Урок-исследование. «Использование задач с практическим содержанием в преподавании»

Дорогие гости, уважаемые учителя, сегодня мы с вами собрались на необычный урок, а на урок-исследование. На данном уроке присутствуют учащиеся 5-11 классов. От каждого класса в нашем исследовании будут участвовать по 5 учеников. Каждый класс будет решать задачи для своего уровня, что требуется по программе. Заключительным этапом для каждого ученика будет самостоятельная работа.

Урок-исследование.
«Актуальные проценты»

Введение.
Слово процент от латинского слова «pro centum», что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».
Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.
Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В школьном учебнике «Математика, 5»,авторов Н.Я. Виленкина и др. дана еще одна любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.
Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.
Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.
В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в младших 5-6 классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются.
Так, пересмотрев школьные учебники по математике, по которым обучаются ученики нашей школы, я выяснила, что в учебнике «Алгебра, 9», под ред. Теляковского, задач, в которых упоминается слово «процент», всего три. В учебнике «Алгебра и начала анализа, 10-11» под ред. Колмогорова А.Н задач на проценты и процентную концентрацию четыре. Но, задачи на проценты уже встречались в вариантах единого государственного экзамена . Предлагается такая задача и в демонстрационном варианте. Поэтому, изучение наиболее часто встречающихся типов задач на проценты, считаю актуальным.
Объектом исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».
Изучая эту тему по сборникам для поступающих в вузы я пришла к мнению, что многие задачи авторы сборников предлагают решать с использованием специальных формул, которых в школьных учебниках 5-6 классов, когда и изучаются эти темы, нет.
Предмет исследования: решение задач на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными дробями.

Цель работы. Составить практическое пособие по решению задач на проценты для школьников.
Задачи исследования:
1. Изучить исторический и теоретический материал по интересующему вопросу.
2. Систематизировать задачи на проценты по типам.
3. Составить практические рекомендации по решению задач на проценты.
4. Выявить практическое применение таких задач.
5. Определить план дальнейшей работы над темой.
Практическая значимость работы. Данная работа по решению задач на проценты будет интересно не только школьникам 5-6 класса, которым интересна математика. Здесь найдут много полезного и выпускники школ, и абитуриенты при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.

Глава 1.Основные типы задач по теме «Проценты».

В данной главе приводятся примеры задач, которые решаются с применением определения, что такое один процент, как выразить дробь в процентах и правилам нахождения части (дроби) от числа, и числа по значению его части (дроби), т.е. это те темы и задачи, которые рассматриваются в школе.
Обращаем внимание, что существуют и другие способы решения простейших задач на проценты, например, составляют пропорции на каждом шаге, но в этом случае решение становится на несколько шагов длиннее. Мы же видим свою задачу в нахождении более быстрых способов решения таких задач, в связи с тем, что в настоящее время редкий тест по математике для абитуриентов, обходится без задач, в которых не упоминались бы проценты.
1.1. Решение задач на применение основных понятий о процентах.
Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент. Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.
Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.
Определение одного процента можно записать равенством:
1 % = 0,01
5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д
Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.
Пример. Найти: 25% от 120.
Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120 . 0,25 = 30.
Ответ: 30.
Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь

Задача 1
Из молока получается 24% сливок. Сколько получится сливок из 120 кг молока?
Проанализировать задачу, чтобы дети понимали, что сливки – это часть молока, значит, все молоко – 100%.
Сделать краткую запись задачи, которая в дальнейшем пригодится для пропорций:
Молоко: 120кг – 100%
Сливки: ? кг – 24%
Решение:
Ищем 1%.
120 : 100 = 1,2 (кг) – 1% молока
1,2 · 24 = 28,8 (кг) – получится сливок
Ответ: 28,8 кг.
Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычислили проценты, применяя так называемое тройное правило, то есть пользуясь пропорцией.
Решение задачи 1 (задачу см. выше):
24% = 0,24
120 · 0,24 = 28,8 (кг)

Задача 2. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?
Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Задача 3. Рабочий по плану должен был изготовить 120 деталей. Он перевыполнил план на 40%. Сколько деталей изготовил рабочий?
Решение: План это 100%. Рабочий сделал 100% + 40%=140%=1,4
120 *1,4=168 деталей.
Ответ. Рабочий изготовил 168 деталей.

Задача 4. Сколько получится муки при размоле 15ц пшеницы, если вес муки составляет 80% веса пшеницы?
Решение. 80%=0,8 15*0,8=12 ц
Ответ. Получится 12ц муки.

Задача 5. Сколько получится сухой ромашки из сырой. Если свежей взяли 40кг, а при сушке она теряет 84% своего веса?
Решение. 100% - 84% =!6% = 0,16 будет составлять вес сухой ромашки.
40 * 0,16 =6,4 кг
Ответ. Сухой ромашки получится 6,4 кг.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.

1.Сколько молочного жира содержится в 20 кг молока жирностью 4%?
2. В классе 40 учеников. 30% занимаются волейболом. Сколько учеников занимаются волейболом?
Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.

Задача 1. (Нахождение числа по его процентам)
Из пшеницы получили 80% муки. Сколько взяли пшеницы, если муки получили 640 кг?
Пшеница: ? кг – 100%
Мука: 640 кг – 80%
Решение: 640 : 80 = 80 (кг) – 1% муки
80 · 100 = 800 (кг) – взяли пшеницы
Ответ: 800 кг.
Решение задачи 2 (задачу см. выше):
80% = 0,8
640 : 0,8 = 800 (кг)
Задача 2 .Колхоз засеял пшеницей 2400 га, что составило 75% всей его площади. Найдите посевную площадь колхоза?
Решение: 75%=0,75 2400 - это 75% 2400 : 0.75=3200га
Ответ. Посевная площадь колхоза составляет 3200 га.
Задача 3. При помоле пшеницы получилось 12ц. муки. Сколько было взято зерна пшеницы, если выход муки составляет 80% ?
Решение: 80%=0,8 12: 0,8=15 ц.
Задача 4. Фрукты при сушке теряют 82% своего веса. Сколько надо взять свежих фруктов, чтобы получить 36 кг сушеных?
Решение: 100%-82%=18%=0,18 составляет сухое вещество 36:0,18=200 кг
Ответ. Надо взять 200кг свежих фруктов.

Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?
Решение: Пусть цена товара х руб, тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х;, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е. 0,75 *1,25х= 0,9375х, тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к. х - 0,9375х = 0,0625х ; 0,0625х/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.В классе учится 18 девочек, что составляет 60%. Сколько всего учеников в классе?
2.Турист прошел 10 км всего пути, что составляет 25%. Сколько км составляет весь путь?

Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%.

Задача 1 Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна.?
Решение: Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби). 480 : 0,24= 2000 кг = 2
Ответ: 2 т
Задача 2. (Нахождение процентного отношения)
В 200 кг сливочного мороженого содержится 30 кг сахара. Какое процентное содержание сахара в мороженом?
Мороженое: 200 кг – 100%
Сахар: 30 кг – ? %
Решение: 200 : 100 = 2 (кг) – 1% мороженого
30 : 2 = 15%
(т.е. смотрим сколько раз 1% содержится в 30 кг)
Ответ: 15%
Решение задачи 3 (задачу см. выше):
30 : 200 = 0,15
0,15 = 15%
Задача 3. Из 47000 избирателей в выборах на пост Главы местного самоуправления приняли участие 32900 избирателей. Можно ли считать выборы состоявшимися, если необходимый кворум должен быть не менее 60%?
Решение: 32900 = 0,7= 70%
47000
Ответ. Выборы состоялись.
Задача4. Из 2000 зерен пшеницы оказались всхожими 1800. Определите процент всхожести зерна.
Решение: 1800 = 0.9=90%
2000
Ответ. Всхожесть зерна 90%.
Задача 5. Определите процентное содержание соли в растворе, если в 300г раствора содержится 24г.
Решение: 24 = 0,08=8%
300
Ответ. 8% соли содержится в растворе.
Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?
Решение. 1кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 кг : 0,05=20 кг
Ответ: 20 кг

Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Решение:
1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества)
2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов). Ответ: 2,5 к

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Сколько процентов пути прошел турист в первый день. Если в первый день он прошел 10 км, а всего его необходимо пройти 50км.
2.В гараже стоит 35 машин. Легковых 14 машин. Найдите процент легковых машин стоящих в гараже.

ПРОВЕРОЧНЫЙ ТЕСТ
25% это?
а) 25 б) 0,25 в) 2,5 г) 4
2.Если 4.5 км составляет 15% маршрута, то 115% маршрута это ? км
а) 34,5 б) 30 в) 0,675 г) 5,175
3.Из сахарного тростника получают 18% сахара. Сколько сахарного тростника нужно переработать, чтобы получить 64,8 т сахара?
а) 11,664 б) 3,6 в) 1166,4 г) 360
4.Завод произвел 480 станков по плану и еще 24 сверхплана. На сколько процентов завод перевыполнил план?
а) 105 б) 5 в) 20 г) 0,05
5.Цена на товар в двух магазинах была одинакова. В первом цену уменьшили на 20%, а потом еще на 20%. Во втором цену снизили на 40%. Сравните цены на товар после снижения.
а) одинаковые б) во втором дешевле в) в первом дешевле г) не знаю

Полезно знать некоторые факты, например:
чтобы найти 20% величины надо найти её пятую часть;
половина некоторой величины – это ее 50 %;
30 % величины втрое больше, чем ее 10 % и т.п.

1.2. Решение задач на проценты в жизненных ситуациях.
Цель: Показать широту применения в жизни процентных расчетов.
Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата, штрафы, тарифы.
Налоги. Штрафы. Пеня.
Все мы ездим по дорогам, получаем гарантированное бесплатное лечение, образование, кто-то получает субсидию на оплату коммунальных услуг, пособие, пенсию... Откуда государство берет деньги на эти нужды.
Конечно же, с налогов, которые платит каждый гражданин прямо или косвенно.
Терминологический словарь.
1) Налоги- обязательные платежи, взимаемые государством с граждан.
2) Пеня- вид неустойки. Исчисляется в процентах от суммы неисполненного или ненадлежащего
3) Штраф- денежное взыскание, мера материального воздействия на лиц, виновных в нарушении определенных правил, полагается случае n в порядке, установленном законом в точно определенной денежной сумме.
Сегодня мы поговорим только о двух налогах :
Подоходном который платит каждый работник путем вычета из заработной платы 13%
Едином социальном налоге, который платит работодатель от начисленной заработной платы всех сотрудников предприятия в размере 26,2%.
Давайте попробуем вместе разобраться с помощью задач.

Задача 1. Некоторому работнику была начислена заработная плата в размере 9200рублей. Сколько подоходного налога должен будет он заплатить.
Решение : 9200 * 0,13=1196 рублей
Ответ. Подоходный налог составит 1196 руб.
Задача 2. Некоторый сотрудник получил заработную плату в размере 17400 рублей. Какой подоходный налог у него вычли?
Решение: Подоходный налог составляет 13%, значит на руки рабочий получил !00%-13%=87%=0,87 заработной платы.
17400:0.87=20000рублей составила начисленная заработная плата.
20000-17400=2600 рублей составил подоходный налог
Задача 3. С сотрудника фирмы вычли подоходный налог в сумме 3900 рублей. Какую заработную плату он получит на руки?
Решение: подоходный налог составляет 13%=0.13 и составляет 3900 рублей. Значит вся начисленная заработная плата 3900:0,13=30000 рублей
30000-3900=26100 рублей получит сотрудник на руки.

Решим несколько текстовых задач по теме налоги.
Задача . Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в
сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться
до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый
просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы
оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить
родителям, если они просрочат оплату на неделю?
Решение : Так как 4% от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на неделю, то им придется заплатить 250 + 710 = 320 р.
Ответ: 320 р.

Задачи для самостоятельного решения
Задача1. Налог взимается в размере 10% от суммы до 10000 рублей и 20% от суммы превышающей 10000 рублей. Налогоплательщик заплатил 4000рублей налога. Сколько рублей у него осталось на руках?
Задача2. За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается 25 % месячного оклада, и кроме того за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется 5% месячного оклада. Оклад сотрудника 10000 рублей. В каком размере он должен заплатить штраф при нарушении договорных сроков на 5 месяцев?

1.3 Решение задач на проценты и банковские операции.
Цель: Решение задач, связанных с банковскими расчетами: вычисление процентных ставок в банках; процентный прирост; определение начальных вкладов, определение суммы вклада, срока вклада.
Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.
Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

Терминологический словарь.
1). Банки- финансовые посредники, аккумулирующие временно свободные денежные средства населения и фирм передающие их в виде кредитов заемщикам.
2). Процентная ставка, ставки процента- цена использования денег или использования капитала.

3). Кредиты- сумма денег, предоставляемые одним участником договора о передаче другому участнику на условиях платности, срочности и безусловной возвратности.
4).Вкладчики- это те люди, которые помещают деньги в банке.
5). Заемщики- это те, кто одалживает деньги у банка.
6). Прибыль- положительная разность между выручкой и совокупными издержками предприятия.
7 ).Тарифы- система ставок, по которым взимается плата за услуги.
8). Цена- количество денег, за которое продается и покупается единица товара или услуги.
9).Вклады – средства, помещенные на хранения в банк и изымаемые при необходимости для совершения каких либо сделок
10). Процентная ставка- цена использования денег или использования капитала.
Задача 1. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?
Решение: Пусть цена товара х руб, тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х;, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е. 0,75 *1,25х= 0,9375х, тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к. х - 0,9375х = 0,0625х ; 0,0625х/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.
Задача 2. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых.
Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. и решил в течение пяти
лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления.
Сколько денег будет на счету вкладчика через год, через пять лет?
Решение. Через год начальная сумма вклада увеличится на 8%, значит, новая сумма составит от первоначальной 108%. Таким образом, через год вклад увеличится в 1, 08 раза и составит 50001,08 = 5 400 (р.). Через год новая сумма увеличится также в 1,08 раз, т.е. 50001,082 =5 832 (р.). Таким образом видно, что вклад растет в геометрической прогрессии и через пять лет сумма вклада составит 50001,085 = 7 346 р. 64 к.
Ответ: 5 400 р.; 7 346 р. 64 к.

1.4. Решение задач на сплавы, смеси, концентрацию и процентное содержание
Цель: Формирование умения решать задачи различными способами на составление сплавов, растворов, смесей двух или нескольких веществ. Обобщение полученных знаний при решении задач на проценты. Форма занятий: комбинированные занятия. Метод обучения: рассказ, объяснение, выполнение практических заданий.
Процентное содержание. Процентный раствор.
Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
Решение. 10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.
Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.
1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.
Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, а иногда даже газообразные или твердые вещества, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходиться проводить мысленно и выполнять расчеты.
Для решения задач такого уровня нужно определить некоторые переменные, для того чтобы не возникли затруднения при использования формул:
а) все сплавы и смеси однородны;
б) если объем смеси равен V0, а объем веществ содержащихся в нем равен V1 и V2 , то V0 = V1 + V2 (это допущение не является физическим законом)

Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси.
Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.
Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.
Решение. 300 . 0,87 = 261 (г).
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.
Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:
К=р/100% к - концентрация вещества; р - процентное содержание вещества (в процентах).
Пример. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?
Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.
Составим уравнение.
1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.
Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора

Задача 1.
Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 тонн целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?
Решение:
1) 85% = 0,85 500 кг . 0,85 = 425 кг воды содержится в 0,5 т целлюлозной массы.
2) Пусть х кг воды надо выпарить, тогда (425 – х ) кг воды будет в массе, а это должно составлять 75% массы т.е. 0,75 . ( 500 – х ) составим уравнение:
425 – х = 0,75 . (500 – х )
425 – х = 375 – 0,75х
0,25х = 50
х = 200
Ответ: 200 кг воды надо выпарить.

Задача 2.
Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг. морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%.

Решение:
1) 5% = 0,05
2) 30 . 0,05 = 1,5 кг соли содержится в 30 кг морской воды.
3) Пусть х кг пресной воды надо добавить, тогда
(30 + х) . 0,015 = 1,5
0,015 х = 1,05
х = 70
Ответ: 70 кг пресной воды надо добавить к 30 кг морской, чтобы концентрация соли составляла 1,5%.
Задача 3:
Кусок сплава меди цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди надо добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди.
Решение:
1) 0,45 . 36 = 16,2 кг меди в 36 кг сплава
2) Пусть х кг меди надо добавить, тогда ( 16,2 + х) кг меди будет в сплаве
0,6 . (36 + х) = 16,2 + х
21,6 + 0,6х = 16,2 + х
0,4 х = 5,4
х = 13,5
Ответ: 13,5 кг меди надо добавить.
Задача 4.
Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
Решение:
Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится
0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:
8+0,2х=0,3(20+х);х = 13 1/3.
Ответ:
13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Эти задачи можно решать с помощью уравнений и систем уравнений.
Задача 1. (решаемая с помощью уравнения, сводимого к линейному)
В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?
Решение:
Пусть x г весь первоначальный раствор, тогда
0.4x г – соли в первоначальном растворе,
(x + 120) г – стало раствора,
(0,4x + 120) г – стало соли в растворе, которая теперь составляет 70% раствора, т.е. 0,7 от всего раствора, составляем уравнение:
0,4x +120 = 0,7(x + 120), решив которое получим
x = 120
120 · 0,4 = 48 (г) Ответ: 48 г.

Задача 2. (решаемая с помощью системы уравнений)
Вычислите массу и пробу сплава серебра с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получим сплав 900-й пробы (т.е. в сплаве 90% серебра), а сплавив с 2 кг сплава 900-й пробы, получим сплав 840-й пробы.
Решение:
Пусть x кг – масса сплава, y% - серебра в сплаве, тогда
(y : 100) · x = 0,01xy (кг) – серебра в сплаве,
(x + 3) кг – нового первого сплава,
(0,01xy + 3) кг – серебра в новом первом сплаве.
Т.к. серебра в новом первом сплаве 90%, составляем уравнение:
0,01xy + 3 = 0,9(x + 3).
(x + 2) кг – масса второго сплава,
2 кг сплава 900-й пробы будут содержать 0,9 · 2 = 1,8 (кг) серебра, тогда
(0,01xy + 1,8) кг – масса серебра во втором сплаве.
Т.к. серебра во втором сплаве 84%, составляем уравнение:
0,01xy + 1,8 = 0,84(x + 2).
Получаем систему уравнений:
0,01xy + 3 = 0,9(x + 3) x = 3
0,01xy + 1,8 = 0,84(x + 2) y = 80
Ответ: 3 кг 800-ой пробы

Самостоятельно
Задача 1:
Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10% - ным раствором и получили 600 граммов 15% - ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Задача 2:
Смешали 30% раствор соляной кислоты с 10% раствором и получили 600 граммов 15% раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Задача 3:
Смешали 30% раствор соляной кислоты с 10% раствором и получили 600 граммов 15% раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Задача4.
Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
Решение:
Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится
0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:
8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);х = 13 1/3.
Ответ:
13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра

1.4. Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения.
Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент увеличения к=(1+0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения к= (1-0,01р).
Задача1. Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 13125 руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?
Решение. Если x(рублей) – размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад составит 1,25x а в конце второго года размер вклада составит 1,25 *1,25x. Решая уравнение 1,25* 1,25x=13125, находим x=8400.
Ответ: 8400 руб.

Задача2. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с январской. В марте цена нефти упала на 25%. На сколько процентов мартовская цена изменилась по сравнению с январской?
Решение. Если х – январская цена нефти, то февральская цена нефти равна
(1 +0,01*12)х = 1,12х. Чтобы вычислить мартовскую цену у на нефть, следует умножить февральскую цену 1,12х на (1-0,01*25)=0,75, т.е. у=0,75. 1,12х=0,84х , мартовская цена отличается от январской на (0,84х)/х100 –100=84-100= -16(%), т.е. цена упала на 16 %
Ответ: цена упала на 16%.

От простого к сложному...
Для чего человек несет свои сбережения в банк? Конечно же, чтобы обеспечить их сохранность, и самое главное - получить доходы. И вот здесь знание и умение составить предварительный расчет процентов по депозиту как никогда нужно, ведь прогнозирование процентов по вкладам или процентов по кредитам относится к одной из составляющих разумного управления своими финансами. Такое прогнозирование хорошо осуществлять до подписания договоров и совершения финансовых операций, а также в периоды очередного начисления процентов и причисления их к вкладу по уже оформленному депозитному договору.
Формулы расчета процентов
Проценты незаменимы в страховании, финансовой сфере, в экономических расчетах. В процентах выражаются ставки налогов, доходность капиталовложений, плата за заемные денежные средства (например, кредиты банка), темпы роста экономики и многое другое.
1. Формула расчета доли в процентном отношении.
Пусть задано два числа: A1 и A2. Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число A1 от A2.
P = A1 / A2 * 100.
В финансовых расчетах часто пишут
P = A1 / A2 * 100%.
Пример. Какую долю в процентном отношении составляет 10 от 200
P = 10 / 200 * 100 = 5 (процентов).

2. Формула расчета процента от числа.
Пусть задано число A2. Надо вычислить число A1, составляющее заданный процент P от A2.
A1= A2 * P / 100.

Пример. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Сумма процентов составит.
P = 10000 * 5 / 100 = 500.
3. Формула увеличения числа на заданный процент. Сумма с НДС.

Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое больше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:
A2= A1 + A1 * P / 100. или A2= A1 * (1 + P / 100).
Пример 1. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Общая сумма долга составит.
A2= 10000 * (1 + 5 / 100) = 10000 * 1.05 = 10500.
Пример 2. Сумма без НДС равна 1000 рублей, НДС 18 процентов. Сумма с НДС составляет:
A2= 1000 * (1 + 18 / 100) = 1000 * 1.18 = 1180.
4. Формула уменьшения числа на заданный процент.
Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое меньше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:
A2= A1 - A1 * P / 100.
или
A2= A1 * (1 - P / 100).
Пример. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов). Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда сумма к выдаче составляет:
A2= 10000 * (1 - 13 / 100) = 10000 * 0.87 = 8700
Формула вычисления исходной суммы. Сумма без НДС.
Пусть задано число A1, равное некоторому исходному числу A2 с прибавленным процентом P. Надо вычислить число A2. Иными словами: знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС.
Обозначим p = P / 100, тогда:
A1= A2 + p * A2. или A1= A2 * (1 + p). тогда A2= A1 / (1 + p).
Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС 18 процентов. Стоимость без НДС составляет:
A2= 1180 / (1 + 0.18) = 1000.

Формула расчета сложных процентов.
Современная нам жизнь снова делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде - в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т.п. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и пр. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий. Формирование соответствующих умений в настоящее время оставляет желать лучшего.
В Европе в средние века расширилась торговля и, следовательно, особое внимание обращалось на умение вычислять проценты. Тогда приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов (сложные проценты). Часто конторы и предприятия для облегчения расчетов разрабатывали особые таблицы вычисления процентов. Эти таблицы держались в тайне, составляли коммерческий секрет фирмы. Впервые таблицы были опубликованы в 1584 году Симоном Стевином.

Фламандский ученый, военный инженер Симон Стевин не был по профессии математиком, но его трудолюбие и талант позволили ему занять достойное место среди выдающихся европейских математиков. Он первым в Европе открыл десятичные дроби. Симон Стевин опубликовал таблицу для вычисления сложных процентов, которая использовалась в торгово-финансовых операциях.
Мы говорим, что имеем дело со «сложными процентами», в том случае, ког да некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов oт значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.
Рассмотрим сначала случай, когда в конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное число p процентов.

Сложные проценты
Некоторая величина А, исходное значение которой равно Ао, в конце первого этапа будет равна
А1= А о + 13EMBED Equation.31415 А о = А о 13EMBED Equation.31415
В конце второго этапа ее значение станет равным
А2 = А1 +13EMBED Equation.31415 А1 = А1 13EMBED Equation.31415= А0 13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415
Здесь множитель 1 + 13EMBED Equation.31415 показывает, во сколько раз величина увеличилась за один этап.
В конце третьего этапа
А3 = А2 +13EMBED Equation.31415 А2 = А0 13EMBED Equation.31415
Нетрудно понять, что в конце n-го этапа значение величины А определяется формулой
Аn = А0 13EMBED Equation.31415 (1)

Эта формула показывает, что значение величины А растет (или убывает, если
р < 0) как геометрическая прогрессия, первый член которой равен Ао , а знаменателем прогрессии служит величина
13EMBED Equation.31415. Формула (1) является исходной формулой при решении многих задач на проценты.
Пример. Сберкасса выплачивает 3% годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?
Решение. Пусть вклад составляет А0 руб. Тогда через п лет размер вклада станет равным 2А0 руб. Имеем
А013EMBED Equation.31415 А0 ,
n=log 1,03 2=23
Ответ. Через 23 года.
Пусть величина А в конце первого этапа испытывает изменение на р1 %, в конце второго этапана р2 %,в конце третьего этапа на р3 % и т. д. Если р13EMBED Equation.31415>0, то величина А на этом этапе возрастает; если pk < 0, то величина А на этом этапе убывает.
Как говорилось выше, изменение величины А на р % равносильно умножению этой величины на множитель 13EMBED Equation.31415
Поэтому окончательный вид искомой формулы такой:
Аn = А0 13EMBED Equation.31415(2).

Здесь А0 – первоначальное значение величины A.
Пример: Торговая база закупила партию альбомов у изготовителя и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 рубля?
РЕШЕНИЕ: Пусть А13EMBED Equation.31415=х –цена изготовителя на альбом, то
р13EMBED Equation.31415=30, р13EMBED Equation.31415=20, р13EMBED Equation.31415=10,
А13EMBED Equation.31415=70,2, А13EMBED Equation.31415 - А13EMBED Equation.31415=?
Подставим в формулу (2) и получим:
70,2=х(1+30/100)(1+20/100)(1 – 10/100)
1,404х=70,2
х=50. 70,2 – 50=20,2(р.) –больше заплатил покупатель.
Ответ: 20,2рубля.

Пример. Сберкасса выплачивает 3% годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?

Задание 1. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и владелец стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной?(20)
Задание 2. Цену товара повысили на 150%.На сколько процентов надо уменьшить полученную цену товара, чтобы она стала равна первоначальной (60)
Задание 3. Новый владелец магазина снизил цены на одну треть, однако через некоторое время вынужден был вернуться к старым ценам. На сколько процентов он при этом увеличил цены?(50)
Задание 4. До распродажи мужской и женский костюмы стоили одинаково. В начале распродажи на 15% была снижена цена на мужской костюм, но покупателя не нашлось, поэтому еще раз снизили цену на 15%. На сколько процентов нужно однократно снизить цену на женский костюм, чтобы оба костюма снова стали стоить одинаково?(27,75)
Задание 5.За первый год тренировок спортсмен улучшил свой результат на 25%. В следующем году он улучшил свой результат на 25%. На сколько процентов улучшил свой результат спортсмен за 2 года тренировок? (56)
Задание 6. Цены на компьютерную технику в среднем понижались за год дважды на 10%. На сколько процентов понизились цены на компьютерную технику за год? (19)

Сложный процент :
Однократное внутригодовое начисление процентов.
Многократные внутригодовые начисления с целым числом лет.
Приведенная стоимость.
Будущая стоимость срочного аннуитета постнумерандо.
Будущая стоимость срочного аннуитета пренумерандо.
Приведенная стоимость срочного аннуитета постнумерандо.
Приведенная стоимость срочного аннуитета пренумерандо.
Приведенная стоимость бессрочного аннуитета.
Оценка безотзывной облигации с годовым начислением процентов.
Расчет оптимальной партии заказа.
Расчет простого векселя.

Словарь терминов и определений. Финансовая математика.
Будущая стоимость - инвестированные средства и сумма всех начислений сложных процентов на них или проекция заданного в настоящий момент количества денег на определенный промежуток времени вперед при определенной процентной ставке.

Текущая стоимость - стоимость будущих поступлений денег, отнесенная к настоящему моменту или проекция планируемых к получению денег, через определенный промежуток времени и при определенной процентной ставке, на настоящий момент.

Сложные проценты - проценты, полученные на начисленные (реинвестированные) проценты.

Процентная ставка - процентная ставка, которая используется для оценки стоимости денег во времени.
Процентная ставка рассчитывается отношением будущей стоимости за 1 период, за вычетом текущей, к текущей стоимости( (FV-PV) /PV).
Ставка дисконтирования - процентная ставка, используемая для определения текущей стоимости будущих денежных потоков. Ставка дисконтирования рассчитывается отношением будущей стоимости за 1 период, за вычетом текущей, к будущей стоимости .
Краткосрочные ссуды - ссуды, предоставляемые на срок до одного года с однократным начислением процентов.
Точный процент - при этом продолжительность определяют исходя из точного числа дней, для года считают как 365 или 366, квартала от 89 до 92, месяца от 28 до 31.
Обыкновенный процент - при этом продолжительность определяют исходя из приблизительного числа дней в году 360, квартале 90, месяце 30.
Точное число дней ссуды - продолжительность периода начисления определяется точным числом дней ссуды.
Приблизительное число дней ссуды - продолжительность периода начисления определяется приблизительно, считая, что в месяце 30 дней.
Оценка облигации - процесс определения рыночной стоимости ценной бумаги.
Облигация - ценная бумага, являющаяся долгосрочным долговым обязательством, по которому выплачивается установленный процентный доход на протяжении определенного периода и в конце которого владельцу облигации выплачивается ее номинальная стоимость.
Наращение - финансовая операция, при которой происходит расчет будущей стоимости сегодняшней инвестиции при заданном сроке и процентной ставке.
Пренумерандо - поступления выплат происходят в начале периода.
.Постнмерандо - поступления выплат происходят в конце периода.

Задачи на расчет сложных процентов
Задача 1. Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 20 000 рублей сегодня или получить 35 000 рублей через 3 года, если процентная ставка равна 17%.
Рассчитаем будущюю стоимость 20000 рублей через 3 года, под 17% годовых.
FV = 20000 * (1 + 0,17)3 = 32032 рубля
Ответ. Получить 35000 рублей через 3 года является более выгодным решением, при данном значении процентной ставки.
PV = FV / (1 + r / m )n*m;
PV = 23500 / (1 + 0,145 / 12)3*12;
PV = 15250 рублей.
Ответ. Для получения требуемой суммы, при заданных условиях, необходимо сделать вклад в размере 15250 рублей.

Решение более сложных задач на проценты
Задача 1. (решаемая с помощью системы уравнений)
Фабрика должна была сшить 360 костюмов. В первые 8 дней она перевыполняла план на 20%, а в остальные на 25%. Сколько дней работала фабрика, если всего сшито 442 костюма?
Решение:
Пусть x костюмов должна была сшить фабрика за один день,
y дней должна была работать.
Т.к. всего должно было быть сшито 360 костюмов, составляем уравнение:
xy = 360.
1,2x · 8 костюмов сшили за первые 8 дней,
1,25x(y - 8) костюмов сшили за остальные дни.
Т.к. всего сшито 442 костюма, составляем уравнение:
1,2x · 8 + 1,25x(y - 8) = 442.
Получаем систему уравнений:
xy = 360 x = 20
1,2x · 8 + 1,25x(y - 8) = 442 y = 18
Ответ: 18 дней
Задача 2. (решаемая с помощью алгебраических выражений)
Процесс очищения воды в водохранилище от содержания в ней тяжелых металлов состоит из четырех этапов. На каждом этапе содержание уменьшается на определенное количество процентов к их количеству на предыдущем этапе:
на 1-ом – на 25% ,на 2-ом – на 20%, на 3-ем – на 15%, на 4-ом – на 10%
На сколько процентов в результате уменьшается их количество?
Решение:
Пусть x – количество воды, тогда оставшееся количество тяжелых металлов после очистки:
На 1-ом этапе – 0,75x
На 2-ом этапе – 0,8 · (0,75x) = 0,6x
На 3-ем этапе – 0,85 · (0,6x) = 0,51x
На 4-ом этапе – 0,9 · (0,51x) = 0,459x.
Таким образом всего ушло x - 0,459x = 0,541x, т.е. 54,1% тяжелых металлов.
Ответ: 54,1%
Задача 3. (решаемая комбинированным способом)
В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
Решение:
Пусть x – месячный план, тогда
1,05x – выпущено в январе,
1,04 · (1,05x) = 1,092x – выпущено в феврале, а всего за два месяца выпущено
1,05x + 1,092x = 2,142x.
Таким образом двухмесячный план 2x, а фактически выполнено 2,142x, т.е.
2x – 100%
2,142x – y%
y = (2,142x · 100) : (2x) = 107,1%, т.е. план перевыполнен на 7,1%.
Ответ: 7,1%
Задача 4. (решаемая логическими рассуждениями)
В одном из городов Украины часть жителей говорит только по-русски, часть только по-украински, часть говорит и по-русски и по-украински. Известно, что 90% жителей говорит по-русски, а 80% по-украински. Какой процент жителей этого города говорит на обоих языках?
Решение:
На каждых 100 жителей – 90 говорит по-русски, значит, 10 не говорит по-русски, т.е. 10 говорит только по-украински. Известно, что из каждых 100 жителей говорит по-украински 80 человек, из них, как мы выяснили, 10 человек говорит только по-украински, следовательно из этих 80 знают еще и русский 80 – 10 = 70 человек, т.е. 70%
Ответ: 70%

Глава 2.
2.1 Решение задач на скидки, распродажи, кредит.
Уважаемые господа! Предлагаю сегодня вам побыть в роли менеджеров по продаже зимней одежды, и определить, для чего и когда нужны магазинам скидки и распродажи? Когда магазины предлагают покупателям взять товар в кредит?
Рассмотрите пример №1.
В сентябре 2009г. на предприятии по пошиву шуб, были закуплены шубы. Цена одной шубы - 5000 руб. Рассчитайте цену продажи в магазине шубы, если за хранение товара нужно отдать 5% от первоначальной стоимости шубы, на оплату труда продавца-3% , услуги менеджера – 20%. Средства на развитие магазина предполагаются в размере 70%. Определить конечную цену товара
Предлагаю решить несколько задач на данную тему.

1.Товар уценили два раза. Вначале на15%,затем на 20%. После уценки он стал стоить 2000 рублей. Определите первоначальную цену товара.

1) 100%-20%=80%=0,8 – составляет цена после уценки
2)2000 : 0,8=2500 руб – цена товара после первой уценки
3) 100%- 15%=85%=0,85 – составляет цена после 1 уценки
4) 2500: 0,85
·2941,18 руб – первоначальная цена товара.
2.Цену товара сперва снизили на 20%, затем еще на 15%, после перерасчета снизили еще на 10%.
На сколько процентов снизили первоначальную цену товара?
Пусть первоначальная цена товара была х руб.,
1)100%-20%=80%=0,8
0,8 х – цена товара после первого снижения
2)100%-15%=85%=0,85
0,85 *0,8х=0,68х - цена после второго снижения
3) 100%-10%= 90%=0,9
0,9*0,68х=0,612х- цена после третьего снижения
4) х- 0,612х=0,388х – снижение
0388х/х=0,388=38,8 % - на столько снизили цену товара.
Предлагаю решить следующую задачу самостоятельно.
Рассчитай сумму прибыли магазина. Если в магазин была завезена партия из 2000 шуб. В октябре – ноябре было продано 63 % всех шуб, в декабре - 15 %, в январе - 10% , феврале - 5% , оставшийся товар продали в марте. Данные для задачи возьмите в первом примере.
Решение оформите таблицей.

2.2 Тестовые задания на проценты.
Задача 1.Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?
Решение. Пусть товар стоил 1000руб., после повышения цены на 10% он стал стоить 1,1*1000 руб. После понижения этой цены на 10%, он стал стоить 0,9*1,1*1000=990 руб.
Ответ. 990 руб.

Задача 2.Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?
Решение. Так как влажность грибов составляет 99%, это означает, что на так называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е 1 кг, после сушки влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е 1кг это 0,02 подсушенных грибов, 1 кг : 0,02=50 кг.
Ответ. 50 кг.
Задача 3. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25% .Сколько стал стоить билет после снижения?
Решение. Пусть зрителей, до понижения цены, на стадион приходило А чел. и выручка составляла 1,8А руб. После понижения цены, цена 1,8*р, зрителей стало 1,5А, выручка составляет 1,8*р*1,5*А руб. С другой стороны, выручка повысилась на 25%, т.е. составляет 1,25*1,8А. Получаем 1,8*р*1,5*А=1,25*1,8А., откуда р=12,5/15, тогда билет стоит 1,8*12,5/15=1,5 руб.
Ответ. 1руб. 50 коп
Задача 4. По дороге идут два туриста. Первый из них делает шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему?
Решение. Пусть второй турист делает а шагов, каждый из которых равен в, тогда ав это длина пройденного пути. А первый турист тогда прошел1,1*а*0,9*в=0,99*ав, что меньше ав.
Ответ. Второй турист идет быстрее.

Задача 5.Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить на 20%?
Решение. Если товар стоил А руб, после двух понижений он стал стоить 0,9*0,9*А=0,81А. А цену товара сразу понизить на 20%, то он станет стоить 0,8*А , что дешевле.
Ответ. Да.
Задача 6. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за него 25 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?
Решение. Пусть молоко продает магазин по А руб, тогда после удержания 20% стоимости товара, Матроскину остается 0,8*А=25, откуда А=31, 25 руб.
Ответ. 31 руб. 25 коп.
Задача 7. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30% остатка, а третий - 40% нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным?
Решение. Пусть полотна было р . Первый купил 0,25р,, осталось (1-0,25)р полотна, второй покупатель купил 0,3*0,75р=0,225р, осталось 0,75р –0,225р=0,525р, третий купил 0,4*0,525р=0,21р, осталось 0,525р-0,21р=0,315р, что составляет 31,5% от р.
Ответ. 31,5%
Задача 8.Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.
Решение. 6 га составляют 75% или0,75=3/4 от оставшейся части после 1 дня работы, т.е.6: 0,75=6 га 8+2=10 га - это половина луга, весь луг 20 га
Ответ. 20 га
Задача 9.Как изменится в процентах площадь прямоугольника, если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?
Решение. АВ- площадь исходного прямоугольника, 1,3*А*0,7*В=0,91АВ – площадь нового прямоугольника, что составляет 91% исходного.
Ответ. Уменьшится на 9%
Задача 10. В драматическом кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков?
Решение. Девочек А чел, мальчиков 0,8*А, девочки составляют от мальчиков А/(0,8А)= 1,25, т.е. 125 % от числа мальчиков
Ответ. 125%
Задача 11. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна
Решение. Пусть Х – объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в ед времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%
Ответ. 150%
Задача12. 13.5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?
Решение. 0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%
Ответ. 25,5%
2.3. Избранные задачи вариантов единого государственного экзамена.
Впервые в вариантах единого государственного экзамена по математике задача на проценты появились в заданиях группы В, и такие задачи также были представлены в вариантах единого экзамена. В вариантах были задачи на работу, но в демонстрационном варианте 2007 года снова появляется задача на проценты, что говорит о необходимости серьезной работы над этой темой. Следует отметить, что для решения всех задач, которые предлагались, достаточно знания тех методов, которые рассматриваются в данной работе.

Тренировочный вариант
Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу, сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик положил 1 января 1000 руб. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 руб. На сколько процентов ежегодно увеличивалась сумма денег, положенная на этот вклад?
Решение. Используя формулу увеличения положительного число на p%, получим, что через год сумма вклада составит 1000*(1+0,01р), а через два года 1000*(1+0,01р)2=1210, т.е. (1+0,01р)2=1,21, 1+0,01р=1,1, 0,01р=0,1, откуда р=10%
Ответ: сумма ежегодно увеличивалась на 10%.

1.Демонстрационный вариант ЕГЭ
Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов, владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной?
Решение. Пусть цена билета была А руб. После повышения на 25% цена стала 1,25А, после понижения цена билета стала р*1,25А. Т.к. цена билета вернулась к первоначальной, то получим р*1,25А=А, откуда р=1/1,25 = 0,8, что означает, что новая цена составляет 80% цены после повышения., значит владелец дискотеки снизил цену на 20%.
Ответ: 20%
2.Демонстрационный вариант ЕГЭ
Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)
Решение. 1,11* 7000=7770руб-будет на счете в конце 1 года. Пусть х руб. положили дополнительно на счет, из условия задачи получаем неравенство 1,11(7770+х)> 10000, получим х>1239, 1/111, что означает, чтобы на счету было не менее 10000 руб, нужно положить не менее12 40руб.
Ответ: 1240 руб.

1.Задача из ЕГЭ
Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов, необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?
Решение. Пусть А количество продукции, выпускаемое предприятием, 0,8А-количество продукции, которое стало выпускать предприятия после уменьшения на 20%. Из условия задачи следует уравнение р*0,8А=А, где р –коэффициент увеличения, откуда р=1/0,8=1,25, что означает, что необходимо увеличить выпуск продукции на 25%.
Ответ: 25%

2. Задача из ЕГЭ
К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?
Решение. 1) 0,8*120=96(г)-соли в первоначальном растворе;
2) 480*0,2=96(г) соли во втором растворе;
3) ((96+96)/(120+480))*100%=32%-процентное содержание соли в получившемся растворе.
Ответ: 32%
3.Задача из ЕГЭ
За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия увеличилась на 10%. Определить, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии?
Решение. Пусть А- первоначальный размер стипендии, 1,1А – размер стипендии после повышения в 1 полугодии, р*1,1А- размер стипендии после увеличения во 2 полугодии, где р- коэффициент увеличения. Так как за год стипендия увеличилась на 32%, получим уравнение р*1,1А=1,32А, р=132/110=1,2, что означает , что стипендия во 2 полугодии составляет 120% стипендии 1 полугодия., т.е. стипендия во 2 полугодии увеличилась на 20%
Ответ: на 20%.
4. Задача из ЕГЭ
Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу ( в граммах) куска, взятого от первого слит
Решение. Определим процентное содержание золота в обоих слитках. 1) 230+20=250(г)-масса 1 слитка, 230/250=0,92 (92%)процентное содержание золота в 1 слитке.
2) 240+60=300(г) –масса 2 слитка, 240/300=0,8 (80%)- процентное содержание золота во 2 слитке. Пусть х масса куска, взятого от 1 слитка, (300-х)- масса куска, взятого от 2 слитка, получим уравнение 0,92х+0,8(300-х)=0,84*300, откуда х=100
Ответ: 100г
5. Задача из ЕГЭ
Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, а второй сплав – 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82 % серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве?
Решение. Пусть х г серебра содержится в 1 сплаве., тогда 70/(х+70)-какую часть 1 сплава составляет медь, 90/(210+90)-такую часть составляет медь во 2 сплаве., кусок второго сплава 300-225=75г, тогда получаем уравнение.
225*(70/(х+70))+75*(90/300)=(1-0,82)*300, откуда х=4
Ответ: 430г
6 Задача из.ЕГЭ
В колбе было 200 г 80% -го спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы получить 60% - ый спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?.
Решение. 200*0,8=160(г)-масса чистого спирта в колбе, их колбы отлили х г раствора, осталось (200-х)г раствора, в котором чистого спирта 0,8*(200-х). Когда к раствору добавили х г воды, то масса раствора снова стала 200 г, а концентраци
[(0,8*(200-х))/200]*100%=60%, откуда х=50(г)
Ответ: провизор добавил 50г воды.
7 Задача из.ЕГЭ
В колбе было 800 г 80% -ного спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил в нее 200 г воды. Определить концентрацию ( в процентах) полученного спирта.
Решение. После того, как провизор отлил 200 г раствора, стало 600г, в котором чистого спирта 0,8*600=480г, когда добавили200г воды, то раствор снова 800г, а концентрация чистого спирта в растворе (480/800)*100%=60%
Ответ: 60%
8 Задача из.ЕГЭ
Численность населения в городе Таганроге в течение двух лет возрастала на 2 процента ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в Таганроге первоначально?
Решение. А- первоначальное количество жителей Таганрога. Используя формулу коэффициента увеличения, получаем
А(1+0,02)2=А+11312, откуда А=280000
Ответ: 280000 чел
9 Задача из.ЕГЭ
Из сосуда, доверху наполненного 94% -м раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и долили 1,5 л 70% -го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько л раствора вмещает сосуд?
Решение. Пусть х л вмещает сосуд, тогда из условий задачи следует уравнение 0,94(х-1,5)+0,7*1,5=0,86х, откуда х=4,5
Ответ: 4,5 л
Решение задач (самостоятельно)
Задача 1.
Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8 % от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 000 р. Какая сумма будет на его счёте через 5 лет, через 10 лет?
Решение.
Используя формулу:
Sn = S0 (1 + np/100)
S5 = 200 000 (1 + 5*8/100) = 280 000 (p.)
S10 = 200 000 (1 + 10*8/100) = 360 000 (p.)
Ответ: 280 000 р.; 360 000 р.
Задача 2.
При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастает за 6 месяцев до 650 р.
Решение.
500 (1 + 6р/100) = 650,
р = (650 : 500 - 1)100 : 6
р = 5
Ответ: 5 %
Задача3. Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за 2 года она возросла с 2000 рублей до 2420.
Решение.
Пусть ежегодно имеющаяся на счёте сумма увеличивается на х %. В первый раз за 100 % мы должны принять сумму, имеющуюся на счёте к началу первого года, то есть 2000 рублей
Тогда через год на счёте окажется
(2000 + (х/100)*2000) рублей, то есть (2000 + 20х) рублей.
Для расчёта процентов за второй год мы должны принять за 100 % уже сумму, имеющуюся на счёте к началу второго года, то есть (2000 + 20х) рублей. Тогда по прошествии второго года на счёте окажется:
(2000 + 20х + (х/100)*(2000 + 20х)) рублей, то есть (0,2х2 + 40х + 2000) рублей, что по условию задачи составляет 2420 рублей.
Составим и решим уравнение.
0,2х2 + 40х +2000 = 2420
0,2х2 + 40х – 420 =0
х2 + 200х – 2100 = 0
х = - 210 или х = 10.
Так как по условию задачи значения х должны быть положительными, то х = 10. Итак, ежегодно сумма вклада увеличивалась на 10 %.
Ответ: 10 %

Заключение. Данная работа позволит развить и закрепить навыки решения задач по теме: «Проценты» у учащихся 5-6 классов, может быть интересно учащимся, увлеченным математикой, а также полезно выпускникам школ и абитуриентам при подготовке к экзаменам. В дальнейшем на факультативных и кружковых занятиях возможны изучение вопроса применения процентов в экономике, в банковском деле. Можно провести сравнительный анализ банковских процентных ставок по потребительским кредитам и ипотечному кредитованию населения.

Литература.
1.Быков А.А. и др В помощь поступающим в ГУ – ВШЭ, Математика, М: ГУ-ВШЭ, 2010
2.Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др., Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика, М: Интеллект- Центр, 2012.
4. ---«Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014.Учебно –тренировочные тесты по новой специфике В1-В15,С1-С6» Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова+ Решебник. Легион. 2014 г.

5.--[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], Васильева Е.Н., Ольховая Л.С. Легион. 2014 г.

6.---[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], Легион. 2014 г.
7.---Математика. 11 класс. Повторение материала средней школы и подготовка к итоговой аттестации. Интенсивный курс для учителей и обучающихся. Кулабухов С.Ю. Легион. 2014 г.



8.---[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], Лысенко Ф.Ф., Кулабухов С.Ю. Легион. 2014 г.

9. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Конкурсные задачи по математикеМ: Наука, 2000.
10. Семенко Е.А. и др., Готовимся к ЕГЭ по математике, Краснодар, Просвещение-Юг, 2005.
11. Алгебра, 9, под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение, 2013
12. Алгебра и начала анализа, 10-11, под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2013.
13. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2010-2013 г.
14. Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2008-2014.
15.«В помощь поступающим в ГУ – ВШЭ, Математика», Быков А.А. и дрМ: ГУ-ВШЭ, 2013, с 53-64

















Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native