в < 4;
5) ;10) при т < 1.III. Проверка домашнего задания. Решение на доске заданий, вызвавших затруднения.
IV. Объяснение нового материала. Лекция.
Рассмотрим примеры решения уравнений, содержащих абсолютные величины, используя определение модуля его геометрическую интерпретацию, использование свойств модуля.
Уравнения вида │х│=а, если а<о, решений не имеют; если а=о, то х=о; если же а>о, то х=а и х=-а.
Пример 1 : │х│= 7 по определению модуля данное уравнение имеет корни х=7,
х= -7.
Уравнения вида , где а ≥ 0. По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений: f(x) = a и f(x) = –a.
Записывается это так: fх=аfх=-аПример2.: │2х-3│ = 2 по определению абсолютной величины имеем:
156845-12700012701321664002х-3=2, х=2,5,
=>
2х-3=-2; х=0,5.
Ответ: 2,5; 0,5.
Уравнение вида │f(х)│= g(х) равносильно системе уравнений:
2491321269900457200000 f (х)= g(х),
f (х)= - g(х)
g (х)≥0.
Пример 3: │2х-5│= х-1
Решение:
174942514478000
193738532013005715311140016510033020002х-5=х-1, х=4,
2х-5=1-х, х=2, => х1=4; х2=2;
х-1≥0. х≥1.
Ответ: 4; 2.
Уравнение вида │f(x)│=│g(x)│ равносильно объединению уравнений
835025508000 f (x) = g(x),
f (x) = - g(x).
Пример4 : │2-3х│=│5-2х│
342900533400024003005334000160020053340002-3х=5-2х, -х=3, х = - 3,
2-3х=2х-5; -5х=-7; х = 1,4.
Ответ: - 3; 1,4.
Уравнение вида f(|x|) = a. По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух систем:
Пример 5.
Решите уравнение х2 – |х| – 6 = 0. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
1) 2)
Решим первую систему:
х = 3.
Решим вторую систему:
х = –3.
О т в е т: –3; 3.
Итоги рассмотренного можно представить в виде опорной таблицы, раздав ее ученикам:
Таблица1.
│х│= а │х-b│= a │f(x)│=│g(x)│ │f(x)│= g(x) fх=а а<0
решений нет a<0
решений нет равносильно
объединению
уравнений
889001651000 f(x)=g(x),
f(x)=-g(x). равносильно
системе
уравнений
-459322074300927105080000 f(x)=g(x),
f(x)=-g(x),
g(x)≥0. равносильно совокупности двух систем
а=0, х=0 а=0, х=b a>0
622304000500 х=а,
х=-а.
а>0
812804381500 x=b-a,
х=b+a.
Пример 6. .
По определению модуля имеем совокупность уравнений
х – 8 = 5,
х – 8 = –5. Откуда х = 13, х = 3.
О т в е т: 3; 13.
Некоторые уравнения и неравенства с модулем решаются проще с помощью геометрических соображений.
|a – в| – это расстояние между а и в.
Решим предыдущее уравнение .
О т в е т: 3; 13.
Пример 7 . Решить уравнение |x –2| = |3 – х|.
Р е ш е н и е.
Данное уравнение равносильно двум уравнениям:
х – 2 = 3 – х (1) и х – 2 = –3 + х (2)
2х = 5 –2 = –3 – неверно
х = 2,5 уравнение не имеет решений.
О т в е т: 2,5.
Можно решить данное уравнение, учитывая следующее свойство:
|a| = |в| а2 – в2 = 0.
|x –2| = |3 – х| (x –2)2 – (3 – х)2 = 0,
(х – 2 – 3 + х) (х – 2 + 3 – х) = 0,
(2х – 5) = 0,
х = 2,5.
О т в е т: 2,5.
Но проще других решение на числовой прямой, учитывая, что расстояния равны.
Решить самостоятельно:
1.Рассмотрим уравнение .
О т в е т: –0,5; 3,5. Решение на основе геометрической интерпритации. (Рассматривать вместе с учителем.)
На расстоянии 4 от точки 3 лежат две точки –1 и 7, а 2х есть одна из них.
Следовательно,
2х = –1, или 2х = 7,
х = –0,5. х = 3,5.
О т в е т: –0,5; 3,5.
2. Решите уравнение: х2 + 3|x| = 10.
О т в е т: –2; 2.
3. Решить уравнение |3х –10| = х – 2.
Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
О т в е т: 3; 4.
4. Решить уравнение |2х – 3| = 3 – 2х.
Р е ш е н и е.
|2х – 3| = –(2х – 3).
Воспользуемся следующим фактом: |f(x)| = –f(x), если f(x) 0. Тогда данное уравнение равносильно неравенству
2х – 3 0, .
О т в е т: (–∞;].5. Решить уравнение
|4 – 5х| = 5х – 4.
Домашнее задание: Решите уравнения:
1) | х3+3х2 +х| = - х + х3
Решение: Решим уравнения х3+3х2 +х = - х+х3 и х3+3х2 +х=х –х3. Первое из них имеет корни - 2/3 и 0, а второе 0 и -3/2. Легко видеть, что условие
х3 – х ≥ 0 выолняется только при х = 0 и при х = -2/3. Следовательно, -2/3 и 0 корни исходного уравнения.
2). | 8х+5|=10 3). | х2 -5х +3|=1
4). | 3х+2|=4 5). |х2-7х+9 |=3
6). | 8х+5|+2х=4х 7). | х2 -3х|= х 2 -2х
8). | 3х+2|=4х -2 9). |3х2 -5х - 8| =3х +8
Занятие 4.
Решение уравнений, содержащих модуль методом интервалов.
Цели: Закрепить изученный материал, познакомить учащихся с решением уравнений вида |f1(x)| + |f2(x)| + … + |fп(x)| = g(x) методом интервалов.
Формирование умения решать данные уравнения.
Ход занятия
Фронтальный опрос:
Сформулируйте определение модуля числа.
Сформулируйте геометрическое истолкование модуля.
Теоретические вопросы по таблице 1( см. предыдущий урок).
Устная работа: Раскройте модуль:
1. π-3; 2. 3+√5; 3. 1-√2 ; 4. 5-2; 5. х4+1;
6. x2; 7. x2+3х-4 ; 8. ( а-3)2 при а≥3;
9. (в-4)2 при в<4 ; 10. x2-2х+1 при х<1.
Проверка домашнего задания
Изучение нового материала
Решение уравнений вида |f1(x)| + |f2(x)| + … + |fп(x)| = g(x).
Р е ш е н и е.
Для каждой из этих функций находят область определения, ее нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения функции fi(x) (i = 1, 2 … п) на промежутки, в каждом из которых каждая их функций fi(x) сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, подлежащее решению.
Можно предложить учащимся записать следующий алгоритм.
Пусть дано уравнение F(x) = 0, такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций |f1(x)|, |f2(x)|, … |fп(x)|.
1. Решают каждое из уравнений f1(x) = 0, f2(x) =0, … fп(x) = 0.
2. Вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков.
3. На каждом таком промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков модуля и равносильное исходному уравнению на этом промежутке.
4. На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается.
5. Отбираются те корни, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке.
6. Все корни уравнения F(x) = 0 получают, объединяя все корни, найденные на всех промежутках.
Рассмотрим примеры решения уравнений, придерживаясь этого плана.
Пример 1.
Решите уравнение х+4=2х-10.Область определения функции, стоящей под знаком модуля - множество всех действительных чисел, нули функции: х = - 4
(- ;- 4) [-4;+ ) - х - 4 = 2х -10
3х=6
х=2 (- ;-4) х+4=2х-10
х=14 [-4;+ )Ответ: 14.
Пример 2. Решите уравнение: x2-5х+6=0
(- ;0) [0;+ )х +5х+6=0
х1 =-2 (- ;0)
х2 =-3 (- ;0) х -5х+6=0
х1 =2 [0;+ )
х2=3 [0;+ )
Ответ: ±2; ±3.Пример 3. Решите уравнение : 5-2х+х+3=2-3х.
5-2х=0, х+3=0;
х=2,5 ; х = - 3
(- ;-3) [-3;+2,5)[+2,5;+ )5-2х + + -
х+3 - + +
(- ;-3) [-3;+2,5)[+2,5;+ )5-2х-х-3-2+3х=0
0х=0
х-любое число
(- ;-3) 5-2x+x+3-2+3x=0
2х=-6
х=-3 [-3;2,5)2х-5+х+3-2+3х=0
6х=4
x=2/3 [2,5;+ )-∞;-3∪-3=(-∞;-3Ответ: (-∞;-3 Пример4: 2│х-2│-3│х+4│=1.
Решение.
1). Найдём критические точки:
а) х-2=0 б) х+4=0
х=2 х = - 4
2314575158115001600200158115002) х-2 - -4 - 2 +
99631531750012585706223000 х+4 - + + х
3)
361315016192500214757014605000
3390906286500 1) х<-4, 2) -4≤х≤2, 3) х>2,
-2х+4+3х+12=1, -2х+4-3х-12=1, 2х-4-3х-12=1,
217995511176000376491511176000
5010153556000 x<-4, -4≤х≤2, х>2
х=-15. х=-1,8. х=-17.
х = -15. х = -1,8.
Ответ: -15 ; - 1,8.
Решить самостоятельно, используя метод интервалов, с последующей проверкой:
х-3=3х+7. Ответ : - 1.
x2-7х+9х-2+3х-2=0. Ответ: 1,2,3,4.
х+1+2х-2=6. Ответ: -1 ; 3.
Домашнее задание:
Решите уравнения , используя метод интервалов:
х-2=1. Ответ: 1; 3.
x2-6х+4=4. Ответ: 0; 2; 4; 6.
х-4=2х-3. Ответ: -1; 213.
x2-4х+2=x2-3х+3. Ответ: -1; 1; -2,5.
Занятие 5.
Решение уравнений, содержащих модуль под знаком модуля.
Цели: Повторить решение уравнений методом интервалов. Рассмотреть метод решения уравнений, содержащих модуль в модуле.
Ход занятия.
Фронтальный опрос:
Проверка домашнего задания
Вспомнить алгоритм решения уравнений методом интервалов.
Изучение нового материала:
При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение так же содержащее модуль, можно сначала освобождаться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрывать оставшиеся модули.
Пример 1.
││2х-3│-х│= 6.
1) 2х-3≥0 => х≥3/2 2) 2х-3<0 => x<3/2
│2х-3-х│= 6 │-2x+3-x│= 6
х-3= ±6 -3x+3= ±6
х= -3, -3 [3/2;+∞) x = -1, -1 (-∞;3/2) x=9, 9 [3/2 ;+∞) x= 3, 3 (-∞;3/2)
Ответ: х1= 9, х2= -1.
Пример 2.
│5-│х││= 3
При решении этого примера целесообразно сразу воспользоваться определением модуля.
5-│х│= ± 3
1) 5-│х│ = 3 2) 5-│х│ = -3
│х│= 2 │х│= 8
х = ± 2 х = ± 8
Ответ: ± 2; ± 8.
Пример 3.
│2х-3-│х+2││= 8х+12
Решение.
х+2 = 0, х=-2
Рассмотрим промежутки х<-2, х≥-2
а) х<-2
х+2<0 => │x+2│= -x-2
Имеем уравнение:
389064513017500│2x-3+x+2│= 8x+12
│3x-1│= 8x+12
3x-1=0, х = 1/3(-∞;-2) -2 1/3 х
При х<-2, 3х-1< 0 => -3x+1= 8x+12
х= -1, -1(-∞;-2) => на промежутке х<-2 данное уравнение решений не имеет.
б) х≥-2
х+2≥0 => │2x-3-x-2│= 8x+12
│x-5│= 8x+12
x-5 = 0, х=5
Рассмотрим промежутки: -2≤x<5; x≥5.
402336066675-2 5 х
00-2 5 х
При -2≤х<5 При х≥5
-х+5=8х+12 х-5=8х+12
9х=-7 7х=-17
х=-7/9,
-7/9[-2;5) x = -17/7, -17/7[5;+∞) Ответ: x=-7/9.
Пример 4.
Решите уравнение: х-4-х-2х=4.
Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
совокупности двух следующих систем
ЛОЖНО! (-; 2)
(4; +),
значит система решения не имеет.
Ответ: 0.
Иногда внимательный взгляд на уравнение позволяет упростить процесс нахождения его корней.
Пример 5.
Решите уравнение: 2х-6=-4-х.Левая часть уравнения неотрицательна для всех х, следовательно правая часть его должна быть такой же:
Значит х=-х, т.е. -2х-6=-4-х, Х≤-4, значит -2х-6≥0,
-2х-6=-4-х, -х=-2, х=-2 Ответ: нет корней.
Пример 6.
│х-2│+│х-1│= х-5
Решение. Поскольку левая часть данного уравнения неотрицательна, то х≥5. Это позволяет раскрыть модуль и прийти к системе, равносильной исходному уравнению.
1553757310710003048000 х-2+х-1= х-5, х = -2,
х≥5. Х ≥ 5.
Отсюда получаем
Ответ: нет решений.
Задания для самостоятельного решения с последующей проверкой:
решите уравнение: а) х-5-6=7. Ответ: -8; 18.
б) х+2-7=4. Ответ: -13; -5; 1; 9.
Решите уравнение: а) x2-3х+5-2=3. Ответ: 0; 3.
б) x2-4х+1-1=2. Ответ:2; 2∓√6; 2∓√2.
Домашнее задание:
Творческое задание : придумать и решить уравнения, содержащие несколько знаков модуля. По возможности оформить решение в электронном виде.
Занятие 6.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ МЕТОДОМ ВВЕДЕНИЯ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ.
Цели: Повторение материала предыдущего урока. Развитие творческих способностей учащихся, навыков использования ИКТ. Познакомить учащихся с методом введения новой переменной и графическим методом при решении уравнений со знаком модуля. Отработка применения данных методов на конкретных примерах.
Ход урока
Проверка домашнего задания:
Заслушать несколько человек у доски с решением придуманных уравнений.
Кто подготовил в электронном виде - с помощью компьютера.
Объяснение:
Метод введения новой переменной. Иногда уравнение, содержащее переменную под знаком модуля , можно решить довольно просто, используя метод введения новой переменной. Продемонстрируем данный метод на конкретных примерах:
Пример 1. Решите уравнение: x2-5х+6=0.
Пусть х=а, тогда х2=x2=а2, тогда уравнение примет вид:
а2-5а+6=0а1=2, х=2 , х1,2=±2 ;
а2=3, х=3, х3,4=±3.
Ответ: ±2; ±3.Пример 2. Решите уравнение: х-22-8х-2+15=0.Пусть х-2=а, х-22=х-22=а2.
Исходное уравнение примет вид: а2-8а+15=0, D=16-15=1.
а1=3, а2=5.
х-2=3, х1=5; х2=-1;х-2=5, х3=7; х4=3.Ответ: -1; 3; 5; 7.
Пример 3. Решите уравнение: | | х-1| +2| =1
Пусть | х-1| = у. Тогда будем иметь простейшее уравнение | у+2| =1. Это уравнение решаем так:
Получаем:
Данные уравнения решения не имеют, т.к. модуль числа неотрицателен.
Ответ: решений нет.
Пример 3. Решите уравнение методом замены: 2-х+1=3.Ответ: -6; 4.
Графический метод:
Метод основан на геометрической интерпретации понятия абсолютной величины числа, а именно модуль х равен расстоянию от точки С(х) до точки с координатой О на числовой прямой Ох. Используя геометрическую интерпретацию, легко решаются уравнения вида:
х-а=с, х-а+х-в=с, х-а-х-в=с, где а,в,с-некоторые числа.
Решить уравнение вида : |x - a|= c
– это значит найти все точки на числовой оси Ох, которые отстоят от точки С(а) на расстояние с.
При C < 0, уравнение решений не имеет;
При C = 0, уравнение имеет один корень;
При C > 0, уравнение имеет два корня
Решить уравнение вида : |x - a| + |x - b| = c
это значит найти все точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний от неё до точки с координатами а и b равна с.
Аналогично интерпретируется решение уравнения вида |x - a|-|x - b|= c.
Решите уравнение: х-1-х-3=2.На числовой оси Ох найдем все точки, для каждой из которых разность расстояния от нее до точки с координатой 1 и расстояния от неё до точки с координатой 3 равна 2. Так как длина отрезка [1;3] равна 2,то ясно, что любая точка с координатой х>3 удовлетворяет данному уравнению, а любая точка с координатой х<3 не удовлетворяет ему. Таким образом, решением исходного уравнения является множество чисел промежутка 3;+∞).Ответ: 3;+∞). .Рассмотренный метод можно отнести к графическим методом решения уравнения. Все необходимые построения здесь производились на числовой оси.
Рассмотрим теперь метод решения уравнения, в котором будем использовать построения на координатной плоскости. Этим методом, теоретически, можно решать уравнения с модулем любого вида, однако практическая реализация метода иногда бывает довольно сложной.
Суть метода состоит в следующем. Решить уравнение f(х)=q(x) это значит найти все значения х, для которых значение функций y=f(x) и y=q(x) равны, т.е. найти абсциссы всех точек пересечения графиков этих функций. Если же графики не имеют общих точек, то уравнение не имеет корней. Следует, однако, иметь в виду, что точное построение графиков функций практически невозможно, поэтому решение, найденное графическим способом требует проверки подстановкой.
Решите уравнение: х2-1=3. Построим графики двух функций: у= х2-1 и у=3.
Из чертежа видно, что графики имеют 2 общие точки. Координаты одной точки: (8; 3), другой: (-4; 3).
Следовательно, исходное уравнение имеет
два решения: х=8, х= -4 .
При решении графическим методом значения корней уравнения определяются приблизительно, и только проверка позволит доказать, что найденные значения действительно являются корнями исходного уравнения.
При подстановке х=8 , х= -4 в уравнение получаем, соответственно два верных числовых равенства: |-3|=3 и |3|=3.
Ответ: -4; 8.
Так как при графическом методе решения зачастую не удается найти точное значение корня, но применение данного метода бывает обосновано, если требуется найти не сами корни, а всего лишь определить их количество.
Решите уравнения самостоятельно:
1)| х-5 | =2
Решение: откуда х = 7 и х = 3.
Второй способ. Пользуясь тем, что модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа, можно это уравнение решить так: | х – 5 |= 2. Прочитаем это соотношение так: расстояние от точки х до точки 2 равно 5. Откладываем на числовой прямой от точки 2 отрезок длиной 5 (в обе стороны)
Получим ответ: 7 и 3.
х2 + | х | -6 =0
Решение: Данное уравнение равносильно совокупности систем:
и
Уравнение имеет два решения: -3 и 2. Решением уравнения являются числа 3 и –2.
Решением первой системы совокупности является неотрицательное число х=2.
Решением второй системы совокупности есть число –2.
Следовательно, решением данного уравнения являются два числа: 2 и –2.
Замечание:
Данное уравнение можно решать, используя метод замены неизвестного.
Пусть | х| =t, t≥0 тогда и уравнение можно записать так:
Решая его, находим корни. Это числа -3 и 2.
Берем только 2. Имеем | х| =2, т.е. х= .
Домашнее задание: Решите уравнение несколькими способами:
х-3-х-1=0. Ответ: 2.
Возможные способы решения: По определению модуля перейти к четырем системам;
метод интервалов; графический; возведение обеих частей уравнения в квадрат, с последующей проверкой корней на принадлежность ОДЗ.
Занятие 7.
Решение уравнений, содержащих модуль.
Цели : Вспомнить методы решения уравнений содержащих модуль. Проверить усвоение учащимися методов решения уравнений, содержащих модуль. Формирование навыков самостоятельной работы учащихся.
Ход урока:
Проверка домашнего задания:
Провести проверку, объединив ребят в группы. После небольшого обсуждения способов решения домашнего уравнения, каждая группа отчитывается, описывая свои способы. Выполнение самостоятельной работы: (см. Приложение № 2.3.) (25 мин.)
Домашнее задание: Задания из Приложений № 2.1; № 2.2
Приложение № 1.
Задания на преобразование выражений, содержащих модуль.
Упростить выражения:
№ 1. . № 2. .
№ 3. . № 4. .
№ 5. . № 6. .
№ 7*. . № 8. .
№ 9. . № 10. .
№ 11. . № 12. .
№ 13. . № 14. .
№ 15. . № 16. .
№ 17. .
№ 18. Доказать, что данное выражение – целое число.
а) ; б) ; в) .
№ 19. Вычислите:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) .
Приложение № 2.
Задания по теме: Решение уравнений, содержащих модуль.
Приложение № 2.1.
I. Решите уравнения:
1. │5-4х│= 1
2. │5х-3│= 4
3. │3х-3│= 6
4. │5х+4│= 10
5. │5х+2│= 4
II. Найдите корни уравнения:
1. │-x+2│= 2x+1 Ответ: 1/3
2. │5-х│= 2(2х-5) Ответ: 3
3. │3x+1│+x= 9 Ответ: { -5;2 }
III. Решите уравнения:
│4x-1│= │2x+3│ Ответ: { -1/3;2 }
│x+2│= │x-1│ Ответ: -0,5
3.│x+5│= │10+x│ Ответ: -7,5
4.│2-3x│= │5-2x│ Ответ: { -3;1,4 }
5.│х+3│+│2х-1│= 8 Ответ: { -3;2 }
6. │x-3│+2│x+1│= 4 Ответ: -1.
7.│x-2│-│5+x│= 3 Ответ:-3.
8.│x+6│-│x│-│x-6│= 18 Ответ: [6;+∞) 9. │x+1│+│2-x│-│x+3│= 4 Ответ: {-2;8 } 10. ││x-3│+2│= 3x-5 Ответ: 2,5
11. │2│x│-1│= 3 Ответ: {-2;2 } 12. ││││x-1│+2│-1│+1│= 2 Ответ: 1
13. ││││x│-4 │-3│-2│= 1 Ответ: {-10;-8;-6;-4;-2;0;2;4;6;8;10}
Приложение № 2.2.
Решение заданий, сводящихся к уравнениям со знаком модуля.
Решить уравнения:
1. 2+= 3х+1 Ответ: 1.
2. + = 6 Ответ: {-3,5; 2,5 }3. x2 - 6│x│ - 2 = 0 Ответ: {3+;-3-}
4. x2 -4│x│-1= 0 Ответ: {2+;-2-}
5. 3- = 2 Ответ: {0,2}
Решите задачу:
Дана точка М(3). Найдите координаты точек L и N таких, что MN=3ML, если NL=10. Сколько решений имеет задача?
Ответ: L(8), N(18) и L(-2), N(-12).
Дана точка К(2,5). Найдите координаты точек P и L таких, что KL=2KP, если PL=9,5.
Ответ: P(12), L(21,5) и P(-7), L(-16;5).
Решите уравнения:
1. x2 - 5- 6 = 0 Ответ: -6;6.
2. + = 10 Ответ: 5;-5/3.
3. + = 3 Ответ: x [5;26].
4. += 1 Ответ: x[0;3].
5. = Ответ: 2,5.
6. = 1 Нет решений.
7. = 2 Ответ: 1,5
8. Ответ: x[3;+∞).Приложение №2. 3.
Самостоятельная работа по теме решение уравнений со знаком модуля.
В – 1
1. │5х+3│= 1 Ответ: x1=-0,8, x2=-0,4.
2. │2x+5│+│2x-3│= 8 Ответ: -2,5≤x≤1,5
3. │x2+2x│-│2-x│=│ x2-х│ Ответ: x=
4. x2 - 2│x│- 8 = 0 Ответ: x1 =4, x2=-4.
5. ││3-2x│-1│= 2│x│ Ответ: x=0,5.
В-2
1. │2х-3│= 5 Ответ: x1=4, x2=-1.
2. │х-3│= │х│-3 Ответ: x≥3.
3. 2│x+6│-│x│+│x-6│= 18 Ответ: x=-12, 0≤x≤6.
4. 2x2-│x│-1=0 Ответ: x1=1, x2=-1.
5. │2│x│-1│=3 Ответ: x1=-2, x2=2.
В-3
1. │х2-2х│-3=0 Ответ: x1=3, x2=-1.
2. │x│-│x+2│=0 Ответ: x=-1.
3. │x│-2│x+1│+3│x+2│=0 Ответ: x=-2.
4. x2-7│x│+12=0 Ответ: x1,2 =±3, x3,4=±4.
5. ││x-3│+2│=3x-5 Ответ: x=2,5.
B-4
1. │2x-x2-8│=x2 -1 Ответ: x=4,5.
2. │2x-3 │-│5x+4│=0 Ответ: x1=
3. 2│3x+1│-5 │2-x│=4│x+8│-7 Ответ: x1=-7,4; x2=-9.
4. x2-4│x│-12=0 Ответ: x1=6; x2=-6.
5. ││x │-2│=1-2x Ответ: -
Приложение №3
Задания по теме : «решение неравенств, содержащих модуль».
Приложение № 3.1
Решение неравенств, содержащих модуль.
Найти наибольшее целое , удовлетворяющее неравенству:
.
Найти наименьшее целое , удовлетворяющее неравенству:
III. Решите неравенства:
Приложение №3.2.
Задания, сводящиеся к решению неравенств со знаком модуля.
. Найти область определения функции:
. При каких значениях график функции Y=f(x) лежит выше (ниже) графика функции Y=g(x)?
. При каких значениях график функции Y=f(x) лежит выше (ниже) оси абсцисс?
V. При каких значениях график функции не пересекает график функции ?
V. При каких значениях расстояние между графиком функции Y=f(x) и Y=g(x)
не превышает ?
Приложение № 3.3.
Самостоятельная работа по теме «Неравенства с модулем».
Вариант I . Вариант II.
5)
Найти область определения функции:
у=х-3-1 у=х-3+1
6)
При каких значениях график функции Y=f(x) лежит выше графика функции Y=g(x)?
У=3х+1 выше, чем У=2-х У=x-6 выше,чем У= -5х
05334000
Ответы Ответы
-∞;2∪4;+∞ 5) х-любое
-∞;-1,5)∪( 14; +∞ ) 6) (-∞;-1,5)∪(1; +∞).Приложение № 4.
Дополнительные задания по теме: “Построение графиков функций, содержащих модуль”.
Приложение № 4.1.
1. Тестовое задание.
Тест.
Вариант 1. Точка М(2;4) принадлежит графику функции y = f (x).
Отметьте соответствующие ей точки в результате преобразования этого графика.
точки
зависимости (2;4) (-2;4) (2;-4) (-2;-4) Ответ
y =│ f (x)│ X y = f (│x│) X X │y │= f (x) X X y =│ f (x)│ X X │y │= f (│x│) X X X X
│y │= │f (x)│ X X Вариант 2. Точка М(2;-4) принадлежит графику функции y = f (x). Отметьте соответствующие ей точки в результате преобразования этого графика.
точки
зависимости (2;4) (-2;4) (2;-4) (-2;-4) Ответ
y =│ f (x)│ X y = f (│x│) X X
│y │= f (x) y =│ f (x)│ X X X X
│y │= f (│x│) │y │= │f (x)│ X X 2. Задание содержащее сразу несколько модулей, чтобы постепенно увидеть результаты преобразований.
Например, │y │= │2│x│-3│-1
Порядок построения:
y1 =│x│, y2 =2│x│ – растяжение вдоль оси OY в 2 раза.
y3 =2│x│-3 – сдвиг вниз на 3.
y4 =│2│x│-3│ – симметрия точек графика, для которых y2 < 0 относительно оси OX.
y5 =│2│x│-3│-1 – параллельный перенос вдоль оси OY на – 1.
y6 =│y5│ – симметрия точек, для которых y5 ≥ 0 относительно оси OX.
Окончательный вариант графика.
Задания для самостоятельной работы.
Постройте графики:
а) y =│(│x│-3)2 - 2│;
8
б) y =│ ──── │.
│x│ - 2
Изобразите в системе координат множество точек:
│y │= (│x│+1)2 – 3
Приложение № 4.2.
Использование определение модуля при построении графиков функций.
Пользуясь определением модуля построить графики функций:
а)y = x2 -│x│- 6;
б)y = │x - 6│;
в)y = x (│x│ - 4);
г)y = (x - 3) (│x│ + 1);
27927304064000д)y = x│x│;
е)y = │3x2 + 2x +1│ - 3x2;
ж)y = x│x - 4│;
з)y = │x - 3│(x + 1);
│x - 1│
и)y = ─────── (x2 – 4);
x - 1
x2 (x +1)2
к)y = x2 + ── + ──── ; │x│ │x + 1│
л)y = │x2 + x│- x2.
2718435696595000-831857022465002668270453199500-1143004563745002628900217995500-1143002179955002628900825500-114300825500Приложение № 4.3.
Используя геометрические преобразования, построить графики функций:
1) y = f(│x│).
а) y = x2 - 4│x│ + 3; y = x2 - │x│ - 6;
б) y = x│x│;
в) y = x│x - 1│;
г) y = (x – 1)│x│;
д) y = (x + 2)│x - 3│;
е) y = x2 - 3│x│;
ж) y = 2│x│ - 0,5x2;
з) y = x2 - │2x - 1│;
│x│+ 2
и) y = ─────;
│x│- 1
2) y = │f(x)│.
а) y = │x2 - x│;
б) y = │x2 – x + 2│; y = │x2 – 3x + 2│;
1
в) y = ─────;
│4 + x│
x + 3
г) y =│ ──── │;
x + 2
д) y = │- x│;
е) y = │3 - x│;
285750021272500-22860021272500ж) y =│3 + 0,5 x │;
з) y = │- x2 + 6 x + 8│;
и) y = │x + 2│ - 2;
к) y = 3 - │1 - 3x│;
л) y = │ x + 1││ x - 3│;
_________________________
м) y =√( x2 + 2 x + 1) ( x2 - 10 x + 25);
__________
н) y =√x4 - 6 x2 + 9.
3) y = │f(│x│)│.
а) y = │(│x│ - 3)2 - 2│;
8
б) y =│ ───── │;
│x│ - 2
в) y = │x2 - 5│x│+ 6│;
г) y = │4 - │x││;
д) y = │x2 - │x││;
е) y = ││x2 - 1│ - 2│;
ж) y = │x2 - │ x + 1││;
│x│ - 2
з) y =│ ───── │.
│x│ - 3
4) │y│ = f(x).
а) │y │= 3x - 5;
б) │y │= 2x2 - 5;
в) │y │= 1;
г) │y │= x2 – 5x + 6;
д) │y │= (│x│ + 1)2 - 3;
е) │y - 1│= x;
ж) │y + 2│= x - 1;
з) │y│-│x│ = 2.
5) │y│ = f(│x│).
а) │y │= 2│x│ - 3;
4
б) │y │ = ───;
285750023685500 │ x│
в) │y│+ │x│ = 1;
г) ││y│+ │x││ = 2;
д) │x│- │y│ = 1;
-2286003238500
6)
а) │y │= │5 + x│;
б) │y - 2│= │x│;
в) │y│= │3x – x2│;
г) │y│= │3x + x2│;
д) │y│= │ x2 - 3x – 3│;
е) │y + 1│= │x + 3│.
Приложение № 4.4.
Творческие задания на построение графиков функций, содержащих модуль.
Построить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют объединению следующих функций.
24796756286500
“Человечек”
y2 + x2 = 36;
y = 3 при -3 ≤ x ≤ -1 и 1 ≤ x ≤ 3;
y = 1/2x2 – 4 при -2 ≤ x ≤ 2;
│y│ = 1 при -1 ≤ x ≤ 1;
│x│ = 1 при -1 ≤ y ≤ 1;
│y│ = 14 – x при 7 ≤ x ≤ 9;
│y│ = x при 4 ≤ x ≤ 7;
│y│ = x + 14 при -9 ≤ x ≤ -7;
│y│ = -x при -7 ≤ x ≤ -4;
y = -x2 + 10 при -2 ≤ x ≤ 2;
y = 6 при -3 ≤ x ≤ 3.
“Тюльпан”
3314700-40386000
y = │x│ + │x + 1│ при -2 ≤ x ≤ 1;
y = -2│x – 0,5│ + 4 при 0 ≤ x ≤ 1;
y = -2│x + 0,5│ + 4 при -1 ≤ x ≤ 0;
y = -2│x + 1,5│ + 4 при -2 ≤ x ≤ -1.
“Ракета”
2 2
у1 = 2—x + 38 — при -16 ≤ x ≤ -13;
3 3
у2 = 4 при -13 ≤ x ≤ -3, 3 ≤ x ≤ 13;
у3 = -5x - 11 при -4 ≤ x ≤ -3;
у4 = 9 при -6 ≤ x ≤ -4, 4 ≤ x ≤ 6;
1
у5 = - 1— │x│+ 16 при -6 ≤ x ≤ 6;
6
у6 = 5x - 11 при 3 ≤ x ≤ 4;
2 2
у7 = -2— x + 38— при 13 ≤ x ≤ 16;
3 3
у8 = 3x + 14 при -6 ≤ x ≤ -4;
у9 =- ½ │x│- 1 при -6 ≤ x ≤ 6;
у10 = -3x+14 при 4 ≤ x ≤ 6;
у11 = - ½ │x│+ 4 при -16 ≤ x ≤ 6; 6 ≤ x ≤ 16.
-2597159334500
Приложение №4.5.
Решение некоторых заданий на построение графиков функций.
Построить график функции:
320040022860000y = │x + 1│ - │x│ + 3│x - 1│ - 2│x - 2│ - x – 2.
При каких значениях x y = 0 , при каких значениях x функция принимает наименьшее значение.
x -2 -1 0 2 3
y -1 -2 -1 5 6
Ответ: min y = -4, y = 0 при x = -2; x ≥ 2.
2) Построить графики функций:
a) y = │x + 2│ + │x - 1│ - │x - 3│;
б) y = │x - 1│ + │x + 1│;
в) y = │x - 2│ - │x + 2│;
г) y = │x - 3│ + │2x - 1│;
д) y = │x + 3│ + │2x + 1│ - x;
е)у=(х+2)2+(2-х)
4__________ 4___________
ж) y =√(x2 -6x + 9)2 + √(x2 +6x + 9)2 ; 6___________ 6__________
з) y =√(x2 +10x + 25)3 - √(x2 -4x + 4)3 .
Дополнительные задания.
V. 1) Построить график функции:
а) y = x2 + 4│x│ - 5;
б) y = │x2 + 4x - 5│;
в) y = │x2 + 4│x│ - 5│;
г) y = x │x│ + 4│x│ - 5;
2) Построить график функции:
а) y = 4x│x│ + x2 - 15 x и найти:
а) область определения и множество значений;
б) промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы;
в) точки пересечения с осями;
г) промежутки знакопостоянства.
Ответы:
а) D(y) = R, E(y) = R;
б) возрастает на (-∞; -2,5] и [1,5; +∞), убывает на [-2,5; 1,5]; точки экстремума -2,5 и 1,5; экстремумы 18,75 и -11,25.
в) (-5;0); (3;0); (0;0)
г) y > 0 при x (-5;0) (3; +∞); y < 0 при x (-∞;-5) (0; 3).
Приложение № 4.6.
Самостоятельная работа “Построение графиков функций, содержащих модуль”
Самостоятельная работа:
Вариант 1.
Вариант 2.
1. Построить график функции:
а) y = x2 + 2│ x │ - 3;
б) y = │x2 + 2 x - 3│;
в) y = │x2 + 2│ x│ - 3│;
г) y = │ x│ x + 2 x – 3.
а) y = x2 - 4│ x │ + 3;
б) y = │x2 - 4 x + 3│;
в) y = │x2 - 4│ x│ + 3│;
г) y = │ x│ x - 4 x + 3.
2. Для задания N1(б, г) найти:
а) область определения и множество значений;
б) промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции (если они есть);
в) точки пересечения с осями;
г) промежутки знакопостоянства.
3. Задайте функцию формулой по ее графику:
а)б)а)б)
13716004254500-22860046990003429004445000
4. Постройте график функции, заданной формулой:
_________ _________
а) y = x2 – 2x + 1 + x2 – 4x + 4;
(x2 – 4x – 5) │ x - 2│
б) f(x) = .
(x – 5)
_________ _________
а) y = x2 – 6x + 9 - x2 – 4x + 4;
(x2 – 4x – 5) ( x - 2)
б) f(x) = .
│x – 5│
5. Постройте графики уравнений:
а) │y│ = 2x + 3; а) │y│ = x + 3;
б) │y│ =│4x – x2│. б) │y│ =│2x + x2│.
Приложение № 5.
Задания для проверки усвоения программы курса.
Приложение № 5.1.
Заключительный тест.
Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
№ Задания Варианты ответов
1 2 3
1 Корни уравнения
|x|·(x + 3) = –2 1) ; – 2; –1.
2) . 3) –1; –2.
4) ; –1; –2. 5) .
2 Корни уравнения
х2 + |x – 1| = 2 1) ; .
2) ; ;
3) ; ;
4) ; ; 5) 0,5; –1,5.
3 Уравнение |x + 4| + |x – 10| = а имеет только два корня, если 1) а > 14; 2) 0 ≤ а ≤ 14; 3) а = 10;
4) а = 6; 5) а = 14.
4 Уравнение |x – 10| + |x + 2| = а имеет бесконечно много корней, если 1) 0 < а ≤ 10; 2) а > 12; 3) а = 12;
4) а = 10; 5) а > 0.
5 Сумма корней уравнения
|x + 1| = 2|x – 2| равна 1) 4; 2) 5; 3) –2; 4) 6; 5) 7.
6 Произведение корней уравнения х2 – 12 = |x| равно 1) –16; 2) 144; 3) –12; 4) –9; 5) –144.
7 Сумма корней уравнения
равна 1) 7; 2) 8; 3) 4) ; 5) 1.
8 Сумма корней уравнения
|2x2 – 3x + 4| = |3x – 2| + 2x2 + + 2 на отрезке [–5; 5] равна1) 11; 2) 6; 3) 4; 4) 0; 5) 3.
9 Число целых корней уравнения |2x2 – 3x + 4| = |3x – 2| + 2x2 + 2 на отрезке [–5; 5] равно 1) 11; 2) 6; 3) 4; 4) 0; 5) 3.
10 Сумма целых корней уравнения|x + 3| + |x – 2| = = а равна –3, если 1) а < 3; 2) 3 < а ≤ 6; 3) а = 1; 4) а = 5; 5) а > 6.
11 Решение неравенства
|3 – 2x| > 2 имеет вид 1) х (–∞; 0,5) (2,5; +∞);
2) х (2,5; +∞); 3) х (0,5; 2,5);
4) х (–∞; –0,5); 5) х (2; +∞).
12 Решение неравенства
имеет вид 1) –1 < х < 5; 2) –5 < х < –1;
3) х < –5; 4) 1 < х < 5; 5) –3 < х < 3.
13 Сумма целых решений неравенства |х2 + 5x| < 6 равна 1) –10; 2) –15; 3) –20; 4) 10; 5) –5.
14 Площадь фигуры, заданной неравенством |х – 1| + |у| ≤ 10 равна 1) 100; 2) 200; 3) 400; 4) 250; 5) 150.
15 Число целых решений неравенства |х2 – 3x| < 10 равно 1) 6; 2) 5; 3) 7; 4) 9; 5) 0.
16 Площадь фигуры, заданной неравенством
|х – 1| + |у – 1| ≤ 8 1) 64; 2) 128; 3) 32; 4) 16; 5) 256.
Приложение № 5.1.
Проверочная работа
Цель: выяснить степень усвоения учащимися программы курсов.
В а р и а н т I
1. Постройте график функции у = |2х – 1| – 3х.
2. Решите уравнение:
а) |3х + 5| = 6;
б) |х + 1| = 3(2 – х);
в) |2х + 1| + |х + 3| = 4.
3. Решите неравенства:
а) |1 – 2х| 3;в) |х – 1| |x|.
б) |х2 – 2х| х;
В а р и а н т II
1. Постройте график функции у = .
2. Решите уравнение:
а) |х| = –х – 2;
б) х2 + |х| – 2 = 0;
в) |х2 – 4| + |х – 2| = 2.
3. Решите неравенства:
а) |х2 – 2х – 3| 4;
б) х|3х – 1| 3;
в) |х + 1| – 3|х – 2| x + 4.
В а р и а н т III
1. Постройте график функции у = |х –2| + |2х – 1|.
2. Решите уравнение:
а);
б) |х +3| – 2 |1 – 3х| + 5х = 0;
в) х2 – 5х – 6 = 0.
3. Решите неравенства:
а) (2х – 1) |х + 3| 3х;
б) 3|х – 3| – |4 + 3х| х + 3;
в) |х| – 2|х – 1| + 4|х – 3| 5x.
Тема 3.
Решение неравенств, содержащих знак модуля.
Занятие 8.
Решение неравенств, содержащих модуль.
Цели: познакомить учащихся с решением некоторых типов неравенств, содержащих модуль; закрепить изученный материал в ходе решения упражнений.
Ход занятия
I. Итоги самостоятельной работы. Разбор наиболее трудных заданий.
II. Объяснение нового материала.
Опираясь на повторенный материал, рассмотреть решение неравенства |х| ≤ а, где а > 0.
б) |х| ≥ а, где а > 0. Этому неравенству удовлетворяют точки двух лучей х ≥ а и х ≤ –а.
В тетрадях учащиеся оформляют запись, являющуюся справочным материалом по этой теме.
1. Решение неравенств вида |f(x)| ≤ a и |f(x)| ≤ |g(x)|.
Напомним свойства числовых неравенств, что если а > в, а > 0, в > 0, то а2 > в2 верно и обратное утверждение, если а2 > в2 , а > 0, в > 0, то а > в.
Из этих свойств следует, что неравенства
|f(x)| ≤ a (а ≥ 0; при а < 0 решений нет)
|f(x)| ≤ |g(x)| – можно заменить равносильными им неравенствами
f 2(x) – а2 ≤ 0 и f 2(x) – g2(x) ≤ 0.
Аналогичные рассуждения верны и для неравенств
|f(x)| ≥ a , где а ≥ 0, и |f(x)| ≥ |g(x)|.
Заметим, что неравенство |f(x)| ≥ a , где а < 0, выполняется при любом х из области определения функции f.
Пример 1.
|х2 – 5х| ≤ 6.
Данное неравенство равносильно неравенству(x2-5х)2-36≤0.(х2 – 5х – 6)(х2 – 5х + 6) ≤ 0.
Решаем методом интервалов.
О т в е т: –1 ≤ х ≤ 2; 3 ≤ х ≤ 6.
З а д а н и е. решить самостоятельно: |х2 + х –3| ≤ |2х2 + х –2|.
О т в е т: (–∞; –1] ; ∞).2. Решение неравенства вида |f(x)| ≤ g(x) и |f(x)| ≥ g(x).
I с п о с о бII с п о с о б
Неравенство равносильно системе неравенств |f(x)| ≤ g(x)
и или
Аналогичные рассуждения верны и для неравенства |f(x)| ≥ g(x).
Неравенство |f(x)| ≥ g(x) выполняется для всех х из области определения функции f, при которых g(x) < 0.
Если же g(x) ≥ 0, то f(x) ≥ g(x) f 2(x) – g2(x) ≥ 0.
Итак, при решении неравенства |f(x)| ≥ g(x) необходимо рассматривать два условия.
Пример 2.
|х2 – х| х + 2
Решением неравенства (1) является .
Решением исходного неравенства является промежуток
.
О т в е т: .
З а д а н и е. Решить самостоятельно:
|5х – 6| х + 1.
или О т в е т: .
Иногда при решении неравенств с модулем удобно воспользоваться равносильными неравенствами.
3. Решение неравенств вида │f(x)│< g(x)
Пусть на некотором множестве Х определены функции f(x) и g(x). Тогда на этом множестве справедливы следующие соотношения.
-11430063500f(x)<g(x), или -g(x)<f(x)<g(x). (1)
f(x)>-g(x)
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если g(x) 0, то исходное неравенство не имеет решений, т. к. для любой функции в любой точке х из Х выполнено |f(x)| 0. Если g(x) 0, то раскрытие модуля в любой точке х, в которой верно исходное неравенство, как раз и приводит к системе неравенств. И наоборот, если g(x) 0, то система не имеет решений, т. к. функция f(x) в точке х из Х не может быть одновременно меньше неотрицательного числа g(x) и больше неположительного числа –g(x). Если g(x) 0, то система неравенств в любой точке, где она имеет решения, может быть записана одним неравенством.
4.Решение неравенства вида │f(x)│> g(x)
-228600-584390500-2286009969500
-60960444500 f(x)>g(x),
f(x)>-g(x) . (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если g(x) 0, то исходное неравенство верно при всех х из Х, т. к. модуль всегда больше любого отрицательного числа. Если g(x) 0, то раскрытие модуля в любой точке и дает совокупность неравенств. И наоборот, если g(x) 0, то совокупность верна при всех х из Х, т. к. в любой точке х из Х число f(x) всегда либо больше некоторого отрицательного числа g(x), либо меньше положительного –g(x).
5.Неравенство │f(x)│>│g(x)│ равносильно неравенству f 2 (x) > g 2 (x) или
неравенству (f(x)-g(x))(f(x)+g(x))>0. (3)
Пример 6.
Решить неравенство |х2 – 2х| х – 1
Р е ш е н и е.
|х2 – 2х| х – 1
(1) решением первого является отрезок
х
(2) решением второго – объединение двух лучей
х .
Находим пересечение множеств. О т в е т:
З а д а н и е. Самостоятельно решить неравенство: 2|х2 – 1| х + 1.
Р е ш е н и е.
2|х2 – 1| х + 1
(1) х (–∞; –1) .
(2) х .
Объединяя полученные множества решений неравенств, находим решение совокупности.
О т в е т: х (–∞; –1) .
Пример 3 .Решить неравенство │2х-3│< 2.
Решение:
23431505715007988301206500 1 способ 2х-3< 2 , x<2,5 , 0,5<x<2,5
2x-3> -2 x>0,5
Ответ: (0,5;2,5).
2 способ. Графическое решение.
Строим графики функций:
y =│2x-3│ и y = 2.
y=│2x-3│
y=2x-3 отображаем часть графика, лежащего ниже оси ОХ симметрично относительно этой оси.
│2х-3│ = 2 х1=0,5; x2=2,5.
Ответ: (0,5;2,5).
Пример 4. Решить неравенство │3х-5│ > 10.
91799816213700
22364700001 cпособ . 3х-5 > 10 , x > 5,
3x-5 < -10 x < -.
24895188255000Ответ: (-∞; -1)(5;+∞).
+ - +
2 способ . (3х – 5)2 > 10 -123 5 х
9x2 - 30x + 25 > 100
3x2 - 10x – 25 > 0
3x2 -10x – 25 = 0
x1 = -1, x2 = 5 Ответ: (-∞; -1)
3 способ. Графическое решение:
Домашнее задание.
№ 1. Решить уравнения:
а) |x2 – 9| + |х – 3| = 6.
г) |x2 – 4х + 3| +|x2 – 5х + 6| = 1.
№ 2. Решить неравенства:
б) |х – 1| ≤ 2х + 1.О т в е т: [0; +∞).в) |х2 – 2| ≤ х. О т в е т: [1; 2].
№ 3. Решить неравенство:
а) .О т в е т: [–1; 1] [2; 6].
№ 4. Решить неравенство:
1) |х2 + 9х + 5| ≤ |3х2 + 22х + 16|.О т в е т: (–∞; –7] [–5,5; –1] [; +∞).
№ 5. Решить неравенство:1) О т в е т: (–∞; –2] [–1; 1] [2; +∞).
Занятие 9.
Решение неравенств, содержащих несколько знаков модуля.
Цели: Познакомить учащихся со способами решения неравенств, содержащих несколько знаков модуля.
Ход занятия
Проверка Домашнего задания.
Объяснение нового материала:
f1(x) + f2(x) + … fп(x) а ( ; ; )и f1(x) + f2(x) + … fп(x) g(x) ( ; ; )
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, т. е. были либо положительными, либо отрицательными. Тогда на каждом из таких промежутков неравенство можно записать без знака модуля. Данный метод называется методом интервалов.
З а д а н и е. Решить неравенство |х – 4| + |х + 1| 7.
Р е ш е н и е.
Нули подмодульных выражений делят числовую ось на три промежутка х –1; –1 х 4; х 4.
получаем совокупность трех систем неравенств
х (–2; –1) –1; 4) 4; 5) х (–2; 5).
О т в е т: (–2; 5).
З а д а н и е. Самостоятельно решить неравенство |х – 1| + |х – 2| > х + 3.
Р е ш е н и е.
Перепишем неравенство в виде:
|х – 1| х + 3– |х – 2|
О т в е т: х (–∞; 0) (6; +∞).
Решение неравенств.
Решите неравенство:
Р е ш е н и е.
Рассмотрим функцию f(x) =
Найдем нули функции:
|х2 – 3| = 1, откуда х1 = 2; х2 = –2; х3 = ; х4 = –.
Далее находим точки разрыва:
|2х2 – х| – 1 0, х , х 1.
Нанесем на числовую прямую точки разрыва и нули функции, которые разобьют ее на семь промежутков, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак.
О т в е т: (–1; –2 –; (1; (2; +∞).2. Решить неравенство :
│2х - 1│- │х – 2│ ≥ 4.
Решение:
Найдём значение х , при которых подмодульное выражение обращается в нуль:
2х-1=0 х-2=0
х=0,5 х=2
Отметим найденные значения на числовой оси и рассмотрим решение неравенства на каждом из промежутков.
2х-1 - 0,5 + 2 +
-419106096000
х-2 - - +
А)
-1612902984500х < 0,5, │2х – 1│ = -2х + 1
-2х+1-(-х+2) ≥ 4 │х-2│ = -х+2
-1276353492500x < 0,5, x ≤ -5.
x≤-5.
Б)
-1238251206500 0,5 ≤ х ≤ 2 , │2х-1│ = 2х-1
2х-1+х-2 ≥ 4. │ х-2 │ = -х+2
-1143004635500 0,5 ≤ х ≤ 2 , нет решения
х ≥ 2.
В)
-1276352476500 x > 2, │2x – 1│ = 2x – 1
2x – 1 – x + 2 ≥ 4. │x – 2│ = x – 2
-1143002095500x > 2, x ≥ 3.
x ≥ 3.
Решением данного неравенства является объединение двух систем неравенств.
Ответ: (-; -5] [3;+).
3.Решить неравенство:
│x2 – 3x + 2│ + │2x + 1│ ≤ 5.
Решение:
x2 – 3x + 2 = 0, 2x + 1 =0
x1 = 2, x2 = 1. x = -0,5.
Числовая прямая разбивается на участки.
х2 -3х + 2 + -0,5 + 1 - 2 +
2457456858000
2х + 1 - + + +
На каждом промежутке на основании определения абсолютной величины знак модуля можно раскрыть.
А)
1586865114300028975052667000-1143004572000 х ≤ -0,5, х ≤ -0,5, х ≤ -0,5, х2–3х+2–2х-1≤5; х2-5х-4≤0; ; ≤ х ≤ -0,5.
Б)
2851785266700015563851143000-1143002286000 -0,5<x<1, -0,5<x<1, -0,5<x<1, -0,5<x<1;
x2-3x+2+2x+1≤5; x2-x-2≤0 ; -1≤x≤2;
B)
2950845215900015411451397000-1123953683000 1≤x<2, 1≤x<2, 1≤x<2, 1≤x<2;
-x2+3x-2+2x+1≤5; x2-5x+6≥0; x≤2, x≥3;
Г)
-1314452667000149542534290003044190-762000х≥2; x≥2; x≥2; x=2.
x2-3x+2+2x+1≤5; x2-x-2≤0; -1≤x≤2;
Ответ: .
Данное неравенство решено методом интервалов.
Рассмотрим другое решение. Напомним, что:
11944353238500│х│≤ b x ≤ b, или -b ≤ x ≤ b.
x ≥ -b;
│x2 – 3x + 2│ + │2x+ 1│ ≤ 5;
37357054445001897380825500│x2 – 3x + 2│≤ 5-│2x + 1│ x2 - 3x + 2 ≤ 5 -│2x+1│, │2x + 1│≤ -x2 + 3x+3,
x2 - 3x + 2 ≥-5 +│2x+1│; │2x +1│≤ x2- 3x + 7;
-255270228600027393901524000-1504953429000284035541910002x + 1 ≤ - x2 + 3x +3, x2 –x -2 ≤ 0,
2x + 1 ≥ x2 – 3x – 3; x2 -5x -4 ≤ 0;
28479752921000-13335025400002x + 1 ≤ x2 – 3x + 7, x2 – 5x + 6 ≥ 0,
2x + 1 ≥ -x2 + 3x -7; x2 – x + 8 ≥ 0;
-47053514859000
-1143003048000-1 ≤ x ≤ 2,
25146008382000
323859779000 x ≤ 2, x ≥ 3, x ≤ 2, x ≥ 3;
x – любое число;
Ответ:
При решении данного неравенства особых преимуществ по сравнению с первым методом не видно. Однако в некоторых случаях эти преимущества весьма заметны.
4.Решить неравенство:
│x2 – 3x│ + x – 2 < 0
Решение:
x2 -3x = 0 x(x – 3) = 0 x1 = 0, x2 = 3.
x2 – 3x + - +
2381253111500
0 3 x
26841458890000138620595250002330459588500A) x ≤ 0, x ≤ 0, x ≤ 0, 1 -
x2 -3x+x-2<0; x2-2x-2<0; 1-
25761955651500136461554610001987555651500Б) 0<x<3 , 0<x<3, 0<x<3, 0 < x < 2-
-x2+3x+x-2<0; -x2+4x-2<0; x<2-
25825456032500131318045085001987556201800В) х3, х3, х3, Нет решений.
х2-3х+х-2<0; x2-2x-2<0; 1-
Ответ: (1-. Данное неравенство решено методом интервалов. Рассмотрим иное решение.
│х2 – 3х│+ х – 2 < 0
48158401079500│x2 – 3x│< 2 – x; Так как │х│< a равносильно системе неравенств х<a,
x>-a; то
16586206477000-177165647700038519106858000х2 -3х < 2 - x, x2 – 2x – 2 < 0, 1 - < x < 1 +
x2 – 3x > -2 + x; x2 – 4x + 2 > 0; x < 2 -
19833211366500
1 - 2 - 1+ 2 + x
Ответ: (1 - ; 2 - 5.Решить неравенство:
│2x -1│ - 3x + 2 > 0.
Решение:
2x – 1 = 0 x = 0,5.
2x – 1 - +
5524510033000
0,5 x
1.)способ.
282006747110024403059271000А) х ≤ 0,5, х ≤ 0,5 х 0,5.
28194037338000 -2х + 1 – 3х + 2 > 0; x < ;
24479251397000Б) х > 0,5, x > 0,5, 0,5 < x < 1.
2x – 1 – 3x + 2 > 0; x < 1;
Ответ: (-;1).
2)способ.
37068022794000Так как │х│ > a равносильно совокупности неравенств х > a, то
x < -a;
19589752349500-12192010795002x -1 > 3x – 2, х<1 2x – 1 < -3x + 2; х<35 . Ответ: (-; 1).
3.Решить неравенство:
│x - 2│ ≥│x + 3│.
Решение:
1 способ.
х – 2 = 0 х = 2, х + 3 = 0 х =-3,
х – 2 - - +
8572510287000
х + 3 - -3 + 2 + х
3200400-254000173926531750002609852413000а) х-3, х-3, х-3, х-3.
-х+2≥-x-3; 0x≥-5; x- любое число;
174117015240002628903048000б) -3<x<2, -3<x<2, -3<x≤-0,5.
-x+2≥x+3; x≤-0,5;
17113252921000314388529210002800352921000в) х, х2, х2, нет решений.
х-2≥x+3; 0x≥5; решений нет;
Ответ: (-; -0,5.2 способ. Возведём обе части в квадрат.
х2 – 4х + 4 ≥ x2 + 6x + 9
10x ≤ -5, x ≤ -0,5.
Ответ: (-; -0,52. Р е ш и т е с а м о с т о я т е л ь н о . О т в е т: (–∞; 1].
Домашнее задание:
Решить неравенства:
а) |4х – 1| + 2х – 4 ≤ 0. О т в е т: .
б) |3 – х| – |х – 2| ≤ 5. О т в е т: (–∞; +∞).
в) |2х – 6| + |4 – х| ≤ |х – 2|.О т в е т: [3; 4].
г) |х2 + 2х| + |х – 2| > 4.О т в е т: (–∞; –1) (1; +∞).
д) |х – 4| + | х – 3|.О т в е т: .
Занятие 10.
Решение неравенств содержащих модуль в модуле.
Цели: Рассмотреть решение неравенств, содержащих модуль в модуле, используя различные способы. Закрепить знания в ходе решения неравенств.
Ход урока:
Проверка домашнего задания.
Решение неравенств, содержащих модуль в модуле.
Решить неравенство
│3 -│х – 2││ 1
Начнём раскрывать модуль с внутреннего модуля: x -2 =0, x=2.
1) x2, тогда │х – 2│ = 2 – х, имеем │3 - (2 – х)│1 │х + 1│1 х + 1 = 0
а) х-1, то │х + 1│= -х-1 -х-11 х-2 ; х = -1.
236579813758007086601016000Имеем: x<-1,
x-2;
-2 -1 2 x
-2≤х<-1б) х > -1, то │х + 1│= х + 1 х + 11 х0
7105652667000Имеем: х > -1,
28737974169800 x 0;
-1 -1 0 2 x
2) x > 2, тогда │х – 2│= х – 2 │3 - х + 2│1 │5 – х│ 1. 5 – х=0, х=5.
а) х │5 – х│= 5 – х 5 - х1 х4.
8496302794000Имеем: x 5, 4
25351321670050037115754826000 x
2 4 5 x
б) х > 5, │5 – x│= x – 5 x – 5 1 x 6
8439152667000Имеем: x 6, 5 < x
37119978149200 x > 5;
25181981629800
2 5 6 x
Объединив все решения, получаем: -2 4 Ответ: [- 2; 0][4;6].
Можно решить данное неравенство иначе. Напомним:
│x│ a, - a │x│ a, xили х
│3 - │х – 2││1 -1 -4
3705225673100019050009398000 2 │х - 2│ 4, -2
│х – 2│ 2; x
│x – 2│ -4 -2
3507322857500
-2 0 4 6 х
3781425317500020135853175000│x – 2│ 2 x – 2 2, x
x – 2 -2; x Ответ: [-2; 0][4; 6].
Решить неравенство:
Это неравенство не так просто решить стандартным путём. В то время как, переходя к системе, мы его решим без особого труда.
25717508890000857259271000
21983702540000-133354445000231267078740001162057493000 х
192405495300023736304572000 ,
-571503302000
Ответ: [Решение неравенств: Предложить учащимся решить неравенства из Приложения № 3.1.
Домашнее задание: Решите неравенства:
2х-х-2<3. ( -13; 123).
2х+1-3х+1≤х+2. -23; +∞).2x2-х-3≤2x2+х+5. -4; +∞).x2-4х+3<2. -2-3; -2+3∪2-3;2+3.Занятие 11.
Метод введения новой переменной при решении неравенств с модулем. Задания, сводящиеся к решению неравенств со знаком модуля.
Цели : Разобрать решение некоторых неравенств применяя метод введения новой переменной. Разобрать решение заданий, сводящихся к решению неравенств, содержащих модуль.
Ход занятия
Проверка домашнего задания.
Разбор решения неравенств методом введения новой переменной.
1).Решить неравенство:
Пусть тогда
Вернёмся к замене
2752725723900014420853429000
Ответ: [-6;4].
2).Решите неравенство:
Пусть , заметим, что
397192518923000 .
+ - +
350901016256000
2249805901700011525259779000 0 1 а
Ответ: [-1;1].
В данном случае рациональнее способ введения новой переменной. Решение этого неравенства путём раскрытия модуля по определению займёт больше времени.
Рассмотрим некоторые задания, имеющие другие формулировки, но сводящиеся к решению неравенств, содержащих модуль.
Найти область определения функции:
1) D:
2) D:
3) D:
При каких значениях х график функции y=f(x) лежит выше (ниже) графика функции у = g(x)?
4010025133350001) у = │х│, у = 3 (выше)
1 способ
1975485-381000│х│>3 x > 3, + _ +
31794452159000 x < -3; -3 3 х
Ответ: (- ;-3)(3;+ ).
2способ
│х│> 3, возведём в квадрат.
х2 > 9, x2 -9 > 0, (x – 3)(x + 3) > 0.
Ответ: ( При каких значениях х расстояние между графиками у = f(x) и y = d(x),
не превышает а?
y = x-1, y = x, a = 3
Ответ:
2) у = 2х – 3, у = 5, а = -3.
нет решений.
3) у =│х + 2│, у = -1, а = 4,
-4 -5
14344654191000314896519050001143005334000
Ответ: [-5;1].
При каких значениях х график функции у = f(x) не пересекает график функции
у = d(x)?
1) у = │2х – 5│, у = 0.
247078521590001847851397000│2х – 5│ > 0,
│2x – 5│ < 0; нет решений.
Ответ:
у = │2х – 5│, у = -5.
16497301498600023050516891000
│2х – 5│ > -5, xR,
│2x – 5│ < -5. нет решений.
Ответ: хR.
3) y = │2x – 5│, y = 5.
1 способ.
3290066984900017639639218400440626516891000193357516129000
33585151270000508000│2х – 5│ > 5, 2x – 5 > 5, x > 5, x < 0, x > 5,
187642515621000│2x – 5│ < 5; 2x – 5 < 5; x < 0; 0 < x < 5.
3314700-762000 2x – 5 < 5, x < 5,
2x – 5 > 5; x > 0.
Ответ:
2 способ. Возведём в квадрат.
-13335381000│2х – 5│ > 5,
-2095516383000│2x – 5│ < 5;
3303270152400018935707620004x2 -20x + 25 > 25, 4x2 – 20x > 0, x < 0, x > 5,
4x2 – 20x + 25 < 25; 4x2 – 20x < 0; 0 < x < 5.
Ответ:
При каких значениях х график функции у = f(x) лежит выше (ниже) оси абсцисс?
12382516781800у = │х│ (ось абсцисс: у = 0).
8696007766700│х│> 0,
xR, x0,
│x│< 0; нет решений.
Ответ: хR, x0.
y = │x│-│x + 1│.
374015072390001990988959100-26998959100│x│-│x + 1│ > 0, │x│ > │x + 1│, x < -
│x│-│x + 1│ < 0; │x│ < │x + 1│; x > -
│x│> │x + 1│, возведём в квадрат
х2 > х2 +2х + 1
2x < -1
x < -.
Ответ: хR, x
Домашнее задание: Задания из Приложения № 3.2.
Занятие 12.
Решение неравенств с модулем на координатной прямой.
Нестандартные способы решения неравенств с модулем.
Цели: Рассмотреть способ решения неравенств с модулем на координатной прямой. Познакомиться с нестандартными способами решения неравенств.
Ход занятия:
Проверка домашнего задания.
Решение неравенств с модулем на координатной прямой:
На координатной прямой можно решить неравенства вида:
< b( используя геометрический смысл модуля.
1.
Переводя эту запись на «язык расстояний», получаем предложение: «расстояние от точки с координатой до точки с координатой 3 меньше 1».
8671986858000
34290011938000
2 3 4 х
Отметим сначала точки на координатной прямой, удалённые от 3 на расстояние, равное 1. Это точки 2 и 4. Решение данного неравенства составляют числа, принадлежащие интервалу (2;4).
2.
Рассуждаем аналогично. Расстояние от точки с координатой до точки с координатой 3 больше 1.
265303039370004267206477000
42291011938000
2 3 4 х Ответ: (-3. или
Рассуждаем аналогично. Расстояние от точки с координатой до точки с координатой (-5) больше 3.
289814073025004775208191500
49911011557000
-8 -5 -2 х Ответ: (-4. или
Расстояние от точки с координатой до точки с координатой (-2) больше её расстояния до точки с координатой 1.
19847974021700
32194511811000
-2 -0,5 1 х
Отметим точку, равноудалённую от точек (-2) и 1. Это точка с координатой (-0,5).
А теперь отметим точки, расположенные к 1 ближе, чем к (-2).
Ответ: (-0,5;+
5. или .
Расстояние от точки с координатой до точки с координатой (-2) меньше или равно расстоянию до точки с координатой 1 .
3507316392400
36004511811000
-2 -0,5 1 х Ответ: (-;-0,5].Нестандартные способы решения задач:
Решить неравенство:
, где
х2 – х + 1 > 0
так как
.
Так как правая часть неотрицательна, то неравенство выполняется только для таких ,при которых левая часть неравенства строго отрицательна, то есть:
х2 – х < 0 x(x – 1) < 0 0 < x < 1. Ответ: (0;1).
Решить неравенство:
Так как левая часть неотрицательна, то возможно лишь равенство 0, то есть:
Сумма модулей равна 0 тогда и только тогда, когда:
и
х = 2 х = 3
105600563500001149353302000 Нет решений.
Решить неравенство:
.
Учитывая что , получаем:
Ответ: (4. Решить неравенство:
а) что невозможно так как
б)
Ответ: (1;3).
Домашнее задание: Подготовиться к самостоятельной работе по теме: «решение неравенств, содержащих модуль». Задания из Приложений №3.1.;№ 3.2.
Занятие 13.
Решение неравенств. содержащих модуль.
Цели: Проверить усвоение темы решение неравенств. содержащих модуль.
Ход урока
Контроль проводится в виде самостоятельной работы, проверочной работы (в парах, группах), контрольной работы, зачёта.
Задания для этих работ предлагаются в приложении.
Из предложенного материала можно составить работу на усмотрение учителя.
В работу могут быть включены задания по выявлению наиболее рационального способа решения для конкретного неравенства:
1) по определению;
2) метод интервалов;
3) возведение в квадрат;
4) введение новой переменной;
5) графический;
6) используя геометрический смысл модуля;
7) нестандартные способы.
Также учащиеся сами составляют задания дома, выбирают рациональные способы решения, защищают свои проекты, а после проверяют друг друга.
Один из возможных вариантов работы: ( Приложение № 5.3).
Тема 4.
Графики функций, содержащих модуль.
Занятие 14.
Построение графиков функций, аналитическое представление
которых содержит знак модуля.
Цели: научить учащихся строить графики, содержащие модуль, используя определение модуля и на основе геометрических преобразований; закрепить изученный материал в ходе построения графиков.
Ход занятия
Когда в знакомые нам функции, которые задают прямые, параболы, гиперболы, включают знак модуля, их графики становятся необычными. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения графиков элементарных функций, а также твердо знать и понимать определение модуля числа.
Начинать изучение данной темы целесообразно с построения графиков, используя определение модуля. Далее, с помощью геометрических преобразований в следующей последовательности:
y = f (│x│);y =│ f (│x│)│;│y │= f (│x│);
y =│ f (x)│;│y │= f (x);│y │= │f (x)│.
Исходя из определения модуля, функцию y = f (│x│) можно записать в виде:
71691516827500
f (x), при x≥0,
y =
f (-x), при x<0.
Пример 1. Построить графики функций: a) y = 2│x│-2; б) y = │x2-x-6│.
30861005397500
7581901460500 2x-2, при x≥0;
a) 2│x│-2=
-2x-2, при x<0.
Затем по точкам строим левую и правую части графика.
II. y =│ f (x)│
7524752032000f (x), при f (x)≥0;
28956005969000y =
-f (x), при f (x)<0.
б) y = │x2-x-6│
x2-x-6≥02) x2-x-6<0
x2-x-6=0-2<x<3
x1=3, x2=-2y = -x2+x+6
x≤ -2, x≥3
x2Пример 2. Самостоятельно построить график: y =2 + ─
│x│
29718007429500x>0, y =2+ x
x<0, y =2- x
Результат построения проверить.
Дополнительные задания см. в Приложении4.2.
Построение графика с модулем на основе геометрических преобразований.
Перед изучением нового полезно повторить известные преобразования.
y = f (x) – исходный график, тогда:
а) y = f (x) + а – сдвиг по оси OY на а единиц вверх, если а > 0, или вниз, если а < 0;
б) y = f (x + а) – сдвиг по оси OX на а единиц влево, если а > 0, или вправо, если а < 0;
в) y = f k(x), k>0 – растяжение в k раз (при k>1) или сжатие в k раз (при k<1) вдоль оси ординат;
г) y = f (k x), k>0 – сжатие в k раз (при k<1) вдоль оси абсцисс;
д) y = - f (x) – симметричное отражение графика относительно оси OX;
-34290013843000е) y = f (-x) – симметричное отражение графика относительно оси OY.
Задание. Считая исходным график y = f (x), постройте графики функций:
а) y = f (x) + 2;в) y =2 f (x);д) y =- f (x);
б) y = f (x + 1);г) y = f (2x);е) y = f (-x).
-2476500137160003371859652000
2758440-30988000-172085-24511000
-76200-37274500
Геометрические преобразования графиков с модулем:
1) y = f (│x│);
При построении таких графиков, очевидно, что для отрицательных значений x значения y будут такими же, как для положительных им соответствующих.Правило 1 (алгоритм построения). График функции y = f (│x│) получается из графика функции y = f (x) следующим образом: при х ≥ 0 график y = f (x) сохраняется, и эта же часть графика симметрично отражается относительно оси ОY.
Задания для самостоятельной работы:
Постройте графики следующих функций:
а) y = -x2+4│x│+5;
1
б) y = ── + 1
│x│
2809875-20637500
2. Постройте график функции y = f (│x│) , если график y = f (x) изображен на рис.
2) y =│ f (x)│;
Правило 2. График функции y =│ f (x)│ получается из графика функции y = f (x) следующим образом: часть графика y = f (x), лежащая над осью OX сохраняется; часть его, лежащая под осью OX, отображается симметрично относительно оси OX (см. рис.).
Для самостоятельной работы можно предложить построить графики функций:
а) y =│ -2x2+ 6x -2│;
х
б) y =│ ──── │.
х - 2
285750020701000-22860020701000 а) б)
3) y =│ f (│x│)│;
Правило 3. Чтобы построить график функции y =│ f (│x│)│, надо сначала построить график функции y = f (x) при x > 0, затем при x < 0 построить изображение симметричное ему относительно оси OY, а затем на интервалах, где f (│x│) < 0, построить изображение симметричное f (│x│) относительно оси OX.
Пример. y =│ 1 - │x││
Строим график функции y = 1 - x
График функции y = 1 - │x │ получаем из графика функции y = 1 - x отражением симметрично (при x ≥ 0 ) относительно оси OY.
График функции y =│ 1 - │x││ получаем из графика функции y = 1 - │x │ отображением симметрично оси OX нижней части графика.
Для самостоятельной работы:
а) y =││x│-4│;б) y =│ x2 - │x│- 2│.
297180023368000-22860023368000б)
4) │ y│ = f (x);
Поскольку левая часть равенства неотрицательна, то и правая неотрицательна. Следовательно, график зависимости существует только в области неотрицательных значений функции y = f (x).
Правило 4. График зависимости │ y│ = f (x) получается из графика y = f (x), если все точки, для которых f (x) ≥ 0 сохраняется и они же переносятся симметрично относительно оси абсцисс.
Пример. │ y│ = 1 - x
3657600-80010000
Для самостоятельной работы
251460020764500-45720022669500а) │y│ = x2 - 6 x + 8;б) │y│ = x2 - 4 │x│ + 3.
В случае 4) и далее то, что получается в итоге построения, нельзя назвать графиком некоторой функции. Так как для того, чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси OY, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.
5) │ y│ = f (│x│);
Если точка (x; y) принадлежит графику, то и точки (x; -y), (-x; y), (-x; -y) принадлежат графику. Это значит, что график симметричен относительно обеих осей координат. Поэтому достаточно построить график в первой четверти и затем зеркально отразить его относительно обеих осей.
Для самостоятельной работы: Постройте график зависимости:
2
а) │ y│ = │x│; б) │ y - 2│ = │x│;в)│ y│ = (2│x│-1)2+3; г)│y│= ── .
│x│
6) │ y│ =│ f (x)│;
Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполняем построение сначала графика y = │f (x)│, а затем множества точек, координаты которых удовлетворяют условию │ y│ =│ f (x)│.
Порядок построения.
1) Сначала график функции y = f (x).
2) Часть графика f (x) < 0, симметрично отражаем относительно оси OX.
3) Полученный график симметрично отражаем относительно оси OX.
244602015367000
Пример. │ y│ =│ 1 - x│
Для самостоятельной работы:
а) │ y│ = │x-3│; б) │ y - 1│ = │x-2│;
в) │ y│ = │x2 - x - 6 │; г) │ y│ = 1 - │x│.
Домашнее задание: Использовать упражнения из Приложений № 4.1;№ 4.2; №4.3.
Занятие 15.
Графики кусочно-заданных функций.
Цели: закрепить умение строить графики кусочно-элементарных функций, понять необходимость их применения.
Ход урока
Проверка домашнего задания.
Объяснение нового материала.
Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе. Их можно разделить на постепенные (непрерывные) и скачкообразные. Так при падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения, а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно, становясь равной 0 или меняя направление (знак) при “отскоке” тела от земли.
Но раз есть разные процессы, то необходимо и средства для их описания. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы. Один из способов введения таких разрывов следующий.
Пусть функция y = f (x) при x < a определена формулой y = g (x), а при x > a - формулой y = h (x), причем будем считать, что каждая из функций g (x) и h (x) определена для всех значений x и разрывов не имеет. Тогда, если g (a) ≠ h (a) , то функция f (x) имеет при x = a скачок; если же g (a) = h (a) = f (a) , то “комбинированная” функция f называется кусочно-элементарной. Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами.
Переход от одной формулы к другой при описании реальных явлений обычно связан с нарушениями, возмущениями течения процесса в отдельные моменты, со скачкообразным изменением тех или иных его характеристик. Такой переход иногда может сохранить непрерывность изменения величины, но вызвать излом ее графика. В последнем случае скачком меняется не величина, а скорость ее изменения.
185855715207200
f (x), при f (x)≥0,
Функцию y =│ f (x)│, y =можно считать кусочно-элементарной.
-f (x), при f (x)<0
285750021272500Пример. Запишите функцию y =│x-3│+ │x+3│ без использования знака модуля и постройте ее график.
x < -3, у = 3- x -x-3 = -2 x
-3≤ x<3, y = 3 – x+ x+3 = 6
x ≥ 3, y = x - 3+ x +3 = 2 x
29908516192500
-2 x, x < -3,
y =6,-3≤ x<3,
2 x,x ≥ 3,
Далее можно предложить выполнить построение графиков в двух вариантах.
I. Вариант.I I. Вариант.
3429000273050002730500 y =1,5│x│,│x│=2,
- 2≤ x≤ 2. - 1≤ y≤ 3.
Затем пригласить по одному представителю каждого варианта и попросить их на доске, в одной системе координат изобразить полученные графики.
В результате появляется буква “М”. Выясняется, что множество точек этой буквы “М” есть объединение построенных множеств, поэтому его следует задать с помощью совокупности систем:
-2286003365500-106680838200033147003048000
y =1,5│x│,
- 2≤ x≤ 2.
-10668015621000
│x│=2,
- 1≤ y≤ 3.
Подобный пример приводит к мысли, что графиками можно рисовать. Правда, фигуру в координатной плоскости уже нельзя будет называть графиком функции, но зато отдельные ее части этому определению соответствуют. Затем можно предложить другие задания, где в результате построения получается какой-либо рисунок, зашифровано слово или целое высказывание (Примеры таких заданий см. в Приложении 6.4.).
В качестве примера графика кусочно-заданной функции, имеющей разрывы, можно предложить построить следующие графики:
а) x2 – 3x +2 x2 + 3x +2
у = ────── + ───────
│x-1│ │x+1│
б) │x-2│
у = ── (x2 – 2x)
2 – x
-19113546545500285750029718000а) б)
Домашнее задание
Полезно предложить учащимся самим придумать шифровку какого-либо слова, рисунка и выполнить на отдельном листе в клетку графическое решение этой задачи, а в конце изучения темы провести презентацию проектов.
Требования к представлению проекта.
В рисунке должно быть не менее трех графиков функций.
Для одного из графиков надо подробно описать его построение.
Желательно включить графики из всех изученных тем.
Рисунок должен быть выполнен аккуратно.
Лучше, если рисунок будет иметь обоснованное название.
Речь при выступлении грамотна, лаконична.
Такие задания способствуют развитию творческого потенциала ученика, обращены к практической деятельности учащихся. Порой для учащихся возможность практического применения того или иного “открытия” является единственным стимулом к свершению такого открытия.
Занятие 16.
ТВОРЧЕСКИЙ ОТЧЕТ.
Цели: Развитие творческого потенциала ученика. Проверка знаний по изученному материалу.
Ход занятияЗащита проектов. Ученики представляют свои рисунки, описывают ход построения.
Творческий отчет ,на усмотрение учителя , можно заменить самостоятельной работой
на построение графиков функций, содержащих модуль см. (Приложение № 4.6) .
Занятие 17.
Модуль в заданиях Государственной итоговой аттестации.
Цели: познакомить учащихся с решением некоторых типов заданий, содержащих модуль; предоставить учащимся шанс оценить свои возможности.
Ход занятия
Решение упражнений.
Пример 1.
При каких значениях параметра а число корней уравнения ||x2 – 2x| – 7| = a в четыре раза больше а?
Р е ш е н и е.
Построим график у = ||x2 – 2x| – 7|.
Проводим горизонтали у = а при различных а, получаем информацию о числе пересечений этой горизонтали с графиком левой части.Значения а (– ∞; 0) 0 (0; 6) 6 (6; 7) 7 (7; +∞)
Число корней 0 2 4 5 6 4 2
Во второй строке таблицы есть ровно два числа, кратные четырем: 0 и 4. Ситуация из первого столбца невозможна, так как а < 0 и 4а = 0 одновременно. Также невозможна ситуация из предпоследнего столбца. В случае с третьим столбцом есть число а, для которого 0 < а < 6 и при этом 4а = 4.
О т в е т: 1
Пример 2. Решить уравнение .
Р е ш е н и е.
,
,
2 + |x + 1| = 3x + 1,
|x + 1| = 3x – 1
или
или
или О т в е т: 1.
Пример 3. Решите уравнение .
Р е ш е н и е.
1. Данное уравнение равносильно .
По определению получаем:
или
2. Решим первую систему:
отсюда получаем: нет решений.
3. Решаем вторую систему:
отсюда получаем: т. е.
Решением системы является только число .
П р о в е р к а:
7 : 4 · = 7.
Итак – корень. О т в е т: .
Пример 4.
При каких значениях х функция у = |2x + 3| + 3|x – 1| – |x + 2| имеет наименьшее значение. Найдите это значение.
Р е ш е н и е. Найдем нули подмодульных выражений и запишем функцию на каждом из полученных интервалов.
О т в е т:
З а д а н и е. Решить самостоятельно:
Пример 5.
При каких значениях х функция у = |x + 1| + |x – 1| – 2|x – 2| достигает максимума?
Р е ш е н и е.
Найдем нули подмодульных выражений и запишем функцию на каждом из полученных интервалов.
О т в е т: 4 при х∈2; +∞). Занятие 18.
Итоговое занятие.
Цели: 1.Выявление знаний учащихся , проверка усвоения ими изученного материала.
2.Развитие навыков самостоятельной работы.
Ход занятия
На усмотрение учителя можно предложить ученикам выполнить заключительный тест
(см. Приложение № 5.1.) или итоговую проверочную работу (см. Приложение № 5.2.)
Для получения зачета по данному курсу необходимо выполнить 2 задания из 1-10 и 1 задание из 11-16 заданий теста или любые 2 задания проверочной работы.
Используемая литература:
1. Болтянский, В. Г., Сидоров, Ю. В., Шабунин, М. И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1971.
2. Вавилов, В. В., Мельников, И. И., Олехник, С. Н., Пасиченко, П. И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: спра-вочное пособие. – М.: Наука, 1987.
3. Галицкий, М. Л., Гольдман, А. М., Звавич, Л. И. Планиро-вание учебного материала для 8 класса с углубленным изучением математики: методическое пособие. – М., 1988. – 78 с.
4. Горнштейн, П., Мерзляк, А., Полонский, В., Якир, М. Экза-мен по математике и его подводные рифы. – М.: Илекса; Харьков: Гимназия, 1998. – 236 с.
5. Гусев, В. А. Внеклассная работа по математике в 6–8 классах: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1984.
6. Звавич, Л. И., Шляпочник, Л. Я., Чинкина, М. В. Алгебра и начала анализа. 8–11 кл.: пособие для школ с углубленным изучением математики. – М.: Дрофа, 1999. – 352 с.
7. Коршунова, Е. Модуль и квадратичная функция // Математика. – № 7. – 1998.
8. Садыкина, Н. Построение графиков и зависимостей, содержащих знак модуля // Математика. – № 33. – 2004. – С. 19–21.
9. Скворцова, М. Уравнения и неравенства с модулем. 8–9 классы // Математика. – № 20. – 2004. – С. 17.
10. Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену. М.: Айрис-пресс, 2004.
11.Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Журнал «Математика в школе»,
№ 9, 2003.
12. Алгебра. Дидактические материалы. 8 кл.( 9 кл.)/М.К. Потапов, А.В. Шевкин.-4-е издание. –М.: Просвещение, 2010.
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №5
Курс по выбору
для учащихся 8-9 классов
« Решение уравнений и неравенств,
содержащих модуль»
Выполнила работу:
Учитель математики
1-й категории
Моклокова Т.Н.
Иваново, 2010 год