Методическое пособие для преподавателей Изучение свойств функций в курсе математики
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное бюджетное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова»
Многопрофильный колледж
ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
для преподавателей математики
Магнитогорск
2015
Содержание
Пояснительная записка......................................................................4
Особенности формирования понятия функции...............................5
Требования к комплексу задач на усвоение свойств функций.......7
Изучение свойства четности функций..............................................9
Литература........................................................................................20
Пояснительная записка
Понятие функции является одним из центральных понятий курса математики. Оно часто встречается в курсе математики и хорошо знакомо студентам. Тем не менее, на вступительных экзаменах в вузах поступающие допускают много ошибок при использовании этого понятия. Это делает акцент на усилие изучения понятия функции. Его изучение может оказать значительное влияние на формирование математической культуры студентов, вооружить их способами исследования взаимосвязей между величинами, процессами.
Целями методического пособия являются:
формирование понятия функции;
формирование умений решать задачи с применением свойств функций;
активизация мыслительной деятельности студентов, осознанное усвоение понятий, способов деятельности;
развитие логического мышления.
Задачи методического пособия:
провести компонентный анализ функциональной линии;
разработать комплекс заданий на усвоение одного из свойств функций.
Особенности формирования понятия функции
В литературе имеются две трактовки понятия функции, которые находят отражение в учебниках - это генетическая (или классическая) и логико-структурная (или теоретико-множественная).
Особенность изучения функций состоит в том, что определения функции и всех ее свойств даны на языке теории множеств. В связи с этим большое внимание должно быть уделено овладению студентами функциональной символикой.
Процесс формирования понятия функции ведется по трем направлениям:
упорядочение имеющихся у студентов знаний о функции, развертывание системы понятий, специфических для функциональной линии (способы задания, общие свойства функций, их графики);
изучение отдельных функций и классов функций;
расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и системы действий с функциями.
Необходимо иметь в виду, что образование понятий осуществляется не только за счет усвоения «извне» некоторых сведений об окружающей действительности, но и на основе встречной интеллектуальной самостоятельной деятельности студентов. Поэтому в учебном процессе должны быть предусмотрены такие формы организации учебной информации, которые бы позволяли студентам участвовать в рождении нового понятия, пересматривать его содержание по мере углубления представлений о соответствующих математических объектах вплоть до самостоятельного выстраивания нового понятия на базе некоторых исходных знаний. Важную роль при этом играют комплексы заданий, для составления которых считается целесообразным провести компонентный анализ функциональной линии. Выделим следующие компоненты:
представление о функциональной зависимости переменных величин реальных процессах и в математике;
построение и применение графиков функций;
вычисление значений функций;
представление о функции как о соответствии, изучение области определения, области значений функции, образование пар (значение аргумента, соответствующее значение функции ).
Следует заметить, что независимо от принятого в том или ином учебном пособии подхода к определению функции, в реальном процессе обучения математике необходимо имеют место все перечисленные компоненты.
Требования к комплексу задач на усвоение свойств функций
Изучение определений функции, ее свойств, имеющих разную логическую структуру, требует от студентов достаточно высокого уровня развития мыслительных операций. В связи с этим при составлении комплексов заданий на усвоение того или иного свойства функции прелагается учитывать требования к формированию понятийного мышления.
При формировании понятия функции предлагается рассматривать задачи следующих типов:
Задания на формирование способности к переводу математической информации со знаково-символического «языка» на «язык» образов в виде схем, графиков, предметно-индивидуальных образов. Такие задания необходимы, так как различные компоненты функциональных представлений могут быть отображены различными изобразительными средствами. Поэтому использование перевода информации в различные формы - необходимый методический прием при формировании понятия функции. Выполнение таких заданий позволяет добиться понимания студентами независимости соответствия, задающего функцию, от способа его представления.
Задания на подключение имеющегося у студентов опыта. Образование понятий уходит своими корнями в глубинные структуры индивидуального умственного опыта. Поэтому, добиваясь взаимодействия имеющегося у студента опыта ( в том числе и так называемых житейских понятий ) и тех научных знаний, которыми он овладевает в учебном процессе, мы одновременно решаем две задачи: с одной стороны, под влиянием научного знания происходит артикулирование и обогащение чувственно-сенсорных впечатлений студента и, с другой стороны, сами чувственно-сенсорные впечатления начинают оказывать активное влияние на процесс образования научных понятий, что в целом обусловливает возможность появления собственного «личностного знания».
Задания на выделение признаков усваиваемого понятия, ориентирующие ученика на выявление множества возможных признаков, их дифференциацию, соотнесение различных признаков по степени их значимости и степени обобщенности, систематизацию наиболее существенных признаков.
Задания на включение исходного понятия в систему связей с другими понятиями. При изучении функций необходимо включать упражнения на установление связей между отдельными свойствами функций и свойств функций с решением уравнений и неравенств.
Задания на развитие мыслительных операций, лежащих в основе образования понятий, таких как анализ, синтез, сравнение, обобщение, конкретизация, абстрагирование. Учитывается, что субъективной мерой овладения мыслительными операциями является эффект их обратимости.
Изучение свойства четности функций
Покажем изучение свойств функций через соответствующие комплексы упражнений на примере изучения четности функций.
Так одним из условий четной или нечетной функции является симметричность области определения функции относительно начала отсчета, то изучение данной темы полезно начать с рассмотрения этого вопроса. Здесь студентам можно предложить задание №1.
№1. Найти область определения функций и схематично изобразить их на координатной прямой:
f1( x)= 13 EMBED Equation.2 1415;
f2( x)= 13 EMBED Equation.2 1415;
f3( x)= 13 EMBED Equation.2 1415;
f4( x)= 13 EMBED Equation.2 1415.
Результаты решения представлены на рисунке 1.
D(f1)= (-(;-2)U(-2; ()
-2 0
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· x
Рис.1
Применяя определение фигур симметричных относительно данной точки ( т. О ) к полученным фигурам, изображающим области определения функций ( рис.1 ), делаем вывод , что области определения функций f2, f4- симметричны относительно начала отсчета; а функции f1, f3 - несимметричны. Далее можно перейти от геометрических образов к определению и записи его с помощью символов: D(f )- симметрично относительно начала отсчета, если (х(х(D(F)(-x(D(f)).
№2. Выясните, чему равны значения функций f и g в точках а и -а, если f- четная функция, g - нечетная функция( рис.2,3).
Предложенные задания помогают студентам перейти от геометрических образов к аналитическим выражениям свойств функций, способствуют формированию умения осуществлять словесно-образный перевод.
Свойства понятий и связь между ними , заданные в определении, не всегда четко осознаются студентами. Поэтому, для того, чтобы определение, заданное в словесно-символической форме, было усвоено студентами, необходимо провести его логический анализ. Обратить внимание на родово-видовую связь между понятиями «функция» и «четная функция» и выделить видовые отличия нового понятия.
Рис.2
Рис.3
После анализа определения со студентами целесообразно составлять схему выполнения операции «подведение под понятие» для каждого определения и применять ее к конкретным объектам, оформляя результаты в виде таблицы. Покажем это на примере четной функции ( см. Таблицу 1 ).
№3. Исследуйте функции на четность и результаты занесите в таблицу.
Таблица 1.
Пример
симметричность
D(f)
f(-x)=f(x)
вывод о
четности
f(x)= 13 EMBED Equation.2 1415
-
не проверяем
-
f(x)= 13 EMBED Equation.2 1415
+
-
-
f(x)= 13 EMBED Equation.2 1415
+
+
+
Составление и заполнение таблиц ориентирует студента на выделение признаков усваиваемого понятия и развивает мыслительные операции, такие как анализ, сравнение, конкретизация, лежащие в основе образования понятий.
Для осознанного усвоения определений рекомендуется задавать студентам вопросы:
Что значит, не выполняется первое условие из определения четной (нечетной) функции?
Что значит, не выполняется второе условие из определения четной (нечетной) функции?
Что значит, выполняются одновременно второе условие из определений четной и нечетной функции?
Студенты должны понимать, чтобы доказать, что функция f ни четная, ни нечетная, нужно доказать, что существует хо(D(f) такое, что:
1)-хо(D(f) или 2) f(-xo)( f(xo) и f(-xo)( -f(xo).
Приведем примеры устных упражнений для первичного закрепления понятий четная и нечетная функция, способствующих усвоению признаков новых понятий.
№4. Выполните (устно) следующие задания:
Может ли функция быть четной или нечетной на указанном множестве: [-2; 2]; (-2; 2]; [-2; 2); (0; 2); (-(; -3) U (3; +(); (-(;-3]U[3;+(); (-(;-7)U(3; +()? Ответ обоснуйте.
При исследовании функции на четность выяснилось, что для всех х(D(f), кроме х=15, выполняется условие f(-x)=f(x). Сделайте возможные выводы о четности f.
Известно, что а) если ( х( D(f), то -х( D(f); б) f(-4) = f(4) , f(-2)=f(2).Можно ли сделать вывод, что f- четная функция?
Функция g является нечетной (четной) , причем g(4)=-3, g(2)=-2, g( -1)=0, g(-5)=5. Укажите значения функции в точках -4,-2, 1, 5.
Известно, что f(-3)(f(3) где 3 и -3 входят в область определения функции. Сделайте вывод о четности этой функции.
Известно, что для ( х(D(f) справедливо равенство(-x)=-f(x). Можно ли сделать вывод, что f - нечетная функция?
Приведите примеры функций являющихся ни четными, ни нечетными.
Приведите примеры функций являющихся одновременно четными и нечетными.
Далее со студентами необходимо рассмотреть основные типы задач:
доказать, что f - четная (нечетная и т.д.);
исследовать функцию на четность;
установить по графику четность функции;
достроить график функции, заданной на части ее области определения, с учетом ее четности (нечетности);
привести примеры четных (нечетных и т.д.) функций;
построить график функции, предварительно исследовать ее на четность.
Приведем примеры некоторых из перечисленных заданий.
№5. Исследуйте функции на четность и постройте их графики:
у=х(+1;
у=0;
у=х(-3х;
у=х(-2х.
Анализируя функции из задания №5, можно обратить внимание студентов на степени слагаемых и тем самым мотивировать названия функций «четная», «нечетная».
№6. Проведите классификацию функций по изучаемому свойству.
Результат выполнения задания представлен на рисунке 4.
При выполнении этого задания студенты выполняют такие мыслительные операции, как обобщение, систематизация.
Функции
Область определения Область определения
симметрична относительно не симметрична относительно
начала отсчета начала отсчета
четные нечетные четные и ни четные,
нечетные ни нечетные
Рис. 4. Классификация функций по свойству четности
На этом этапе предлагается составить со студентами прием исследования функций на четность, который можно оформить в виде блок-схемы (см. Рис.5).
начало
y=f(x)
D(f)
(x(D(f)( да
-x(D(f)
нет нет да
f(x)=0
нет f(-x)= да
=f(x)
чет. и
нечет.
нет да
f(-x)=-f(x) f-четная
нечетная
f-ни четная,
ни нечетная
конец
рис.5
№7. Применяя составленный прием, исследуйте функции на четность:
f(x)= 13 EMBED Equation.2 1415;
f(x)= 13 EMBED Equation.2 1415;
f(x)= 13 EMBED Equation.2 1415;
g(x)= 13 EMBED Equation.2 1415;
g(x)= 13 EMBED Equation.2 1415;
f(x)= 13 EMBED Equation.2 1415.
№8. Какие из графиков, изображенных на рисунках 6-9 , являются графиками четных, нечетных, ни четных, ни нечетных функций?
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
№9. Достройте график функции до графика всюду определенной на R и а) четной функции; б) нечетной функции. В каких случаях это невозможно сделать?
Рис. 10
После этого можно предложить задания на конкретное применение свойства четности функций.
№10. Постройте графики следующих функций:
13 EMBED Equation.2 1415;
у=13 EMBED Equation.2 1415;
у= 13 EMBED Equation.2 1415;
у= 13 EMBED Equation.2 1415;
у= 13 EMBED Equation.2 1415;
у=13 EMBED Equation.2 1415.
№11. Известно, что функция f- четная (нечетная). Может ли уравнение f(x)=0 иметь
а) четное число корней;
б) нечетное число корней?
Какое дополнительное условие должно выполняться, чтобы в случае б) ответ был утвердительным?
Со студентами, проявляющими интерес к изучению математики, можно продолжить изучение четных и нечетных функций. Во-первых, выяснить вопрос о четности функций, полученных с помощью арифметических операций из четных и (или) нечетных функций; во-вторых, изучить теорему о том, что всякую функцию с областью определения, симметричной относительно начала отсчета, можно представить в виде суммы четной и нечетной функции. Для этого сначала им можно предложить выполнить следующее упражнение:
№12. Функции f и g определены на множестве Х, симметричном относительно начала отсчета. Исследуйте на четность и нечетность функции f+g, f*g, f/g, если
а)f,g - четные;
б)f,g - нечетные;
в)f - четная, g - нечетная.
После выполнения упражнения учащиеся могут сформулировать следующие свойства четных и нечетных функций:
Сумма, произведение и частное двух четных функций являются четными функциями.
Сумма двух нечетных функций является нечетной функцией.
Произведение и частное двух нечетных функций являются четными функциями.
Произведение и частное четной и нечетной функции являются нечетными функциями.
Далее изучить теорему:
Если область определения функции f удовлетворяет условию симметрии, то ее можно представить в виде суммы двух функций - четной ( и нечетной (
f(х) =((х)+((х), (1)
области определения которых те же, что у функции f. Причем такое представление единственно.
При доказательстве этой теоремы получаем , что
((х)= 13 EMBED Equation.2 1415 (2); ((х)= 13 EMBED Equation.2 1415 (3).
Замечание: доказательство теоремы носит конструктивный характер, так как доказывая существование представления (1) указали формулы (2) и (3), по которым можно найти четную и нечетную части данной функции, причем из этих формул следует единственность представления (1).
№13. Представьте в виде суммы четной и нечетной функции следующие функции:
f(x)= 13 EMBED Equation.2 1415;
f(x)= 13 EMBED Equation.2 1415;
f(x)= 13 EMBED Equation.2 1415.
При дальнейшем изучении свойств функций со студентами необходимо устанавливать связи между ними, так, четности и периодичности, четности и монотонности и т.д.; выяснять, как влияют выявленные взаимосвязи на множество решений уравнений, неравенств.
Предложенный вариант изучения свойств функций через комплексы заданий способствует активизации мыслительной деятельности студентов, осознанному усвоению понятий, способов деятельности.
Литература
Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем.-М.,1981.
Жилина Е.И., Толщина Е.В. Изучение функций в старших классах средней школы.-Магнитогорск,2002.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11.-М.: Школа-пресс, 1995.
Сидоров Ю.В., Болтянский В.Г. Математика. Лекции, задачи, решения.-М.: «Альфа»,1994.
13PAGE 15
13PAGE 14215
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native