Методическая разработка по выполнению практических работ

Министерство образования и науки Самарской области
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Самарской области
«Тольяттинский индустриально-педагогический колледж»
(ГАПОУ СО «ТИПК»)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

для преподавателей и студентов
специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям).

Тольятти, 2016
Ахметова М.Ф. Методические рекомендации по выполнению практических работ.
Дисциплина «Математика».- Тольятти, Изд. ТИПК, 2016 - 62 с.

Методические рекомендации по выполнению практических работ разработаны на основании примерной программы учебной дисциплины «Математика» в соответствии Федерального государственного образовательного стандарта (далее ФГОС) по специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям).
Пособие содержит теоретический материал, примеры решения и задания для самостоятельного решения.
Разработаны для преподавателей и студентов колледжа.

Рассмотрено
На заседании преподавателей отделения общеобразовательных дисциплин
Протокол №____ от «____»______________ 2016г.
Руководитель ___________________/ И.М.Брагина /

Утверждено
протокол заседания научно-методического совета ГАПОУ СО «ТИПК»
№____ от «____»______________ 2016г.
Председатель ___________________ / Е.М. Катина /

© ГАПОУ СО «ТИПК»
Содержание

Введение4
Практическая работа №1.5
Практическая работа №2.9
Практическая работа №3...12
Практическая работа №4...15
Практическая работа №5...19
Практическая работа №6...24
Практическая работа №7...26
Практическая работа №8...29
Практическая работа №9...35
Практическая работа №10.40
Практическая работа №11.52
Практическая работа №12.57
Список рекомендуемой литературы62

Введение

Методические рекомендации по выполнению практических работ разработаны на основании примерной программы учебной дисциплины «Математика» в соответствии Федерального государственного образовательного стандарта (далее ФГОС) по специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям).
Цель данного пособия оказать помощь студентам в подготовке и выполнении практических работ.
Известно, что решение задач по математике у студентов часто сопряжено со многими трудностями. Основное назначение данных указаний состоит в том, чтобы помочь студенту преодолеть эти трудности и научить его решению задач по всем разделам курса математики.
При самостоятельном решении задач многие студенты нуждаются в постоянных консультациях относительно приемов и методов их решения. Поскольку найти путь к решению задачи без помощи преподавателя или соответствующего пособия ему не под силу. Такие консультации студент может получить в данных указаниях.
В указаниях приведены необходимые теоретические сведения, состоящие из определений, свойств, теорем и основных понятий по изучаемой теме. В указания описаны приемы решения типовых задач, даны их классификация и образцы записи решения, а затем следуют задания для самостоятельного решения, список необходимой литературы. Такая форма изложения позволяет студенту сначала познакомиться с приемами решения типовых задач и оформлением записи их решений, а затем приступить к выработке навыков в их самостоятельном решении.

Практическая работа №1
Тема. Выполнение действий с матрицами.
Цель практического занятия: отработать навыки выполнения действий над матрицами
Содержание работы.
Теория.
Матричные модели представляют собой модели, построенные в виде таблиц (матриц). Эти модели находят широкое применение при решении плановых и экономических задач и при обработке больших массивов информации.
Матрица – это прямоугольная таблица чисел или других величин.
Общий вид матрицы:
13 EMBED Equation.3 1415
Матрицей 13 EMBED Equation.3 1415 порядка 13 EMBED Equation.3 1415 называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.
Матрица называется квадратной, если m=n. Например, 13 EMBED Equation.3 1415
Воображаемая линия квадратной матрицы, пересекающая её от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415, называется главной диагональю, а наоборот, от13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415 - побочной диагональю.
Если все элементы матрицы равны 0, то она называется нулевой.
Квадратная матрица, в которой все элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны 0, называется диагональной: 13 EMBED Equation.3 1415
Диагональная матрица, у которой все элементы, расположенные по главной диагонали, - единицы, а остальные – нули, называется единичной. Единичную матрицу обозначают буквой Е=13 EMBED Equation.3 1415
Матрица называется положительной, если все её элементы 13 EMBED Equation.3 1415.
Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом 13 EMBED Equation.3 1415, её размерность:13 EMBED Equation.3 1415.
Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой 13 EMBED Equation.3 1415, её размерность: 13 EMBED Equation.3 1415
Равенство матриц A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 (i = 1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Действия над матрицами.
Суммой (разностью) двух матриц А и В, имеющих m строк и n столбцов, называется матрица, полученная в результате сложения (вычитания) одноименных элементов матриц А и В. Полученная в результате матрица с имеет ту же размерность 13 EMBED Equation.3 1415.
1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение матрицы на матрицу.
Умножение 13 EMBED Equation.3 1415 матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B). 13 EMBED Equation.3 1415, причем каждый элемент 13 EMBED Equation.3 1415 матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
5. Возведение в степень. 13 EMBED Equation.3 1415 m раз, где m >1 целое положительное число, А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц.
6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают 13 EMBED Equation.3 1415 или A'. Операция транспонирования заключается в перемене мест столбцов и строк исходной матрицы.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Строки и столбцы поменялись местами. Например, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
7. Определение обратной матрицы.
Определим обратную матрицу 13 EMBED Equation.3 1415, если задана матрица А. Должно соблюдаться условие 13 EMBED Equation.3 1415(единичная матрица)

Свойства операций над матрицами
13 EMBED Equation.3 1415
Симметричной называется такая квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично главной диагонали, равны между собой.
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите сумму матриц:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите разность матриц:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3. Умножить матрицу на число:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
4. Умножить матрицу на матрицу:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5. Найдите транспонированную матрицу для матриц:
а) б)
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
6. Найдите обратную матрицу для матрицы:
13 EMBED Equation.3 1415
Практическая работа №2
Тема. Вычисление определителей матрицы.
Цель практического занятия: отработать навыки вычисления определителей матрицы.

Содержание работы.
Теория.
Обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415- подматрицу матрицы А, полученную вычеркиванием из матрицы А i-й строки и j-го столбца.
Определитель – это число, получаемое из элементов этой матрицы по определенному правилу.
Определитель матрицы А обозначается: 13 EMBED Equation.3 1415
Определитель имеет порядок, равный порядку квадратной матрицы А (т.е. размерность 13 EMBED Equation.3 1415называют порядком n у квадратной матрицы).
Определитель порядка n равен: 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- алгебраическое дополнение, а 13 EMBED Equation.3 1415- квадратная подматрица матрицы А, полученная из А вычеркиванием первой строки, причем алгебраическое дополнение в общем виде формулой13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- подматрица А, получаемая вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Например, найти определитель матрицы: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Свойства определителя
1) Определитель не меняется при транспонировании: 13 EMBED Equation.3 1415
2) Если одна из строк или из столбцов определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3) От перестановки двух строк или двух столбцов определитель меняет только знак.
4) Определитель, содержащий две одинаковые строки или два одинаковых столбца, равен нулю.
5) Если все элементы некоторой строки или столбца определителя умножить на число 13 EMBED Equation.3 1415, то сам определитель умножится на это число.
6) Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Задания для самостоятельной работы
Найдите определитель матрицы:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2.13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответы: 1. 13 EMBED Equation.3 1415; 2. 13 EMBED Equation.3 1415; 3. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Правило треугольников ( для определителя третьего порядка)
13 EMBED Equation.3 1415
Например, 13 EMBED Equation.3 1415Треугольные матрицы.
Треугольной называется такая квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:
13 EMBED Equation.3 1415 нижнетреугольная 13 EMBED Equation.3 1415верхнетреугольная
Определитель треугольной матрицы любого порядка равен произведению её диагональных элементов.
Например, 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем определитель первым способом: 13 EMBED Equation.3 1415
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите определитель матрицы, используя правило треугольника или свойство определителя для треугольной матрицы:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответы: 1. 13 EMBED Equation.3 1415; 2. 13 EMBED Equation.3 1415; 3. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
2. Вычислить определитель.
1)13 EMBED Equa
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
4. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и сделать проверку
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415

Практическая работа №3

Тема. Решение систем линейных уравнений с 3- мя неизвестными по формулам Крамера.
Цель практического занятия: отработать навыки решения системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными с помощью определителей второго и третьего порядка.
Содержание работы.
Теория.
Определителем второго порядка, составленным из чисел называется число, определяемое равенством
Числа называются элементами определителя, причем элементы образуют главную диагональ, а элементы - побочную диагональ.
Таким образом, определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными:

при условии, что определитель системы
· =
· 0, имеет единственное решение, которое находится по формулам:
; . (3.3)
Равенства (3.3) называются формулами Крамера.
Здесь и - определители, получающиеся из определителя заменой столбца коэффициентов при соответствующей переменной столбцом свободных членов.
= ; = ; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Если же определитель системы = 0, то система является либо несовместной (когда
· 0 и
· 0), либо неопределенной (когда = =0). В последнем случае система сводится к одному уравнению, а другое является следствием этого уравнения.
Условие несовместности системы можно записать в виде:
· , а условие неопределенности – в виде: =.
Примеры. Решить системы уравнений:
1.
Решение. Так как =
· 0, то система имеет единственное решение, которое находим по формулам (3.3):
; Ответ: (2; 3)
2.
Решение. Находим = . Здесь свободные члены пропорциональны коэффициентам при переменных: 3/6=(-2)/(-4)=1/2. Поэтому данная система равносильна одному из уравнений, например первому, и, следовательно. Имеет бесконечное множество решений.
3.
Решение. Находим = Здесь свободные члены не пропорциональны коэффициентам при переменных: 2/4 = (-3)/9-6)
· 2/3; поэтому данная система несовместна, решений нет.

Задания для самостоятельного решения.
Решить системы уравнений:
1. 2. 3. 4.
5. 6.
Определителем третьего порядка, составленным из чисел , называется число, определяемое равенством: (3.4)
Формулу (3.4) называют разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки.
Система трех линейных уравнений с тремя переменными:

при условии, что определитель системы
· 0, имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
(3.5)
где , , .
Если же , то система является либо неопределенной, либо несовместной. В том случае, если система однородная, т.е. имеет вид

и
· 0, то она имеет единственное решение:
Если определитель однородной системы , то система сводится либо к двум независимым уравнениям (третье является их следствием), либо к одному (следствиями которого являются остальные два уравнения). В обоих случаях однородная система имеет бесконечное множество решений.
Примеры. Решить систему уравнений:

Решение. Находим:

По формулам (3.5) получаем:

Задания для самостоятельного решения.
Решить системы уравнений по формулам Крамера:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
Примечание. Практическая работа выполняется по вариантам (6 вариантов).

Практическая работа №4
Тема. Вычисление предела функции.
Цель практического занятия: освоить способы вычисления пределов различных функций.

Содержание работы.
Теория.
Число А называется пределом функции у=f(x) в точке13 EMBED Equation.3 1415если для любого положительного13 EMBED Equation.3 1415 найдётся такое 13 EMBED Equation.3 1415 , что для любого x
·13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющего неравенству 13 EMBED Equation.3 1415, выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 . В этом случае пишут13 EMBED Equation.3 1415
Если предел функции равен бесконечности при 13 EMBED Equation.3 1415, то функция называется бесконечно большой, если 13 EMBED Equation.3 1415=0 то функция называется бесконечно малой.
Если x<13 EMBED Equation.3 1415 и x13 EMBED Equation.3 1415, то употребляют запись x13 EMBED Equation.3 1415-0, если же x>13 EMBED Equation.3 1415 и x13 EMBED Equation.3 1415, то употребляют запись x13 EMBED Equation.3 1415+0 Числа f(13 EMBED Equation.3 1415-0)=lim 13 EMBED Equation.3 1415 и f(13 EMBED Equation.3 1415+0)= 13 EMBED Equation.3 1415 называются, соответственно, левым и правым пределами функции f(x) в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
Для существования предела функции в точке x13 EMBED Equation.3 1415 необходимо и достаточно, чтобы,
13 EMBED Equation.3 1415f(x-0) =f(x+0)
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах :.
Если существуют 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415,
1.13 EMBED Equation.3 1415
2.13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415;
Следствие. Если k=const, то 13 EMBED Equation.3 1415
3.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (при 13 EMBED Equation.3 1415)
и следствиях из них : 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 где Р(х) и Q(x)- рациональные функции.
Используются также следующие замечательные пределы
13 EMBED Equation.3 1415;(первый замечательный предел)
13 EMBED Equation.3 1415(второй замечательный предел)
Примеры вычисления пределов
1.13 EMBED Equation.3 1415
2.13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Здесь неопределённость типа 13 EMBED Equation.3 1415. Чтобы её раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби на х 13 EMBED Equation.3 1415
3.13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Здесь неопределённость типа13 EMBED Equation.3 1415. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители 13 EMBED Equation.3 1415 , тогда после сокращения получаем 13 EMBED Equation.3 1415.
4.13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Здесь также неопределённость типа 13 EMBED Equation.3 1415 . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители так, чтобы можно было сократить. 13 EMBED Equation.3 1415.
5.13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Здесь неопределённость типа 13 EMBED Equation.3 1415. Умножим и числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю, т. е. на сумму13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
6.13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Здесь неопределённость вида 13 EMBED Equation.3 1415 . Разделим и числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т. е. на х13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
7.13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Здесь имеет место неопределённость типа (
·-
·) Умножим и разделим данное выражение на13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
8.13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Делением числителя на знаменатель, выделим целую часть 13 EMBED Equation.3 1415. Т. о. получим, что x13 EMBED Equation.3 1415данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель к бесконечности ( неопределённость типа 113 EMBED Equation.3 1415). Преобразуем функцию так, чтобы можно было использовать второй замечательный предел
13 EMBED Equation.3 1415
Т.к.13 EMBED Equation.3 1415Учитывая,что13 EMBED Equation.3 1415на-ходим 13 EMBED Equation.3 1415.
9.13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Преобразуем данную функцию, используя свойства логарифма13 EMBED Equation.3 1415. Теперь для вычисления данного предела, используем свойство непрерывности логарифмической функции 13 EMBED Equation.3 1415

Задание для выполнения практической работы.
№ варианта
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5

1,11,
21

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

2,12,
22

13 EMBED Equation.3 1415
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Практическая работа №5
Тема. Производные элементарных и сложных функций. Производные высших порядков.
Цель практического занятия: развивать навыки вычисления производных функций.
Содержание работы.
Теория.
Определение. Производной 13 EMBED Equation.3 1415функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 называется предел отношения приращения, 13 EMBED Equation.3 1415 функции в этой точке к приращению 13 EMBED Equation.3 1415аргумента, когда последнее стремится к нулю:13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Функция 13 EMBED Equation.3 1415, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
Основные правила дифференцирования.
Обозначения: С – постоянная величина; 13 EMBED Equation.3 1415- аргумент; 13 EMBED Equation.3 1415- функции от 13 EMBED Equation.3 1415 имеющие производные.
1. Производная произведения алгебраической суммы функций 13 EMBED Equation.3 1415
2. Производная произведения двух функций 13 EMBED Equation.3 1415
3. Производная произведения постоянной на функцию 13 EMBED Equation.3 1415
4. Производная частного (дроби) 13 EMBED Equation.3 1415
5. Частные случаи формулы 4 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Формулы дифференцирования

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- любое действительное число 14. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·BED Equation.3 1415 19. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415есть функция от 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415, в свою очередь, есть функция от аргумента 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. если 13 EMBED Equation.3 1415зависит от 13 EMBED Equation.3 1415 через промежуточный аргумент 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 называется сложной функцией от 13 EMBED Equation.3 1415 (функцией от функции): 13 EMBED Equation.3 1415
Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:
13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415
Производные высших порядков. Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 определена на интервале 13 EMBED Equation.3 1415, и пусть в каждой точке этого интервала она имеет производную 13 EMBED Equation.3 1415; тогда 13 EMBED Equation.3 1415 можно назвать первой производной (или производной первого порядка) данной функции. Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415 имеет производную в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эту производную называют второй производной (или производной второго порядка) данной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначают 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Короче, вторая производная – это производная от первой производной, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 имеет производную в каждой точке интервала 13 EMBED Equation.3 1415, то говорят, что 13 EMBED Equation.3 1415 определена на всем интервале 13 EMBED Equation.3 1415.
Производная от 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, если она существует, называется третьей производной (или производной третьего порядка) функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке х (или на некотором интервале 13 EMBED Equation.3 1415) называется производная от производной 13 EMBED Equation.3 1415-го порядка в этой точке х (или на этом интервале 13 EMBED Equation.3 1415). Они обозначаются соответственно 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Примеры вычисления производных.
а) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415
б) Если 13 EMBED Equation.3 1415 то
13 EMBED Equation.3 1415
Задания для самостоятельного решения.
Найдите производные высших порядков:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание для выполнения практической работы по вариантам.
1. Найти производную.
2. Найти производную сложной функции.
3. Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума, найти точки перегиба с помощью второй производной.
Вариант № 1 Вариант № 2
1. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант № 3 Вариант № 4
1. 13 EMBED Equation.3 1415 1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Задание для выполнения практической работы по вариантам.
№ варианта
Задание 1
Найдите производную функций
Задание 2
Найдите производную функций в заданных точках
Задание 3
Найдите производные сложной функции

1,11,21
а) f(x)=x2-213 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках x=-4, x=8
а) f(x)=(3-x)10
б) g(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415

2,12,22
а) f(x)=x8+313 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках x=-3, x=6
а) f(x)=(x5-2x2)191
б) g(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415

3,13,23
а) f(x)=x5-413 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках x=-3, x=6
а) f(x)=(x7-2x4)120
б) g(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415

4,14,24
а) f(x)=x5-3x4+2x-1
б) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках x=-2, x=5
а) f(x)=(5x4-4x5)101
б) g(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415

5,15,25
а) f(x)=x6-5x3+2x2-7
б) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках x=-5, x=1/3
а) f(x)=(7x3-3x7)173
б) g(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415

6,16,26
а) f(x)=x7+2x5+4/x2-1
б) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках x=1, x=3
а) f(x)=(7x6+6x4)129
б) g(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415

7,17,27
а) f(x)=x9-3x5-3/x+2
б) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках x=1, x=9
а) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) g(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415

8,18,28
а) f(x)=x7-3x513 EMBED Equation.DSMT4 1415-2
б) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках x=0, x=6
а) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) g(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415

9,19,29
а) f(x)=x8-2x613 EMBED Equation.DSMT4 1415+9
б) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках x=0, x=3
а) f(x)=(5x6+4x3)123
g(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415

10,20,30
а) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
б) f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415
f(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках x=2, x=4
а) f(x)=(6-2x)8
б) g(x)=13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Практическая работа №6
Тема. Исследование функции с помощью производной.
Цель практического занятия: отработать навыки исследования функции с помощью производной.

Содержание работы.
Теория.
Схема исследования функции с помощью производной.
1.Область определения и область значений функции.
2. Четность и нечетность функции: если 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, то функция четная; если13 EMBED Equation.3 1415= -13 EMBED Equation.3 1415, то функция нечетная. Периодичность функции.
3. Точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Первая производная функции. Критические точки.
5. Промежутки возрастания и убывания функции.
6. Точки экстремума и значения функции в этих точках.
7. Исследование поведения функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю13 EMBED Equation.3 1415.
8. Построение графика функции.

Практическая часть.
Пример:
Исследуем функцию 13 EMBED Equation.3 1415 и построим ее график.
Проведем исследование по указанной схеме.
13 EMBED Equation.3 1415 так как 13 EMBED Equation.3 1415 - многочлен.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 не является ни четной, ни нечетной, так как 13 EMBED Equation.3 1415- многочлен.
3) График 13 EMBED Equation.3 1415 пересекается с осью ординат в точке 13 EMBED Equation.3 1415 чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 один из корней которого 13 EMBED Equation.3 1415 легко находится. Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства мы находить не будем.
4) Найдем производную функции 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415поэтому критических точек, для которых 13 EMBED Equation.3 1415 не существует, нет.
Заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415=0, если 13 EMBED Equation.3 1415 т.е. при значениях аргумента, равных 0, -1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки.
Составляем таблицу:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
-1
(-1;0)
0
(0;1)
1
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
+
0
-
0
-
0
+

13 EMBED Equation.3 1415

4

2

0

max

min

В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках. (На каждом таком интервале знак производной не меняется, его можно найти, определив знак производной в какой-либо точке рассматриваемого интервала.) В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции: « 13 EMBED Equation.3 1415 » - возрастает,
« » - убывает, а в четвертой – о виде критических точек. Критическая точка 0 функции 13 EMBED Equation.3 1415 не является точкой экстремума, поэтому в четвертой строке таблицы она не отмечена. Заметим, что вывод о ходе изменения функции на промежутке между критическими точками часто можно сделать, сравнив значения функции на концах этого промежутка (вместо определения знака производной). Например, 13 EMBED Equation.3 1415 поэтому на промежутке (-1;0) функция убывает (и, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 на этом промежутке).
Строим график функции (Рис. №2).
Строить его удобно по промежуткам, которые указаны в таблице. Например, в таблице указано, что 13 EMBED Equation.3 1415 убывает на интервале (0; 1). Функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна в точках 0 и 1 (так как она непрерывна всюду), следовательно, она убывает на отрезке [0; 1]. Поэтому рисуем график убывающим на отрезке [0; 1] от значения 13 EMBED Equation.3 1415 до значения 13 EMBED Equation.3 1415 При этом касательные к графику в точках 0, 13 EMBED Equation.3 1415 должны быть горизонтальными – во второй строке таблицы сказано, что в этих точках производная равна нулю. Аналогично строится график и на остальных промежутках.
Задания для самостоятельного решения
Исследуйте функцию и постройте ее график.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Практическая работа №7
Тема. Исследование функции с помощью производной и построение графика функции.
Цель практического занятия: отработать навыки исследования функции и построения графиков функций.
Содержание работы.
Теория.
Общая схема исследования функций и построения графиков:
1) найти область определения функции;
2) исследовать функцию на четность и нечетность;
3) исследовать функцию на периодичность;
4) найти критические точки первого рода;
5) найти интервалы монотонности и экстремумы
функции;
6) найти критические точки второго рода;
7) найти интервалы выпуклости и точки перегиба;
8) найти асимптоты графика функции;
9) найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно);
10) построить график функции.
Признаки возрастания и убывания функции
Необходимые условия возрастания и убывания функции на интервале.
Теорема 1 (необходимое условие возрастания функции).
Если дифференцируемая функция y=f(х), х((a;b), возрастает на интервале (а;b), то f ’(xo)
·0 для любого xo((a;b).
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теорема 2 (необходимое условие убывания функции).
Если дифференцируемая функция y=f(х), х((a;b), убывает на интервале (а;b), то f ’(xo)
·0 для любого xo((a;b).
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теорема 3 (достаточное условие возрастания функции). Если функция y=f(х), х((a;b), имеет положительную производную в каждой точке интервала (a;b), то эта функция возрастает на интервале ((a;b).
Теорема 4 (достаточное условие убывания функции). Если функция y=f(х), х((a;b), имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (a;b), то эта функция убывает на интервале (a;b).
Экстремумы функции.
Определение 1. Точка xo из области определения функции f(х) называется точкой минимума этой функции, если найдется такая
·-окрестность (xo-
·; xo+
·) точки xo, что для всех х
·xo из этой окрестности выполняется неравенство
f(х)>f(xo).
Определение 2. Точка xo из области определения функции f(х) называется точкой максимума этой функции, если найдется такая
·-окрестность (xo-
·; xo+
·) точки xo, что для всех х
·xo из этой окрестности выполняется неравенство
f(х)Определение 3. Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Необходимые условия существования экстремума.
Теорема Ферма. Если точка xo является точкой экстремума функции у =f(х) и в этой точке существует производная f ’(xo), то f ’(xo)=0.
Определение 4. Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками (первого рода).
Достаточные условия существования экстремума.
Теорема 1 (первое достаточное условие). Пусть функция у =f(х) непрерывна в точке xo и в некоторой ее
· -окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точки xo. Тогда:
1) если производная f ’(xo) при переходе через точку xo меняет знак с плюса на минус, то xo является точкой максим ума;
2) если производная f ’(xo) при переходе через точку xo меняет знак с минуса на плюс, то xo является точкой минимума;
3) если производная f ’(xo) при переходе через точку xo не меняет знак, то в точке xo функция f(х) не имеет экстремума.
Теорема 2 (второе достаточное условие). Если функция у =f(х) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки xo, причем f ’(xo)=0, а f ’’(xo)
·0, то в точке xo функция f(х) имеет максимум, если f ’’(xo)<0, и минимум, если f ’’(xo)>0.
Выпуклость графика функции.
Определение 1. График функции y=f(х), х((a;b), называется выпуклым вверх на интервале (a;b), если график расположен ниже любой касательной, проведенной к графику в точках (a;b).
Определение 2. График функции y=f(х), х((a;b), называется выпуклым вниз на интервале (a;b), если график расположен выше любой касательной, проведенной к графику в точках (a;b).

Теорема 1 (достаточное условие выпуклости графика функции).
Если на интервале (a;b) дважды дифференцируемая функция y=f(х), х((a;b), имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз).
Заметим, что f ’’(xo) может менять свой знак лишь в точках, где она обращается в нуль, или в точках, где f ’’(xo) не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода.
Точки перегиба.
Определение 3. Точка графика непрерывной функции f(х), в которой существует касательная и при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.
В точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2 (необходимое условие существования точки перегиба).
Если функция у =f(х) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на интервале (a;b) и точка (хo;f(хo)), где хo((a;b), является точкой перегиба графика функции f(х), то f ’’(xo)=0.
Теорема 3 (достаточное условие).
Если функция у = f(х), х((a;b), дважды дифференцируема на интервале (a;b) и при переходе через хo((a;b) вторая производная f ’’(xo) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х=xo является точкой перегиба.
Асимптоты кривой.
Определение 1. Прямая у =kх+b называется наклонной асимптотой кривой у=f(х) при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Отсюда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Определение 2. Асимптота, определяемая уравнением y=b, называется горизонтальной асимптотой.
Определение З. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой.
Пример. Построить график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1. Находим область определения: x
·3, x((-(,3)U(3,().
2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Данная функция не является периодической.
4. Найдем производную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Производная у’ обращается в нуль в точках х=0 и х=6 и терпит разрыв при х=3.
5. Этими точками числовая прямая делится на четыре промежутка: -(<х<0, 0 <х <3, 3< х <6 и 6<х <(. Исследуем знак у’ в каждом из них; очевидно, что у’>0 в промежутках -(<х<0 и 6<х <( (в этих промежутках функция возрастает) и у’<0 в промежутках 0< х <3 и З <х <6 (в этих промежутках функция убывает).
При переходе через точку х=0 производная меняет знак с плюса на минус, т. е. это точка максимума, а при переходе через х=6с минуса на плюс, т. е. это точка минимума. Находим ymax=y(0)=0 уmin=у(б)= 12.
б. Находим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при х = 3.
7. В промежутке -(<х <З имеем у” <0, т. е. в этом промежутке кривая выпукла вверх; в промежутке 3< х < ( имеем у” >0, т. е. в этом промежутке кривая выпукла вниз. Точек перегиба нет.
8. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 прямая х=3 является асимптотой графика.
далее находим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Следовательно, прямая у=х+ З является наклонной асимптотой графика.
9. При х=0 получим у=0, т. е. график проходит через начало координат.
10. На основании полученных данных строим график функции.

Задание для выполнения практической работы.
Вариант № 1
Исследуйте следующие функции и постройте их графики:1) y=x3+6x2+9x+8 2)13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вариант № 2
Исследуйте следующие функции и постройте их графики:1) y=2x3-3x2-12x-18 2)13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вариант № 3
Исследуйте следующие функции и постройте их графики:1) y=x3-6x2+16 2)13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вариант № 4
Исследуйте следующие функции и постройте их графики:1) y=2x3+3x2-12x-10 2)13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Практическая работа №8
Тема. Вычисление неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования и методом замены переменной (способом подстановки).
Цель практического занятия: отработать навыки вычисления неопределенного интеграла
методом непосредственного интегрирования и замены переменной (способом подстановки).
Содержание работы.
Теория.
Основные формулы интегрирования. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется первообразной для функции 13 EMBED Equation.3 1415 в промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 если в любой точке этого промежутка ее производная равна 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Отыскание первообразной функции по заданной ее производной 13 EMBED Equation.3 1415 или по дифференциалу 13 EMBED Equation.3 1415 есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.
Совокупность первообразных для функции 13 EMBED Equation.3 1415 или для дифференциала 13 EMBED Equation.3 1415 называется неопределенным интегралом и обозначается символом 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 - подынтегральная функция; 13 EMBED Equation.3 1415 - подынтегральное выражение; С – произвольная постоянная.
Приведем основные свойства неопределенного интеграла.
13 EMBED Equation.3 1415 Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Неопределенный интеграл алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то
13 EMBED Equation.3 1415
Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)
13 EMBED Equation.3 1415
(11.1)

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
(11.2)

13 EMBED Equation.3 1415
(11.3)

13 EMBED Equation.3 1415
(11.4)

13 EMBED Equation.3 1415
(11.5)

13 EMBED Equation.3 1415
(11.6)

13 EMBED Equation.3 1415
(11.7)

13 EMBED Equation.3 1415

(11.8)

13 EMBED Equation.3 1415

(11.9)

13 EMBED Equation.3 1415

(11.10)

13 EMBED Equation.3 1415

(11.11)

13 EMBED Equation.3 1415

(11.12)

13 EMBED Equation.3 1415

(11.13)

Непосредственное интегрирование.
Примеры решения
Найти следующие интегралы:
I. 1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
1. Используя свойство 13 EMBED Equation.3 1415 и формулу (11.2), получим
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка: 13 EMBED Equation.3 1415 Получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.
Используя свойства 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и формулы (11.2) и (11.1), имеем
13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
II. 13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415
Знак абсолютной величины не пишем, так как при любом значении 13 EMBED Equation.3 1415 выражение 13 EMBED Equation.3 1415
III. 13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415
IV. 13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
V. 1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
1). По формуле (11.10) получаем
13 EMBED Equation.3 1415
2). По формуле (11.11) находим 13 EMBED Equation.3 1415
VI. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задания для самостоятельного решения
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 1)13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
Теория.
Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 в интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.
Для нахождения интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 заменяем переменную х новой переменной и с помощью подстановки 13 EMBED Equation.3 1415 Дифференцируя это равенство, получим 13 EMBED Equation.3 1415 Подставляя в подынтегральное выражение вместо х и dx их значения, выраженные через и и dx, имеем
13 EMBED Equation.3 1415
После того как интеграл относительно новой переменной и будет найден, с помощью подстановки 13 EMBED Equation.3 1415 он приводится к переменной х.
Практическая часть.
Примеры вычисления интегралов.
I. Найти следующие интегралы:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
1) Введем подстановку 13 EMBED Equation.3 1415. Дифференцируя, имеем 13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415 Подставив в данный интеграл вместо 3х+2 и dx их выражения, получим
13 EMBED Equation.3 1415
Заменив и его выражением через х, находим
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка: 13 EMBED Equation.3 1415

2) Полагая 13 EMBED Equation.3 1415 имеем 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Значит, 13 EMBED Equation.3 1415

II. Найти следующие интегралы:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Имеем 13 EMBED Equation.3 1415 Положим 13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 1415 Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Положим 13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Значит,
13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
Положим 13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 1415 Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
Полагая 13 EMBED Equation.3 1415 находим 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
Задания для самостоятельного решения
Найдите следующие интегралы:1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415 5) 13 EMBED Equation.3 1415 6)13 EMBED Equation.3 1415
Практическая работа №9

Тема. Вычисление определенного интеграла. Решение прикладных задач.
Цель практического занятия: отработать навыки вычисления определенного интеграла.

Содержание работы.
Теория.
Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: 13 EMBED Equation.3 1415
Для любой функции, непрерывной на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, всегда существует определённый интеграл.
Для вычисления определённого интеграла служит формула Ньютона-Лейбница:
13 EMBED Equation.3 1415
Т. е. определённый интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где a – const.
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Таблица основных интегралов.
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Eq
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Примеры вычисления интегралов.
Вычислить следующие интегралы:
1.13 EMBED Equation.3 1415
2.13 EMBED Equation.3 1415 3.13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415 5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
t=1-cosx
dt=sinxdx

·=1-cos((/2)=1

·=1-cos(=2
Задания для самостоятельного решения.
Вариант № 1
1) 13 EMBED Equation.3 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Вариант № 2
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вариант № 3
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ,
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вариант № 4
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Теория.
При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 преобразуется с помощью подстановки 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 в определенный интеграл относительно новой переменной u. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами интегрирования 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, которые находятся из исходной подстановки.
Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 относительно 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, имеем 13 EMBED Equation.3 1415
Практическая часть.
Примеры вычисления интегралов.
I. 1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
1) Введем новую переменную интегрирования с помощь. Подстановки 2x-1=u. Дифференцируя, имеем 13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415 Находим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение 13 EMBED Equation.3 1415 значения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно получим 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
Положим 5x-1=u; тогда 5dx= du, dx = (1/5)du. Вычисляем новые пределы интегрирования: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
Положим 13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Вычисляем новые пределы интегрирования: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415
Преобразуем подкоренное выражение: 13 EMBED Equation.3 1415. Положим 13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415 Найдем новые пределы интегрирования: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415

Задания для самостоятельного решения.
Вычислите с помощью подстановок следующие определенные интегралы:
I. 1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
II. 1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415
III. 1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415

Теория.
Вычисление площади плоской фигуры
1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной
кривой y=f(x), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=в,
где 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
2. Если криволинейная трапеция, ограниченная
кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=в, лежит
под осью Ох,то площадь находится по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
3. Если фигура ограничена двумя пересекающимися
кривыми 13 EMBED Equation.3 1415и прямым х=а и х=в,
где13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415тогда площадь находится
по формуле 13 EMBED Equation.3 1415
Примеры.
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями : а) x-2y+4=0, x+y-5=0, y=0.
Решение. Построим фигуру, площадь которой нужно вычислить.
Построим прямую х-2у+4=0 по двум точкам А(-4;0) и В(0;2)Б а прямую х+у-5=0 по точкам С(5;0) и D(0;5)
Найдём точку пересечения прямых, решив систему уравнений 13 EMBED Equation.3 1415=> М(2;3). Для вычисления искомой площади разобьём треугольник АМС на два треугольника AMN NMC и вычислим площадь каждого из них
13 EMBED Equation.3 1415(кв.ед)
13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 и у=0.
Выполним построение фигуры. Искомая площадь заключена между параболой13 EMBED Equation.3 1415
и осью Ох. Найдём точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у=0, найдём х=±2.
Вычислим площадь получившейся фигуры
13 EMBED Equation.3 1415

в) 13 EMBED Equation.3 1415 и y=2x
Данная фигура ограничена параболой 13 EMBED Equation.3 1415 и прямой y=2x .
Для определения точек пересечения заданных линий
решим систему уравнений 13 EMBED Equation.3 1415 откуда находим
х=0 и х=2. Тогда искомая площадь находится по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Задание для выполнения практической работы.
Вариант № 1 Вариант № 2
1. x-y+3=0, x+y-1=0, y=0 1. x-2y+4=0, x+2y-8=0
2. y=2x-x2, y=-1/2x+1 2. y=6x-x2+7, y=x+1

Вариант № 3 Вариант № 4
1. x-2y+4=0, x+y-5=0, y=0 1. x-y+2=0, x+2y-3=0,y=0
2. y=8-2x-x2, y=2x+4 2. y=x2+1, y=x+3

Практическая работа №10

Тема. Выполнение действий над комплексными числами.
Цель практического занятия: отработать навыки выполнения действий над комплексными числами.
Содержание работы.
Теория.
Комплексным числом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется число вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – действительные числа, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – так называемая мнимая единица. Число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется действительной частью ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) комплексного числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется мнимой частью ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) комплексного числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или переставить мнимую единицу: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- это и есть алгебраическая форма комплексного числа.

Сложение комплексных чисел
Пример 1. Сложить два комплексных числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Вычитание комплексных чисел
Пример 2
Найти разности комплексных чисел [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Для наглядности ответ можно переписать так: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Рассчитаем вторую разность:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Здесь действительная часть тоже составная: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Умножение комплексных чисел
Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 3
Найти произведение комплексных чисел [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Очевидно, что произведение следует записать так:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Деление комплексных чисел
Пример 4. Даны комплексные числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найти частное [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Составим частное:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Вспоминаем бородатую формулу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и смотрим на наш знаменатель: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. В знаменателе уже есть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], поэтому сопряженным выражением в данном случае является [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то есть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (помним, что[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и не путаемся в знаках!!!).
Распишу подробно:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Для любителей порешать приведу правильный ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Редко, но встречается такое задание:
Пример 5
Дано комплексное число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]).
Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. В знаменателе уже есть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то есть на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример 6. Задание для самостоятельного решения
Даны два комплексных числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найти их сумму, разность, произведение и частное.

·Геометрическая интерпретация. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] обозначает в точности множество действительных чисел [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то есть на оси[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] является подмножеством множества комплексных чисел [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.
Числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В числах [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.
Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.
Любое комплексное число (кроме нуля) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] можно записать в тригонометрической форме: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – это модуль комплексного числа, а [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – аргумент комплексного числа.
Изобразим на комплексной плоскости число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Модулем комплексного числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.
Модуль комплексного числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] стандартно обозначают: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».
Аргументом комплексного числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется угол [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] между положительной полуосью действительной оси [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Рассматриваемый принцип фактически схож с [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.
Аргумент комплексного числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] стандартно обозначают: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.
Пример 7 Представить в тригонометрической форме комплексные числа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Выполним чертёж:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Тригонометрическая форма записи комплексного числа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.
1) Представим в тригонометрической форме число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Формальный расчет по формуле: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Очевидно, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Ясно, как день, обратное проверочное действие: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2) Представим в тригонометрической форме число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Формальный расчет по формуле: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Очевидно, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3) Представим в тригонометрической форме число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Формальный расчет по формуле: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Очевидно, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Проверка: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Формальный расчет по формуле: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (270 градусов), и, соответственно: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Проверка: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – это один и тот же угол.
Таким образом, запись принимает вид: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. При этом возможны три варианта (их полезно переписать к себе в тетрадь):
1) Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2) Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
3) Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

Пример 8
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Представим в тригонометрической форме число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдем его модуль и аргумент.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Поскольку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (случай 2), то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] в тригонометрической форме.
Перечертите чертеж в тетрадь и измерьте линейкой расстояние от начала координат до числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Вы убедитесь, что действительно [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Также транспортиром можете измерить угол и убедиться, что действительно [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Представим в тригонометрической форме число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдем его модуль и аргумент.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Поскольку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (случай 1), то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (минус 60 градусов).
Таким образом: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] в тригонометрической форме.
А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.
Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – это в точности табличный угол [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (или 300 градусов):[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] в исходной алгебраической форме.
Числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] представьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.
В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.
Любое комплексное число (кроме нуля) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] можно записать в показательной форме:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – это модуль комплексного числа, а [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – аргумент комплексного числа.
Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Например, для числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] в показательной форме будет выглядеть так: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – так: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
И т.д.
Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

Возведение комплексных чисел в степень
Начнем со всем любимого квадрата.
Пример 9
Возвести в квадрат комплексное число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.
Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]?
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то при его возведении в натуральную степень [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] справедлива формула:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 10
Дано комплексное число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], найти [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Тогда, по формуле Муавра:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Один оборот составляет [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] радиан или 360 градусов. Выясним сколько оборотов в аргументе [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Для удобства делаем дробь правильной: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Надеюсь всем понятно, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – это один и тот же угол.
Таким образом, окончательный ответ запишется так:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).
Хотя [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – ни в коем случае не ошибка.

Пример 11.Задание для самостоятельного решения
Дано комплексное число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], найти [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.
Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.
Пример 12
Возвести в степень комплексные числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.
Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 13.Задание для самостоятельного решения
Возвести в степень комплексные числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Извлечение корней из комплексных чисел.Квадратное уравнение с комплексными корнями
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Действительно ли найденные корни являются решением уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]? Выполним проверку:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Что и требовалось проверить.
Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.
Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.
Пример 14
Решить квадратное уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Вычислим дискриминант:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах![ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
По известным школьным формулам получаем два корня:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – сопряженные комплексные корни
Таким образом, уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет два сопряженных комплексных корня: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение!
И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет ровно [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] корней, часть из которых может быть комплексными.
Простой пример для самостоятельного решения:
Пример 15. Задание для самостоятельного решения
Найти корни уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и разложить квадратный двучлен на множители.
Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле.
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?
Рассмотрим уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], или, то же самое: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] получается квадратный корень [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Уравнение вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет ровно [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] корней [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], которые можно найти по формуле:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – это модуль комплексного числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – его аргумент, а параметр [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] принимает значения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 16
Найти корни уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Перепишем уравнение в виде [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В данном примере [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], поэтому уравнение будет иметь два корня: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Общую формулу можно сразу немножко детализировать:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] располагается в первой четверти, поэтому:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.
Еще более детализируем формулу:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось.
Подставляя в формулу значение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], получаем первый корень:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Подставляя в формулу значение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], получаем второй корень:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.
И напоследок рассмотрим задание - «хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 17. Задание для самостоятельного решения
Найти корни уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Практическая работа №11
Тема. Вычисление перестановок, размещений и сочетаний.
Цель практического занятия: отработать навыки вычисления перестановок, размещений и сочетаний.

Содержание работы.
Теория.
Общие правила комбинаторики.
Комбинаторные задачи бывают самых разных видов, но большинство задач решаются с помощью двух основных правил правила суммы и правила произведения. Часто удается разбить все изученные комбинации на несколько классов, причем каждая комбинация входит в один и только в один класс. Ясно, что в этом случае общее число комбинаций равно сумме чисел комбинаций во всех классах. Итак, если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А», »либо В» можно осуществить m+n способами. Это утверждение называют правилом суммы. При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-нибудь способом выбора объекта В. Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем m+n-k способов выбора, где k число совпадений.
Второе правило, называемое правилом произведения, несколько сложнее.
Часто при составлении комбинаций из двух элементов известно, сколькими способами можно выбрать первый элемент, сколькими способами второй, причем число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.
Пусть первый элемент можно выбрать m способами, а второй n способами. Тогда пару этих элементов можно выбрать mn способами.
Правило умножения:
Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.
Сложнее решаются комбинаторные задачи, в которых число выборов после каждого шага зависит от того, какие элементы были выбраны на предыдущих шагах.
Пример такой задачи. Задача о домино:
Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (то есть, чтобы какое-то число очков встречалось на обеих костях)?
Решение.
Сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами. При этом в семи случаях выбранная кость окажется «дублем», то есть костью вида 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, а в 21 случае костью с различными числами очков (например, 05 13 и т.д.). В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами (например, если на первом шаге выбрана кость 11, то на втором шаге можно взять одну из костей 01, 12, 13, 14, 15, 16). Во втором же случае вторую кость можно выбрать 12 способами (для кости 35 подойдут кости 03, 13, 23, 33, 34, 36, 05, 15, 25, 45, 55, 56). По правилу произведения в первом случае получаем 7(6 = 42 . а во втором 21(12 = 252 выбора. Значит, по правилу суммы получаем 42+252 = 294 способа выбора пары.
В проведенном рассуждении учитывался и порядок, в котором выбирались кости. Поэтому каждая пара костей появлялась дважды (например, первый раз 01 и 16. а второй раз 16 и 01). Если не учитывать порядок выбора костей, то получим вдвое меньше способов выбора, то есть 147 способов.

Перестановки.
Сколькими способами можно расположить в ряд элементов?
Без нарушения общности можно считать, что переставляемыми элементами являются числа натурального ряда 1,2..... n. Рассмотрим сначала частные случаи. При n=2 имеются две перестановки (1,2) и (2,1). При n=3, очевидно, имеется шесть перестановок (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). При n=4. не перебирая все перестановки, проведем следующее рассуждение. На первом месте может находиться один из четырех элементов. При каждом выборе первого элемента остальные три во всевозможных порядках занимают остальные три места, так что существует шесть различных перестановок при фиксированном первом элементе. Следовательно, общее число перестановок равно 6(4 = 24. Это рассуждение имеет общий характер.
Обозначим через Pn-1 число перестановок (n-1) элементов и через Pn число перестановок n элементов. В каждой перестановке n элементов на первом месте может оказаться один из элементов 1,2,n, так что имеется n возможностей выбора первого элемента. При каждом из них для оставшихся n-1 элементов имеется возможностей расположений на остальных n-1 местах, ибо эти расположения отличаются только порядком элементов. Пришли к соотношению Pn-1 = n(Pn, откуда последовательно получаем, исходя P2=2, что P3=3(2=3!, P4=4(P3=4(3(2=4!, P5=5! и т.д. Допустив, что
Pn-1=(n-1)!,
получим, что Pn-1 = n(Pn=n!
Размещения.
Сколькими способами можно выбрать и расположить в ряд m элементов из данного множества, содержащего n элементов?
Такие расстановки, состоящие из m элементов, выбранных из данных n элементов, и отличающиеся либо самими элементами, либо их порядком, либо и тем и другим, называются размещениями, а их число принято обозначать символом
13 EMBED Equation.3 1415 (читается «А из n по m»).
Например, из четырех элементов 1,2,3,4 (n=4) можно составить 12 размещений по 2 элементам (m=2):
(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,3), (3,2), (2,4), (4,2), (3,4), (4,3).
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415=12. Как же вычислить 13 EMBED Equation.3 1415? Возьмем все перестановки из n элементов и «вырежем» в каждой из них первые m элементов, отбросив остальные n-m элементов. Останутся размещения из n элементов по m, но каждое размещение встретится столько раз, сколько перестановок можно составить из отброшенных n-m элементов, т.е. Pn-m раз.
Таким образом, число размещений из n по m в Pn-m раз меньше числа перестановок n элементов, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Можно рассуждать иначе. Все перестановки n элементов можно построить, используя размещения из этих n элементов по m. Присоединим к каждому из размещений элементы, не вошедшие в размещение. При этом каждое размещение дает Pn-m перестановок n элементов по числу способов, которыми можно расположить в ряд оставшиеся n-m элементов. Таким образом, число перестановок n элементов в Pn-m раз больше, чем число размещений из n элементов по m, т.е.
Pn= 13 EMBED Equation.3 1415Pn-m , откуда следует уже выведенная формула числа размещений из n по m.
Сочетания.
Сколькими способами из множества, содержащего n элементов, можно выбрать подмножество, составленное из m элементов? Такие подмножества, которые различаются только набором элементов без учета их взаимного расположения, называются сочетаниями. Например, из четырех элементов 1.2.3.4 можно составить шесть сочетаний по два: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {3,4}. Фигурные скобки здесь подчеркивают отличие сочетаний от размещений. Размещения (1,3) и (3,1) считаются различными, хотя и составлены из одних и тех же элементов, а {1,3} и {3,1} считаются одним и тем же сочетанием.
Число сочетаний из n элементов по m обозначается символом
13 EMBED Equation.3 1415, например 13 EMBED Equation.3 1415.
Сочетания тесно связаны с размещениями. Действительно, если в каждом размещении отвлечься от порядка составляющих его элементов, т.е. не различать размещения, отличающиеся только порядком элементов, то мы получим все сочетания. Обратно, если в каждом сочетании выполнить всевозможные перестановки, то получатся все размещения. Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415( Pn
Если подставить в эту формулу вместо 13 EMBED Equation.3 1415 и Pn их значения, то получим
13 EMBED Equation.3 1415
Пример.
Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 членов, можно образовать из 17 преподавателей?
Решение.
Очевидно, столько, сколько существует семиэлементных подмножеств у четырнадцати элементного множества, то есть
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 3432.
Пример.
Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1. 2. 3. 4. 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются.
Решение.
Для того чтобы число, составленное из заданных цифр, делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5! = 120
Ответ: 120.
Пример.
Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «задача»?
Решение.
Образовать какую-либо перестановку из букв слова «задача» - это значит на шесть занумерованных мест каким-нибудь образом поставить одну букву «з», одну букву «д», одну букву «ч» и три буквы «а». Если буквы «з», «д» и «ч» как-то поставлены, то остальные места заполняются буквами «а». Очевидно, что число способов, сколькими можно поставить три различные буквы на шесть мест равно числу всех трёхэлементных упорядоченных подмножеств шестиэлементного множества, т.е. равно 13 EMBED Equation.3 1415 =6 5 4=120.
Задание для выполнения практической работы.
Вариант № 1
1. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть им поставлены отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки?
2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фацетия» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?
3. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант № 2
1. Сколькими способами можно разбить m+n+p предметов на три группы так, чтобы в одной было m в другой n, а в третьей p предметов?
2. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?
3. Найти n 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант № 3
1. На полке находятся m+n различных книг, из которых m в черных переплетах, а n - в красных. Сколько существует перестановок этих книг, при которых книги в черных переплетах занимают первые m мест’? Сколько положений, в которых все книги в черных переплетах стоят рядом?
2. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?
3. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант № 4
1. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5 полками, если каждая полка может вместить все 20 книг?
2. Сколькими способами можно переставить буквы слова «опосуум» так, чтобы буква «п» шла непосредственно после буквы «о»?
3. Найти n 13 EMBED Equation.3 1415

Практическая работа №12
Тема. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей.
Цель практического занятия: использовать теоремы сложения вероятностей для решения простейших задач.
Содержание работы.
Теория.
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т. е.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Теорема 2. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий А1, А2, ..., Аn, равна сумме вероятностей этих событий, т. е.
Р(А1+А2+ ... +An) = Р(А1)+Р(А2)+... +Р(Аn).
Теорема 3. Если события А и В совместны, то вероятность их суммы выражается формулой
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)Р(АВ).
т. е. вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения (совместного осуществления).
Пример. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.
Обозначим события: А «выпадение шести очков при бросании первой игральной кости»; В«выпадение шести очков при бросании второй игральной кости». Так как события А и В совместны, то Р(А+В)=Р(А)+ Р(В)Р(АВ).
Но Р(А)== 1/6, Р(В)= 1/6 и Р(АВ)= 1/36, поэтому Р(А+В)=1/6+1/6-1/36=11/36
Следствие 1. Если события А1, А2, ..., Аn образуют полную систему попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.
Р(А1)+ Р(А2)+... + Р(Аn)= 1.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.
Р(А)+Р(
·)=1.
Пример. В ящике 40 деталей: 20первого сорта, 15второго сорта, 5третьего сорта. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь окажется не третьего сорта (событие А).
Первый способ.
Событие А наступит, если извлеченная наугад деталь окажется либо первого сорта (событие В), либо второго сорта (событие С), т. е. событие А есть сумма несовместных событий В и С. Поэтому, применяя теорему 1, получим Р(А) = Р(В + С) = Р(В) + Р(С) =20/40+15/40= 35/40=7/8
Второй способ.
Из условия задачи Р(
·) = 5/40= =1/8. Согласно следствию 2 Р(А)=1-Р(
·)=1-1/8=7/8
Определение. Условной вероятностью события В при условии А называется отношение 13 EMBED Equation.3 1415 вероятности произведения событий А и В к вероятности события А при Р(А)
·0.
Таким образом, по определению Р(В|А) =13 EMBED Equation.3 1415
Теорема 4. Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.
Р(А1+А2+ ... +An) = Р(А1)Р(А2|А1)Р(А3|А1А2)...Р(Аn|А1А2А(N-1)).
Пример. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5второго сорта и 3-третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие А1), вторая детальвторого сорта (событие А2) и третья детальтретьего сорта (событие А3).
Очевидно, что Р(А1)=7/15, Р(А2|А1)=5/14 и Р(А3|А2А3)=3/13.
По формуле находим Р(А1А2А3) = Р(А1) Р(А2|А1) Р(А3|А2А3)=7/15
·5/14
·3/13=1/26.
Определение. Событие В называется независимым от события А, если условная вероятность события В при условии А равна вероятности события В, т. е. если Р(B|А)=Р(В) при Р(А)
·0. Если же Р(B|А)
·Р(В), то событие В называется зависимым от события А.
Пример. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна Р(А) =90/100 = 0,9. Вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В) зависит от результата первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то Р(В|А) = 89/99 если же событие А не произошло, то Р(В|
·)=90/99 = 10/11. Следовательно, события А и Взависимые.
Теорема 5. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т. е.
Р(АВ) = Р(А)
·Р(В).
Определение. События А1, А2, ..., Аn, (n>2) называются попарно независимыми, если независимых любые два из них.
Определение. События А1, А2, ..., Аn, (n>2) называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и событие, равное произведению любого числа остальных событий, независимы.
Пример. В урне имеются 4 шара: красный, желтый, зеленый и один шар, имеющий все эти три цвета. Из урны извлекается один шар. Исследовать на независимость события:
А «извлеченный шар имеет красный цвет»,
В «извлеченный шар имеет желтый цвет»,
С «извлеченный шар имеет зеленый цвет».
Так как возможны всего 4 исхода я каждому из событий А, В и С благоприятствуют два исхода (один и тот же цвет имеется только на двух шарах), то
Р(А) = Р(В) = Р(С) =2/4=1/2.
Событию АВ «извлеченный шар имеет красный и желтый цвета» благоприятствует лишь один исход (один шар имеет все три цвета). Поэтому
Р(АВ) = 1/4 = 1/2
·1/2 = Р(А)
·Р(В), следовательно, события А и В независимы. Аналогично доказывается независимость событий А и С, В и С, т. е. события А, В и С попарно независимы. Однако, так как Р(АВС)=1/4 и Р(А)
·Р(В)
·Р(С)=1/8, то Р(АВС)
· Р(А)
·Р(В)
·Р(С),
т. е. события А, В и С не являются независимыми в совокупности.
Определение. Пусть событие А может произойти только с одним из событий Н1, H2,,Нn, образующих полную систему попарно несовместных событий. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:
Р(А) =Р(H1)
·Р(А|Н1)+Р(Н2)
·Р(А|Н2)++Р(Нn)
·Р(А|Нn),
Или Р(А)= 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле р1=0.5, при второмр2=0.6, при третьемр3=0.8. При одном попадании вероятность поражения цели равна 0.4, при двух0.7, при трех1.0. Найти вероятность поражения цели при трех выстрелах.
Обозначим события:
А«поражение цели при трех выстрелах»,
Н1«одно попадание»,
Н2«два попадания»,
Н3«три попадания»,
Н4«ни одного попадания».
Согласно формуле полной вероятности (1)
Р(А) =Р(H1)
·Р(А|Н1)+Р(Н2)
·Р(А|Н2)+Р(Н3)
·Р(А|Н3)+Р(Н4)
·Р(А|Н4).
Из условия задачи имеем Р(А|Н1)=0.4, Р(А|Н2)=0.7, Р(А|Н3)=1.0, Р(А|Н4)=0.
Вычислим вероятности событий Н1, Н2, Н3, Н4. Подчеркнем, что если р1, р2, р3соответственно вероятности попаданий при первом, втором и третьем выстрелах, то 1-р1, 1-р2, 1-р3соответственно вероятности промахов при тех же выстрелах. Следовательно,
Р(Н1) =р1 (1-р2)(1-р3)+(1-р1)р2(1-р3)+(1-р1)(1-р2)р3
==0.5
·0.4
·0.2+ 0.5
·0.6
·0.2+0.5
·0.4
·0.8=0.26,
Р(Н2) =р1р2(1-р3) + р1(1 р2)р3 + (1-р1)р2р3 =
=0.5
·0.6
·0.2+0.5
·0.4
·0.8+0.5
·0.6
·0.8=0.46,
Р(Н3) = р1р2р3 = 0.5
·0.6
·0.8 = 0.24,
Р(Н4)=(1р1)(1р2)(Iр3)=0.5
·0.4
·0.2==0.04.
Подставив полученные значения вероятностей в равенство (2), найдем
Р(А)=0.26
·0.4+0.46
·0.7+0.24
·1+0.04
·0=0.666.
Определение. Испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из этих испытаний не зависит от результата, полученного в других испытаниях.
Для вычисления вероятности что, в n независимых испытаниях событие А произойдет m раз, используется формула Бернулли.
13 EMBED Equation.3 1415
Пример. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых.
Вероятность появления белого шара в каждом испытании равна р=15/20= 3/4, а вероятность непоявления белого шара равна g=1р=1/4. По формуле Бернулли находим
13 EMBED Equation.3 1415
Определение. Случайной называется величина, которая в результате опыта принимает с определенной вероятностью то или иное значение, зависящее от исхода опыта. Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита: Х, Y,Z и т. д., а их значения соответствующими строчными буквами: х, y, z и т. д.
Определение. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, т. е. множество ее значений представляет собой конечную последовательность х1, х2, ..., xn или бесконечную последовательность х1, х2, ..., хn,... Вероятность того, что случайная величина Х примет значение х, обозначают
Р(х)=Р(Х=х).
Определение. Соответствие между возможными значениями х1, х2, ..., xn случайной величины Х и их вероятностями р1, р2, ..., рn называется законом распределения случайной величины Х.
Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы

X
х1
х2

xi

хn

p
p1
p2

pi

pn

События Х=х1, Х=х2, ..., Х=хn образуют полную систему попарно несовместных событий, поэтому сумма их вероятностей равна единице p1+p2++pn=1
Пример. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Хчисла очков, выпадающих при бросании правильной игральной кости, имеет вид, заданный таблицей.
X
1
2
3
4
5
6

p
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6

Определение. Закон распределения случайной величины Х, имеющий вид, заданный таблицей
называется биномиальным распределением.

X
0
1
2

m

n

p
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Пример. Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.
Случайная величина Хчисло попаданий в цель при четырех выстрелах может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, а соответствующие им вероятности находим по формуле Бернулли:
Р(Х=0)= 13 EMBED Equation.3 1415 =0.0001;
Р(Х=1)= 13 EMBED Equation.3 1415=0.0036;
Р(Х=2) = 13 EMBED Equation.3 1415=0.0486;
Р(Х=3)= 13 EMBED Equation.3 1415=0.2916;
Р(Х= 4)= 13 EMBED Equation.3 1415=0.6561.

Итак, искомый закон распределения имеет вид
X
0
1
2
3
4

p
0.0001
0.0036
0.0486
0.2916
0.6561

Задание для выполнения практической работы.
1. Вычислить вероятность указанного события.
2. Построить ряд распределения для случайной величины х, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1
·х
·2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).
Вариант № 1
В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что автомат не выйдет из строя в течение часа, равна 0.95, для полуавтомата эта вероятность равна 0.8. Студент производит расчет на машине, выбранной наудачу. Найти вероятность того, что машина в течение часа не выйдет из строя.
Вероятность попадания в цель для данного стрелка при одном выстреле равна 0.6. Стрелок делает 5 выстрелов по мишени. Случайная величина х– число попаданий.
Вариант № 2
При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки в количествах пропорциональных 1:3:6. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0.9, средний – 0.3, мелкий – 0.1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?
Охотник, имеющий в запасе 5 патронов, стреляет в зверя до первого попадания. Случайная величина х– число произведенных выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0.7.
Вариант № 3
В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Испытываются 6 приборов на надежность. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0.5. Каждый следующий прибор испытывают только, если предыдущий выдержал испытание. Случайная величина х– число испытанных приборов.
Вариант № 4
В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без оптического прицела – 0.7; найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
Три баскетболиста делают по одному броску в кольцо. Вероятности попадания для них равны соответственно 0.3, 0.5, 0.7. Случайная величина х– суммарное число попаданий.

Список рекомендуемой литературы

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2009.
2. Клименко Ю.И. Высшая математика для экономистов в примерах и задачах.-2-е изд. – М.: «Экзамен», 2008.
3. Никольский С.М. Элементы математического анализа. – М.: Просвещение, 2008.
4. Омельченко В. П., Математика: учебное пособие / Омельченко В. П., Курбатова Э. В. – Ростов н/Д.: Феникс, 2008.
5. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие / Кремер Н.Ш., Тришин И.., Путко Б.А. и др.; Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.
6. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие. Под редакцией В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2008.
7. Интернет – ресурсы
И-Р 1 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
И-Р 2 www.mathematics.ru
И-Р 3 http://festival.1september.ru
И-Р 4 http://www.fepo.ru

13 PAGE \* MERGEFORMAT 146215

у

Х

О

а

в

Y=f(x)

S

О

У

Х

а

в

Y=f(X)

О

У

Х

Y=f2(x)

Y=f1(x)

a

b

У

Х

О

2

А(-4;0)

М(2;3)

С(5;0)

N(2;0)

13 EMBED Equation.3 1415

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native3Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native3Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native4 Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native5Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeКомплексные числа на осяхEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native