Элективный курс Текстовые задачи (10-11 классы)

Элективный курс
по математике для 10 класс
«Текстовые задачи»
Составила Яновская Светлана Ивановна
Пояснительная записка
Анализ результатов проведения ЕГЭ с момента его существования говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет в среднем около 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач и не умеют за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела элементарной математики.
Данный элективный курс рассчитан в первую очередь на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике. Он поможет школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач и открыть для себя новые методы их решения, которые не рассматриваются в рамках школьной программы.
Полный минимум знаний, необходимых для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения в школе, поэтому представленный элективный курс «Текстовые задачи» рекомендуется вводить с 10 класса.
Представленный элективный курс содержит 8 тем. Первая тема «Текстовые задачи и техника их решения» является обзорной. При её раскрытии акцент должен быть сделан на выделения основных этапов решения текстовых задач и их назначение. Следует также обратить внимание учащихся на важность умелого письменного оформления. Следующие пять тем – «Задачи на движение», «Задачи на работу», «Задачи на проценты», «Задачи на сплавы, смеси, растворы», «Задачи на прогрессии» - закрепляют и дополняют знания учащихся, полученные на уроках. Последняя тема – «Задачи с экономическим содержанием», выходит за рамки школьной программы и значительно совершенствует навыки учащихся в решении текстовых задач.
Математические знания и навыки необходимы практически во всех профессиях, прежде всего в тех, которые связаны с естественными науками, техникой, экономикой.
Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у школьников и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни.
Понимание процентов и умение производить процентные расчеты необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.
Данный курс предполагает чёткое изложение теории вопроса, решение типовых задач, задач с практическим содержанием, а именно такие задачи, которые связаны с применением процентных вычислений в повседневной жизни. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простых упражнений на применение изученных формул до приёмов расчёта процентов в реальной банковской ситуации.
Предлагаемый курс направлен на то, чтобы вооружить учащихся дополнительными знаниями по процентным вычислениям для использования их не только в учебно-познавательном процессе, но и повседневной жизни – при расчёте выгодности банковской сделки, рентабельности бизнеса, коммерческого предложения.
Тема “Проценты” является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки. У учащихся воспитывается чувство удовлетворения от установленной им возможности приложения математики к другим наукам.
Они увидят, что такие, на первый взгляд, “бесполезные” вопросы, как сумма членов геометрической прогрессии, имеют глубокий экономический смысл.
Данный курс “Текстовые задачи” будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков решения различных задач, но и формированию интереса учащихся к математике, способствовать их интеллектуальному развитию. При достаточно полном рассмотрении вопросов курса несомненно появится прогресс в подготовке учащихся, что повышает их возможности в решении задач, а значит и повышается успешность сдачи ЕГЭ.
Цели курса:
систематизировать ранее полученные знания по решению текстовых задач;
познакомить учащихся с разными типами задач, особенностями методики и различными способами их решения;
повторить и привести в систему сведения о процентах;
создать основу для расширения сюжетов решаемых задач, сближающих содержание школьного курса с практическим приложением математики как науки;
способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности, развитию практических способностей, необходимых человеку для общей социальной ориентации.
Задачи курса:
актуализировать ранее изученный и новый материал для обеспечения ученикам достаточно высокого уровня компетентности по этой теме;
способствовать развитию учащихся в отношении интеллекта, способностей, мотивации навыков самостоятельной деятельности;
сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности и в задачах из смежных дисциплин;
помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.
Тематический план
№ Разделы Кол-во часов Виды деятельности
1 Текстовые задачи и техника их решения 1 обзорная лекция
урок-беседа
2 Задачи на движение 5 лекция, практикум
3 Задачи на работу 3 лекция, практикум
4 Задачи на проценты 3 лекция, практикум
5 Задачи на сплавы, смеси, растворы 4 лекция, практикум
6 Задачи на прогрессии 3 лекция, практикум
7 Задачи с экономическим содержанием 5 лекция, практикум
8 Решение задач по всему курсу 11 практикум, семинар
Всего 35 Содержание программы
Текстовые задачи и техника их решения (1 ч).
Текстовая задача. Виды текстовых задач и их примеры. Решение текстовых задач. Этапы решения текстовой задачи. Решение текстовых задач арифметическими приёмами (по действиям). Решение текстовых задач методом составления уравнения, неравенства или их систем. Значение правильного письменного оформления решения текстовой задачи. Решение текстовой задачи с помощью графика. Чертёж к текстовой задаче и его значение для построения математической модели.
Задачи на движения (5 ч).
Движение тел по течению и против течения. Равномерное и равноускоренное движение тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу. Движение тел по окружности в одном направлении и навстречу друг другу. Формулы зависимости расстояния, пройденного телом, от скорости, ускорения и времени в различных видах движения. Чтение графиков движения и применение их для решения текстовых задач. Составление таблицы данных задачи и её значение для составления математической модели.
Задачи на работу (3 ч).
Формула зависимости объёма выполненной работы от производительности и времени её выполнения. Особенности выбора переменных и методика решения задач на работу. Составление таблицы данных задачи и её значение для составления математической модели.
Задачи на проценты (3 ч).
Устраняются проблемы в знаниях по решению основных задач на проценты: что такое проценты, как выразить число в процентах, как выразить проценты в десятичной дроби, нахождение процентов от данного числа, нахождение числа по его процентам, процентное отношение двух чисел.
Задачи на сплавы, смеси, растворы (4 ч).
Формула зависимости массы или объёма вещества от концентрации и массы или объёма. Особенности выбора переменных и методика решения задач на сплавы, смеси, растворы. Составление таблицы данных задачи и её значение для составления математической модели.
Задачи на прогрессии (3 ч).
Формула общего члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий. Особенности выбора переменных и методика решения задач на прогрессии.
Задачи с экономическим содержанием (5 ч).
Формулы процентов и сложных процентов. Особенности выбора переменных и методика решения задач с экономическим содержанием. Решение задач, связанных с банковскими расчётами.
Решение задач по всему курсу (11 ч).
Задачи, предлагаемые в КИМах на ЕГЭ.
В результате курса учащиеся должны:
уметь определять тип текстовой задачи, знать особенности методики её решения, использовать при решении различные способы;
уметь применять полученные математические знания при решении задач;
уметь применять формулы движения, работы, “простых” и “сложных” процентов, формулы массовой концентрации вещества, формулы процентного содержания вещества;
знать широту применения процентных вычислений в жизни;
уметь использовать дополнительную математическую литературу.
Для достижения целей курса предлагается следующие способы
организации деятельности учащихся на различных уроках:
на уроках-лекциях учащиеся учатся конспектировать, анализировать возникновение новых методов решения задач;
на уроках-беседах совместными усилиями учителя и учащихся решаются ключевые задачи;
на уроках-практикумах учащиеся самостоятельно решают задачи, добиваясь тех или иных навыков, анализируют ошибки и пути их исправления;
на уроках-семинарах учащиеся рассказывают о проделанной работе, скажем, о решении каких-то задач из домашней работы, оценивают решения, оценивают свою деятельность.
Литература
Для учителя:
3000 конкурсных задач по математике. - М.:Рольф, 1997.
ЕГЭ 2014. Математика. 30 вариантов типовых текстовых заданий и 800 заданий части 2(С) / И. Р. Высоцкий, П. И. Захаров и др. под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко – М.: Издательство «Экзамен», 2014. (Серия «ЕГЭ. Типовые тестовые задания»).
И. Н. Петрова. “Проценты на все случаи жизни”. Челябинск. Южно-Уральское книжное издательство.
Шестаков С. А. ЕГЭ 2014 Математика. Задача В13. Задачи на составление уравнений. Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко. – 5-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2014.
Денищева Л. О., Глазков Ю. А. и др. Единый государственный экзамен. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект-Центр.
Для учащихся:
Дорофеев, Г. В., Седова, Е. А. Процентные вычисления. 10-11 классы: учеб.-метод. пособие. – М.: Дрофа, 2003. – 144 с.
Денищева, Л. О., Бойченко, Е. М., Глазков, Ю. А. и др. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. – М.: Дрофа.
Егерев, В. К. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / под ред. М. И. Сканави. – М.: “Оникс – 21 век” 2003.
Шевкин, А. В. Текстовые задачи. – М.: Просвещение, 1997. – 112 с.
www.mathege.ru – Математика ЕГЭ 2013 (открытый банк заданий).
www.alexlarin.net – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ и изучении различных разделов высшей математики.
http://reshuege.ru – Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ. Математика».
«Проценты на все случаи жизни»
Проценты от числа
Проценты
Что значит жить на проценты?
Задачи на процент-ный прирост, сложные проценты
Задачи на смеси, сплавы
Основные задачи на проценты
Число по данным его процентам
Процентное отношение
Проценты на экзаменах
Концентрация, процентное содержание
Олимпиадные задачи

Разработка урока по теме:
“Задачи на концентрацию и процентное содержание”
Урок является первым в модуле “Задачи на концентрацию и процентное содержание”.
Цели: сформировать умение работать с законами сохранения массы, обеспечить усвоение учащимися понятий концентрации вещества, процентного содержания раствора; обобщить полученные знания при решении задач на проценты.
Проверка домашнего задания.
Изучение нового материала.
Лекция учителя.
Задачи на концентрацию и процентное содержание – это различные задачи на составление смесей, растворов и сплавов нескольких веществ.
Введем основные понятия и допущения, которые принимаются в задачах подобного рода.
Все получающиеся сплавы и смеси однородны.
При слиянии двух растворов, имеющих объёмы QUOTE и QUOTE получается смесь, объём которой равен QUOTE , т.е. QUOTE .
Такое допущение не представляет собой закона физики и не всегда выполняется в действительности, это представляет собой соглашение, принимаемое при решении таких задач. На самом деле при смешении двух растворов не объём, а масса равняется сумме масс составляющих её компонент.
Рассмотрим смесь трёх компонент A, B, C. Объём смеси QUOTE складывается из объёмов чистых компонент: QUOTE , а три отношения
QUOTE ; QUOTE ; QUOTE .
Показывают, какую долю полного объёма смеси составляют объёмы отдельных компонент.
Отсюда получаем:
QUOTE ; QUOTE ; QUOTE .
Отношения объёма чистой компоненты в растворе ко всем объёму смеси называется объёмной концентрацией этой компоненты.
Например: QUOTE .
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице QUOTE .
Показывается заранее заполненная схема:
QUOTE смесь QUOTE






Объёмным процентным содержанием компоненты QUOTE называется величина: QUOTE , т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.
Если известно процентное содержание вещества QUOTE , то его концентрация находится по формуле: QUOTE .Так например, если процентное содержание составляет 20%, то соответствующая концентрация этого вещества равна 0,2 и т.д.
Таким же способом определяется массовая концентрация и процентное содержание, а именно как отношение массы чистого вещества QUOTE в сплаве к массе всего сплава.
О какой концентрации, объёмной или массовой, идёт речь в конкретной задаче, всегда видно из условия.
III. Закрепление полученных знаний. Решение задач.
Процесс усвоения строится с учётом поэтапного усложнения задач.
Задача 1. Cканави. №13.289.Имеются два сплава, состоящих из цинка, меди, олова. Первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором будет 30% цинка. Определить сколько килограммов олова содержится в новом сплаве.
I сплав II сплав Новый сплав
150 кг 250 кг Цинк QUOTE 30%
Медь 26% Олово ? кг
Условие задачи в ходе анализа оформляется в таблицу.
Таблицу следует заготовить заранее и заполнять по ходу решения.
I сплав II сплав Новый сплав
150 кг 250 кг 400 кг
Цинк QUOTE
QUOTE
75 кг 30% QUOTE
Медь 26% QUOTE Олово 40% QUOTE
? кг QUOTE
Пусть QUOTE - количество олова, содержащегося в получившемся новом сплаве, тогда QUOTE – количество цинка, содержащегося в первом сплаве.
QUOTE .
QUOTE - цинка во втором сплаве.
Так как процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково, то:


Решая уравнение получаем: QUOTE .
QUOTE - олова в первом сплаве.
QUOTE – олова во втором сплаве.
QUOTE - меди во втором сплаве.
QUOTE - цинка во втором сплаве.
Так как второй сплав весит 250 кг, то:


Значит, 170 кг олова содержится в новом сплаве.
Ответ: 170 кг.
Задача 2.
Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие 60% и 40% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава, содержащего 45% олова?
Учащиеся решают самостоятельно, один из учеников комментирует решение.
Например.
Пусть QUOTE – масса куска взятого от первого сплава; QUOTE - масса куска от второго сплава.
Концентрация олова в первом куске:
QUOTE .
Концентрация олова во втором куске:
QUOTE .
Концентрация олова в сплаве:
QUOTE .
Так как QUOTE , то составим уравнение:




Значит, от первого куска надо взять 150 г.
QUOTE - надо взять от второго куска. Ответ: 150 г; 450 г.
IV.Итоги занятия.По записям на доске повторить формулы, по которым рассчитываются концентрация смеси и сплава.
Задание на дом: сборник задач по математике под редакцией Сканави №13.041 (2балла), №13.045 (2балла), №13.319 (4балла); формулы наизусть.
На следующих уроках проходит углубление и систематизация знаний при решении задач на “смеси” и “сплавы”.
Календарно – тематическое планирование
№ Наименование разделов и тем Кол-во часов Дата
план факт
1 Текстовые задачи и техника их решения 1 03.09 1ч
2 Задачи на движение 5 2.1 Движение по прямой дороге 1 10.09 2.2 Движение по замкнутой дороге 1 17.09 2.3 Движение по реке 1 24.09 2.4 Движение протяженных тел 1 01.10 2.5 Средняя скорость 1 08.10 3 Задачи на работу 3 3.1 Явный объём работы 1 15.10 3.2 Неявный объём работы 1 22.10 3.3 Семинар: задачи на работу 1 05.11 2ч
4 Задачи на проценты 3 4.1 Части и проценты 1 12.11 4.2 Процентное сравнение величин 1 19.11 4.3 Семинар: задачи на проценты 1 26.11 5 Задачи на концентрацию 4 5.1 Процентное содержание вещества 1 03.12 5.2 Урок тренаж: процентное содержание 1 10.12 5.3 Массовая доля вещества, определённой концентрации 1 17.12 5.4 Урок тренаж: массовая доля 1 24.12 6 Задачи на прогрессии 3 6.1 Задачи на арифметическую прогрессию 1 14.01 3ч
6.2 Задачи на геометрическую прогрессию 1 21.01 6.3 Семинар: задачи на прогрессии 1 28.01 7 Задачи с экономическим содержанием 5 7.1 Сложные проценты 1 04.02 7.2 Урок тренаж: сложные проценты 1 11.02 7.3 Особенности выбора переменных и методика решения задач с экономическим содержанием 1 18.02 7.4 Урок тренаж: особенности выбора переменных и методика решения задач с экономическим содержанием 1 25.02 7.5 Решение задач, связанных с банковскими расчётами 1 03.03 8 Решение задач по всему курсу 11 8.1 Решение задач на умение использовать формулы движения 1 10.03 8.2 Решение задач на умение использовать формулы работы 1 17.03 8.3 Решение задач на умение использовать формулы процентов 1 31.03 4ч
8.4 Решение задач на умение использовать формулы концентрации 1 07.04 8.5 Решение задач на умение использовать формулы прогрессии 1 14.04 8.6 Решение задач на умение использовать формулы сложных процентов 1 21.04 8.7 Решение задач, связанных с банковскими расчётами, на умение использовать формулы геометрической прогрессии 1 28.04 8.8 Решение задач, связанных с банковскими расчётами, на умение использовать формулы арифметической прогрессии 1 06.05 8.9 Решение задач на умение использовать особенности выбора переменных в задачах с экономическим содержанием 1 13.05 8.10 Семинар: задачи с экономическим содержанием 1 20.05 8.11 Итоговое занятие 1 27.05 Всего 35