Методика решение задач на классическое определение вероятности в различных учебно-методических комплектах
Методика решение задач на классическое определение вероятности в различных учебно-методических комплектах
Учитель математики МБОУ СОШ
№9 г.о.Лобня
Фокина Н.Н.
Содержание
Введение. 3
Основная часть .. 6
§1Анализ методической литературы... 6
§2 Конспект урока..10
§3 Исторические задачи14
§4 Контрольная работа..16
Заключение.18
Приложения19
Список литературы, электронные ресурсы.27
Введение
До недавнего времени Россия оставалась одной из немногих стран с развитой системой образования, где вероятностно-статистические знания практически всегда оставались за пределами школьного обучения. С наступлением 21 века мы окончательно убедились в неотвратимости пришествия в среднюю школу стохастики, изучающей случайные явления.
Поэтому в настоящее время одной из наиболее актуальных проблем методики преподавания математики является проблема введения в школьный курс вероятностно – статистической линии, которая давала бы возможность познакомить всех учащихся с миром случайного, с самых ранних лет формировать у них умение накапливать систематизировать представления о свойствах окружающих явлений, в большинстве своем имеющих стохастическую природу.
К особенностям новой линии можно отнести то, что в ней много рассуждений, мало формул, отсутствуют громоздкие вычисления, открыт большой простор для творческой деятельности учащихся.
Эта линия требует своеобразных форм, средств и приемов обучения, соответствующих возрасту и интересам учащихся: дидактических игр и экспериментов, живых наблюдений и предметной деятельности.
Сегодня мы имеем первый комплект учебников для массовой школы, содержащие разделы по теории вероятностей. В связи с этим многие учителя оказались в нелегком положении. Большинство из них не помнит даже самих «элементов», не говоря уже о какой – то специальной методике их преподавания в школе, направленной на развитие особого типа мышления и формирования недетерминированных представлений.
Именно поэтому для всех учащихся необходимо получить в школе сведения об установившихся научных концепциях и приобрести твердые основы научных знаний, а кроме того умения логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Школа должна дать представления о том, что наука и ее концепция тесно связаны с практикой, из которой она черпает постановки своих проблем, идеи, а затем возвращает практике новые возможности решения основных ее проблем, создает для нее новые методы. Без этого образование будет неполноценным, оторванным от жизни и создаст для воспитанников школы многочисленные трудности.
Мы должны научить детей жить в вероятностной ситуации. А это значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способность жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно – статистического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой и элементами математической статистики, с формированием комбинаторного и вероятностного мышления
Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. Одновременно само знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначным «да» и «нет» существует еще и «быть может» (причем это «быть может» поддается строгой количественной оценке!), способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью.
Именно вероятностно-статистическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.
Появление в школьной программе вероятностно – статистической линии, ориентированной на знакомство учащихся с вероятностной природой большинства явлений окружающей действительности, будет способствовать усилению ее общекультурного потенциала, возникновению новых, глубоко обоснованных межпредметных связей, гуманитаризации школьного математического образования.
Одной из важных целей изучения вероятностно – статистического материала в школе является развитие вероятностной интуиции, формирование адекватных представлений о свойствах случайных явлений. Ведь в жизни очень часто приходится осуществлять оценку шансов, выдвигать гипотезы и предложения, прогнозировать развитие ситуации, рассуждать о возможностях подтверждения той или иной гипотезы и т. п. представление о вероятности, которое усвоено в процессе организованного, систематического изучения, отличается от обыденного, житейского именно тем, что оно является носителем представлений об устойчивости, закономерности в мире случайного, позволяет наиболее полно и правильно делать выводы из имеющейся информации.
В школьном курсе для испытаний со счетным числом исходов можно использовать классическое и статистическое определение вероятности.
§1Анализ методической литературы
Что же такое вероятность? Вероятность это мера объек тивной возможности, степень возможной реализации данного события при данных условиях и при данной закономерности.
Один из шагов в вероятностной линии в школьном курсе – это введение классического определения вероятности. Необходимо, чтобы учащиеся понимали разницу между статистическим и классическим определениями вероятности. Чтобы они осознавали, что это не еще одно определение вероятности, а один из способов вычисления вероятности.
Сопоставляя определение классической вероятности и относительной частоты (статистическая вероятность), заключаем: определение классической вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же статистической вероятности предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, классическую вероятность вычисляют до опыта, относительную частоту – после опыта.
При введении любой новой темы, любого нового вопроса в основной курс школы встает проблема изложения данного вопроса в школьных учебниках.
Рассмотрим некоторые учебники, в которых рассматривают классическое определение вероятности. Одним из учебников рассмотрим часть 1, учебник Мордкович А. Г., Семенов П. В. Алгебра 9класс.
В §20 Простейшие вероятностные задачи даётся классическая вероятностная схема для нахождения вероятности события А при проведении некоторого опыта следует:
найти число N всех возможных исходов данного опыта;
принять предложение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
найти количество N(А) тех исходов опыта, в которых настпает событие А;
найти частное N(А)/N; оно и будет равно вероятности события А.
Довольно часто классическая вероятностная схема выражается одной фразой, которая является классическим определением вероятности: вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех равновозможных между собой исходов этого испытания. Так же водится понятие противоположных событий и несовместных. Изучаются следующие теоремы: «Если А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)», «Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: Р(13 QUOTE 1415) = 1 – Р(А)». [11, с.200]. Разобраны подробно задачи.
Рассмотрим следующий учебник – Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 9», под редакцией Теляковского С.А.
Основная цель ввести понятия «случайное событие», «относительная частота случайного события» и «вероятность случайного события» и выработать умение решать простейшие задачи с использованием этих понятий.
В пункте 34 вводятся понятия случайного события, относительной частоты случайного события и вероятности наступления случайного события. Событие называют случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий оно может произойти или не произойти.
Учащиеся впервые встречаются с понятием «вероятность случайного события». Они узнают, что если в длинной серии одинаковых экспериментов со случайными исходами значения относительных частот наступления того или иного случайного события близки к некоторому определенному числу, то это число принимают за вероятность данного случайного события. Такой подход к вычислению вероятностей называют статистическим подходом.
Усвоению полученной информации способствует рассказ учителя о многократных опытах с бросанием монеты, проведенных математиками, а также обсуждение заданий, предложенных в упражнениях 791794.
Для того чтобы найти вероятность интересующего нас события, необходимо провести достаточно большое число экспериментов или наблюдений. В то же время если рассматриваются испытания со случайными исходами и все эти исходы равновозможны, то вероятность случайного события удается найти путем правдоподобных рассуждений, основанных на практическом опыте и здравом смысле.
Если, например, мы имеем игральный кубик правильной формы, сделанный из однородного материала, то при бросании этого кубика шансы выпадения на его верхней грани 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков одинаковы, т. е. нет оснований считать, что выпадение на его верхней грани одного из очков от 1 до 6 более вероятно, чем другого. Говорят, что существует шесть равновозможных исходов этого испытания: 1, 2, 3, 4, 5, 6. В связи с этим естественно предположить, что вероятность выпадения на верхней грани кубика какого–то одного числа очков, например «тройки», равна 1/6 .
Подобные рассуждения позволяют нам перейти к классическому подходу к определению вероятности. В учебнике рассматривается такой пример. Допустим, нас интересует вопрос, какова вероятность того, что при бросании игрального кубика произойдет событие В, которое состоит в том, что на кубике выпало число очков, кратное 3. Это событие возможно при двух исходах испытания: когда выпало 3 очка и когда выпало 6 очков. Исходы испытания, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события. Для события В существует два благоприятных исхода: выпадение 3 очков и выпадение 6 очков. Отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов равно 2/6 . Это отношение называют вероятностью события В и пишут P( B )=2/6 , т. Е. P( B )=1/3 .
Вообще, вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов. Такой подход к определению вероятности называют классическим. Вероятность обычно обозначают буквой Р, используя записи Р(А); Р(В) и т. д. Это обозначение происходит от французского слова probabilitй, что означает «вероятность»
Главное, на что надо обратить внимание учащихся, что применять классическое определение вероятности можно к таким моделям реальных явлений, у которых множество всех исходов испытания является множеством равновозможных исходов. Недостаточное внимание к этому может привести к неверной оценке вероятности наступления того или иного события.
При изучении данной темы важно добиваться, чтобы учащиеся овладели новыми понятиями «равновозможные исходы», «исходы, благоприятные для данного события», а также научились пользоваться новой терминологией при решении задач.
В данной теме учащиеся знакомятся с понятиями «достоверное событие» и «невозможное событие» и получают представление о вероятностной шкале.
После этого учащимся предлагаются упражнения на вычисление вероятностей события, в частности такие, в которых используется формула числа перестановок (798806). При введении понятий «достоверное событие», «невозможное событие», «вероятностная шкала» используются упражнения 807 и 808. Полезно, чтобы учащиеся привели свои примеры достоверных и невозможных событий. Далее рекомендуется рассмотреть пример 3 и пример 4 и предложить учащимся более сложные задания, в которых при вычислении вероятности события используется формула числа сочетаний (809812). Рекомендуется специально остановиться на задании 813.
В §4 «Начальные сведения из теории вероятностей» Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей, вводятся связанные с ними понятия несовместные, противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися.[5]
§2 Конспект урока
Тема урока: Классическое определение вероятности.
Цель урока:
1) закрепить знание формулы;
2) способствовать развитию навыка самостоятельного применения знаний при решении задач, внимания;
3) воспитать усидчивость, терпение.
Оборудование: доска, мел, набор задач.
Структура урока.
1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и цели занятия.
3. Изучение нового материала.
Изучение понятия вероятности события обычно начинается с самого простого частного случая, так называемого классического определения. Оно опирается на понятие равновероятности событий.
Начнем с примеров. В опыте с броском монеты события Г=«выпал герб» и Ц = «выпала цифра» очевидно равновероятны. Это утверждение основано на том, что монета симметрична и однородна. В опыте с броском игральной кости события Q1, Q2, , Q6 тоже, очевидно, равновероятны. Это следует из однородности материала кости и ее симметричной формы. Таким образом, равновероятность событий обычно устанавливается исходя из того, что условия опыта симметричны относительно рассматриваемых событий. При этом симметрия понимается в широком смысле этого слова и геометрическая симметрия, и физическая симметрия (например, однородность материала, из которого изготовлена игральная кость или монета) и так далее. То есть для того чтобы можно было начать, решение задачи средствами теории вероятностей, необходимо, чтобы вероятности некоторых событий в задаче уже были указаны. Откуда же эти вероятности берутся?» Их дают те конкретные науки, в рамках которых возникла решаемая вероятностная задача. При этом зачастую основную роль играют соображения не математические, а той науки, в рамках которой возникла задача. Понятие равновероятности событий это есть одна из форм указания начальных вероятностей.
Теперь можно дать классическое определение вероятности случайного события.
Определение. Пусть множество исходов опыта состоит из n равновероятных исходов. Если m из них благоприятствуют событию А, то вероятностью события А называется число p(A)=N(А)/N
4. Решение задач.
Задание 1. Какова вероятность того, что при броске игральной кости выпадет четное число очков?
Решение. В опыте «бросок игральной кости» мы имеем 6 равновероятных исходов: события Q1, Q2, , Q6. Нас интересует вероятность события Qч. Этому событию благоприятствуют три исхода опыта: события Q1, Q2, и Q6. Следовательно n = 6, т = 3, а искомая вероятность 0,5.
Задание 2. Бросали две монета. Какова вероятность того, что на каждой монете выпал герб?
Решение. Сразу напрашивается множество исходов, состоящее из трех событий (здесь опыт фосок двух монет): «на обеих монетах выпал герб» = Г, «на обеих монетах выпала цифра» = Ц и «на одной монете выпал герб, а на другой монете выпала цифра» = А. Но интуитивно ясно, что это не равновероятные события событие А имеет больше шансов появиться. Чтобы получать равновероятные исходы, внесем в этот опыт некоторое дополнение, которое не изменит вероятностной структуры задачи. Именно, возьмем одну монету медную, а другую серебряную. Это добавление позволит выделить равновероятные исходы испытания. Ими будут события Г, Ц, А1= «на серебряной монете выпал герб, на медной монете выпала цифра» и А2 = «на серебряной монете выпала цифра, на медной монете выпал герб». Эти четыре события уже равновероятны, поскольку условия опыта относительно них симметричны. Они также образуют множество исходов рассматриваемого опыта. Теперь все подготовлено для того, чтобы можно было обратиться к теории вероятностен {до сих пор мы пользовались условиями задачи для выяснения некоторых основных, исходных вероятностей: в нашем случае это сводилось к выявлению равновероятных исходов испытания}. Равновероятных исходов испытания 4, т. е. п= 4. Нас интересует вероятность события Г. Ему благоприятствует только один исход, т. е. т =1. Следовательно, искомая вероятность 0,25.
Задание 3. Из семи одинаковых билетов один выигрышный. Семь человек по очереди и наугад берут (и не возвращают обратно) по одному билету. Зависит ли вероятность взять выигрышный билет от номера в очереди?
Решение. Опишем математическую модель этого примера. Перенумеруем все билеты, начиная с выигрышного. В результате опыта билеты оказываются распределенными между людьми, которые занимали определенные места в очереди. Этим упорядочивается множество из семи билетов: на первом месте оказывается билет, взятый человеком, стоявшим в очереди первым; на втором месте оказывается билет, взятый человеком, стоявшим в очереди вторым, и т. Д. Таким образом, исходом опыта является получение некоторой перестановки из 7 билетов, их число n=7!. Поскольку билеты берутся наугад, то все эти. Исходы равновероятны. Нас интересует вероятность события А= «человек, стоявший в очереди на k-м месте, взял выигрышный билет». Этому событию благоприятствуют исходы, при которых получаются перестановки, имеющие на k-м месте выигрышный билет, а остальные 6 мест заняты произвольной перестановкой из оставшихся шести невыигрышных билетов, их число т= 6! Следовательно, Р(А) = 6!/7! = 1/7. Видим, что вероятность взять выигрышный билет не зависит от номера очереди.
Задание 4. На пяти одинаковых на ощупь карточках написаны буквы: на двух карточкахбуква Л и на трех карточках буква И. .Выкладываем наугад эти карточки подряд. Какова вероятность того, что выложится слово ЛИЛИИ?
Решение. Опыт в этой задаче состоит в получении наугад некоторого «слова» из имеющихся пяти букв. Нас интересует вероятность события С = «получено слово ЛИЛИИ». Для выявления равновероятных исходов перенумеруем буквы так: Л1, Л2, И1, И2, И3. Теперь в результате опыта мы будем получать слово из нумерованных букв. События «получено слово Л1И1Л2И2И3»и «получено слово Л2И1Л1И3И2» разные, хотя и в том и в другом случае получено слово ЛИЛИИ, т. е. произошло интересующее нас событие С. Выписанные события благоприятствуют событию С. Ясно, что события, выписанные выше, и все возможные аналогичные есть равновероятные исходы нашего опыта. Число их равно числу перестановок в множестве из пяти элементов, т. Е. п= 5!=120. Подсчитаем при помощи принципа произведения число исходов, благоприятствующих событию С.
Рассмотрим множество В= {(Л1Л2); (Л2Л1)}, состоящее из двух возможных перестановок нумерованных букв Л, и множество А, состоящее из шести перестановок нумерованных букв И1И2И3. Каждый исход, благоприятствующий событию С, можно получить так: берем элемент множества В и ставим буквы Л (сохраняя их порядок) на первое и третье места в слове. Оставшиеся места занимаем каким-нибудь элементом множества А (не изменяя порядка нумерованных букв И). Таким образом, каждый исход получается как пара: элемент из В и элемент из А. В силу принципа произведения число таких исходов т = 2 6 =12. Вероятность же интересующего нас события Р(А) = 12/120 = 0,1
5. Итоги урока. Вопросы для повторения:
1) Что такое вероятность, частота события?
2) Сформулируйте классическое определение вероятности?
6. Постановка домашнего задания.
Задание 1. Бросили две игральные кости и сосчитали сумму выпавших очков. Что вероятнее получить в сумме: 7 или 8?
Задание 2. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым? (Точный смысл выражения «наугад вынимается шар» будет выяснен в процессе решения.)[6]
Решение домашней работы [Приложение 1]
§3 Исторические задачи
Теория вероятностей при всей ее красоте и занимательности достаточно сложна. На занятиях введения в учебный предмет совершенно не лишней будет реализация принципа доступности. Исторические задачи с игральными костями можно рассматривать как гуманитарный аспект при обучении элементам теории вероятностей. Исторические задачи лучше сопровождать биографическими фактами о детстве и юности ученых, их вкладе в науку, доказывая учащимся, что без усердия, труда и целеустремленности математику не познать.[1]
Задача 1 (задача Гюйгенса). В урне два белых и четыре черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых трех шаров будет ровно один белый. В каком отношении находятся шансы спорящих?
Решение. Вероятностный граф изображён на рис. 1 [Приложение 4]. Ровно один белый шар появляется в случаях 3, 5, 6, считая сверху. Теперь для оценки шансов пер вого игрока нужно вычислить вероятность события «среди вынутых трёх шаров будет ровно один белый». Для этого достаточно вычислить вероятности каж дого из случаев (перемножая веса входящих ветвей) и результаты сложить. Вероятность данного события равни3 к 5. Отсюда следует, что вероятность противоположного события равна 2 к 5 так что шансы спорящих относятся как 3:2.[3],[4]
Задача 2. ЗАДАЧИ КАВАЛЕРА де МЕРЕ
Первая состояла в том, чтобы узнать, сколько раз надо метать две кости, чтобы надеяться получить наибольшее число очков, то есть двенадцать. Эта задача весьма простая (благоприятных случаев 1, равновозможных – 36, вероятность 1 к 36).
Вторая задача сложнее. Страстный игрок, де Мере чрезвычайно интересовался следующим вопросом: каким образом разделить ставку между игроками в случае, если игра не была окончена? [Приложение 5].
Задача 3.
Историческая задача Христиана Гюйгенса. Гюйгенс Христиан (1629–1695) нидерландский математик, физик, механик и астроном.
Однажды к Гюйгенсу обратился наемный ландскнехтский солдат – азартный игрок с проблемой о том, что, его многолетний опыт показывал: 11 очков появляется несколько чаще, чем 12 очков. Так ли это? Задача. При одновременном бросании трех игральных костей какая сумма выпавших на них очков должна появляться чаще – 11 или 12? [Приложение 6].
§4 Контрольная работа
По окончании изучения вопроса о классическом определении необходимо предложить учащимся написать контрольную работу, чтобы проверить степень освоенности учебного материала:
Задача 1. В сборнике билетов по физике всего 25 билетов, в 13 из них встречается вопрос по оптике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по оптике.[9, c.45]
Задача 2. На соревнования по метанию ядра приехали 7 спортсменов из России, 7 из Швеции и 6 из Сербии. Порядок выступления определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым будет выступать спортсмен из Швеции? [9, c.45]
Задача 3. Лена и Саше играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Ничья, если очков поровну. Лена выкинула 4 очка. Затем кубик бросает Саша. Найдите вероятность того, что Саша проиграет. [9, c.47]
Задача 4. Четыре билета на ёлку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова вероятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам?[8, с.58]
Задача 5. В коробке лежит 8 красных карандашей и 4 синих. Из коробки наугад вынимают 5 карандашей. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся красными, а 2 – синими?[8, с.58]
Задача 6. На координатной прямой отмечены точки А(0) и В(4). На отрезке АВ наугад выбрана тоска С(х). какова вероятность того, что х принадлежит отрезку [0;1,2].
Задача 7*. Из 1000 произвольно выбранных деталей примерно 4 бракуются. Сколько бракованных окажется среди 2400 деталей (приближенно)? [10, c.46].
Решение контрольной работы [ Приложение 2]
Критерии проверки контрольной работы можно посмотреть в приложении 3.
Заключение
Проведение экспериментов должно возбудить у учащихся неподдельный интерес. Эксперимент является эмпирическим методом обучения, используемый в частности, в экспериментальных естественных науках, а математика не является экспериментальной. Поэтому этот метод в математике применяется редко, так как опыт не является достаточным основанием истинности того или иного предложения. Но опыт, эксперимент дает учащимся возможность извлечь из них очевидные закономерности, сделать какие то открытия, а теория вероятностей опирается именно на результаты многочисленных экспериментов.
Изучение вероятностно – статистического материала должно быть направлено на развитие личности школьника, расширять возможности его общения с современными источниками информации, совершенствовать коммуникативные способности и умения ориентироваться в общественных процессах, анализировать ситуации и принимать обоснованные решения, обогащать систему взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в массе случайных фактов.
Появляется много новых терминов, и учителю можно посоветовать следующее: очень полезно было бы завести всем учащимся словарики, куда бы они заносили новые понятия, по мере потребности, могли бы туда заглядывать.
Приложения
Приложение 1
Решение домашнего задания
Задание 1. Бросили две игральные кости и сосчитали сумму выпавших очков. Что вероятнее получить в сумме: 7 или 8?
Решение. В этой задаче опыт состоит в том, что бросают две игральные кости и берут сумму выпавших очков. Исходы этого опыта таковы: «в сумме выпало 2», «в сумме выпало 3» и т. Д., «в сумме выпало 12». Но это не равновероятные исходы. Действительно, в сумме может получиться 2 только одним способом: 2 = 1 + 1, а в сумме может получиться 4 двумя способами: 4 = 1 + 3 и 4 = 2 + 2, т. Е. шансов на то, что в сумме получится 4, больше. Теперь попробуем уточнить выбор исходов опыта и рассмотрим такие события: «на одной кости выпало k очков, а на другой р»: k= 1, 2, 3, 4, 5, 6 и р = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Но это тоже не равновероятные исходы опыта: интуиция подсказывает, что выпадение одинакового числа очков менее вероятно, чем разного. Чтобы получить равновероятные исходы, внесем в эту задачу некоторый дополнительный элемент, который не меняет вероятностную сторону задачи. Именно, окрасим кости в разные цвета красный и синий. Но этот элемент позволит нам, наконец, выявить равновероятные исходы рассматриваемого опыта. Это будут следующие события: «на красной кости выпало k очков, а на синей р очков» = (k; p). Поскольку кости отличаются только цветом, то ясно, что указанные события равновероятны и, кроме того, они образуют множество исходов нашего опыта. Остается подсчитать число всех исходов. Их 36, поскольку каждое из 6 очков, которые могут выпасть на красной кости; может быть в паре с любым из 6 очков, которые могут выпасть на синей. Теперь подсчитаем число исходов, благоприятствующих рассматриваемым событиям. Событию «сумма выпавших очков равна семи» = А благоприятствуют следующие 6 исходов: (1; 6), (2; 5),(3; 4), (4; 3), (5; 2) и (6; 1). Следовательно, Р(А)= 6/36 .
Событию «сумма выпавших очков равна 8» = В благоприятствуют следующие 5 исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Следовательно, Р(В)=5/36
Мы видим, что сумма очков 7 есть более вероятное событие, чем сумма очков 8. Интересно отметить, что этот факт был замечен игроками в кости. Попытки его объяснить (и решение ряда задач по страхованию и т. П.) привели к созданию математической теории начал теории вероятностей.
Задание 2. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым? (Точный смысл выражения «наугад вынимается шар» будет выяснен в процессе решения.)
Решение. В этой задаче рассматривается следующий опыт: из ящика наугад вынимают шар и смотрят его цвет. Сразу напрашивается множество исходов, состоящее из двух событий: Ч = «вынутый шар черный» и Б = «вынутый шар белый». Но эти исходы неравновероятны, так как белых шаров больше и шансов вынуть белый шар больше. Для выявления в этом опыте множества равновероятных исходов внесем в опыт дополнительный элемент, не нарушающий вероятностной структуры задачи, а именно, перенумеруем все шары. Белым шарам поставим в соответствие номера с 1 по 12, а черным номера с 13 по 20. События «вынут шар с номером k»=АK уже равновероятны, так как шары на ощупь неотличимы и вынимаются наугад. Кроме того, эти 20 событий образуют множество исходов нашего опыта. Следовательно, п = 20, а интересующему нас событию В благоприятствуют первые 12 исходов, т. Е. т =12. Следовательно, Р(В)=12/20=0,6
Точный смысл выражения «наугад вынимается шар» состоит в том, что введенные события Ak равновероятны.
Приложение 2
Решение контрольной работы
Решение контрольной работы.
Задача 1.
Р(А)13 QUOTE 1415, так как благоприятных исходов(билет не достанется) 25-13=12, равновозможных – 25.
Задача 2.
Благоприятных исходов для спортсмена из Швеции – 7, а равновозможных исходов – 20=7+7+6, тогда вероятность события Р(А)13 QUOTE 1415
Задача 3
Благоприятных исходов для Саши – 3 , когда на кубике выпадут: 1 очко, 2 очка или 3 очка. Равновозможных исходов для Саши – 6(шесть граней у кубика). Значит Р(А)13 QUOTE 1415.
Задача 4.
Четыре билета между 27 учащимися (15 + 12) можно распределить 13 QUOTE 1415 способами. Два билета (для двух мальчиков) среди 15 мальчиков можно распределить 13 QUOTE 1415 способами, а два билета (для двух девочек) среди 12 девочек можно распределить 13 QUOTE 1415 способами. Каждому выбору билетов для мальчиков соответствует 13 QUOTE 1415 . Значит, благоприятных исходов выбора двух билетов для мальчиков и двух билетов для девочек будет 13 QUOTE 1415
·13 QUOTE 1415 . Отсюда вероятность того, что билеты достанутся двум мальчикам и двум девочками, равна 13 QUOTE 1415.
Задача 5.
В коробке лежит 8 красных карандашей и 4 синих. Из коробки наугад вынимают 5 карандашей. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся красными, а 2 – синими?
Решение.
Из коробки, в которой находится 8 + 4, т. Е. 12 карандашей, 5 карандашей можно выбрать 13 QUOTE 1415 способами. Выбрать 3 красных карандаша из 8 красных карандашей можно 13 QUOTE 1415способами, а 2 синих из 4 синих 13 QUOTE 1415 способами. Каждому выбору красных карандашей соответствует 2C4 синих. Значит, число благоприятных исходов выбора карандашей будет 13 QUOTE 1415 . Отсюда следует, что искомая вероятность равна 13 QUOTE 1415
Задача 6.
Длина отрезка АВ равна 4. Вероятность того, что 0
· х
· 1,2, равна 13 QUOTE 1415.
Задача 7*.
Обозначим события:
А – «наугад выбранная деталь бракованная», тогда Р(А)=0, 004. Если среди 2400 деталей х бракованных, то Р(А)13 QUOTE 1415. Решим уравнение 13 QUOTE 1415 Откуда13 QUOTE 1415
Приложение 3
Критерии проверки контрольной работы
Отметка «5» ставится, если:
-работа выполнена полностью(6 заданий);
-в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробе лов и ошибок;
-в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если:
-работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
-допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках.
Отметка «3» ставится, если:
-допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладка.
Отметка «2» ставится, если:
- допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере
Отметка «1» ставится, если:
-работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.
Приложение 4.
Приложение 5
ЗАДАЧИ КАВАЛЕРА де МЕРЕ
Первая состояла в том, чтобы узнать, сколько раз надо метать две кости, чтобы надеяться получить наибольшее число очков, то есть двенадцать. Эта задача весьма простая (благоприятных случаев 1, равновозможных – 36, вероятность 1 к 36).
Вторая задача сложнее. Страстный игрок, де Мере чрезвычайно интересовался следующим вопросом: каким образом разделить ставку между игроками в случае, если игра не была окончена?
Пытаясь решить, задачи де Мере (главным образом вторую из них), Б. Паскаль в 1654 году начал переписываться с другим крупнейшим французским математиком П. Ферма. Не будучи знакомы лично, благодаря переписке они стали близкими друзьями. П. Ферма решил обе задачи с помощью придуманной им «теории сочетаний». Решение Б. Паскаля было значительно проще. Он исходил из чисто арифметических соображений. Нисколько не завидуя П. Ферма, Б. Паскаль, наоборот, радовался совпадению результатов и писал ему: «С этих пор я желал бы раскрыть перед вами свою душу, так я рад тому, что наши мысли встретились. Я вижу, что истина одна и та же в Тулузе и в Париже».
Приведем вкратце решение Б. Паскаля для второй задачи кавалера де Мере. Предположим, говорит Б. Паскаль, что играют два игрока и что выигрыш считается окончательным после выигрыша одним из них трех партий. Пусть ставка каждого игрока составляет 32 луидора, и предположим, что первый уже выиграл две партии (ему не хватает одной), второй выиграл одну (ему не хватает двух). Им предстоит сыграть еще партию. Если ее выиграет первый, он получит всю сумму, то есть 64 луидора; если второй, у каждого будет по две выигранные партии, шансы обеих будут равны, и в случае прекращения игры каждому, очевидно, надо дать поровну.
Итак, если выиграет первый, он получит 64 луидора. Если выиграет второй, то первый получит лишь 32 луидора. Поэтому, если оба согласны не играть предстоящей партии, то первый вправе сказать:
Тридцать два луидора я получу во всяком случае, даже если я проиграю предстоящую партию, которую мы согласились признать последней. Стало быть, 32 луидора мои. Что касается остальных 32, может быть, их выиграю, я, может быть, вы. Поэтому разделим сомнительную сумму пополам!
Значит, если игроки разойдутся, не сыграв последней партии, то первому надо дать 48 луидоров, или же три четверти всей суммы, второму 16 луидоров, или одну четверть, из чего видно, что шансы первого из них на выигрыш втрое больше, чем второго (а не вдвое, как можно было бы подумать при поверхностном рассуждении).[2]
Приложение 6
Историческая задача Христиана Гюйгенса. Гюйгенс Христиан (1629–1695) нидерландский математик, физик, механик и астроном.
Однажды к Гюйгенсу обратился наемный ландскнехтский солдат – азартный игрок с проблемой о том, что, его многолетний опыт показывал: 11 очков появляется несколько чаще, чем 12 очков. Так ли это? Задача. При одновременном бросании трех игральных костей какая сумма выпавших на них очков должна появляться чаще – 11 или 12? Решение. Представим 11 и 12 очков шестью различными способами: 11 = 1 + 4 + 6 = 1 + 5 + 5 = 2 + 3 + 6 = 2 + 4 + 5 = 3 + 3 + 5 = 3 + 4 + 4;
12 = 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 = 2 + 5 + 5 = 3 + 3 + 6 = 3 + 4 + 5 = 4 + 4 + 4. С учетом возможных перестановок для 11очков получили 27 различных случаев (6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3), а для 12 очков – 25 случаев (6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1). В своем трактате «О расчете в азартных играх» Гюйгенс указал, в частности, сколькими способами при бросании двух костей можно получит ту или иную сумму очков. Для одновременного бросания трех костей Гюйгенс составил таблицу для числа очков различных возможных случаев. Ответ. Чаще появляется 11 очков.[1]
Список литературы, электронные ресурсы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
bunimovich_veroyatnost'-i-statistika-v-kurse-matematiki
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Рурукин А.Н., Полякова С.А. Поурочные разработки по алгебре:9класс. – М.:ВАКО,2010. – 336 с. – (В помощь школьному учителю).
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Под ред. С.А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 78 с.
Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. Единый государственный экзамен 2012. Математика. Учебное пособие. / под ред. И.В. Ященко; Московский центр непрерывного математического образования. – М.: Интелект -Центр, 2012. – 112с.
Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. пособие для 9 – 11 кл. сред. шк. – 3-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1990. – 160 с.
Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович, В.П.Семёнов. – 13-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2011. – 222 с.
13PAGE \* MERGEFORMAT14715
Рисунок 3915