Методические рекомендации для обучающихся по выполнению практических занятий по учебной дисциплине ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика
Рабочая программа
Департамент образования Ямало-Ненецкого автономного округа
Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Ноябрьский колледж профессиональных и информационных технологий» Ямало-Ненецкого автономного округа
Методические рекомендации для обучающихся
по выполнению практических занятий
по учебной дисциплине
ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика
по специальности СПО
230115 Программирование в компьютерных системах
(углубленной подготовки)
2013г.
Разделы содержания
С.
Введение
Общие методические указания по выполнению практических занятий
Требования к результатам выполнения практических занятий
Перечень практических занятий
Практическое занятие № 1 Решение задач на расчёт количества выборок.
Практическое занятие № 2 Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности
Практическое занятие № 3 Вычисление вероятностей сложных событий
Практическое занятие № 4 Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли
Практическое занятие № 5 Решение задач на запись распределения ДСВ. График. Свойства числовых характеристик ДСВ
Практическое занятие № 6 Вычисление характеристик ДСВ. Вычисление (с помощью свойств) характеристик функций от ДСВ
Практическое занятие №7, 8 Биномиальное распределение. Геометрическое распределение. Решение задач на формулу геометрического определения вероятности
Практическое занятие № 9 Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения
Практическое занятие № 10 Вычисление вероятностей для нормально распределенной величины (или суммы нескольких нормально-распределенных величин); вычисление вероятностей и нахождение характеристик для показательно распределенной величины. Система двух случайных величин
Практическое занятие № 11, 12 Построение для заданной выборки ее графической диаграммы; расчёт по заданной выборке её числовых характеристик. Интервальное оценивание математического ожидания нормального распределения; интервальное оценивание вероятности события
Практическое занятие №13 Расчёт коэффициента корреляции. Анализ значимости коэффициента корреляции
Практическое занятие №14 Метод наименьших квадратов. Составление уравнения линейной регрессии. Проверка адекватности модели.
Практическое занятие № 15 Запись матрицы достижимости и построение диаграммы Герца для ориентированного графа; решение задач на бинарные деревья
Список литературы
Контроль и оценка результатов выполнения практических занятий
Введение
Методические рекомендации для обучающихся по выполнению практических занятий по дисциплине составлены в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом, рабочим учебным планом, рабочей программой и календарно-тематическим планом учебной дисциплины ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика
по специальности среднего профессионального образования 230115 Программирование в компьютерных системах (углубленной подготовки).
Практические занятия относятся к основным видам учебных занятий и составляют важную часть практической подготовки будущих специалистов.
Ведущей дидактической целью предлагаемых практических заня тий является закрепление теоретических знаний по дисциплине, формирование практических умений, способствующих формированию общих и профессиональных компетенций, необходимых в последующей профессиональной деятельности.
В соответствии с ведущей дидактической целью содержанием практических занятий являются: решение математических задач, анализ полученного решения, сравнения методов решения, определение границ их применения, работа с Интернет-ресурсами, составление простейших программ с использованием ПК, проведение простейших исследовательских работ.
Задачами выполнения практических занятий являются:
- обобщение, систематизация, углубление, закрепление полученных теоретических знаний по конкретным темам дисциплины;
- формирование умений применять полученные знания на практике, реализацию единства интеллектуальной и практической деятельности;
- развитие интеллектуальных умений у будущих специалистов: аналитических, проектировочных, конструктивных и др.;
- совершенствование умений и навыков самостоятельной работы с научной, справочной, методической литературой, Интернет-ресурсами и другой информацией, необходимой для повышения эффективности профессиональной деятельности, профессионального самообразования и саморазвития;
- формирование творческого подхода к составлению алгоритмов решения математических задач;
- формирование у студентов навыков исследовательской деятельности;
- выработка при решении поставленных задач таких профессионально значимых качеств, как самостоятельность, коммуникабельность, мобильность, конкурентоспособность, ответственность, точность, творческая инициатива.
В методических рекомендациях представлены 17 тем практических занятий, которые включают цели, средства обучения, содержание, алгоритм выполнения, методические указания к их выполнению, контрольные вопросы, список рекомендуемой литературы, критерии оценивания работы студентов на практических занятиях, контроль и оценка результатов выполнения практических занятий по дисциплине.
Предлагаемые практические занятия носят репродуктивный, частично-поисковый и поисковый характер. Формами организации студентов на практических занятиях являются: фронтальная, групповая и индивидуальная.
При самостоятельной подготовке студентов к практическим занятиям предусматривается изучение рекомендуемой литературы.
В ходе практических занятий студенты в тетрадях для выполнения практических работ записывают задания, решают предложенные задания и проводят анализ их решения. Отдельные задания выполняются на ПК, отчеты предоставляются в электронном виде.
Общие методические указания по выполнению практических занятий
При самостоятельной подготовке к практическим занятиям необходимо составить план работы, повторить лекционный материал, при необходимости подобрать дополнительную литературу.
Для практических занятий студенту необходимо завести тетрадь, где на первой странице указываются фамилия, инициалы студента, название изучаемой дисциплины, на второй указывается перечень выполняемых заданий. Оформлять выполненные задания следует аккуратно, не нарушая логики решения задания.
В ходе практических занятий студенты в тетрадях для выполнения практических работ записывают задания, выполняют их в соответствии с целями, предложенными алгоритмом и критериями, заносят данные о выполнении, результаты выполненной работы и их анализ.
При подготовке к выступлению на практических занятиях необходимо заблаговременно продумать возможность использования наглядного материала (схем, плана, видеозаписи, конспектов, презентации и др.), который поможет студенту проиллюстрировать свой доклад.
Оценки за выполнение практических занятий выставляются по пятибалльной системе и учитываются как показатели текущей успеваемости студентов.
Правила подготовки к практическим занятиям
При подготовке к практическим занятиям студент должен:
повторить теоретический материал по теме практического занятия;
уметь составлять план решения задачи, анализировать процесс решения;
уметь делать выводы, умозаключения, оформлять результаты работы в соответствии с требованиями.
Требования к результатам выполнения практических занятий
по дисциплине ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика
В процессе подготовки и выполнения практических занятий, обучающиеся должны овладеть следующими умениями:
применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач;
пользоваться расчетными формулами и таблицами, графиками при решении статистических задач;
применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа.
знаниями:
основные понятия комбинаторики;
основы теории вероятностей и математической статистики;
основные понятия теории графов.
Перечень практических занятий
Таблица 2
№ занятия
Тема
Количество часов
1.
Решение задач на расчёт количества выборок.
4
2.
Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности
4
3.
Вычисление вероятностей сложных событий
6
4.
Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли
2
5.
Решение задач на запись распределения ДСВ. График. Свойства числовых характеристик ДСВ
2
6.
Вычисление характеристик дискретных случайных величин (ДСВ). Вычисление (с помощью свойств) характеристик функций от ДСВ
4
7, 8
Биномиальное распределение. Геометрическое распределение. Решение задач на формулу геометрического определения вероятности
8
9.
Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения
4
10.
Вычисление вероятностей для нормально распределенной величины (или суммы нескольких нормально-распределенных величин); вычисление вероятностей и нахождение характеристик для показательно распределенной величины. Система двух случайных величин
4
11, 12
Построение для заданной выборки ее графической диаграммы; расчёт по заданной выборке её числовых характеристик. Интервальное оценивание математического ожидания нормального распределения; интервальное оценивание вероятности события
4
13.
Расчёт коэффициента корреляции. Анализ значимости коэффициента корреляции
4
14.
Метод наименьших квадратов. Составление уравнения линейной регрессии. Проверка адекватности модели
2
15.
Запись матрицы достижимости и построение диаграммы Герца для ориентированного графа; решение задач на бинарные деревья
2
Итого
50
Практическое занятие № 1
Тема: Решение задач на расчет количества выборок
Цель: Научиться вычислять вероятности случайных событий
Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.
Содержание и порядок выполнения работы:
1. Рассмотрите теоретический материал по теме.
2. Законспектируйте методику решения типовых задач.
3. Рассмотрите примеры решения типовых задач.
4. Решите задачи.
Контрольные вопросы:
Понятие вероятности случайного события.
Понятия перестановки, размещения, сочетания.
Вероятность случайных событий. Непосредственный подсчет вероятности.
Под вероятностью случайного события понимается число, характеризующее степень возможности появления события. При этом вероятность невозможного события принимается равной нулю, а вероятность достоверного события равной единице. Этим ограничивается диапазон изменения вероятности случайного события:
13 EMBED Equation.3 1415 .
Классическое определение вероятности основано на представлении случайного события как результата (исхода) некоторого воображаемого или фактического опыта (испытания), повторяющегося любое число раз. Эта теоретическая модель лежит в основе непосредственного подсчета вероятности случайного события.
Вероятностью случайного события 13 EMBED Equation.3 1415 называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов 13 EMBED Equation.3 1415 к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов 13 EMBED Equation.3 1415, образующих полную группу:
13 EMBED Equation.3 1415 . (1)
Для определения количества исходов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 часто приходится использовать формулы комбинаторики. Комбинаторика изучает количество комбинаций из элементов определенной природы заданного конечного множества.
Перестановки - комбинации из одних и тех же элементов, которые различаются только порядком их расположения. Число перестановок определяется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415 , (2)
где 13 EMBED Equation.3 1415 - количество элементов в комбинации.
Например: Сколькими способами можно распределить 5 объектов работы между 5 бригадами электромонтажников?
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 .
Размещения - комбинации из 13 EMBED Equation.3 1415 различных элементов по 13 EMBED Equation.3 1415 элементов, отличающихся либо составом, либо порядком. Число размещений из 13 EMBED Equation.3 1415 по 13 EMBED Equation.3 1415 определяется как:
13 EMBED Equation.3 1415 . (3)
Например: Имеется 10 электродвигателей, из которых 3 одного типа. Сколькими способами их можно расположить в один ряд?
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 .
Сочетания - комбинации, составленные из 13 EMBED Equation.3 1415 различных элементов по 13 EMBED Equation.3 1415 элементов, которые различаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний определяется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415 . (4)
Например: Сколькими способами можно составить бригаду в составе 3 человек, выбирая их из 8 электриков?
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 .
Правило суммы: Если объект 13 EMBED Equation.3 1415 выбран 13 EMBED Equation.3 1415 способами, а объект 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 способами, то выбор либо 13 EMBED Equation.3 1415, либо 13 EMBED Equation.3 1415 может быть осуществлен 13 EMBED Equation.3 1415 способами.
Правило произведения: Если объект 13 EMBED Equation.3 1415 выбран 13 EMBED Equation.3 1415 способами, а после каждого такого выбора объект 13 EMBED Equation.3 1415 можно выбрать 13 EMBED Equation.3 1415 способами, то пара 13 EMBED Equation.3 1415 может быть выбрана 13 EMBED Equation.3 1415 способами.
Методика решения типовых задач
Классические задачи ТВ исторически связаны с теорией азартных игр. Однако, представленные математические модели могут быть использованы также при решении ряда технических задач.
Методика решения задач на непосредственный подсчет вероятности случайного события сводится к следующему:
Определение общего числа возможных исходов 13 EMBED Equation.3 1415;
Анализ и расчет количества исходов, благоприятствующих случайному событию, т.е. таких, в которых данное событие обязательно произойдет;
Определение искомой вероятности события по выражению (1).
Рассмотрим решение ряда типовых задач по данному разделу:
I тип задач. Условие задачи: Пусть имеется урна, в которой 13 EMBED Equation.3 1415 - белых шаров и 13 EMBED Equation.3 1415 - черных. Из урны наугад выбирается 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Решение
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 .
В данном случае все исходы опыта, связанного со случайным выбором шара из урны, являются равновозможными и несовместными, т.е, опыт сводится к «схеме урн». Поэтому вероятность достать случайным образом белый шар вторым или последним из урны также равна 13 EMBED Equation.3 1415.
II тип задач Условие задачи: В коробке 30 электроламп, причем 12 из них рассчитаны на напряжение 220 В, а остальные - на напряжение 36 В. Какова вероятность того, что из 4 наугад взятых одновременно электроламп все окажутся или с напряжением 220 В, или с напряжением 36 В?
Решение
Введем обозначения:
13 EMBED Equation.3 1415 - событие, состоящее в том, что из 4 электроламп все с напряжением 220 В;
13 EMBED Equation.3 1415 - из 4 электроламп все с напряжением 36 В;
13 EMBED Equation.3 1415 - появление событий либо 13 EMBED Equation.3 1415 либо 13 EMBED Equation.3 1415.
а) Общее число исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать 4 электролампы из 30.
13 EMBED Equation.3 1415 .
б) Число исходов, благоприятствующих событию 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415,
Число исходов, благоприятствующих событию 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 .
с) 13 EMBED Equation.3 1415 .
13 EMBED Equation.3 1415 .
Вероятность события, состоящего в появлении либо события 13 EMBED Equation.3 1415, либо события 13 EMBED Equation.3 1415, определим с использованием правила суммы
13 EMBED Equation.3 1415.
Условие задачи: Студент купил карточку Спортлото и отметил в ней последова тельно шесть первых номеров. Определить вероятность того, что при тираже 6 из 49 в числе выигравших шаров окажется шар под № 1.
Решение
а) Общее число исходов 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Число исходов, благоприятствующих событию, определяется числом возможных комбинаций из 6 номеров, обязательно включавших № 1. Для определения числа комбинаций удобно использовать схематическое представление:
Как видно, 13 EMBED Equation.3 1415 зависит от возможных комбинаций из 5 шаров (с другими номерами, отличными от № 1) из 48 таких шаров.
13 EMBED Equation.3 1415 .
13 EMBED Equation.3 1415 .
с) 13 EMBED Equation.3 1415.
III тип задач Условие задачи: На полке находится 10 амперметров, из которых 6 исправных. Найти вероятность того, что среди 4, наудачу отобранных амперметров, 2 исправных.
Решение
От задач II типа данный тип задач отличает неоднородность состава комбинаций, соответствующих благоприятным исходам случайного события. Для решения удобно представить условие задачи схематически:
а) Общее число исходов 13 EMBED Equation.3 1415 .
б) 13 EMBED Equation.3 1415определяется на основе правила произведения, поскольку выбор 4 амперметров осуществляется одновременно:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 .
с) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решите задачи:
Задача 1. Брошена игральная кость. Найти вероятность выпадения четного числа очков.
Задача 2. Участники жеребьевки тянут из урны жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу вытащенного жетона будет содержать цифру 5.
Задача 3. В пяти мешочках находятся 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному из каждого мешочка кубиках и расположенных в одну линию можно будет прочесть слово «спорт».
Задача 4. На каждой из шести одинаковых карточек написаны одна из букв: А,Т, М, Р,С,О. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной и расположенных в одну линию карточек можно будет прочесть слово «трос».
Задача 5. Куб, все грани которого окрашены, распилили на тысячу кубиков, которые затем тщательно перемешали. Найти вероятность того, что наудачу вытащенный кубик будет иметь одну окрашенную грань, две и три.
Задача 6. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость оказалась: а) дублем, б) не дублем.
Задача 7. Восемь различных книг наудачу расставляются на полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся стоящими рядом.
Домашнее задание:
Решите задачи:
1. В лотерее разыгрываются 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Число лотерейных билетов равно 10000 штук. Чему равна вероятность выигрыша?
2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0.1; 8 очков и меньше - 0.6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не меньше 9 очков.
3. В партии из 10 деталей – 8 штук стандартных. Найти вероятность того, что среди двух наудачу извлеченных деталей хотя бы одна будет стандартной.
4. В партии из 10 деталей оказалось 8 стандартных. Наудачу отобрали две. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей окажется:
не более одной стандартной,
б) хотя бы одна стандартная,
в) только одна стандартная.
5. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, равна 0,9. Произведено 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела попали в цель.
6. В студии находится три телекамеры. Вероятность включения каждой камеры равна 0.6. Найти вероятность того, что в данный момент хотя бы одна камера будет включена.
Список рекомендуемой литературы:
Основная:
1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. – Ростов н/Д: Феникс, 2009.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2009.
3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.
Дополнительная:
1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.
2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. – Ростов н/Д.: Феникс, 2012.
Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии
Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:
1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;
2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;
3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;
4) практическая работа выполнена в срок.
Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:
1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;
2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;
3) практическая работа выполнена в срок.
Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:
1)выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;
2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;
3) практическая работа выполнена не в срок;
4) практическая работа имеет помарки и исправления.
Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:
1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;
2) не смог ответить на предложенные вопросы.
Практическое занятие № 2
Тема: Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности
Цель: Научиться вычислять вероятности случайных событий по классической формуле определения вероятностей
Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.
Содержание и порядок выполнения работы:
1. Рассмотрите теоретический материал по теме.
2. Решите задачи.
Контрольные вопросы:
Понятие вероятности случайного события, перестановки, размещения, сочетания.
Правила суммы и произведения случайных событий.
Непосредственный подсчет вероятности случайного события удобно использовать только при анализе простейших случайных явлений, когда по условию задачи известны все количественные показатели по исследуемому объекту или их легко можно вычислить. Это позволяет по формулам комбинаторики подсчитать количество исходов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Однако на практике приходится сталкиваться со случайными событиями, которые формируются за счет сочетания целого ряда случайных факторов. Например, вероятность выхода из строя любого технического устройства зависит от вероятности работоспособности каждого из его элементов, а также от способа их соединения. Для определения вероятности таких случайных событий используются косвенные методы, позволяющие по известным вероятностям одних событий находить вероятности связанных с ними событий.
Прежде всего необходимо проанализировать случайное событие и определить образуется ли оно как сумма элементарных событий или как их произведение.
Для этого введем два базовых понятия алгебры событий.
Суммой нескольких случайных событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Так для суммы трех случайных событий 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 произойдет либо 13 EMBED Equation.3 1415, либо 13 EMBED Equation.3 1415, либо 13 EMBED Equation.3 1415, либо сочетания 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Например, аварийное повреждение блока электрической системы генератор-трансформатор-линия электропередач представляет собой сумму элементарных событий: либо повреждение генератора, либо повреждение трансформатора, либо линии электропередач, либо всевозможные совместные повреждения.
Произведением нескольких случайных событий называется событие, состоящее в одновременном появлении этих событий. Например, безотказная работа блока генератор-трансформатор-линия электропередач возможна только при одновременной безотказной работе всех трех элементов блока.
Расчет вероятности сложного события производится на основе теорем о сумме и произведении случайных событий.
При выборе расчетных формул необходимо учитывать два существенных момента:
а) Определение вероятности суммы случайных событий зависит от того, совместны или несовместны эти события.
Пусть случайные события 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - несовместны, тогда вероятность суммы двух событий 13 EMBED Equation.3 1415 равна
13 EMBED Equation.3 1415 .
Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - совместные события, тогда вероятность суммы двух событий 13 EMBED Equation.3 1415 равна
13 EMBED Equation.3 1415,
для трех совместных событий 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 вычисление вероятности суммы производится по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
б) Для определения вероятности произведения случайных событий необходимо проанализировать зависимы они или независимы.
При вычислении вероятности произведения событий используется понятие условной вероятности.
Под условной вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415 некоторого случайного события 13 EMBED Equation.3 1415, связанного с событием 13 EMBED Equation.3 1415, понимается вероятность появления события 13 EMBED Equation.3 1415 при условии, что событие 13 EMBED Equation.3 1415 уже произошло.
Если случайные события 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - независимы, то вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей этих событий
13 EMBED Equation.3 1415 .
Если случайные события зависимы, то вероятность произведения двух событий вычисляется с учетом условной вероятности
13 EMBED Equation.3 1415
При решении задач часто находит применение следствие из теоремы о сумме вероятностей.
Сумма вероятностей для событий, образующих полную группу 13 EMBED Equation.3 1415, равна единице
13 EMBED Equation.3 1415 .
В частности, для противоположных событий:
13 EMBED Equation.3 1415 .
Решите задачи:
Задача 1. В лотерее разыгрываются 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Число лотерейных билетов равно 10000 штук. Чему равна вероятность выигрыша?
Задача 2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0.1; 8 очков и меньше - 0.6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не меньше 9 очков.
Задача 3. В партии из 10 деталей – 8 штук стандартных. Найти вероятность того, что среди двух наудачу извлеченных деталей хотя бы одна будет стандартной.
Задача 4. В партии из 10 деталей оказалось 8 стандартных. Наудачу отобрали две. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей окажется:
не более одной стандартной,
б) хотя бы одна стандартная,
в) только одна стандартная.
Задача 5. В урне находятся 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в извлечении наугад одного шара, причем он не возвращается обратно в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором - черный, а при третьем – синий.
Задача 6. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, равна 0,9. Произведено 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела попали в цель.
Задача 7. Брошены монета и кость. Найти вероятность того, что одновременно на монете появится "орел", а на кости "6".
Задача 8. В студии находится три телекамеры. Вероятность включения каждой камеры равна 0.6. Найти вероятность того, что в данный момент хотя бы одна камера будет включена.
Задача 9. Из ряда цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех - другая. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра:
а) только в первый раз;
б) только во второй раз;
в) в первый и во второй.
Задача 10. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0.75. Найти вероятность появления события А в одном испытаний.
Домашнее задание:
1. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, равна 0,9. Произведено 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела попали в цель.
2. Вероятность поражения цели при одном выстреле первым стрелком равна 0.8, а вторым - 0.6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком (первым или вторым).
3. Осуществляется проверка изделий на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что:
а) из трех проверенных деталей только одна окажется нестандартной;
б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.
Список рекомендуемой литературы:
Основная:
1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. – Ростов н/Д: Феникс, 2009.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2009.
3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.
Дополнительная:
1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.
2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. – Ростов н/Д.: Феникс, 2012.
Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии
Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:
1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;
2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;
3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;
4) практическая работа выполнена в срок.
Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:
1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;
2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;
3) практическая работа выполнена в срок.
Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:
1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;
2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;
3) практическая работа выполнена не в срок;
4) практическая работа имеет помарки и исправления.
Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:
1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;
2) не смог ответить на предложенные вопросы.
Практическое занятие № 3
Тема: Вычисление вероятностей сложных событий
Цель: Научиться вычислять вероятности сложных событий.
Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.
Содержание и порядок выполнения работы:
1. Рассмотрите теоретический материал по теме.
2. Законспектируйте решение типовых задач.
3. Решите задачи.
Контрольные вопросы:
Понятие условной вероятности.
Формула полной вероятности.
От чего зависит количество гипотез появления некоторого случайного события А..
Формула полной вероятности
Формула полной вероятности применяется при следующей постановке задачи.
Пусть производится анализ некоторого случайного события 13 EMBED Equation.3 1415. По поводу возможности появления данного события могут быть высказаны некоторые гипотезы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415, которые охватывают все возможные условия появления события 13 EMBED Equation.3 1415 и образуют полную группу событий.
Из условия задачи известны или могут быть определены вероятности всех возможных гипотез 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415, а также условные вероятности появления 13 EMBED Equation.3 1415 при каждой из гипотез 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415. Определить вероятность появления случайного события 13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность события при такой постановке задачи может быть найдена по формуле полной вероятности.
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 - гипотезы, которые образуют полную группу событий;
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение типовых задач
I тип задач. Условие задачи: Функционирование электрической системы обеспечивает 100%-ное электроснабжение потребителей в трех режимах, различающихся по конфигурации и пропускной способности электрической сети. В каждом из этих режимов сеть может находиться с вероятностью 0,3; 0,5; 0,2 соответственно. Безаварийная работа системы в каждом режиме возможна с вероятностями 0,9; 0,75; 0,8. Определить вероятность 100% электроснабжения потребителей. Найти вероятность нарушения электроснабжения.
Решение
а) Введем обозначение событий и гипотез.
Исследуемое событие:
13 EMBED Equation.3 1415- обеспечение 100%-ного электроснабжения;
13 EMBED Equation.3 1415 - нарушение электроснабжения.
Гипотезы
Вероятности
гипотез
Условные вероятности
13 EMBED Equation.3 1415 - работа сети в первом режиме;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 - работа сети во втором режиме;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - работа сети в третьем режиме.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
б) По формуле полной вероятности найдем вероятность 100% электроснабжения потребителей
13 EMBED Equation.3 1415
Определим вероятность нарушения электроснабжения 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
II тип задач. Условие задачи: В группе 10 студентов, пришедших на экзамен. Экзаменационные билеты включают 20 вопросов. Три студента подготовлены отлично - знают все 20 вопросов билетов; 4 студента подготовлены хорошо – знают 16 вопросов из 20; 2 студента подготовлены удовлетворительно – знают 10 вопросов из 20; 1 студент подготовлен плохо – знает 5 вопросов из 20. Вызванный студент ответил на все три вопроса билета.
Решение
а) Введем обозначения гипотез и событий.
13 EMBED Equation.3 1415 - правильный ответ студента на все три вопроса билета;
Гипотезы
Вероятности
гипотез
Условные вероятности
13 EMBED Equation.3 1415 - подготовлен отлично;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415?
13 EMBED Equation.3 1415 - подготовлен хорошо;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415?
13 EMBED Equation.3 1415 - подготовлен удовлетворительно;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415?
13 EMBED Equation.3 1415- подготовлен плохо.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415?
б) Для определения условных вероятностей можно использовать два подхода.
Подход 1. Непосредственный подсчет вероятностей на основе формул комбинаторики по аналогии с задачами раздела 1.1.3.
С помощью приведенных схем находим условные вероятности:
13 EMBED Equation.3 1415
Подход 2. Применение теоремы произведения вероятностей зависимых событий.
Поскольку студент должен ответить на три вопроса билета одновременно, необходимо определить вероятность произведения трех зависимых событий:
13 EMBED Equation.3 1415 - ответ на первый вопрос билета;
13 EMBED Equation.3 1415 - ответ на второй вопрос билета;
13 EMBED Equation.3 1415 - ответ на третий вопрос билета.
Если студент подготовлен отлично, то правильный ответ на три вопроса билета есть событие достоверное, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Для определения условных вероятностей правильного ответа на три вопроса билета при гипотезах 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 используем выражение
13 EMBED Equation.3 1415
Если студент подготовлен хорошо, то 13 EMBED Equation.3 1415
Если студент подготовлен посредственно, то 13 EMBED Equation.3 1415
Если студент подготовлен плохо, то 13 EMBED Equation.3 1415
Как видно, второй подход предпочтительнее, так как позволяет уменьшить объем вычислений.
с) Далее по формуле полной вероятности находим вероятность правильного ответа на три вопроса билета до испытания:
13 EMBED Equation.3 1415
Решите задачи
Задача 1. В группе 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнения квалификационной нормы следующая: 0,9 для лыжника, 0,8 для велосипедиста, 0,75 для бегуна. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен выполнит норматив.
Задача 2. В первом ящике находится 20 деталей (из них 15 - стандартных), во втором - 30 деталей (24 стандартных), в третьем - 10 деталей (6 стандартных). Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу выбранного ящика будет стандартной.
Задача 3. Имеется четыре кинескопа. Вероятности того, что кинескопы выдержат гарантийный срок. равны: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.
Задача 4. Из полного набора костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую вытащенную наудачу кость можно будет приставить к первой.
Задача 5. В ящике содержится три детали. В него положена еще одна, причем стандартная. Определить вероятность извлечения из ящика стандартной детали, если все рассматриваемые варианты равновероятны.
Домашнее задание:
Решите задачи:
1. Вероятность срабатывания сигнализатора С1 равна 0,8, а сигнализатора С2 – 0,9. Вероятность приобретения С1 равна 0,6, а С2 – 0,4. Получен сигнал о неисправности сигнализатора. Что вероятнее: на объекте стоит сигнализатор С1 или С2?
2. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях из первой группы выделено 4 человека, из второй - 6, из третьей -5. Вероятность того, что студенты первой, второй и третьей группы попадут в сборную команду института, равны соответственно: 0,9; 0,7; 0,8. К какой из групп вероятнее всего будет принадлежать произвольно выбранный из сборной команды студент?
Список рекомендуемой литературы:
Основная:
1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. – Ростов н/Д: Феникс, 2009.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2009.
3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.
Дополнительная:
1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.
2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. – Ростов н/Д.: Феникс, 2012.
Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии
Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:
1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;
2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;
3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;
4) практическая работа выполнена в срок.
Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:
1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;
2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;
3) практическая работа выполнена в срок.
Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:
1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;
2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;
3) практическая работа выполнена не в срок;
4) практическая работа имеет помарки и исправления.
Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:
1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;
2) не смог ответить на предложенные вопросы.
Практическое занятие № 4
Тема: Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли
Цель: Научиться вычислять вероятности случайных событий в схеме Бернулли
Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.
Содержание и порядок выполнения работы:
1. Рассмотрите теоретический материал по теме.
2. Законспектируйте решение типовой задачи.
3. Решите задачи.
Контрольные вопросы:
В каких случаях применима формула Бернулли?
Когда удобнее применить формулу Пуассона?
Формула Бернулли
Применение формулы Бернулли возможно при следующей постановке задачи.
Пусть проводятся 13 EMBED Equation.3 1415 независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие 13 EMBED Equation.3 1415. Известно, что вероятность появления 13 EMBED Equation.3 1415 в одном испытании равна 13 EMBED Equation.3 1415, а вероятность непоявления 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно 13 EMBED Equation.3 1415. Необходимо определить вероятность того, что событие 13 EMBED Equation.3 1415 произойдет ровно в 13 EMBED Equation.3 1415 испытаниях из 13 EMBED Equation.3 1415.
Формула Бернулли позволяет найти вероятность того, что событие 13 EMBED Equation.3 1415 произойдет ровно в 13 EMBED Equation.3 1415 испытаниях из 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, (0)
где 13 EMBED Equation.3 1415 - количество сочетаний из 13 EMBED Equation.3 1415 по 13 EMBED Equation.3 1415.
Если количество испытаний 13 EMBED Equation.3 1415 достаточно велико (13 EMBED Equation.3 1415 и выше), а вероятность появления 13 EMBED Equation.3 1415 в одном испытании мала (13 EMBED Equation.3 1415 и ниже), то применение формулы Бернулли связано со сложностями вычислительного характера. В этом случае удобнее применить формулу Пуассона, которая дает возможность более просто получить аналогичные результаты:
13 EMBED Equation.3 1415, (1)
где 13 EMBED Equation.3 1415.
Применяя выражения (0) и (1), можно найти вероятности более сложных событий:
а) появление события13 EMBED Equation.3 1415 менее 13 EMBED Equation.3 1415 раз в 13 EMBED Equation.3 1415 испытаниях
13 EMBED Equation.3 1415; (2)
б) появление события13 EMBED Equation.3 1415 более 13 EMBED Equation.3 1415 раз в 13 EMBED Equation.3 1415 испытаниях
13 EMBED Equation.3 1415; (3)
в) появление события13 EMBED Equation.3 1415 не менее 13 EMBED Equation.3 1415 раз в 13 EMBED Equation.3 1415 испытаниях
13 EMBED Equation.3 1415; (4)
г) появление события13 EMBED Equation.3 1415 не более 13 EMBED Equation.3 1415 раз в 13 EMBED Equation.3 1415 испытаниях
13 EMBED Equation.3 1415. (5)
Решение типовых задач
I тип задач. Условие задачи: Система электроснабжения завода включает восемь однотипных агрегатов, каждый из которых находится в рабочем состоянии с вероятностью 0,9. Определить вероятность того, что:
все агрегаты находятся в рабочем состоянии;
вышло из строя менее 3 агрегатов;
в рабочем состоянии находятся не более 6 агрегатов;
вышло из строя не менее 2 агрегатов.
Решение
1) 13 EMBED Equation.3 1415- все агрегаты находятся в рабочем состоянии
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогичный результат можно получить, решая эту задачу от обратного, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 - ни один агрегат не вышел из строя
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Следует обратить внимание на то, что вероятность появления события в одном испытании 13 EMBED Equation.3 1415 в формуле Бернулли зависит от того, какое событие анализируется. Так, в первом варианте решения 13 EMBED Equation.3 1415 - это вероятность рабочего состояния, а во втором 13 EMBED Equation.3 1415 - это вероятность выхода из строя.
2) 13 EMBED Equation.3 1415- вышли из строя менее 3 агрегатов, т.е. 0, 1, 2 агрегата.
Для вычисления вероятности используем формулу (2)
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
3) 13 EMBED Equation.3 1415- в рабочем состоянии находятся не более 6 агрегатов (от 0 до 6).
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Для вычисления вероятности можно применить для вычисления формулу (5)
13 EMBED Equation.3 1415.
В этом случае требуется произвести достаточно сложные вычисления. Однако можно использовать более простой прием для решения задачи, если учесть, что
13 EMBED Equation.3 1415,
поскольку имеет место полная группа событий.
Тогда искомую вероятность можно определить следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415- вышли из строя не менее 3 агрегатов.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность события 13 EMBED Equation.3 1415 может быть вычислена по формуле (4)
13 EMBED Equation.3 1415,
Используем рассмотренный выше прием, вычислим вероятность выхода из строя 0, 1, 2 агрегатов из 8, а затем определим искомую вероятность следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415
II тип задач. Условие задачи: В цехе металлургического завода используется группа из 100 однотипных электродвигателей. Вероятность выхода из строя каждого электродвигателя равна 0,02. Определить вероятность того, что в рабочем состоянии находится не менее 98 электродвигателей цеха.
Решение
Для определения вероятности нахождения в рабочем состоянии не менее 98 электродвигателей можно использовать выражение (4)
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
В этом случае требуется провести сложные вычисления. Значительно упростить решение можно, если перейти к определению вероятности выхода из строя 0, 1, 2 электродвигателей, что полностью соответствует нахождению в рабочем состоянии не менее 98 электродвигателей
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 достаточно большое, а 13 EMBED Equation.3 1415 - мало, удобнее использовать формулу Пуассона (1)
13 EMBED Equation.3 1415
Решите задачи
Задача 1. В цехе имеется 6 моторов. Вероятность того, что мотор в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность, что в данный момент:
а) включено 4 мотора;
б) включены все моторы;
в) выключены все моторы.
Задача 2. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти испытаниях не менее двух раз, если вероятность появления его в каждом испытании равна 0,3.
Задача.3. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет:
а) менее двух раз;
б) не менее двух раз.
Задача 4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9. Вероятность поражения цели при 13 EMBED Equation.3 1415 попаданиях равна 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность того, что цель будет уничтожена, если сделано 2 выстрела.
Задача 5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что мишень при 100 выстрелах будет поражена:
а) не менее 70 и не более 80 раз;
б) не более 70 раз.
Домашнее задание:
1. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом опыте равна 0,2.
2. Событие В появится в том случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.
Список рекомендуемой литературы:
Основная:
1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. – Ростов н/Д: Феникс, 2009.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2009.
3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.
Дополнительная:
1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.
2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. – Ростов н/Д.: Феникс, 2012.
Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии
Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:
1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;
2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;
3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;
4) практическая работа выполнена в срок.
Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:
1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;
2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;
3) практическая работа выполнена в срок.
Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:
1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;
2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;
3) практическая работа выполнена не в срок;
4) практическая работа имеет помарки и исправления.
Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:
1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;
2) не смог ответить на предложенные вопросы.
Практическое занятие № 5
Тема: Решение задач на запись распределения ДСВ. График. Свойства числовых характеристик ДСВ
Цель: Научиться вычислять вероятности случайных событий
Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.
Содержание и порядок выполнения работы:
1. Рассмотрите теоретический материал по теме.
2. Законспектируйте решение типовой задачи.
3. Решите задачи.
Контрольные вопросы:
Понятие дискретной случайной величины, непрерывной случайной величины, ряда распределения, функции распределения.
Законы распределения случайных величин.
От чего зависит форма представления закона распределения.
Законы распределения дискретных случайных величин
Случайной называют величину, которая в результате опыта со случайным исходом принимает одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин. Все случайные величины (СВ) делятся на дискретные и непрерывные.
Дискретной называют случайную величину (ДСВ), которая принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. В качестве примера можно привести величину X, равную количеству агрегатов энергосистемы, вышедших из строя, или Y, равную возможному количеству трансформаторов различной мощности, которые могут быть установлены в системе электроснабжения района.
Непрерывной называют случайную величину (НСВ), которая может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Например, значения напряжений, токов, потоков мощности по линиям электропередач, которые изменяются случайным образом за счет случайного изменения нагрузки в энергосистеме.
Наиболее полной характеристикой любой случайной величины является закон распределения. Форма представления закона распределения зависит от вида случайной величины. Для ДСВ под законом распределения понимается соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями. При этом закон распределения ДСВ может быть задан следующим образом:
таблично – в виде ряда распределения
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
аналитически – в виде явной функции 13 EMBED Equation.3 1415,
например, это может быть формула Бернулли
13 EMBED Equation.3 1415.
с помощью функции распределения13 EMBED Equation.3 1415, которая является универсальной характеристикой закона распределения и не зависит от вида СВ
13 EMBED Equation.3 1415
Для дискретных СВ функция распределения13 EMBED Equation.3 1415 – это неубывающая, разрывная ступенчатая функция, которая графически для ряда из трех значений имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
графически – в виде многоугольника распределения, который строится по точкам (13 EMBED Equation.3 1415) в декартовой системе координат и для ряда из трех значений ДСВ может иметь вид
В качестве наиболее часто используемых в практических расчетах можно выделить следующие виды законов распределения для ДСВ.
Биномиальное распределение
Такой закон распределения характерен для ДСВ 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - количество появлений события 13 EMBED Equation.3 1415 в 13 EMBED Equation.3 1415 независимых испытаниях. Известно, что вероятность появления 13 EMBED Equation.3 1415 в одном испытании одинакова и равна 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда видно, что 13 EMBED Equation.3 1415 может принимать значения от 0 до 13 EMBED Equation.3 1415, а вероятность каждого 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле Бернулли.
13 EMBED Equation.3 1415
0
1
2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
В практических расчетах биномиальное распределение часто соответствует ДСВ 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - количество вышедших из строя (или находящихся в рабочем состоянии) агрегатов энергосистемы, цеха, отдельных блоков технического устройства. Когда 13 EMBED Equation.3 1415 достаточно велико, а 13 EMBED Equation.3 1415 мало, для описания ДСВ используется закон Пуассона. При этом вероятности появления 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляются по формуле Пуассона.
13 EMBED Equation.3 1415
0
1
2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Геометрическое распределение соответствует ДСВ 13 EMBED Equation.3 1415, равной 13 EMBED Equation.3 1415 - числу испытаний, которые необходимо произвести до появления события 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. в 13 EMBED Equation.3 1415 испытаний 13 EMBED Equation.3 1415 не появлялось. Вероятность появления 13 EMBED Equation.3 1415 в каждом испытании равна 13 EMBED Equation.3 1415, не появления -13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1
2
3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Гипергеометрическое распределение
Применяется при условии задачи, сводящемся к следующей постановке: в урне 13 EMBED Equation.3 1415 - белых, 13 EMBED Equation.3 1415 - черных шаров, из нее вынули 13 EMBED Equation.3 1415 шаров. Найти вероятность того, что 13 EMBED Equation.3 1415 шаров из 13 EMBED Equation.3 1415 - белых. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 - ДСВ, равная числу 13 EMBED Equation.3 1415 белых шаров из 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
0
1
2
13 EMBED E
· ",.TVXZ\^„†
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·=