Элективный курс. Текстовые задачи по математике
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 6»
Старооскольского городского округа
«РАССМОТРЕНО»
на заседании МО учителей естественнонаучного
цикла
Н.М.Карпешина
Протокол
от« » 2016г.
№
«СОГЛАСОВАНО»
Заместитель директора
_____ И.В.Морозова
«РАССМОТРЕНО»
на заседании
педагогического
совета
Протокол
от «30» августа 2016г.
№ __1_
«УТВЕРЖДАЮ»
___________М.П.Рахимова
директор МБОУ «СОШ№ 6»
Приказ
от «31» августа 2016г.
№ 224
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по элективному курсу
«Текстовые задачи по математике»
Щербининой Нины Федоровны,
учителя математики,
9 «А» класс
2016-2017 учебный год
2016г.
Пояснительная записка
Рабочая программа элективного курса «Текстовые задачи по математике» (математика) для 9 класса составлена в соответствии с требованиями федерального компонента Государственного стандарта основного общего образования по математике. Данная рабочая программа ориентирована на учащихся 9-х классов и реализуется на основе программы элективного курса «Текстовые задачи», автор – составитель: Дюмина Г.Д
Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ с момента его существования говорят о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет год от года чуть больше или меньше 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеет техникой решения текстовых задач и не умеет за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. Другая не менее важная проблема–неумение учащихся переносить математические знания на решение прикладных текстовых задач, встречающихся в изучении нематематических школьных предметов – тоже указывает на необходимость более глубокого и детального изучения этого традиционного раздела элементарной математики «Текстовые задачи».
Полный минимум знаний, необходимый для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе. Поэтому представленный элективный курс «Текстовые задачи по математике» рекомендуется вводить с 9-го класса. Хотя при творческом подходе учителя к его проведению, исключив пока ещё неизученные на уроках темы, можно ввести этот курс и раньше. Подобный подход возможен, так как каждая тема, за исключением первой, является вполне самостоятельной и не связана с другими. За счёт высвободившихся часов можно увеличить количество практических занятий по другим темам.
Учитывая новую форму сдачи государственных экзаменов в форме единого государственного экзамена, предлагается элективный курс элективный курс по математике «Текстовые задачи». Данный курс имеет основное назначение – введение открытой, объективной независимой процедуры оценивания учебных достижений учащихся, результаты которой будут способствовать осознанному выбору дальнейшего пути получения образования, а так же могут учитываться при формировании профильных 10 классов; развивает мышление и исследовательские знания учащихся; формирует базу общих универсальных приемов и подходов к решению заданий соответствующих типов. Экзаменационные материалы реализуют современные подходы к построению измерителей, они обеспечивают более широкие по сравнению с действующим экзаменом дифференцирующие возможности, ориентированы на сегодняшние требования к уровню подготовки учащихся.
Цель: элективного курса:
Развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики
и формирование у учащихся полного представления о решении текстовых задач.
Задачи:
Систематизировать ранее полученные знания по решению текстовых задач.
Познакомить учащихся с различными типами задач, особенностями методики их решения.
Научить учащихся решать задачи с применением графических и геометрических способов.
Развивать и укреплять метапредметные связи.
Научить применять математические знания в решении повседневных жизненных задач, встречающихся в окружающей нас среде.
После рассмотрения полного курса учащиеся должны иметь следующие результаты обучения:
отличать текстовые задачи от других задач;
уметь определять вид текстовой задачи, знать особенности методики решения и решать её, используя при этом разные наиболее рациональные способы;
уметь применять полученные математические знания в решении жизненных задач и прикладных задач по другим учебным предметам, изучаемым в рамках школьной программы;
уметь работать с дополнительной математической литературой.
Данный элективный курс рассчитан в первую очередь на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать правильный выбор профиля обучения в старших классах и качественно подготовиться к ЕГЭ и конкурсным вступительным экзаменам в вузы. Он поможет школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач и открыть для себя новые методы их решения, которые не рассматриваются в рамках школьной программы.
Основные методические особенности курса
Подготовка по тематическому принципу, соблюдая «правила спирали» от простых типов задач первой части до задач второй части. Работа с тематическими тестами, выстроенными в виде логически взаимосвязанной системы, где из одного вытекает другое, т.е. правильно решенное предыдущее задание готовит понимание смысла следующего; выполненный сегодня тест готовит к пониманию и правильному выполнению завтрашнего и т. д. выполнение заданий тренировочных тестов в режиме максимальной нагрузки, как по содержанию, так и по времени для всех школьников в равной мере;
Структура курса
Курс рассчитан на 17 занятий.
Тема 1. Текстовые задачи и методика их решения (2 ч).
Занятие 1. Введение в элективный курс (1 ч.)
Занятие 2. Виды текстовых задач и основные способы их решения (1 ч.)
Тема 2. Решение текстовых задач группы vts (6 ч.)
Занятие 1. Методика решения задач на движение по течению и против течения, на равномерное и равноускоренное движение по прямой (2 ч.)
Занятие 2. Методика решения задач на работу и на перевозку грузов (2 ч.)
Занятие 3. Методика решения задач на заполнение емкостей и на «цену, количество, стоимость» (2 ч.)
Тема 3. Решение процентосодержащих текстовых задач и задач на доли (3 ч.)
Занятие 1-2. Методика решения задач на сплавы, смеси, растворы (2 ч.)
Занятие 3. Методика решения задач с экономическим содержанием на применение форму сложных процентов (1 ч.).
Тема 4. Решение текстовых задач на прогрессии (3 ч.)
Занятие 1. Методика решения задач на арифметическую прогрессию и на геометрическую прогрессию (1 ч.)
Занятие 2. Методика решения задач на одновременное применение арифметической и геометрической прогрессий (1 ч.)
Занятие 3. Практикум по решению задач на прогрессии (1 ч.)
Тема 5. Решение текстовых задач на целые числа (2 ч.)
Занятие 1. Методика решения задач на целые числа (1 ч.)
Занятие 2. Практикум по решению задач на целые числа. (1 ч.).
Тема 6. Решение текстовых задач на оптимизацию (1 ч.)
УЧЕБНО- ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАНИРОВАНИЕ
»
№
Наименование тем
Всего часов
Лекции
Практика
Форма контроля
1
2
3
4
5
6
7
Текстовые задачи и методика их решения
Решение текстовых задач группы vts
Решение процентносодержащих текстовых задач и задач на доли
Решение текстовых задач на прогрессии
Решение текстовых задач на целые числа
Решение текстовых задач на оптимизацию
Всего часов
2 ч.
6 ч.
3 ч.
3 ч.
2 ч.
1 ч.
17 ч.
1 ч.
1 ч.
1 ч.
1 ч.
1 ч.
5 ч.
1 ч.
5 ч.
2 ч.
2 ч.
1 ч.
1 ч.
12 ч.
Зачёт
Зачёт
Зачёт
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
Текстовые задачи и методика их решения.(2ч)
Текстовая задача. Что значит решить текстовую задачу. Явные и неявные главные вопросы текстовой задачи. Способы решения текстовых задач. Виды текстовых задач и их примеры. Этапы решения текстовой задачи алгебраическим способом. Значение правильного письменного оформления решения текстовой задачи. Решение текстовой задачи с помощью графика. Чертёж к текстовой задаче и его значение для построения математической модели.
Решение текстовых задач группы vts. (6ч)
Движение тел по течению и против течения. Равномерное и равноускоренное движения тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу. Движение тел по окружности в одном направлении и навстречу друг другу. Формулы зависимости расстояния, пройденного телом, от скорости, ускорения и времени в различных видах движения. Особенности выбора переменных и методики решения задач на движение. Составление таблицы данных задачи на движение и её значение для составления математической модели.
Формула зависимости объёма выполненной работы от производительности и времени её выполнения. Особенности выбора переменных и методики решения задач на работу. Составление таблицы данных задачи на работу и её значение для составления математической модели.
Методика решения задач на заполнение ёмкостей и на цену, количество, стоимость.
Решение процентосодержащих текстовы задач и задач на доли.(3ч)
Формула зависимости массы или объёма вещества в сплаве, смеси, растворе(«часть») от концентрации(«доля») и массы или объёма сплава, смеси, раствора («всего»). Особенности выбора переменных и методики решения задач на сплавы, смеси, растворы. Составление таблицы данных задачи на сплавы, смеси, растворы и её значение для составления математической модели.
Формулы процентов и сложных процентов. Особенности выбора переменных и методики решения задач с экономическим содержанием.
Решение текстовых задач на прогрессии.(3ч)
Формулы общего члена и суммы первых п членов арифметической и геометрической прогрессий. Формулы арифметической и геометрической прогрессий, отражающие их характеристические свойства. Особенности выбора переменных и методики решения задач на прогрессии.
Решение текстовых задач на целые числа.(2ч)
Использование формулы представления многозначного числа в виде суммы разрядных слагаемых в решении задач на целые числа. Использование формулы выражения натурального числа через неполное частное, делитель и остаток от деления. Особенности выбора переменных и методика решения задач на целые числа.
Решение текстовых задач на оптимизацию.(1ч)
Методика решения задач на оптимальный выбор. Задачи с выборкой целочисленных решений. Решение задач на оптимизацию с помощью неравенств и систем неравенств.
Методические рекомендации
Формы проведения занятий включают в себя лекции, практические работы, тренинги по использованию методов поиска решений. Основной тип занятий комбинированный урок. Каждая тема курса начинается с постановки задачи. Теоретический материал излагается в форме мини лекции. После изучения теоретического материала выполняются практические задания для его закрепления. Занятия строятся с учётом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа восприятия и уровня усвоения материала. В ходе обучения периодически проводятся непродолжительные, рассчитанные на 5-10 минут, контрольные работы и тестовые испытания для определения глубины знаний и скорости выполнения заданий. Контрольные замеры обеспечивают эффективную обратную связь, позволяющую учителю и обучающимся корректировать свою деятельность. Систематическое повторение способствует более целостному осмыслению изученного материала, поскольку целенаправленное обращение к изученным ранее темам позволяет учащимся встраивать новые понятия в систему уже освоенных знаний. Включенный в программу материал может применяться для решения исследовательских задач.
Степень обобщенности включенных в программу знаний соответствует поставленным в ней целям обучения и развития мышления обучающихся. Программа позволяет осуществить эвристические пробы и сформировать практическую деятельность школьников в изучаемой области знаний; программа структурирована таким образом, что изучение всех последующих тем обеспечивается предыдущими, а между частными и общими знаниями прослеживаются связи. Способ развертывания содержания учебного материала соответствует стоящим в программе целям обучения - формирование теоретического мышления обучающихся и определяется объективным уровнем развития.
Календарно - тематическое планирование
№
урока
Содержание учебного материала
Дата
занятия
Введение в элективный курс.(
06.09.16
Виды текстовых задач и основные способы их решения.(
20.09.16
. Методика решения задач на движение по течению и против течения, на равномерное и равноускоренное движение по прямой
04.10.16
Методика решения задач на работу и на перевозку грузов
18.10.16
. Методика решения задач на движение по течению и против течения, на равномерное и равноускоренное движение по прямой
08.11.16
Методика решения задач на работу и на перевозку грузов
22.11.16
Методика решени°я задач на заполнение емкостей и на «цену, количество, стоимость»
06.12.16
Методика решения задач на заполнение емкостей и на «цену, количество, стоимость»
20.12.16
Методика решения задач на сплавы, смеси, растворы
17.01.17
Методика решения задач на сплавы, смеси, растворы
31.01.17
Методика решения задач с экономическим содержанием на применение форму сложных процентов
14.02.17
Методика решения задач на арифметическую прогрессию и на геометрическую прогрессию
28.02.17
Методика решения задач на одновременное применение арифметической и геометрической прогрессий
14.03.17
Практикум по решению задач на прогрессии
04.04.17
Методика решения задач на целые числа
18.04.17
Практикум по решению задач на целые числа
02.05.17
Решение текстовых задач на оптимизацию.
16..05.17
Контроль и система оценивания
Зачёт № 1. Решение текстовых задач группы vts.
Зачёт № 2. Решение текстовых процентосодержащих задач и задач на доли.
Зачёт № 3. Решение текстовых задач на прогрессии, на целые числа и на оптимизацию.
Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется по результатам выполнения учащимися самостоятельных, практических и лабораторных работ. Присутствует как качественная, так и количественная оценка деятельности. Качественная оценка базируется на анализе уровня мотивации учащихся, их общественном поведении, самостоятельности в организации учебного труда, а так же оценке уровня адаптации к предложенной жизненной ситуации (сдачи экзамена по алгебре в форме ЕГЭ). Количественная оценка предназначена для снабжения учащихся объективной информацией об овладении ими учебным материалом и производится по пятибалльной системе. Итоговый контроль реализуется в двух формах: традиционного зачёта и тестирования.
Программа дает возможность установить степень достижения промежуточных и итоговых результатов и выявить пробелы в прохождении программы в любой момент процесса обучения. Материал программы распределен во времени с учетом его достаточности для качественного изучения знаний и получения запланированных результатов.
Приложения к программе элективного курса по математике
«Текстовые задачи по математике»
1.Текстовые задачи и методика их решения.(2ч)
1. Введение в элективный курс.(1ч)
2. Виды текстовых задач и основные способы их решения.(1ч)
2.Решение текстовых задач группы vts. (6ч)
1. Методика решения задач на движение по течению и против течения, на равномерное и равноускоренное движение по прямой.(2 ч)
2. Методика решения задач на работу и на перевозку грузов.( 2 ч)
3. Методика решения задач на заполнение ёмкостей и на «цену, количество, стоимость».(2 ч)
3. Решение процентосодержащих
текстовых задач и задач на доли.(3ч)
1 – 2. Методика решения задач на сплавы, смеси, растворы.(2ч)
3. Методика решения задач с экономическим содержанием на применение формул сложных процентов.(1ч)
4. Решение текстовых задач на прогрессии.(3ч)
1. Методика решения задач на арифметическую прогрессию и на геометрическую прогрессию.(1ч)
2. Методика решения задач на одновременное применение арифметической и геометрической прогрессий.(1ч)
3. Практикум по решению задач на прогрессии.(1ч)
5. Решение текстовых задач на целые числа. (2ч)
1. Методика решения задач на целые числа.(1ч)
2. Практикум по решению задач на целые числа.
6. Решение текстовых задач оптимизацию. (1ч)
1.Текстовые задачи и методика их решения.
Текстовые задачи разделяются на виды:
Задачи, связанные с понятиями « концентрация » и « процентное содержание »
Задачи « на движение »
Задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений системы
Задачи, которые решаются при помощи неравенств
Задачи с целочисленными неизвестными
Задачи с альтернативным условием
Задачи, в которых нужно находить наибольшие и наименьшие значения некоторых выражений
Разные задачи.
1.В задачах, связанных с понятиями «концентрация» и «процентное содержание» основные допущения состоят в следующем:
а) все получающиеся сплавы или смеси однородны;
б) при слиянии двух растворов, имеющих объёмы V1 и V2, получается смесь, объём которой равен V1+V2.
Концентрация – это безмерная величина; сумма концентрации всех компонент, составляющих смесь, равна 1.
Объёмным процентным содержанием компоненты А называется концентрация этого вещества, выраженная в процентах.
2.Допущения, которые обычно принимают в условиях задач «на движение», состоят в следующем:
а) движение на отдельных участках считается равномерным; при этом пройденный путь определяется по формуле
s = vt;
б) повороты движущихся тел принимаются мгновенными, т. е. происходят без затрат времени; скорость при этом также мгновенно меняется;
в) Если тело движется по течению реки, то его скорость w слагается из скорости в стоячей воде v и скорости течения реки u:
w = v + u,
а если против течения реки, то его скорость равна
w = v – u.
К задачам «на движение» относятся также и задачи, в которых кто – либо выполняет какую – нибудь работу, или задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров. В задачах такого типа работа или объём резервуара играет роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения.
3. Причины в задачах, когда число неизвестных превышает число уравнений системы, связаны со способом решения задач. Если выбирать неизвестные для составления уравнений, руководствуясь принципом наибольшего удобства математической записи условий задачи, то та величина, которую необходимо найти, может не войти в их число. Такая величина представляется некоторой комбинацией введённых неизвестных, поэтому может случиться, что однозначное определение всех неизвестных из системы уравнений невозможно, тем не менее искомая комбинация этих неизвестных находится однозначно.
4. Существует целый класс задач, рассчитанных на умение составлять не только уравнения, но и неравенства. Эти задачи уместно было бы назвать задачами на составление уравнений и неравенств.
5. Задачи с целочисленными неизвестными составлены таким образом, что их однозначное решение находится только при условии существенного использования этого обстоятельства.
6. Условия некоторых задач формулируются таким образом, что при составлении одного из уравнений возникала альтернатива.
7. В особую группу выделяются задачи, для решения которых необходимо найти экстремум той или иной функции. Особенность каждой такой задачи состоит в том, что одно или несколько условий в её формулировке, позволяющие получит либо дополнительное уравнение, либо выделить единственное решение из многих возможных, составляют задачу на отыскание наибольшего или наименьшего значений некоторой функции.
2.Текстовые задачи группы vts
1) Города А и В расположены на берегу реки, причём город В расположен ниже по течению. В 9 часов утра из города А в город В отправляется плот и одновременно из города В в город А отправляется лодка, которая встречается с плотом через 5 часов. Доплыв до города А, лодка поворачивает обратно и приплывает в город В одновременно с плотом. Успеют ли лодка и плот прибыть в город В к 9 ч. Вечера того же дня?
2).Два велосипедиста и пешеход одновременно отправились из пункта А в пункт В. Более чем через час после выезда у первого велосипедиста сломался велосипед, и он продолжал путь пешком, двигаясь в 4,5 раза медленнее, чем на велосипеде. Его обгоняют: второй велосипедист – через 5/8 ч. После поломки, а пешеход – через 10,8 ч. После поломки. К моменту поломки второй велосипедист проехал расстояние в 2 раза большее, чем то, которое прошёл пешеход к моменту, на 5/36 более позднему, чем момент поломки. Через сколько часов после начала движения сломался велосипед?
Первая и вторая бригады одновременно начали выполнять некоторую работу. Более чем через час после начала работы первую бригаду сменила третья, которая вместе со второй работала до завершения всей работы. На выполнение работы указанным способом ушло 5,5 часов. Первая бригада, пока она работала, сделала столько, сколько третья делает за час. Если бы первая бригада проработала на 6 часов больше, чем это было на самом деле, то она сделала бы столько же, сколько было сделано второй бригадой. Если бы три бригады всё время работали вместе, то работа была бы выполнена в 1,5 раза быстрее, чем в действительности. Сколько времени работала первая бригада?
Две трубы, действуя вместе в течение часа, наполняют водой ѕ бассейна.. Если сначала первая труба наполнит ј часть бассейна,, а затем вторая при выключенной первой доведёт объём воды до ѕ бассейна, то на это понадобится 2,5 часа. Если первую трубу включить на 1 час, а вторую – на полчаса, то они наполнят бассейн более чем наполовину. За какое время наполняет бассейн каждая труба?
3.Процентосодержащие задачи.
Имеются 2 куска сплава меди и цинка с массовым процентным содержанием меди p % и q % соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий r % меди ?
3 одинаковые пробирки наполнены до половины растворами спирта. После того как содержимое третьей пробирки разлили поровну в первые две, объёмная концентрация спирта в первой уменьшилась на 20 % от первоначальной, а во второй увеличилась на 10 % от первоначального значения. Во сколько раз первоначальный объём спирта в первой пробирке превышал первоначальный объём спирта во второй пробирке?
Известно, что после n переливаний концентрация соли в растворе уменьшилась в k раз. Определить, какую часть объёма сосуда составляют a литров.
Сберкасса выплачивает 3 % годовых. Через сколько лет внесённая сумма удвоится?
4.Задачи на прогрессии.
В гору ехал автомобиль. В первую секунду после достижения пункта А он проехал 30 м., а в каждую следующую секунду он проезжал на 2 м. меньше, чем в предыдущую. Через 9 сек. После того, как автомобиль достиг пункта А, навстречу ему выехал автобус из пункта В, находящегося на расстоянии 258 м. от пункта А.В первую секунду автобус проехал 2 м., а в каждую следующую секунду он проезжал на 1 м. больше, чем в предыдущую. Какое расстояние проехал автобус до встречи с автомобилем? ( Ответ. 20 м.)
В 3 сосуда налито по 1 кг различных растворов поваренной соли. Если смешать 200гр. первого раствора и 100 гр. второго раствора, то в полученной смеси будет содержаться столько же соли, сколько её содержится в 100 гр. третьего раствора. Количества соли в трёх растворах, взятых в порядке номеров, образуют геометрическую прогрессию. Сколько граммов второго раствора нужно взять, чтобы в них содержалось столько же соли, сколько её содержится в 100гр. третьего раствора? (Ответ. 200 гр.)
Саша, Наиль, Миша и Марина ловили рыбу .Оказалось, что количества рыб, пойманных Сашей, Наилём и Мишей, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Если бы Саша поймал на две рыбы меньше, а Марина – на 12 рыб меньше, то количества рыб, пойманных Сашей, Наилём, Мишей и Мариной, образовывали бы в указанном порядке арифметическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша, Если известно, что он поймал на 18 рыб меньше Марины?
( Ответ. 18 рыб)
Задачи на целые числа.
Два студента одновременно начали готовиться к экзамену, назначенному для обоих на один и тот же день. Первый студент должен прочитать 240 страниц, второй – 420. Каждый читает одно и то же целое число страниц, причём первый прочитывает на 12 страниц меньше второго. После того, как они всё прочли по одному разу, у них осталось время на повторение: у первого – 7 дней, у второго – 5 дней. Определить, какое целое число страниц в день надо было читать каждому студенту, чтобы на повторение им осталось по 3 дня? (Ответ. 20 и 35)
Фрукты в магазин были доставлены двумя машинами, по 60 ящиков в каждой; при этом в 21 ящике были груши, а в остальных – яблоки. Сколько ящиков с грушами было в каждой машине, если известно, что в первой машине на один ящик с грушами приходилось в 3 раза больше ящиков с яблоками, чем во второй? (Ответ.6 и 15 )
Задачи на оптимизацию
С завода на стройку нужно перевезти 24 больших и 510 маленьких бетонных блоков. Доставка блоков осуществляется автомашинами, каждая из которых вмещает 44 маленьких блока и имеет грузоподъёмность 10 тонн. Масса маленького блока 0,2 тонны, большого – 3,6 тонны, причём большой блок занимает место 14 маленьких. Найти минимальное число рейсов, достаточное для перевозки всех блоков. (Ответ. 20 блоков)
Из Москвы в Самару нужно перевезти по железной дороге 20 больших и 250 малых контейнеров. Один вагон вмещает 30 малых контейнеров, вес каждого из которых 2 тонны. Большой контейнер занимает место 9 малых и весит 30 тонн. Грузоподъёмность вагона 80 тонн. Найти минимальное число вагонов, достаточное для перевозки всех контейнеров. (Ответ.15 )
Учебно-методические средства обучения
Литература
Воронько Т.А. Задачи исследовательского характера//Математика в школе. – 2004. - № 38.
Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. – М.: Илекса. – 2009
Кочагин В.В.Тестовые задания к основным учебникам. Рабочая тетрадь.
Кузнецова Л.В. Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. М.: Просвещение. – 2007.
Мордкович А.Г. Задачи исследвоательского характера// Математика в школе. – 2004. - № 8.
Материалы ГИА по математике. – 2011.
Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. – 11 изд. М.:МЦНМО. – 2004.
Цыганов Ш. Десять правил расположения корней квадратного трехчлена/ Математика. – 2002. - № 6.
15