Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» «Элементы комбинаторики»

Министерство образования И науки
АРХАНГЕЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ
государственное бюджетное образовательное учреждениесреднего профессионального образования Архангельской области «ВЕЛЬСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»
(ГБОУ СПО АО «ВЭТ»)
Гостевская А.А.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Учебно-методическое пособие
Вельск 2012
Рецензенты:
Феклистова С.А. - преподаватель математических дисциплин ГБОУ СПО АО «ВЭТ»
Рохина С.Н. - преподаватель математических дисциплин ГАОУ СПО АО «ВСХТ»
Гостевская А.А. Элементы комбинаторики. Учебно-методическое пособие. – Вельск: ГБОУ СПО АО «ВЭТ», 2012.
Учебно – методическое пособие составлено в соответствии с Государственными образовательными стандартами в части Государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах.
В данное пособие включены конспекты лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», даны конкретные определения, теоремы, практические и самостоятельная работы и примеры решения задач.
Рассмотрено и одобрено на заседании предметной (цикловой) комиссии общеобразовательных дисциплин ГБОУ СПО АО «ВЭТ» протокол № ____ от « » _______________ 2012 года.
© Гостевская А.А., 2012
© государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Архангельской области «Вельский экономический техникум»
Усл. пч. л. 4,7
СОДЕРЖАНИЕ
1 Введение. 4
2. Элементы комбинаторики. 5
2.1. Введение. Принципы сложения и умножения. Размещения, сочетания, перестановки. 5
2.2. Комбинации с повторениями. 11
2.3. Практическая работа №1 «Расчет количества комбинаций». 14
2.4. Практическая работа № 2 «Решение задач на расчет количества комбинаций». 16
3. Заключение. 18
4. Список использованных источников. 19
5. Приложение 1. Методические указания к практической работе № 1. 20
Приложение 2. Методические указания к практической работе № 2. 23
Приложение 3. Примерный вариант заданий для самостоятельной работы. 26
Приложение 4. Решения задач. 27
ВВЕДЕНИЕ.
Учебно-методическое пособие разработано в соответствии с Федеральными государственными стандартами образования по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, рабочего учебного плана по означенной специальности, рабочей программы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика».
Актуальность избранной темы заключается в том, что в связи с введением в действие ФГОС СПО третьего поколения, возникла необходимость преподавателю самостоятельно разрабатывать учебно-программную документацию по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», так как типовые и примерные программы отсутствуют.
Настоящее методическое пособие представляет собой подробное описание учебных занятий по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» разделу «Элементы комбинаторики» и включает в себя лекционный материал, задания для формирования практических умений, задачи для самостоятельного решения.
В заключительной части работы представлено подробное решение всех задач.
Учебно-методическое пособие на тему «Элементы комбинаторики» является вариантом поурочного планирования данной темы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», которая рассчитана на 8 академических часов, в соответствии с программой.
В работе представлено четыре занятия, которые включают следующие элементы поурочного планирования:
1. Номер и тема занятия.
2. Учебно-воспитательные задачи.
3. Обеспечение занятия.
4. Ход занятия: организационный момент; проверка домашнего задания; повторение опорных знаний учащихся; мотивация познавательной деятельности; изучение нового материала; применение знаний при решении примеров и задач; самостоятельное применение знаний, умений и навыков; подведение итогов занятия и сообщение домашнего задания.
Известно, что новый учебный материал усваивается студентами значительно легче, если он сопровождается достаточно большим количеством примеров. Поэтому в работе представлены не только лекции по данной теме, но и приведены примеры и упражнения с решениями, составлены практические и самостоятельная работы.
Учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей математических дисциплин и обучающихся.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.

2.1. УЧЕБНОЕ ЗАНЯТИЕ № 1.
Тема: «Введение. Принципы сложения и умножения. Размещения, сочетания, перестановки»
Вид занятия: Усвоение новых знаний.
Учебная цель занятия: Ввести понятие комбинаторики, сформулировать принципы сложения и умножения. Сформировать у учащихся понятия перестановки, размещения и сочетания, показать их схожесть и отличия.
Воспитательная цель занятия: Прививать интерес к предмету. Развивать логическое мышление.
Время: 90 минут
Обеспечение: Учебная литература –4Ход занятия.
1. Организационный момент.
Отметить отсутствующих.
Сообщить тему и цель занятия.
2. Мотивация познавательной деятельности учащихся.
Дать историческую справку о возникновении и развитии комбинаторики. Показать ее значимость не только в теории вероятностей, но и в других областях человеческой деятельности.
Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например, конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, ученому-агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав.
С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата, и т.д.
Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. ( Например, задача о расстановке восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы ни один из них не оказался под боем, об обходе всех полей доски шахматным конем и т.д.).
Комбинаторика становится наукой лишь в XVII в. – в период, когда возникла теория вероятностей. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. После первых работ, выполненных в XVI в. итальянскими учеными Дж. Кардано, Н. Тартальей и Г. Галилеем, такие задачи изучали французские математики Б. Паскаль и П. Ферма. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Г. Лейбниц, опубликовавший в 1666 г. работу «Об искусстве комбинаторики», в которой впервые появляется сам термин «комбинаторный». Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л. Эйлеру. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит приложения во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, механике сложных сооружений и т.д.
3. Изучение нового материала
Комбинаторика-это раздел математики, в котором решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств.
Два основных принципа комбинаторики:
Принцип сложения:
Предположим, что та или иная задача решается любым из k методов, причем первый метод можно применить n1способами, второй - n2 способами, … , k-тый метод можно применить nk способами. Тогда рассматриваемая задача решается (n1+n2+ …+nk)способами.
Принцип умножения:
Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе - n2 способами, … , k-тое действие можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены (n1∙n2∙…∙nk) способами.
Примеры.
В группе 30 человек, необходимо выбрать старосту и профорга. Сколькими способами можно это сделать?
Имеется 20 изделий первого сорта и 30 изделий второго сорта. Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколькими способами можно это сделать?
Основные типы комбинаций:
Перестановки
Пусть имеется множество, содержащее три буквы: A,B,C. Запишем все возможные комбинации из трех букв: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Таких комбинаций 6. Заметим, что 6=3∙2∙1=3!Определение. Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все n различных элементов данного множества.
Число перестановок n различных элементов будем обозначать Pn.
Теорема. Число перестановок n различных элементов равно n!, т.е.
Pn=n!Примеры.
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них в числе не повторяется.
Вычислить: а) P6-P55! ; б) P20P4∙P16 ; в) PxPx-2∙P2 .
Замечание. Перестановки отличаются друг от друга только порядком
элементов.
Размещения
Пусть имеется множество, содержащее четыре буквы A,B,C,D. Составим все возможные комбинации только из двух букв данного множества: AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC. Таких комбинаций получилось 12. Заметим, что 12=4∙3.
Определение. Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество из m элементов множества, состоящего из n различных элементов.
Число размещений из n элементов по m будем обозначать Anm, где m≤n.
Anm=n∙n-1∙n-2∙…∙(n-m)Теорема. Число размещений из n элементов по m равно n!n-m!, т.е.
Anm=n!n-m!Примеры.
Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что цифры в числе не повторяются.
Вычислить: а) A53 ; б) A135 ; в)A153+A154A155 .
Замечание. Размещения отличаются друг от друга самими элементами и порядком элементов.
Сочетания
Пусть имеется множество, содержащее четыре буквы A,B,C,D. Составим все возможные комбинации из двух букв, причем, не будем учитывать порядок элементов (т.е. комбинации AB и BA будем считать как одну комбинацию): AB, AC, AD, BC, BD, CD. Таких комбинаций получилось 6.
Определение. Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов.
Число сочетаний из n различных элементов по m будем обозначать Cnm, где m≤n.
Теорема. Число сочетаний из n элементов по m равно n!m!∙n-m! , т.е.
Cnm=n!m!∙n-m!Следствие. Число сочетаний из n элементов по (n-m) равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е.
Cnn-m=CnmТеорема. Имеет место равенство (правило Паскаля)
Cnm=Cn-1m-1+Cn-1m, где1≤m<n.Теорема. Имеет место равенство
Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn=2nПримеры.
Вычислить: а) C83; б) C85.
2. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из 30 человек в группе?
Решение задач.
Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более пяти, а во второй – не более девяти человек?
Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни один из них не будет подвергнут опросу дважды и на занятии может быть опрошено любое количество учащихся, причем, порядок, в котором опрашиваются учащиеся, безразличен?
Решить уравнение: а).An-23=4An-32 ; б). An4∙Pn-4=42Pn-2.
Вычислить: A52∙A42∙A32.Решить систему уравнений: Cxy=Cxy+2,Cx2=66.30 учащихся обменялись друг с другом фото. Сколько всего фото было роздано?
Подведение итогов.
Домашнее задание.
Конспект.
4, гл.1, §§1.1-1.4.
Решить задачи:
1). Решите уравнение: Cx-22=21. Выполнить проверку.
2). Сколькими способами можно заполнить лотерейный билет 5 из 36?
3). Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и три офицера.
2.2. УЧЕБНОЕ ЗАНЯТИЕ № 2.
Тема: «Комбинации с повторениями»
Вид занятия: Усвоение новых знаний.
Учебная цель занятия: Сформировать у учащихся понятия перестановки, размещения и сочетания с повторениями.
Воспитательная цель занятия: Развивать логическое мышление учащихся, способствовать формированию умения правильно воспринимать новую информацию, что важно для будущего специалиста.
Время: 90 минут.
Обеспечение: Учебная литература - 4Ход урока.
Организационный момент.
Отметить отсутствующих.
Сообщить тему и цель занятия.
Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний.
Провести фронтальный опрос в форме беседы, предложив учащимся ответить на вопросы:
-Что такое комбинаторика?
-Сформулируйте основные принципы комбинаторики.
-Дайте определения перестановки, размещения и сочетания. Поясните в чем их отличия.
Проверить примеры из домашнего задания.
Изучение нового материала.
Перестановки с повторениями.
Pn=n!n1!∙n2!∙…∙nk! ,
где n1+n2+…+nk=n, ni - число повторений i – го элемента.
Размещения с повторениями.
Ank=nk.Сочетания с повторениями.
Cnk=Cn+k-1k.
Примеры.
Сколько разных «слов» можно составить из букв слова: а) «стена», б) «гамма»?
В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно образовать набор из 12 открыток?
Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если одна и та же цифра может повторяться несколько раз?
Решение задач
В колоде 32 карты. Раздаются три карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?
Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вариантов распределения оценок, если известно, что так или иначе все они сдали экзамен?
Сколько пятизначных чисел можно образовать из цифр 0 и 1?
Абитуриенту нужно сдать четыре экзамена и набрать не менее 17 баллов(«2» получать нельзя). Сколько существует разных наборов экзаменационных оценок, дающих ему право поступления?
Среди перестановок цифр 1, 2, 3, 4, 5 сколько таких, которые не начинаются цифрами 3 и 5?
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр.
а). Сколько всего получится таких чисел?
б). Сколько среди них будут начинаться с цифры 5?
в). Сколько чисел будут оканчиваться комбинацией 41?
г). Сколько получится четных и сколько нечетных чисел?
д). Сколько получится чисел, кратных 3?
Подведение итогов.
Домашнее задание.
Конспект.
4, гл.1, §§1.1-1.4.
Решить задачи, которые не успели решить на уроке.
2.3. УЧЕБНОЕ ЗАНЯТИЕ № 3.
Тема: «Практическая работа №1«Расчет количества комбинаций»»
Вид занятия: Практическое занятие.
Учебная цель занятия: Обобщить и закрепить знания и умения учащихся по теме «Элементы комбинаторики», закрепить полученные навыки вычисления перестановок, размещений и сочетаний.
Воспитательная цель занятия:Формировать приемы правильного оформления работы, умение критически оценивать результаты своей работы. Развивать творческие способности учащихся.
Время: 90 минут.
Обеспечение: Методические указания к практической работе № 1 «Расчет количества комбинаций»
Ход занятия.
Организационный момент.
Отметить отсутствующих.
Сообщить тему и цель занятия.
Проверка домашнего задания.
Проверить выполненные дома задания
Актуализация опорных знаний.
Повторить в форме беседы основные понятия, правила и формулы по изученной теме.
Применение знаний при решении задач.
Выполнить практическую работу, следуя методическим указаниям к практической работе (см. Приложение 1).
Подведение итогов.
Домашнее задание.
Конспекты.
4, гл.1, §§1.1-1.4.
Подготовиться к самостоятельной работе.
2.4. УЧЕБНОЕ ЗАНЯТИЕ № 4.
Тема: «Практическая работа №2 «Решение задач на расчет количества комбинаций». Проверочная работа»
Вид занятия: Практическое занятие.
Учебная цель занятия: Обобщить и закрепить знания и умения учащихся по теме «Элементы комбинаторики», закрепить полученные навыки решения задач на вычисление перестановок, размещений и сочетаний.
Воспитательная цель занятия: Формировать приемы правильного оформления работы, умение критически оценивать результаты своей работы. Развивать творческие способности учащихся.
Время: 90 минут.
Обеспечение: Методические указания к практической работе № 1 «Расчет количества комбинаций»
Ход занятия.
Организационный момент.

Отметить отсутствующих.
Сообщить тему и цель занятия.
Проверка домашнего задания.
Повторить основные понятия, правила и формулы по изученной теме.
Актуализация опорных знаний.
Предложить выполнить несколько заданий.
Применение знаний при решении задач.
Выполнить практическую работу, следуя методическим указаниям к практической работе (см. Приложение 2).
Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.
Провести самостоятельную работу (см. Приложение 3).
Подведение итогов.
Домашнее задание.
Конспекты.
4, гл.1, §§1.1-1.4.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Учебно-методическое пособие может быть использовано преподавателями математических дисциплин и обучающимися образовательных учреждений среднего профессионального образования при изучении дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».
Пособие имеет практическую направленность.
Успешная апробация данного пособия осуществляется преподавателем техникума у обучающихся 2 курса очной формы получения образования специальности 230115 Программирование в компьютерных системах. Материал работы изложен в интересной и доступной форме.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике: Учеб.пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1987. – 303с.: ил.
Бычков А. Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистики и методам оптимизации: учебное пособие. – М.: ФОРУМ. 2008. – 224с.: ил. – («Профессиональное образование»)
Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб.пособие. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1989. – 576 с.: ил.
Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: Учеб. для студ. сред. спец. учеб. заведений. – 3-е изд., испр. –М.: Высш. шк.., 2001.- 336 с.: ил.
Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА – М, 2003. – 240 с.: ил. – (Серия «Профессиональное образование»)
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению практической работы № 1
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Тема работы:«Расчет количества комбинаций»
Цель работы: научиться рассчитывать количество комбинаций заданного типа
Форма выполнения: групповая
Форма контроля: зачет
Обеспечение: методические указания к выполнению работы
Необходимые сведения из теории
ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ
Правило суммы: Если некоторый объект А из совокупности объектов можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то объект либо A, либо B можно выбрать m + n способами.
Правило произведения: Если некоторый объект А из совокупности объектов можно выбрать m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (AB) в указанном порядке может быть выбрана m·n способами.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ
Размещения
Отличаются по составу и по порядку элементов.
Число размещений без повторений вычисляется по формуле:
Anm= n!(n-m)!
Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:
Anm= nm
Перестановки
Отличаются по порядку элементов.
Число перестановок без повторений вычисляется по формуле:
Pn=n!
Число перестановок с повторениями вычисляется по формуле:
Pn= n!n1! n2!… nk!
гдеn1+ n2+ …+ nkи
n1 – число повторений первого элемента,
n2 – число повторений второго элемента и т.д.
Сочетания
Отличаются по составу и по порядку элементов.
Число сочетаний без повторений вычисляется по формуле:
Cnm= n!n-m!m!
Свойства сочетаний:Cnm=Cnn-mCn0+ Cn1+ Cn2+ ... + Cmn=2n
Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле:
Cnm= Cn+m-1m
Задания
Вычислите:
а). P5(C115-C114)A125 б). P5∙C94-A83 в). P7-P66! г). A93+A92P8 д). P9-8!P7 е). A157-A156C1672. Решить уравнения:
а). 5∙Cn3=Cn+24 б). Ax6=28Ax-25 в). 2Cx+52-15Cx1=75 г). 4Cn+4n-1=3An+23 д). Ax+13∙Px-2=30Px ж). PkAk+1n+1∙Pk-n, где k≥nРезультаты практической работы оформить в тетради и сдать на проверку преподавателю.
По теме предусмотрена проверочная работа.
Преподаватель______
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению практической работы № 2
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Тема работы:«Решение задач на расчет количества комбинаций»
Цель работы: научиться решать задачи на расчет количества комбинаций заданного типа в заданных условиях.
Форма выполнения: групповая
Форма контроля: зачет
Обеспечение: методические указания к выполнению работы
Необходимые сведения из теории
ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ
Правило суммы: Если некоторый объектА из совокупности объектов можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то объект либо A, либо B можно выбрать m + nспособами.
Правило произведения: Если некоторый объектА из совокупности объектов можно выбрать m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (AB) в указанном порядке может быть выбрана m∙n способами.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ
Размещения
Отличаются по составу и по порядку элементов.
Число размещений без повторений вычисляется по формуле:
Anm= n!(n-m)!
Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:
Anm= nm
Перестановки
Отличаются по порядку элементов.
Число перестановок без повторений вычисляется по формуле:
Pn=n!
Число перестановок с повторениями вычисляется по формуле:
Pn= n!n1! n2!… nk!
гдеn1+ n2+ …+ nkи
n1 – число повторений первого элемента,
n2 – число повторений второго элемента и т.д.
Сочетания
Отличаются по составу и по порядку элементов.
Число сочетаний без повторений вычисляется по формуле:
Cnm= n!n-m!m!
Свойства сочетаний:Cnm=Cnn-mCn0+ Cn1+ Cn2+ ... + Cmn=2n
Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле:
Cnm= Cn+m-1m
З Задания.
Сколько можно изготовить различных трехцветных флажков, если использовать следующие цвета: белый, синий, красный, желтый, зеленый, черный?
Сколькими способами можно распределить шесть проводников по шести вагонам, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?
На семь сотрудников выделено четыре одинаковые путевки в дом отдыха. Сколькими способами их можно распределить?
Для полета на Марс необходимо укомплектовать следующий экипаж космического корабля: командир корабля, первый его помощник, второй помощник, два бортинженера и один врач. Командующая тройка может быть отобрана из числа 25 готовящихся к полету летчиков, два бортинженера – из числа 20 специалистов, в совершенстве знающих устройство космического корабля, и врач – из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж исследователей?
Сколькими способами восемь различных книг можно расставить на одной полке так, чтобы: а) две определенные книги оказались рядом; б) две определенные книги не оказались рядом.
Сколько существует способов размещения 10 шариков в два ящика, чтобы в одном оказалось не более 4, а в другом – не более 8 шариков.
Сколько можно составить слов из букв слова «математика».
Ответы: 1) 120; 2) 720; 3) 35; 4) 20 976 000; 5) а) 10 080; б) 30 240; 6) 375; 7) 151 200.
Результаты практической работы оформить в тетради и сдать на проверку преподавателю.
По теме предусмотрена проверочная работа.
Преподаватель______
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.
Примерный вариант
Вычислить: A94∙P5P7.
Решить уравнение: Cx+15=3∙Ax38.
Сколько различных слов можно составить из букв слова «медведь».
Сколькими способами можно переставить на полке 8 различных книг.
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 6, 7, 9, если:
а) цифры повторяются;
б) цифры не повторяются.
В бригаде 22 человека. Сколькими способами можно распределить между ними 3 путевки в санаторий.
В колоде 36 карт. Вынимают 3 карты. Сколько способов вынуть короля и двух дам.
Хоккейная команда состоит из 3 вратарей, 8 защитников и 12 нападающих. Сколькими способами можно образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
ПРИЛОЖЕНИЕ 4.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
ЗАНЯТИЕ 1.
В группе 30 человек, необходимо выбрать старосту и профорга. Сколькими способами можно это сделать?
Решение: Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся. После того как староста выбран, профоргом можно выбрать любого из оставшихся 29 учащихся. Одному способу выбора старосты соответствуют 29 способов выбора профорга. Следовательно, общее число способов выбора старосты и профорга равно 30∙29 = = 870.
Имеется 20 изделий первого сорта и 30 изделий второго сорта. Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколькими способами можно это сделать?
Решение: Выбор изделий 1-го сорта: 20∙19 = 380.
Выбор изделий 2-го сорта: 30∙29 = 870.
Общее число способов выбора изделий одного сорта: 380 + 870 = 1250.
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них в числе не повторяется.
Решение: P5=5!=1∙2∙3∙4∙5=120. Вычислить: а) P6-P55! ; б) P20P4∙P16 ; в) PxPx-2∙P2 .
Решение: а) P6-P55!=6!-5!5!=720-120120=600120=5;б) P20P4∙P16=20!4!∙16!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10∙11∙12∙13∙14∙15∙16∙17∙18∙19∙201∙2∙3∙4∙1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10∙11∙12∙13∙14∙15∙16=17∙18∙19∙201∙2∙3∙4=17∙3∙19∙51=4845; в) PxPx-2∙P2=1∙2∙…∙x-2∙(x-1)∙x1∙2∙…∙(x-2)∙1∙2=(x-1)∙x1∙2=x2-x2.Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что цифры в числе не повторяются.
Решение: A52=5∙4=20. Вычислить: а) A53 ; б) A135 ; в)A153+A154A155 .
Решение: а) A53=5!5-3!=5!2!=3∙4∙2=24; б) A135=13!13-5!=13!8!=9∙10∙11∙12∙13; в) A153+A154A155=15!(15-3)!+15!(15-4)!15!(15-5)!=15!12!+15!11!15!10!=13∙14∙15+12∙13∙14∙1511∙12∙13∙14∙15=1+1211∙12=13132.Вычислить: а) C83; б) C85.
Решение: а) C83=8!3!∙(8-3)!=8!3!∙5!=6∙7∙81∙2∙3=7∙8=56; б) C85=8!5!∙(8-5)!=8!5!∙3!=6∙7∙81∙2∙3=7∙8=56. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из 30 человек в группе?
Решение: C303=30!3!∙(30-3)!=30!3!∙27!=28∙29∙301∙2∙3=28∙29∙5=4060.Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более пяти, а во второй – не более девяти человек?
Решение: Первая подгруппа может состоять из 3, 4 или 5 человек. Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, следовательно, искомое число способов: C123+C124+C125=1507. Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни один из них не будет подвергнут опросу дважды и на занятии может быть опрошено любое количество учащихся, причем, порядок, в котором опрашиваются учащиеся, безразличен?
Решение: Преподаватель может не спросить ни одного из учащихся или может спросить 1,2,3, … или 11 учащихся. Тогда число всех возможных вариантов опроса равно: C110+C111+C112+C113+…+C1111=211.
Решить уравнение: а). An-23=4An-32 ; б). An4∙Pn-4=42Pn-2.
Решение: а). An-23=4An-32 (n-2)!(n-2-3)!=4∙(n-3)!(n-3-2)! n-2!n-5!=4∙n-3!n-5! n-5!∙n-4∙n-3∙(n-2)n-5!=4∙n-5!∙n-4∙(n-3)n-5! n-4∙n-3∙n-2=4∙n-4∙(n-3) n-2=4 n=6Проверка: A43=4A324!1!=4∙3!1!1∙2∙3∙41=4∙1∙2∙314=4 - верно.
Вычислить: A52∙A42∙A32.Решение:A52∙A42∙A32=5!(5-2)!∙4!(4-2)!∙3!(3-2)!=5!∙4!∙3!3!∙2!∙1!=1∙2∙3∙4∙5∙3∙41=1440. Решить систему уравнений: Cxy=Cxy+2,Cx2=66.Решение:Cx2=66x!2!∙x-2!=66x-2!∙x-1∙x1∙2∙x-2!=66x-1∙x2=66x2-x=132x2-x-132=0D=529x1,2=1±232=-11;12 (-11-не подходит по условию)
x=12C12y=C12y+212!y!∙12-y!=12!y+2!∙12-y-2!y!∙12-y!=y+2!∙10-y!y!∙10-y!∙11-y∙12-y=y!∙y+1∙y+2∙10-y!11-y∙12-y=y+1∙(y+2)132-12y-11y+y2=y2+y+2y+2-26y=-130y=5Проверка: C125=C127-верно,C122=66-верно. 30 учащихся обменялись друг с другом фото. Сколько всего фото было роздано?
Решение:29∙30=870. Решите уравнение: Cx-22=21. Выполнить проверку.
Решение: x-2!2!∙x-4!=21x-2∙(x-3)2=21x2-5x+6=42x2-5x-36=0D=169x1,2=-4;9 (-4-неподходитпоусловию)x=9 Сколькими способами можно заполнить лотерейный билет 5 из 36?
Решение:C365=36!5!∙(36-5)!=36!5!∙31!=32∙33∙34∙35∙361∙2∙3∙4∙5=4∙11∙34∙7∙361=376992. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и три офицера.
Решение:C803∙C31=80!3!∙(80-3)!3!1!∙(3-1)!=80!∙3!3!∙77!∙1!∙2!=78∙79∙801∙2=78∙79∙40=246480.ЗАНЯТИЕ 2.
Сколько разных «слов» можно составить из букв слова: а) «стена», б) «гамма»?
Решение: а) P5=5!=1∙2∙3∙4∙5=120; б) P5=5!1!∙2!∙2!=3∙4∙51∙2=3∙2∙5=30.В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно образовать набор из 12 открыток?
Решение: C1012=C10+12-112=C2112=21!12!∙(21-12)!=21!12!∙9!=13∙14∙15∙16∙17∙18∙19∙20∙211∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9===13∙15∙16∙17∙19∙218∙9=13∙5∙2∙17∙19∙71=293930.Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если одна и та же цифра может повторяться несколько раз?
Решение: A53=53=125.В колоде 32 карты. Раздаются три карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?
Решение:C41∙C282=4!1!∙(4-1)!∙28!2!∙(28-2)!=4!∙28!1!∙3!∙2!∙26!=4∙27∙281∙2=2∙27∙28=1512.Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вариантов распределения оценок, если известно, что так или иначе все они сдали экзамен?
Решение: A34=34=81.Сколько пятизначных чисел можно образовать из цифр 0 и 1?
Решение:A24=24=16.Абитуриенту нужно сдать четыре экзамена и набрать не менее 17 баллов(«2» получать нельзя). Сколько существует разных наборов экзаменационных оценок, дающих ему право поступления?
Среди перестановок цифр 1, 2, 3, 4, 5 сколько таких, которые не начинаются цифрами 3 и 5?
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр.
а). Сколько всего получится таких чисел?
б). Сколько среди них будут начинаться с цифры 5?
в). Сколько чисел будут оканчиваться комбинацией 41?
г). Сколько получится четных и сколько нечетных чисел?
д). Сколько получится чисел, кратных 3?