План изучения показательной функции в колледже

Об изучении показательной функции в колледже.
I В настоящее время изучение показательной функции в колледже базируется на предварительном рассмотрении различных обобщений понятия степени – сначала на нулевое и целые отрицательные значения показателя, потом на рациональные значения показателя, и наконец, на любые действительные значения показателя. При этом на каждом этапе необходимо заново доказывать выполнение основных свойств степени, причем эти доказательства различны в случае целых и рациональных показателей, а для действительных значений показателя соответствующие доказательства вообще не проводятся. В результате у студента формируется общее представление о степени, что не позволяет сформировать должным образом и понятие показательной функции. Наконец, из-за отсутствия времени не дается изложение важнейшего вопроса о приложениях показательной функции, о ее роли в естествознании.
Для того чтобы сэкономить время, затрачиваемое на изучение указанного круга вопросов, и при этом раскрыть перед студентами политехническое и прикладное значение показательной функции, предлагается в данной работе подход к изучению показательной функции, не требующий предварительного обобщения понятия степени. В основе этого подхода лежит рассмотрение физических моделей, связанных с процессами органического изменения величин, позволяющее дать определение показательной функции, основанное на перечислении ее свойств. Методы же вычисления значений показательной функции выводятся из этих свойств.
Предлагаемая методика не потребует существенного изменения программ, поскольку по новой программе изучение корней п-й степени с рациональными показателями непосредственно предшествует изучению показательной и логарифмической функции, а по предлагаемой методике будет объединено с ним, при этом существенно экономится время, что даст возможность увеличить число часов на упражнения.
Изучение показательной функции можно начать следующим образом.
Существенное свойство процессов органического изменения величин состоит в том, что за равные промежутки времени значение величины изменяется в одном и том же отношении.
Примеры, в которых величины изменяются по указанному выше закону.
Пример 1. При радиоактивном распаде масса вещества уменьшается по следующему закону: за равные промежутки времени она меняется в одном и том же отношении. Процессы, в которых величина уменьшается за равные промежутки времени в одном и том же отношении, называют процессами органического убывания.
Пример 2. Если колония бактерий имеет достаточное пространство и достаточное количество питательных веществ, то ее масса за равные промежутки времени увеличивается в одном и том же отношении. В таких случаях говорят о процессах органического роста.
Если в начальный момент времени (т.е. при t=0) значение величины равнялось 1, а в момент времени t=1 оно равнялось a,то в момент времени t=2 величина примет значение а2, в момент времени t=3 – значение а3, …, в момент времени t=n – значение аn. Но массу радиоактивного вещества или колонии бактерий можно наблюдать и в другие моменты времени, например через 3,2 единицы времени после начала наблюдения. Можно поставить вопрос и о том, какова была эта масса за некоторое время до начала наблюдения. Условимся обозначить это количество в момент времени t через at независимо от того, является ли t натуральным числом или нет. Таким образом, значение t может быть целым, дробным, иррациональным, положительным, нулевым и отрицательным (в последнем случае речь идет о моментах времени, предшествующих началу наблюдения).
Например, через а3,2 обозначено значение величины в момент времени t=3,2, через
а-6 – значение той же величины в момент времени t= -6 (т.е. за 6 единицу времени до начала наблюдения) и т.д. запись at читают: степень с основанием а и показателем t. Отметим некоторые свойства, которыми обладает выражение at.
Во-первых, во всех разобранных примерах (масса радиоактивного вещества, масса колоний бактерий) значение выражения at при всех t положительно и принимает все положительные значения.
Во-вторых, при а>1 (как в случае разложения бактерий) значение аt увеличивается с ростом t, а при 0<а<1 (как в случае радиоактивного распада) значение аt уменьшается с ростом t.
В-третьих, поскольку промежутки времени (0;Т) и (t0; t0+Т) имеют одинаковую длину Т, значения аt в течение этих промежутков времени меняются в одном и том же отношении. Поэтому справедлива пропорция , из которой следует, что аТ а t0 = а0 а t0+Т.
Но а0 – значение величины, при t=0, а мы приняли, что значение равно 1. Поэтому справедливо равенство аТ а t0 = а t0+Т .Далее отметим, при t=1 значение величины равно а, и потому а1 = а.
Итак, для описания таких процессов, как радиоактивный распад или размножение бактерий нужна функция ах , где а>0, обладающая следующими свойствами:
Функция ах определена для всех значений х.
Все значения функции ах положительны.
Если а>1, функция ах возрастает, если 0<а<1, то она убывает, а при а=1 она равна единице при всех х.
Для всех х и t выполняется равенство ах аt = ах+t. (1)
Верны равенства: а1=а, а0=1.
В более подробных курсах математического анализа доказывают, что для любого а>0 существует одна и только одна функция ах с требуемыми свойствами. Так как в этой функции аргумент находится в показателе, функцию у=ах называют показательной функцией с основаним а.
II Из равенства (1) следует, что для любых чисел х1, х2, х3,…, хk выполняется равенство:
ах1 ах2 … ахk = ах1+х2+…+хk
Значит, при натуральных значениях п имеем
ап = а1 а1 … а1 = а а … а (2)
п множителей п множителей
и потому для этих значений введенное обозначение совпадает с ранее принятым.
Покажем, как вычислять значения показательной функции для других значений показателя с помощью свойств 1-5.
Сначала заметим, что по свойству 5, имеем
а0=1. (3)
Теперь найдем значения ах при дробных значениях х.
Если, например, х= ¼, то имеет место равенство ¼+¼+¼+¼=1, из которого , в силу формулы (2), следует, что а¼ а¼ а¼ а¼ = а1 = а, т.е. (а¼)4 = а.
Но а>0, а¼>0, а потому из равенства (а¼)4 = а получаем а¼ = √а.
Таким же образом для любого натурального значения п получаем равенство
а1/п= √а. (4)
Далее, так как ¾ = ¼+¼+¼, то по формуле (2), имеем
а3/4= а1/4 а1/4 а1/4 = (а1/4)3 = (√а)3.
С другой стороны, так как ¾+¾+¾+¾ = 3, то (а¾)4 = а¾ а¾ а¾ а¾ = а3 и потому а¾=√а.
Аналогично для любого числа х = p/g, где p и g – натуральные числа, получаем
аp/g = (√а)p = √аp (5)
Теперь найдем значение показательной функции при отрицательных значениях показателя. Так как (-х) + х = 0, то по формуле (1) имеем а-х ах = а0 = 1, и потому
а-х = 1/ах. (6)
Для получения приближенных значений ах при иррациональных значениях х надо заменить показатель рациональными приближенными, по недостатку и по избытку. Например, так как 5/4<√2<3/2, то √35<3√2<√33.
Вычисляя значения корней, получаем, что 3,95<3√2<5,20.
Выбирая более точные приближения для √2, получаем более точные границы для 3√2.
Замечание: свойства 1, 4, 5 показательной функции сохраняются и при а = 1, если положить 1х = 1 для всех значений х.
Изучим дальнейшие свойства показательной функции.
Обобщая известное свойство степеней с натуральными показателями (аm)n = amn. Докажем:
Если а>0, то для любых λ и х выполняется равенство
(ах)λ = аλх (7)
В самом деле, при а=1обе части равенства (7) равны 1. Если же а>0, а ≠ 1, то функция аλх обладает свойствами 1-4, характеризующими показательную – она определена для всех значений х, принимает все положительные значения, монотонна и удовлетворяет равенству (1), поскольку аλ(х+t) = аλх аλt. Значит, она является показательной функцией.
Чтобы найти основание этой показательной функции, достаточно положить х = 1.
Но при х = 1 функция аλx принимает значение аλ, и поэтому равенство
аλx = (аλ)x доказано.
Для любых а>0 и в>0, и любого x выполняется равенство
аx вx = (а в)х. (8)
В самом деле, если а=1, то равенство (8) принимает вид 1x вx = (1 в)x. Оно выполняется, так, как 1x = 1 и 1 в = в.
Пусть теперь а ≠ 1. Тогда, по свойству 1, найдется такое число λ, что в=аλ. Значит, аx вx = аx (аλ)x = аx аλx = аx+λx = аx(1+λ) = а(λ+1)x = (а аλ)x = (а в)x.
Для любых а>0 и в>0, и любого x выполняется равенство
(а/в)х = ах/вх (9)
В самом деле, 1/вх = в-х и потому, по формуле (8),
ах/вх = ах в-х = ах(в-1)х = (а в-1)х = (а/в)хПоскольку а1/n = √а , перечисленные свойства показательной функции дают основу для изучения свойств корней. Например, из того, что p/g = pn/gn, следует, что а p/g = а pn/gn, и потому, √аp = √apn,
из свойства 3 при х=1/п, λ=1/т - формула √ав = √а√в,
а из свойства 2 при х=1/п, λ=1/т - формула √ √а = √а и т.д.
Построение графика показательной функции можно изучать следующим образом.
Пусть в начале наблюдения масса колонии бактерий равнялась 1г, причем за каждый следующий час она увеличивается в 2 раза.
Построим график изменения массы т в зависимости от времени х.
Зависимость между массой и временем выразится формулой т = 2x. Для построения графика:
а) вычислим массу колонии через 1ч, 2ч, 3ч, 4ч, до начала и после наблюдения. Данные наблюдений занесем в таблицу (см табл1), считая время до начала наблюдения отрицательным.
Таблица 1.
х-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2x 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16
Построим точки.

Рис1. Рис2.
Мы видим, что полученные точки хорошо ложатся на гладкую кривую (рис.1). Поэтому, соединяя эти точки гладкой линией, получаем эскиз графика изменения массы колонии бактерий, т.е. графика функции у = 2x (рис.2). Более точно получим график, взяв еще значения х = -3½; -2½; -1½; ½; 1½; 2½; … .
На этом графике наглядно видны уже известные свойства этой функции: по мере увеличения х значения функции возрастают, причем при достаточно больших значениях х значения 2x становятся сколь угодно большими (например, 210 = 1024, 220 = 1048576 и т.д.).
Похожий вид имеет график функции у=аx при любом основании а, большем 1. На рис.3 изображены графики функции у=3x и у=4x. Видим, что если 1<а<в, то на положительной полуоси выше идет график функции у=вx, а на отрицательной полуоси – график функции у=аx. Все графики проходят через точку А(0;1).
Масса радиоактивного вещества изменяется по закону т = т0 (½)t.
Построим график изменения массы радиоактивного вещества от времени, считая, что начальная масса t равна 1г.
Для этого воспользуемся равенством (½)х = ½ = 2-х. Это равенство показывает, что таблица значений функции у=(½)х получается из таблицы значений функции у=2x переменой знаков в первой строке (см табл2).
Таблица 2.
х4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
(½)х1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16

Рис3. Рис4.

Рис5. Рис6.
Так как точка А(х;у) и В(-х;у) симметричны относительно оси ординат (рис.4),
а (½)х = (2-1)х = 2-х, то график функции у = (½)х симметричен относительно этой оси графику функции у = 2х (рис.5).
По рис.5 видим, что все значения (½)х тоже положительны, но эти значения уменьшаются при увеличении х. График функции у=(½)х так же проходит через точку А(0;1).
Похожий вид имеют графики показательной функции у=ах при 0<а<1.
На рис.6 изображены графики функций у=(⅓)х и у=(¼)х. Видим, что если 0<а<в<1, то на положительной полуоси выше идет график функции у=ах, а на отрицательной полуоси – график функции у=вх.
Рассматривая обратные зависимости величин (т.е., например, зависимость промежутка времени от массы радиоактивного вещества), приходим к логарифмической функции, и её свойствам.
Описанный подход дает обильный материал для составления текстовых задач на решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Укажем иные случаи изменения величин:
а) при прохождении света через мутную среду сила света на промежутках данной длины уменьшается в одном и том же отношении;
б) давление воздуха при данной разности высот уменьшается в одном и том же отношении;
в) скорость тела, движущегося в среде, сопротивление которой пропорционально скорости, за данный промежуток времени уменьшается в одном и том же отношении.
Теория показательных функций на этом, в принципе, заканчивается, если не считать выделения «главной» функции у = ех. Предварительно, однако, целесообразно построить теорию логарифмов. Она, естественно, строится в данном контексте на основе понятия обратной функции, изученного ранее (на опорном примере корней). Это построение хорошо известно, и мы на нем останавливаться не будем.
Остается рассмотреть лишь введение числа е. Формально говоря, это просто: показательная функция, соответствующая к = 1, принимает при х = 1 некоторое значение, которое мы и обозначаем через е. Таким образом, решение уравнения у’ = у с начальным условием f(0) = 1и есть функция у = ех.
Это уже позволяет ввести понятие натурального логарифма и записать общую формулу решения дифференциального уравнения у’ = ку в виде у = екх,
если f(1) = а, то f(х) = ах = (elna) = eхlna, и мы получаем связь между «основными параметрами» показательной функции.
В то же время, так же как и в случае степени с иррациональным показателем, для настоящего понимания числа е провести некоторые рассуждения, описывающие его более конструктивно, позволяющие вычислять его приближенно. Однако вряд ли это возможно сделать достаточно простыми способами, и поэтому придется ограничиться лишь «догматическим» указанием, что е = 2,718281828459045…
Впрочем, при активном применении калькулятора, в соответствии с современной концепцией профессионального образования, приближенное значение числа е можно получить либо нажатием одной кнопки, либо, что дидактически очевидно, более целесообразно, последовательным вычислением значений выражения (1+1/п)п при возрастающих значениях п. Такая «лабораторная работа», при которой можно постоянно сравнивать вычисленное значение с калькулятором, выводит студентов на классическое определение числа е как предела последовательности (1+1/п)п .
Эта работа ограничивается общей схемой изложения теории показательных функций и не останавливалась на подкреплении развитой теории соответствующими упражнениями, что, конечно, необходимо и требует большой и кропотливой работы.