Элективный курс Текстовые задачи
Профильное обучение учащихся
Учебная программа профильного обучения по математике
Решение текстовых задач
Пояснительная записка
Одним из вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач.
Задачи являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей. Задачи позволяют применять знания, полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые возникают в жизни человека. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности.
Интерес к решению текстовых задач никогда не ослабевал в российской математической школе – лишь по разному трактовались понятие «текстовая задача», метод их решения, по разному трактовались акценты в приоритетности методов решения этих задач и т.п. К сожалению, большинство учебников и учебно – методических пособий, посвящённых проблемам решения текстовых задач, давно стали библиографической редкостью, некоторые из них морально устарели и не учитывают в достаточной мере тех требований, которые предъявляются к содержанию, целям и методам решения задач.
Целью работы является восполнение недостатка хотя бы части такой литературы, необходимой учителю и студентам, готовящимся стать учителями.
Работа адресована студентам педагогических вузов, она будет полезна преподавателям вузов и средних специальных учебных заведений, учителям средней школы, любителям текстовых задач.
Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ с момента его существования говорят о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет год от года чуть больше или меньше 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеет техникой решения текстовых задач и не умеет за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела элементарной математики.
Полный минимум знаний, необходимый для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе, поэтому представленный элективный курс «Текстовые задачи» рекомендуется вводить с 9-го класса. Хотя при творческом подходе учителя к его проведению, исключив пока ещё не изученные на уроках темы, можно ввести этот курс и раньше. Подобный подход возможен, так как каждая тема, за исключением первой, является вполне самостоятельной и не связана с другими. За счёт высвободившихся часов можно увеличить количество практических занятий по другим темам.
Всего на проведение занятий отводится 34 часа. На изучение методов решения типовых задач выделено 18 часов. Провести их можно в форме обзорных лекций с разбором ключевых задач или в форме семинаров, нацелив учащихся на предварительную подготовку и самостоятельный поиск материалов с их последующим обсуждением. На практические занятия и отработку умений и навыков отведено16часов, из них 2 часа в заключение курса изучения – на самостоятельную итоговую работу и решение задач повышенной сложности, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ. В программе предусмотрено проведение 3-х тематических зачетов (по одному часу каждый).
В конце программы дан перечень литературы, которая позволит учителю и учащимся более качественно и шире изучить рассматриваемые темы и творчески подойти к проведению занятий.
Особенность набора задач, представленных в данном курсе, - доступность для любой категории учащихся. Курс составлен с приведением полного и подробного решения какой – либо задачи и аналогичных задач для закрепления и самостоятельного решения.
Представленный элективный курс содержит 9 тем.
Первая тема «Текстовые задачи и техника их решения» является обзорной по данному разделу математики.
При её раскрытии акцент должен быть сделан на выделение основных этапов решения текстовых задач и их назначение. Кроме того, следует также обратить внимание учащихся на важность умелого письменного оформления. Материалы этой темы могут быть использованы учителем в 5-х и 6-х классах.
Следующие четыре темы - «Задачи на движение», «Задачи на смеси, сплавы, растворы», «Задачи на работу», «Задачи на прогрессии» - закрепляют и дополняют знания учащихся, полученные на уроках.
Последние три темы - «Задачи с экономическим содержанием», «Задачи на числа», «Разные задачи» - выходят за рамки школьной программы и значительно совершенствуют навыки учащихся в решении текстовых задач.
Принципами построения курса являются:
* принцип системности( преемственность знаний);
* принцип дифференциации (развитие склонностей к работе на различных уровнях сложности);
* принцип междисциплинарной интеграции (выход на сложные науки);
* принцип вариативности подачи материала;
* принцип увлекательности.
Некоторые особенности предлагаемого варианта программы:
1. Возможна корректировка содержания программы в соответствии с задачами обучения, учитывая подготовленность класса, интересы учащихся;
2. Значительное место при изучении курса отведено самостоятельной деятельности учащихся – решению задач, проработке теоретического материала, подготовке сообщений и т. д.
После рассмотрения полного курса учащиеся должны иметь следующие результаты обучения:
Уметь:
* определять тип текстовой задачи, знать особенности методики её решения, используя при этом разные способы;
* решать задачи на смеси и сплавы, задачи на движение, на работу, на прогрессии, задачи с экономическим содержанием, задачи на числа;
* учитывать выполнимость всех производимых операций;
* применять стандартные задачи к решению более сложных текстовых задач;
* уметь применять полученные математические знания в решении жизненных задач;
* уметь использовать дополнительную математическую литературу;
* точно и сжато выразить математическую мысль в устном и письменном изложении, использовать соответствующую символику.
Знать:
* алгоритмы решения задач разных видов;
* математические определения и теоремы, предусмотренные программой;
Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков. С другой стороны, развитию логического мышления учащихся, наблюдается активизация их мыслительной деятельности. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка. Развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач.
Данный элективный курс рассчитан в первую очередь на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать правильный выбор профиля обучения в старших классах и качественно подготовиться к ЕГЭ и конкурсным экзаменам в вузы. Он поможет школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач и открыть для себя новые методы их решения, которые не рассматриваются в рамках школьной программы.
Цели курса:
* Развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики.
* Формирование у учащихся полного представления о решении текстовых задач.
* Определение уровня способности учащихся и их готовности в дальнейшем к профильному обучению в школе и вузе.
* Воспитание понимания, что математика является инструментом познания окружающего мира.
* Облегчить процесс обучения учеников методам решения как базовых видов задач, так и более сложных нестандартных задач, применяя наряду с обычными методиками элементы алгоритмизации.
* Повысить логическое мышление учащихся.
*Сформировать и отработать навыки исследовательской деятельности учащихся на содержательном теоретическом материале и специально подобранных практических упражнениях.
Задачи курса:
* Систематизировать ранее полученные знания по решению текстовых задач.
* Познакомить учащихся с разными типами задач, особенностями методики и
различными способами их решения.
* Развивать и укреплять межпредметные связи.
*Научить применять математические знания в решении повседневных жизненных задач бытового характера.
Тематическое планирование учебного материала.
№п/п
Наименование разделов
Количество часов
1.
Текстовые задачи и техника их решения. Методы решения текстовых задач: алгебраический, арифметический, комбинированный.
2
2.
Задачи на движение.
6
3.
Задачи на смеси, сплавы, растворы
6
4.
Задачи на работу.
3
5.
Задачи на прогрессии.
3
6.
Задачи с экономическим содержанием.
4
7.
Задачи на числа.
2
8.
Разные задачи.
3
9.
Решение задач ЕГЭ
3
10.
«Творческий аукцион»
2
Учебно-тематический план.
Тема 1.Текстовые задачи и техника их решения.(2ч)
Занятие 1-2. Ведение в элективный курс.(2ч)
Тема 2. Задачи на движение.(6ч)
Занятие 1. Движение по течению и против течения.(1ч)
Занятие 2. Равномерное и равноускоренное движение по прямой.(1ч)
Занятие 3. Движение по окружности.(1ч)
Занятие 4. Графический способ решения задач на движение.(1)
Занятие 5. Практикум по решению задач.(1ч)
Занятие 6. Зачёт по теме «Задачи на движение».(1ч)
Тема 3. Задачи на сплавы, смеси, растворы.(6ч)
Занятие 1. Задачи на сплавы, смеси, растворы.(1ч)
Занятие 2-5 Практикум по решению задач (4ч)
Занятие 6. Зачёт по теме «Задачи на сплавы, смеси, растворы»(1ч)
Тема 4. Задачи на работу.(3ч)
Занятие 1. Задачи на работу.(1ч)
Занятия 2-3. Практикум по решению задач.(2ч)
Тема 5. Задачи на прогрессии.(3ч)
Занятие 1. Задачи на арифметическую прогрессию и на геометрическую прогрессию.(1ч)
Занятие 2. Задачи на одновременное применение арифметической и геометрической прогрессий.(1ч)
Занятие 3. Практикум по решению задач.(1ч)
Тема 6. Задачи с экономическим содержанием.(4ч)
Занятие 1. Задачи с экономическим содержанием.(1ч)
Занятие 2-3. Практикум по решению задач.(2ч)
Занятие 4. Зачёт по темам «Задачи на работу», «Задачи на прогрессии», «Задачи с экономическим содержанием».(1ч)
Тема 7. Задачи на числа.(2ч)
Занятие 1-2. Задачи на числа.(2ч)
Тема 8. Разные задачи.(3ч)
Занятие 1-3. Разные задачи.(3ч)
Тема 9. Решение задач ЕГЭ (3ч)
Тема 10. «Творческий аукцион»(2ч)
Занятие1. Повторение.(1ч)
Занятие 2. Самостоятельная работа.(1ч)
Содержание программы.
Текстовые задачи и техника их решения.(2ч)
Текстовая задача. Виды текстовых задач и их примеры. Решение текстовой задачи. Этапы решения текстовой задачи. Решение текстовых задач арифметическими приёмами (по действиям). Решение текстовых задач методом составления уравнения, неравенства или их системы. Значение правильного письменного оформления решения текстовой задачи. Решение текстовой задачи с помощью графика. Чертёж к текстовой задаче и его значение для построения математической модели. Решение текстовых задач комбинированным методом.
Задачи на движение.(6ч)
Движение тел по течению и против течения. Равномерное и равноускоренное движения тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу. Движение тел по окружности в одном направлении и навстречу друг другу. Формулы зависимости расстояния, пройденного телом, от скорости, ускорения и времени в различных видах движения. Графики движения в прямоугольной системе координат. Чтение графиков движения и применение их для решения текстовых задач. Решение текстовых задач с использованием элементов геометрии.
Особенности выбора переменных и методики решения задач на движение. Составление таблицы данных задачи на движение и её значение для составления математической модели.
Задачи на сплавы, смеси, растворы.(6ч)
Формула зависимости массы или объёма вещества в сплаве, смеси, растворе («часть») от концентрации («доля») и массы или объёма сплава, смеси, раствора («всего»). Особенности выбора переменных и методики решения задач на сплавы, смеси, растворы. Составление таблицы данных задачи на сплавы, смеси, растворы и её значение для составления математической модели.
Задачи на работу.(3ч)
Формула зависимости объёма выполненной работы от производительности и времени её выполнения. Особенности выбора переменных и методики решения задач на работу. Составление таблицы данных задачи на работу и её значение для составления математической модели.
Задачи на прогрессии.(3ч)
Формулы общего члена и суммы первых п членов арифметической и геометрической прогрессий. Формулы арифметической и геометрической прогрессий, отражающие их характеристические свойства. Особенности выбора переменных и методики решения задач на прогрессии.
Задачи с экономическим содержанием.(3ч)
Формулы процентов и сложных процентов. Особенности выбора переменных и методики решения задач с экономическим содержанием.
Задачи на числа.(2ч)
Представление многозначного числа в виде суммы разрядных слагаемых. Особенности выбора переменных и методика решения задач на числа.
Разные задачи.(3ч)
Задачи и оптимальный выбор. Задачи с выборкой целочисленных решений. Особенности методики решения задач на оптимальный выбор и выборкой целочисленных решений.
Решение задач ЕГЭ(3ч)
Решение задач ЕГЭ разных лет.
«Творческий аукцион» (2ч)
Исследование дополнительной литературы. Сообщения. Повторение методов решения задач. Самостоятельная работа.
Формы контроля знаний.
Зачёт № 1. Задачи на движение.
Зачёт № 2. Задачи на сплавы, смеси, растворы.
Зачёт № 3. Задачи на работу, на прогрессии и с экономическим содержанием.
Самостоятельная работа. Текстовые задачи ЕГЭ и вступительных экзаменов вузов.
Занятие 1-2
Для решения текстовых задач применяются три основных метода: арифметический, алгебраический и комбинированный. Рассмотрим каждый из этих методов.
I. Арифметический метод.
Первым этапом решения задач арифметическим методом является разбор условия задачи и составление плана её решения. Этот этап решения задачи сопровождается максимальной мыслительной деятельностью.
Вторым этапом является решение задачи по составленному плану. Этот этап решения проводится учащимися без особых затруднений и в большинстве случаев носит тренировочный характер.
Третьим важным этапом решения задачи является проверка решения задачи. Она проводится по условию задачи. Пренебрежение проверкой при решении задачи, замена её проверкой ответов снижает роль решения задачи в процессе развития логического мышления учащихся.
При решении текстовых задач арифметическим методом у учащихся вырабатываются определённые умения и навыки, которые в процессе дальнейшего обучения должны совершенствоваться и закрепляться.
При арифметическом методе решения задач формируются 56 основных умений и навыков. Из них 38 умений и навыков приобретаются при решении задач как арифметическим, так и алгебраическим методами.
К ним относятся следующие умения и навыки:
1. Краткая запись условия задачи.
2. Изображение условия задачи с помощью рисунка.
3. Логические приёмы мышления: наблюдение и сравнение, анализ и синтез, абстрагирование и конкретизация, обобщение и ограничение, умозаключения индуктивного и дедуктивного характера и умозаключения по аналогии.
4. Выполнение арифметических действий над величинами (числами).
5. Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) в несколько раз.
6. Нахождение разностного сравнения величин (чисел).
7. Нахождение кратного сравнения величин (чисел).
8. Использование свойств изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов.
9. Изменение (увеличение или уменьшение) величины (числа) на несколько единиц величины (числа).
10. Нахождение дроби от величины (числа).
11. Нахождение величины (числа) по данной её (его) дроби.
12. Нахождение процентов данной величины (данного числа).
13. Нахождение величины (числа) по её (его) проценту.
14. Нахождение процентного отношения двух величин (чисел).
15. Составление пропорций.
16. Понятие прямой и обратной пропорциональной зависимости величин (чисел).
17. Понятие производительности труда.
18. Определение производительности труда при совместной работе.
19. Определение части работы, выполненной в течение некоторого промежутка времени.
20. Определение скорости движения.
21. Определение пути, пройденного телом.
22. Определение времени движения тела.
23. Понятие о собственной скорости (скорости в стоячей воде) движения тела по воде.
24. Нахождение пути, пройденного двумя телами при встречном движении.
25. Нахождение скорости движения тела по течению и против течения реки.
26. Нахождение времени прохождения телом единицы пути при заданной скорости движения.
27. Нахождение скорости сближения тел, движущихся в одном направлении, и скорости удаления.
28. Нахождение скорости сближения или скорости удаления тел, движущихся в противоположных направлениях или при встречном движении.
29. Нахождение части пути, пройденного телом за определённое время, когда известно время прохождения всего пути.
30. Нахождение количества вещества, содержащегося в растворе, смеси, сплаве.
31. Нахождение концентрации, процентного содержания.
32. Нахождение стоимости товара, акции.
33. Нахождение цены товара, акции.
34. Нахождение прибыли.
35. Нахождение количества вредных веществ в воде, воздухе.
36. Нахождение себестоимости продукции.
37. Расчёт начислений банка на вклады.
38. Проверка решения задачи по условию.
Умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач только арифметическим методом, можно разбить на две группы. К первой группе относятся умения и навыки, которые необходимы для дальнейшего изучения математики.
К первой группе относятся следующие умения и навыки:
1. Перевод календарного времени в арифметическое число.
2. Перевод арифметического числа в календарное время.
3. Нахождение времени предыдущего события.
4. Нахождение времени последующего события.
5. Нахождение промежутка времени между двумя событиями.
Все умения и навыки этой группы формируются в процессе решения задач на вычисление времени, т.е. тех задач, которые нет смысла решать алгебраически.
Вторая группа – это те умения и навыки, без знания которых можно решить все текстовые задачи алгебраическим методом, и в дальнейшем их незнание не будет пробелом в математическом образовании учащихся.
Ко второй группе относятся следующие умения и навыки:
1. Введение понятия "часть".
2. Выполнение действий сложения и вычитания частей.
3. Выполнение умножения и деления части на число.
4. Приём уравнивания большего числа с меньшим и меньшего с большим.
5. Приём уравнивания прибавлением к меньшему числу и вычитанием из большего числа их полуразности.
6. Определение числа частей, составляющих данное число.
7. Введение понятий условной единицы.
8. Нахождение дроби условной единицы и её частей.
9. Сравнение частей величин.
10. Сложение и вычитание частей единицы.
11. Метод исключения неизвестного посредством замены одной величины другой.
12. Решение задач методом предположения.
13. Составление плана решения задачи.
Эти умения и навыки, несомненно, представляют интерес. Но почти все из них можно отнести к числу умений и навыков, формирующихся у учащихся при решении нестандартных задач. Решение таких задач следует проводить систематически наряду с решением стандартных текстовых задач.
II. Алгебраический метод.
Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.
При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи.
Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенств.
Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.
При алгебраическом методе решения формируются 55 основных умений и навыков.
Отличными от тех, которые формируются при арифметическом их решении, являются следующие:
1. Введение неизвестного.
2. Введение двух неизвестных.
3. Введение трёх и более неизвестных.
4. Выполнение действий сложения и вычитания неизвестных.
5. Выполнение действий умножения и деления неизвестных.
6. Запись зависимости между величинами с помощью букв и чисел.
7. Решение линейных уравнений.
8. Решение линейных неравенств.
9. Решение квадратных уравнений и неравенств.
10. Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств.
11. Решение систем уравнений и систем неравенств.
12. Составление одного уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.
13. Решение уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.
14. Выбор значений неизвестных по условию задачи.
15. Составление уравнений с параметром по условию текстовой задачи.
16. Решение уравнений с параметром.
17. Исследовательская работа.
В связи с внедрением в школьную программу элементов высшей математики, с ускоренным развитием и внедрением во все сферы вычислительной математики большое значение имеет формирование у учащихся не отдельных специфических навыков, а тех умений и навыков, которые имеют дальнейшее приложение. К числу этих умений и навыков относятся умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач алгебраическим методом.
III. Комбинированный метод.
Этот метод получается в результате включения в алгебраический метод решения задач решение, в котором часть неизвестных величин определяется с помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или систем неравенств, а другая часть – арифметическим методом. В этом случае решение текстовых задач значительно упрощается.
При решении текстовых задач учащимся могут помочь несколько простых и общих советов, а также приведённые ниже примеры решения задач.
Совет 1. Не просто прочитайте, а тщательно изучите условие задачи. Попытайтесь полученную информацию представить в другом виде – это может быть рисунок, таблица или просто краткая запись условия задачи.
Совет 2. Выбор неизвестных.
В задачах "на движение" – это обычно скорость, время, путь. В задачах “на работу” - производительность и т.д.
Не надо бояться большого количества неизвестных или уравнений. Главное, чтобы они соответствовали условию задачи и можно было составить соответствующую “математическую модель” (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств).
Совет 3. Составление и решение “математической модели”.
При составлении “математической модели” (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств) ещё раз внимательно прочитайте условие задачи. Проследите за тем, что соответствует каждой фразе текста задачи в полученной математической записи и чему в тексте задачи соответствует каждый “знак” полученной записи (сами неизвестные, действия над ними, полученные уравнения, неравенства или их системы).
Очень важно не только составить уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств, но и решить составленное.
Если решение задачи не получается, то нужно ещё раз прочитать и проанализировать задачу (заданный текст и полученную запись).
Иногда по условию задачи достаточно отыскать не сами неизвестные, а их комбинации. Например, не x и y, а x+y, x/y, 1/x и т.п.
Если кажется, что получилось правильное, но очень сложное выражение, то попробуйте ввести другие неизвестные, может быть, изменив их количество, чтобы получилась более простая модель.
Иногда неизвестные в задачах выражаются только целыми числами, тогда при решении задач нужно использовать свойства целых чисел.
Совет 4. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты.
При решении задач короткую запись задачи можно сделать с помощью рисунка или таблицы.
Таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество идейно близких задач.
Можно выделить семь вопросов, которые дают верное направление решению задач разных типов.
Вопросы к задаче с комментариями к ним:
1. О каком процессе идёт речь? Какими величинами характеризуется этот процесс? (Количество величин соответствует числу столбцов таблицы).
2. Сколько процессов в задаче? (Количество процессов соответствует числу строк в таблице).
3. Какие величины известны? Что надо найти? (Таблица заполняется данными задачи; ставится знак вопроса).
4. Как связаны величины в задаче? (Вписать основные формулы, выяснить связи и соотношения величин в таблице).
5. Какую величину (величины) удобно выбрать в качестве неизвестной или неизвестных? (Клетки в таблице заполняются в соответствии с выбранными неизвестными).
6. Какие условия используются для составления “модели”? (Выписать полученную “модель”)
7. Легко ли решить полученное? (Если решить сложно, ввести новые переменные, использовать другие соотношения).
Пример решения задачи.
Задача. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного поезда составляет 5/8 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.
Решение (черновик).
Отвечаем на вопросы, поэтапно составляя таблицу.
1. Речь идёт о процессе движения, которое характеризуется тремя величинами: расстояние, скорость, время (3 столбца таблицы).
2. В задаче 3 процесса: движение скорого, пассажирского и товарного поездов (3 строчки таблицы).
Можно составить “скелет” таблицы.
Величины
Процессы
Расстояние (км)
Скорость (км/ч)
Время (ч)
Скорый поезд
с
с
с
Пассажирский поезд
с
с
с
Товарный поезд
с
с
с
3. Заполняем таблицу в соответствии с условиями задачи
4. Вводим неизвестные величины: x, км/ч – скорость товарного поезда, y, ч – время движения скорого поезда.
5. Составим “модель”.
(x+50)y = 8/5 x(y+1)
8/5 x(y+1) = x(y+4)
6. Решаем эту систему. Из первого уравнения находим у. Из второго уравнения находим х.
Решение задачи (чистовик).
Пусть х, км/ч – скорость товарного поезда (х>0), у, ч – время движения скорого поезда (у>0).
Составляем таблицу.
Величины
Процессы
Расстояние (км)
Скорость (км/ч)
Время (ч)
Скорый поезд
(х+50)у
х+50 ?
у
Пассажирский поезд
8/5 х(у+1)
8/5 х
у+1
Товарный поезд
х(у+4)
х ?
у+4
По условию задачи поезда прошли одно и то же расстояние. Получаем систему уравнений
8/5 х(у+1) = х(у+4)
(х+50)у = х(у+4).
По условию задачи х>0, тогда
8(у+1) = 5(у+4)
(х+50)у = х(у+4),
3у = 12
(х+50)у = х(у+4),
у = 4
х+50 = 2х,
у = 4
х = 50.
Полученные значения неизвестных удовлетворяют условию х>0, у>0, значит удовлетворяют условию задачи.
50 км/ч – скорость товарного поезда.
50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.
Проверка по условию задачи.
50 км/ч – скорость товарного поезда,
4+4 = 8 (ч) – время движения товарного поезда.
50*8 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл товарный поезд.
50*8/5 = 80 (км/ч) – скорость пассажирского поезда.
4+1 = 5 (ч) – время движения пассажирского поезда.
80*5 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл пассажирский поезд.
4 ч – время движения скорого поезда.
50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.
100*4 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл скорый поезд.
Каждый поезд прошёл одно и то же расстояние.
Задача решена верно.
Ответ: 50 км/ч, 100 км/ч.
Аналогично можно решать задачи “на работу”, “наполнение бассейна”.
Занятие 3-8
Задачи на движение
К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трёх величинах: пути( S), скорости (
·) и времени (t). Как правило, в них речь идёт о прямолинейом движении, когда скорость постоянна по модулю и направлению. В этом случае все три величины связаны соотношением:s=
· * t . Встречаются задачи, в которых рассматривается равноускоренное прямолинейное движение. то есть движение с постоянным ускорением.
Как уже отмечалось, в ходе решения текстовых задач на движение и в превую очередь в задачах, связанных с движением, весьма полезно сделать иллюстрированный чертёж ( построить вспомогательную графическую модель задачи). Чертёж следует выполнить так, чтобы на нём была видна динамика движения со всеми встречами, остановками и поворотами. Грамотно построенный чертёж позволяет не только глубже понять содержание задачи, не заглядывая в её текст, но и облегчает составление уравнений и неравенств.
Обычно в задачах на движение принимаются следующие соглашения:
1.Если специально не оговорено в задаче, то движение на отдельных участках считается равномерным ( будь то движение по прямой или по окружности).
2.Повороты движущихся тел считаются мгновенными, то есть происходят без затрат времени. Скорость при этом меняется мгновенно.
Данную группу задач, в свою очередь, можно разбить на задачи, в которых рассматривается движение тел :1) навстречу друг другу, 2) в одном направлении («вдогонку»), 3) в противоположных направлениях, 4) по окружности, 5) по течению реки.
1.Если расстояние между телами равно S, а скорости тел равны
·1,
·2, то при движении тел навстречу друг другу время, через которое они встретятся, равно
S/ (
·1+
·2).
2.Если расстояние между телами равно S, а скорости тел равны
·1,
·2 , то при движении тел в одну сторону (
·1>
·2) время, через которое первое тело догонит второе равно S/ (
·1-
·2).
3.Если расстояние между телами равно S, а скорости тел равны
·1,
·2 , то отправившись одновременно, они будут через время t находиться на расстоянии S1= S+(
·1+
·2) t.
4. Если тела движутся в одном направлении по замкнутой траектории длиной s со скоростями
·1 и
·2, то время, через которое тела опять встретятся (одно тело догонит другое), отправившись из одной точки, находится по формуле t = S/(
·1-
·2)., при условии , что
·1>
·2.
Если тела движутся в разных направлениях по замкнутой траектории длиной S со скоростями
·1,
·2, то время, через которое они встретятся. отправившись одновременно из одной точки, находится по формуле t = S/(
·1+
·2). В этом случае сразу после начала движения возникает ситуация, когда тела начинают двигаться навстречу друг другу.
5. Если тело движется по течению реки, то его скорость относительно берега слагается из скорости тела в стоячей воде и скорости течения реки. Если тело движется против течения реки, то его скорость получается вычитанием скорости течения реки из собственной скорости.
Пример:
1. Мотоциклист равномерно преследует автомо биль. За первый час расстояние между ними сократилось на 40%. На сколько процентов оно сократится за второй час.
Оформление условия
Было км (100%)
Изменилось
Стало (км) (1- )
%
км
Первоначальное расстояние
S
Через час
На 40
0,4 S
(1 – 0,4) S = 0,6 S
Через два часа
На р
р/100
· (0,6 S)
Так как движение равномерное, то р/100
· (0,6 S) = 0,4 S, 0,6р = 40, р = 200/3 = 662/3.
О т в е т: на 662/3%.
2. Мотоциклист равномерно преследует автомобиль. За второй час расстояние между ними сократилось на 60%. На сколько процентов оно сократилось за первый час
Ответ: на 37,5%
3. Мотоциклист равно преследует автомобиль. За два часа расстояние между ними сократилось на 90%. На сколько процентов оно сократилось за первый час'?
О т в е т: на 45%
4. Мотоциклист равномерно преследует автомобиль. За первый час расстояние между ними сократилось на 25%. На сколько процентов оно сократится за третий час0
О т в е т: на 50%
5. Мотоциклист равномерно преследует автомобиль. За третий час расстояние между ними сократилось на 90%. На сколько процентов оно сократилось за первый час?
Ответ: на 321/7%
6. Из одного пункта в одном направлении через каждые 20 минут выезжают автомобили. Второй едет со скоростью 60км/ч, а скорость первого на 5км/ч больше скорости второго. Найти скорость третьего автомобиля, если известно, что он обогнал первый автомобиль на 5,5 часа позже, чем второй.
7.Теплоход прошёл по течению реки 96 км и столько же против течения . некоторое время он стоял под погрузкой, затратив на весь путь 32 часа. скорость течения реки равна 2км/ч. Определить скорость теплохода в стоячей воде , если время погрузки составляет 37,5% от времени, затраченного на весь путь.
8. Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности длиной 64 м с постоянными скоростями, встречаются каждые 4 секунды. При движении в одну сторону первое тело догоняет второе каждые 32 секунды. Найти линейные скорости этих тел.
9. Переднее колесо движущейся модели на протяжении 120м делает на 6 оборотов больше, чем заднее. Если окружность переднего колеса увеличить на ј длины, а окружность заднего на 1\5 длины, то на том же расстоянии переднее колесо сделает на 4 оборота больше, чем заднее. Найдите длины окружностей переднего и заднего колеса.
10.Идя вдоль трамвайного пути, проезжий заметил, что каждые 12 минут его нагоняет трамвай, а каждые 4 минуты он сам встречает трамвай. И прохожий, и трамваи движутся равномерно. Через сколько минут один после другого трамвайные вагоны покидают свои конечные пункты?
Занятие 9-14
Задачи на смеси и сплавы.
К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ. Обычно в задачах этой группы принимаются следующие соглашения.
1. Все получающиеся сплавы или смеси однородны.
2.При слиянии двух растворов, имеющих объёмы V1 и V2 , получается смесь, объём которой равен V1 +V2 .
Задачи на растворы
К задачам этого вида относятся задачи, в которых : а)один или два раствора смешиваются вместе, б)из раствора выпаривается вода или в раствор вода добавляется. Как правило, в них идёт речь либо о спиртовых растворах, либо о кислотных, либо о соляных, либо о других веществах. В зависимости от условия в этих задачах требуется определить процентное содержание вещества в новой смеси, крепость получившегося раствора, объём добавленной смеси и т.п. При решении задач на смеси и сплавы часто применяют следующие обозначения:
· – доля вещества, С-концентрация, М – количество вещества, m –количество чистого вещества, где С =
·*100%,
m=
· М.
1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение.
Количество взятого р-ра в (г)
Количество соляной кислоты в (%)
Количество соляной кислоты в (г)
1 раствор
х
30%
0,3х
2 раствор
у
10%
0,1у
Новый р-р
х + у = 600
15%
0,15 . 600 = 90
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: 1-го раствора 150 г, 2-го раствора было взято 450 г.
2. Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 л 20%-ного раствора. Какое количество каждого раствора в литрах было использовано?
3. В каких пропорциях нужно смешать 50-процентный раствор кислоты и 70-процентный раствор кислоты, чтобы получить 65-процентный раствор кислоты?
Анализ условия задачи
Вопрос
Ответ
Какого типа задача?
Что происходит по условию задачи? Можно ли описать происходящее словами «было – стало»? (конструируются разделы таблицы)
Какими величинами характеризуется каждое состояние смеси (конструируются столбики таблицы)
Что является целым, что его частью в каждом случае? (оформляются заголовки столбиков)
Какие данные известны? (заполняется таблица)
Что требуется найти
Оформление условия
% (с)
Доля (а)
Масса (г) (М)
Было
1 раствор
50
0,5
0,5х
2 раствор
70
0,7
0,7у
Стало
Смесь
15
0,15
0,65(х+у)
Составим уравнение 0,5х+0,7у = 0,65 (х+у). так как требуется найти в каких пропорциях нужно смешать растворы ( т. е. отношение масс данных растворов), то поделим почленно уравнение на у.
0,5 х/у + 0,7 = 0,065(х/у + 1). Откуда х/у = 1/3.
Ответ: 1:3.
4 Из 20-процентного раствора поваренной соли испарилось 25% имеющейся в растворе воды. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Ответ: 25%.
2.Задачи на сплавы.
К задачам такого вида относятся задачи, в которых речь идёт о сплавах различных металлов. Обычно рассматриваются сплавы драгоценных металлов с другими металлами, потому что в быту золотые и серебряные вещи из чистого золота и серебра не используются, так как эти металлы мягки, легко поддаются деформации и изнашиванию, что приводит к уменьшению их веса, а следовательно, и стоимости.
Для того, чтобы придать этим металлам прочность, их сплавляют с другими металлами, чаще всего с медью. В задачах на сплавы обычно требуется найти либо пробу полученного сплава, либо узнать, сколько необходимо взять килограммов сплавов двух различных проб, чтобы получить сплав данной пробы.
5. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 10% и 40%. Сколько нужно взять каждой стали, чтобы получить 150 г стали с содержанием 20%?
6. Имеются два сплава чугуна с никелем с содержанием никеля 5% и 40% соответственно. Сколько нужно взять металла каждого из этих двух сортов, чтобы получить 140 г нового сплава с содержанием 30% никеля?
7. Имеется лом стали двух сортов, причём первый сорт содержит 10% никеля, а второй 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 т стали с содержанием 25%? {100}
8. Смешивается некоторое количество 72%-ного раствора кислоты и некоторое количество 58%-ного раствора кислоты и в результате получается 62%-ный раствор. Если бы каждого раствора было взято на 15л больше, то получился бы 63,25%-ный раствор. Сколько литров каждого было взято первоначально для составления первой смеси?
9. Имеется два сплава меди с цинком. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 1 : 2, в другом – 2 : 3. Сколько необходимо взять от каждого сплава, чтобы получить 19 кг нового сплава, в котором количество меди и цинка относится как 7 : 12?
Решение (один из способов):
Количество взятого в кг
Количество меди в кг
Количество цинка в кг
1ый сплав
х кг
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2ой сплав
у кг
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Новый сплав
х + у (кг)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пояснения к таблице:
Пусть, чтобы получить 19 кг нового сплава нужно взять х кг первого сплава, а второго у кг. Тогда получим уравнение х + у = 19. Так как в первом сплаве отношение меди к цинку 1 : 2, то в первом сплаве [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]кг меди и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]кг цинка. Так как во втором сплаве отношение меди к цинку 2 : 3, то во втором сплаве [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]кг меди и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]кг цинка. Значит в новом сплаве всего меди [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]кг, а цинка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]кг и так как по условию задачи в новом сплаве отношение меди к цинку 7 : 12, то получаем уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], упростим его( умножим числитель и знаменатель левой части уравнения на 15) и получим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Применяя основное свойство пропорции уравнение примет вид: 12 . (5х + 6у) = 7 . (10х + 9у) <=> 9у = 10х и используя, что х+ у = 19, решим систему уравнений [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: 1-го 9 кг, 2-го 10 кг.
10. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, а в другом – в отношении 3 : 7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11?
11. В двух различных сплавах медь и цинк относятся соответственно как 5 : 2 и 3 : 4. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы после совместной переплавки получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?
12. Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в два раза больше, чем цинка, а во втором в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в раза больше, чем меди?
Решение.
Покажем, что эту задачу можно представить и решить, как три предыдущие задачи. Пусть нужно согласно условию задачи взять х кг первого сплава и у кг второго сплава. Так как в первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, то значит отношение меди к цинку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]в этом сплаве 2 : 1 и поэтому меди в первом сплаве [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]кг, цинка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]кг. Так как во втором сплаве меди в 5 раз меньше, чем цинка, то отношение меди к цинку во втором сплаве 1 : 5 и меди в килограммах [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], цинка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]кг.
Составим аналогичную таблицу к решению этой задачи:
Количество взятого в кг
Количество меди в кг
Количество цинка в кг
1ый сплав
х
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2ой сплав
у
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Новый сплав
х + у
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Тогда в новом сплаве меди [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]кг, цинка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]кг. По условию задачи цинка в новом сплаве должно быть в 2 раза, то есть отношение меди к цинку1 : 2, получаем уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Умножим числитель и знаменатель левой части уравнения на 6, получим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Далее применяя свойство пропорции имеем 8х + 2у = 2х + 5у, 6х = 3у => у = 2х
Ответ: в 2 раза больше надо взять второго сплава.
13. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди следует добавить к этому куску, чтобы получить сплав, содержащий 60 % меди?
Решение:
Сначала узнаем, сколько первоначально в сплаве меди. 36 . 0,45 = 16,2 кг меди. Пусть добавили х кг меди. Тогда масса нового сплава ( 36 + х) кг – 100%, а масса меди в новом сплаве тогда (16,2 + х) кг – 60% Получаем пропорцию [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<=> [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<=> 5(16,2 + х) = 3(36 + х) откуда х = 13,5 кг.
Ответ: 13,5 кг
14. Сплав олова с медью весом в 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди?
Решение:
12 . 0,45 = 5,4 кг меди в сплаве. Пусть х кг олова надо добавить, тогда
масса всего сплава будет (12 + х) кг -----100% масса меди после добавления олова 5,4 кг ----- 40%, получаем пропорцию [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], решив которую находим, что х = 1,5 кг
Ответ: 1,5 кг
15. Морская вода содержит 8% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?
16. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием воды 75%?
17. Имеется 100 г сплава, содержащего золота и серебра в отношении 1 : 4. Сколько грамм золота надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 60% золота?
18. Имеется 200 г сплава, содержащего золота и серебра в отношении 2 : 3. Сколько граммов серебра надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 80 % серебра? {200}
19. В 2 литра 10%-ного раствора уксусной кислоты добавили 8 л чистой воды. Определить процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе? {2%)
20*. К раствору, содержащему 39 г соли, добавили 1000г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10 %. Найти первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.
Решение (один из способов):
Пусть х г – первоначальный вес раствора. Зная, что концентрацией раствора называется отношение чистого вещества к массе всего вещества, имеем, что первоначальная концентрация соли [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а концентрация после добавления 1000 г воды – [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. По условию задачи концентрация после добавления воды уменьшилась на 10%, тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0,1<=> х2 + 1000х – 390000 = 0 х1= 300, х2 = – 1300 (не может быть в задачах). Тогда первоначальная концентрация раствора в процентах [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=13%.
Ответ: 13%
21. Имеется два сплава олова, в первом его процентное содержание равно 30%. Если их сплавить, то получится сплав, содержащий 42% олова. Если же к полученному сплаву добавить 5 кг сплава, содержащего 20% олова, то получится сплав, содержащий 31% олова. Чему равно количество олова во втором сплаве, если его вес равен 2 кг?
Решение:
Пусть х кг – вес 1 сплава , а у кг – количество олова во втором сплаве.
Вес сплавов
Олова в кг
Олова в %
1 сплав
Х кг
0,3х кг
2 сплав
2 кг
У кг
1-й новый сплав
Х +2 (кг)
0,3х + у
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 42%
2-й новый сплав
Х +2 +5 (кг)
0,3х + у + 5 . 0,2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=31%
Решаем систему уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: 1,2
22. Имеется два сплава олова. В первом его процентное содержание равно 24%, а во втором – 30%. Когда их сплавили , то получили сплав, содержащий 27,5% олова. Если к полученному сплаву добавить 3 кг сплава, содержащего 40% олова, то получится сплав, содержащий 30% олова. Чему равно количество олова во втором сплаве? {2,1}
23. Имеется два сплава меди. Во втором сплаве процентное содержание меди равно 20%. Если их сплавить, то получится сплав, содержащий 30% меди.Если к полученному сплаву добавить 4 кг сплава, содержащего 15% меди, то получится сплав, содержащий 24 % меди. Найти процентное содержание меди в первом сплаве, если его вес равен 4 кг. {35}
24. Имеется три сплава меди и цинка. Если их сплавить в отношении 1 : 2 : 1, то получится сплав, содержащий 30% цинка. Если же сплавить 2 кг первого сплава и 4 кг третьего, то получится сплав, содержащий 4 кг меди. Найти процентное содержание цинка во втором сплаве, если известно, что в первом сплаве оно в два раза ниже, чем в третьем. {30}
Количество взятого произвольно, но в заданном отношении
Количество цинка в %
Количество цинка в кг
1ый сплав
1 кг
х %
0,01х кг
2ойсплав
2 кг
у %
0,02у кг
3ий сплав
1 кг
2х %
0,02х кг
Новый сплав
1 + 2 + 1 = 4 кг
30 %
4 . 0,3 кг
Отсюда первое уравнение, выражающее количество цинка в новом сплаве: 0,01х + 0,02у + 0,02х = 1,2 | . 100 3х + 2у = 120
Количество взятого в кг
Количество меди в %
Количество меди в кг
1ый сплав
2 кг
100 – х
2 . [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3ий сплав
4 кг
100 – 2х
4 . [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]кг
Новый сплав
4 кг
2 . [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 4 | . 100 2 . (100 – х) + 4 . (100 – 2х) = 400, решив которое , получим х = 20. Подставив х = 20 в первое уравнение, получим у = 30.
Ответ: 30%
25.Имеется три сплава меди и свинца. Если их сплавить в равных количествах, то получится сплав, содержащий 14 % меди, а если взять 4 кг первого сплава и 5,6 кг второго, то получится сплав, содержащий 8,728 кг свинца. Определить процентное содержание меди в третьем сплаве, если известно, что в первом сплаве оно в 2,4 раза меньше, чем во втором. {25}
26.Имеется три сплава цинка и меди. Если их сплавить в отношении 2 : 1 : 2, то получится сплав, содержащий 28% меди. Если же сплавить 4 кг первого и 6 кг второго сплава, то получится сплав, содержащий 70% цинка. Определить процентное содержание меди во втором сплаве, если известно, что в третьем сплаве оно в три раза меньше, чем в первом. {20}
27 .Свежие грибы содержат по весу 90% воды, а сухие –12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Решение (один из способов):
1. 100% – 90% = 10 % сухого вещества содержится в свежих грибах, в кг находим используя нахождение % от числа => 2. 22 . 0,1 = 2,2 кг сухого вещества, что составляет => 3. 100% – 12% = 88% сухого вещества содержится в сушёных грибах. Учитывая, что содержание сухого вещества в свежих грибах и сухих грибах одинаково, сколько кг сушёных грибов получится , найдём ,используя нахождение числа по его проценту => 4. 2,2 : 0 ,88 = 2,5 кг
Ответ: 2,5 кг
28 .Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 20%. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы из них получить 45 кг сухих грибов?
Решение:
Решим эту задачу таким же способом как и предыдущую, но для этого введём, х кг – количество свежих грибов. 1. 100% – 90% = 10% сухого вещества содержится в свежих грибах 2. х . 0,1 = 0,1х кг сухое вещество в свежих грибах 3. 100% – 20% = 80% сухое вещество, содержащее в сухих грибах . И учитывая, что содержание сухого вещества в свежих и сухих грибах одинаково, найдём 4. 0.1 х : 0,8 кг получается сухих грибов, что по условию задачи равно 4,5 кг Решаем уравнение: 0,1х : 0,8 = 4,5 0,1х = 4,5 . 0,8 <=> 0,1х = 3,6 . х = 3,6 : 0,1 = 36
Ответ: 36 кг.
29.Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент содержания воды в свежих грибах?
Решение:
100% – 12% = 88% = 0,88 сухого вещества в сухих грибах 2,5 . 0,88 = 2,2 кг сухого вещества. В свежих грибах сухого вещества содержалось также 2,2 кг. Следовательно процентное содержание воды в свежих грибах [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]%
Ответ: 90%
30. Определить, сколько килограммов сухарей с влажностью 15% можно получить из 255 кг хлеба с влажностью 45%. {165}
31. Сколько было килограммов свежих абрикосов с содержанием воды 90%, если из них было получено 210 кг сушёных абрикосов с содержанием воды 15%? {1785}
32. На овощную базу привезли крыжовник, содержание воды в котором составляло 99%. За время хранения содержание воды уменьшилось на 1%. На сколько процентов уменьшился вес крыжовника? {50%}
33. На базу завезли яблоки, содержание воды в которых составляло 80%. В результате хранения содержание воды уменьшилось на 0,5 % и яблоки стали весить 8 тонн. Каков был первоначальный вес яблок? {8,2т} [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
34. Сплав олова с медью весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав , содержащий 40% меди ? (5баллов)
Ответ: 1,5кг
35. Вычислите массу сплава и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве с медью, зная, что, сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав с 84-процентной массовой долей серебра. (5баллов)
Ответ: 3 кг, 80%.
36.Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы приготовить 16 кг сушеных? (5баллов)
Ответ: 100 кг
Задачи из вариантов ЕГЭ.
37. Два спиртовых раствора борной кислоты одинаковой массы слили в один сосуд. Сколько процентный раствор получили в результате, если первый раствор был пятипроцентный (5% борной кислоты и 95% спирта), а второй – однопроцентный? {3}
38. Сколько мл воды нужно добавить к 500 мл 96%-ного раствора спирта (96% спирта, 4% воды), чтобы получить 40%-ный раствор спирта? {700}
39. 30 кг сплава меди с оловом содержит 30% меди. Сколько чистой меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 50% олова? {12}
40. Кусок сплава меди и цинка массой 72 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60 % меди? {27}
41. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержащей 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди? {3}
42. Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержит 20% меди. Сколько чистой меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% олова? {15}
43. Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Первый сплав содержит 10% цинка, второй – 40% цинка. Новый сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20% цинка. Определите массу нового слава. {9}
44. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 12%. Сколько получится сухих грибов из 44 кг свежих? {5}
45. Свежие грибы содержат 92% воды, а сухие – 8%. Сколько получится сухих грибов из 23 кг свежих? {2}
46. Взяли одинаковые массы ягод и сиропа. Известно, что в ягодах содержится 65% воды, а в сиропе содержится 15% воды. Ягоды залили сиропом. Сколько процентов воды содержится в смеси ягод и сиропа?
47. Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%.. Найдите массу привезённой смеси, если со склада было отправлено 400 кг. {410}
48. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов после подсушивания? {40}
49. Имеется 4 литра 70%-го раствора кислоты. Сколько литров 90%-го раствора кислоты надо к нему добавить, чтобы получился 74%-ный раствор? {1}
50. Имеется 5 литров 80%-го раствора щёлочи. Сколько литров 40%-го раствора щёлочи надо к нему добавить, чтобы получился 65%-ый раствор? {3}
51. Имелось два раствора кислоты в воде: 60%-ый и 20%-ый. Первую смесь получили из некоторого количества первого раствора и 15 л второго, а вторую смесь – из прежнего количества первого и 5 л второго. Сколько литров первого раствора использовали для приготовления каждой смеси, если концентрация кислоты в первой смеси вдвое меньше концентрации воды во второй?{5}
Занятие 15-17
Задачи на работу
К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трёх величинах: работе(А), времени( t), в течение которого производится работа, производительности (Р) – работе, произведённой в единицу времени. Эти три величины связаны уравнением А=Рt. К задачам на работу относятся и задачи связанные с наполнением и опорожнением резервуаров(сосудов, баков, бассейнов и т.п.) с помощью труб, насосов и других приспособлений. В качестве произведённой работы в этом случае рассматривается объём перекаченной воды. Задачи « на работу», вообще говоря, можно отнести к группе задач «на движение», т.к. в задачах такого типа можно считать, что вся работа играет роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Однако по фабуле эти задачи естественным образом отличаются. В тех задачах, в которых объём выполняемой работы не задан, вся работа принимается за 1.
1. Две бригады должны выполнить заказ за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая бригада заканчивала выполнение заказа ещё 7 дней. За сколько дней могла бы выполнить заказ каждая бригада, работая отдельно?
Решение:
Пусть первая бригада выполняет задание за x дней, вторая бригада – за у дней. примем всю работу за 1. Тогда 1/x – производительность первой бригады, а 1/у– второй. Так как две бригады должны выполнить заказ за 12 дней, то получим первое уравнение 12(1/x +1/у) =1. Из второго условия следует, что вторая бригада работала 15 дней, а первая – только 8 дней. Значит. второе уравнение имеет вид 8//x +15/у=1.
Таким образом имеем систему{ 12(1/x +1/у) =1
8//x +15/у=1.
Ответ: за 28 дней выполнит заказ первая бригада, за 21 день – вторая.
2.Рабочий А и рабочий В могут выполнить работу за 12 дней, рабочий А и рабочий С – за 9 дней, рабочий В и рабочий С – за 12 дней. За сколько дней они выполнят работу, работая втроём?
Решение:
Пусть рабочий А может выполнить работу за х дней, рабочий В – за y дней, рабочий С – за z дней. Примем всю работу за 1 . Заполним таблицу.
Р
t
А
1рабочий
1/х
х
1
2 рабочий
1/ y
y
1
3 рабочий
1/ z
z
1
Используя условие задачи, приходим к следующей системе уравнений, представленной далее 13 EMBED Equation.3 1415Сложим почленно уравнения системы, получим 2(1/х +1/y+1/z) = 1/12 +1/9+1/12 или 1/х +1/y +1/z= 5/ 36.
Сумма 1/х +1/y+1/z – это совместная производительность рабочих, поэтому время, за которое они выполнят всю работу, будет равно 1: 5/36=36/5 =7,2 (дня).
Ответ: 7,2 дня.
3.В бассейн проведены две трубы – подающая и отводящая, причём через первую трубу бассейн наполняется на 2 часа дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 часов. За сколько часов одна первая труба может наполнить бассейн, и за сколько часов одна вторая труба может опорожнить полный бассейн? Ответ: 8 часов и 6 часов.
4.Одна тракторная бригада должна вспахать 240 га, а другая на 35% больше, чем первая. Первая бригада, вспахивая ежедневно на 3 гектара меньше второй, закончила работу на два дня раньше, чем вторая бригада. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада ежедневно? Ответ: 24 га и 27 га, 15 га и 18 га.
5.В мае два цеха изготовили 1080 деталей. В июне первый цех увеличил выпуск деталей на 15% , а второй увеличил выпуск деталей на 125, поэтому оба цеха изготовили 1224 детали. Сколько деталей изготовил в июне каждый цех?
Ответ: 552 детали, 672 детали.
6.В двух бригадах вместе 27 человек. Число членов первой бригады более чем в 2 раза превышает число членов второй бригады, уменьшенное на 12. число членов второй бригады более чем в 9 раз превышает число членов первой бригады, уменьшенное на 10. Сколько человек в каждой бригаде?
Ответ: в первой 11 человек; во второй 17 человек.
7.Каждый из рабочих должен был изготовить 36 одинаковых деталей. Первый рабочий приступил к выполнению своего задания на 4 минуты позже второго, по 1/3 задания они выполнили одновременно. Полностью выполнив своё задание, первый рабочий после двухминутного перерыва снова приступил к своей работе и к моменту выполнения задания вторым рабочим изготовил ещё 2 детали. Сколько деталей в час изготавливал каждый рабочий? Ответ: 20 д.; 18 д.
8. Первый токарь выполнил заказ на выточку деталей. за это время второй токарь выточил бы 18 деталей, а работая на один час меньше, он выполнил бы половину того же заказа. Если бы часовая производительность первого токаря увеличилась на две детали, то за время, которое необходимо второму токарю на выточку 15 деталей, первый токарь мог бы выполнить заказ и сделать дополнительно 5 деталей. Найти число деталей в заказе. Ответ: 30 деталей.
Занятия 18-20
Задачи на прогрессии.
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность , у которой каждый последующий член равен своему предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии d.
Общий член (n – ый член) арифметической прогрессии определяется формулой а n = а1+ d(n-1).
Сумма первых n членов арифметической прогрессии определяется формулой
первых членов геометрической прогрессии определяется формулой
S n =(а1+ а n )*n/2 или S n= (2а1+ d(n-1))*n/2 .
Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, у которой каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q, не равное 0, называемое знаменателем прогрессии. Общий член (n – ый член) геометрической прогрессии определяется формулой b n= b1 qn -1. Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяется формулой S n= b1(1-qn)/1-q, q не равен 1.
Геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию |q|<1, называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется формулой: S = b1/1-q.
Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (аn), если а1+а7=42, а3-а10=21.
Решение:
1.Выразим а7 ,а3, а10 члены прогрессии через а1 и d. Решим полученную систему с двумя переменными.(Ответ:30)
2.Найдите четыре числа между числами 4 и 40, образующие вместе с ними арифметическую прогрессию.(Ответ: 11,2; 18,4; 25,6; 32,8).
3.Определите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма её первых пяти членов, стоящих на чётных местах, равна 15, а сумма трёх первых членов равна -3.(Ответ: а1=-2; d=1).
4.Произведение третьего и шестого членов арифметической прогрессии равно 406. При делении девятого члена этой прогрессии на её четвёртый член в частном получается 2, а в остатке 6. Найдите первый член и разность прогрессии. (Ответ: а1=4; d=5 или а1=-11 2/7; d=-2 9/14).
5.Найдите сумму всех трёхзначных натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток, равный4.(Ответ: 99270).
6.Сколько членов арифметической прогрессии нужно взять, чтобы их сумма равнялась 91, если её третий член равен 9, а разность седьмого и второго членов равна 20? (Ответ: 7).
7.Сумма четырёх первых членов арифметической прогрессии равна 56, а сумма четырёх последних членов равна 112. Найдите прогрессию, если её первый член равен 11.(Ответ:11; 13; 15; , 29; 31).
8.Найдите возрастающую арифметическую прогрессию, у которой сумма первых трёх членов равна 27, а сумма их квадратов равна 275.(Ответ: 5; 9; 13, )
9.Найдите между числами 3 и 48 три числа, образующие вместе с ними геометрическую прогрессию.(Ответ: 6; 12; 24).
10.Определите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, у которой сумма первого и третьего членов равна 80. (Ответ: b1=84 , q =2.)
11.Определите сумму первых трёх членов геометрической прогрессии, у которой разность между вторым и первым членами равна 6, а разность между четвёртым и третьим членами равна 54. (Ответ: 39 или -10.5).
12.В геометрической прогрессии сумма первого и четвёртого членов равна 18, а сумма третьего и второго равна 12. Найдите разность между третьим и вторым членами этой прогрессии. (Ответ: ±4).
13.Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 20, а сумма первых трёх её членов равна 26. Найдите прогрессию.(Ответ: 2; 6; 18; или 18; 6; 2;)
14. Определите геометрическую прогрессию, в которой сумма первых четырёх членов равна 60, а сумма их квадратов равна 1360. (Ответ: 4; 8; 16; 32; или 32; 16; 8; 4; ).
15. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если её каждый член в 2, 5 раза больше суммы всех последующих членов.( Ответ: 2/7).
16.Второй член бесконечно убывающей прогрессии на 14 больше суммы всех последующих членов прогрессии, а сумма членов с чётными номерами равна 12,5. Найдите прогрессию.(Ответ: b1=-455/12; , q =-0,3 или b1=-60; , q =-0,2).
Задачи ЕГЭ.
В арифметической прогрессии сумма третьего и пятого членов равна -14, а сумма первых девяти членов равна – 45. Сколько отрицательных членов имеет эта прогрессия?
В арифметической прогрессии разность тридцать первого и десятого членов составляет 42. а сумма первых пятнадцати членов равна – 150. С какого номера начинаются положительные члены прогрессии?
Сумма пятнадцати первых членов арифметической прогрессии равна нулю, а произведение третьего и седьмого членов равно 20. С какого номера все члены данной прогрессии будут больше 15?
Произведение второго и четвёртого членов геометрической прогрессии равно 1/16, а второго и пятого членов - -1/128. Найдите число членов геометрической прогрессии, если их сумма равна 127/128.
Третий член арифметической прогрессии равен 25, а десятый член равен 4. Найдите сумму первых шестнадцати членов данной прогрессии.
Третий член данной прогрессии равен -6, сумма второго и пятого членов равна -9. Известно, что один из членов прогрессии равен 15. Найдите его номер.
Второй член арифметической прогрессии равен -7, разность пятого и восьмого членов равна -6. Известно, что один из членов прогрессии равен 9. Найдите его номер.
В арифметической прогрессии произведение второго и пятого членов равно 45, а сумма первых пяти членов равна 35. Найдите разность прогрессии, если известно, что она положительна.
сумма первых пяти членов арифметической прогрессии меньше суммы её последующих членов на 50. На сколько десятый член прогрессии больше его второго члена?
Ответы к заданиям ЕГЭ по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия»
Номер зад.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
7
14
16
8
7
136
10
10
4
16
Занятия 21-24
Задачи с экономическим содержанием
Из истории процентов
Слово «процент» происходит от латинского procenturn, что буквально означает «на сотню». В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе деся тичной системы счисления в XV в. Однако уже в «Дигестах Юстиниана» (так называется первая дошедшая до нас кодификация римского права, датируемых V в., мы нахо дим вполне современное употребление процентов.
«Фиск (императорская казна) не уплачивает проценты по заключенным им договорам, но сам получает проценты: напри мер, от съемщиков публичных уборных, если эти съемщики слишком поздно вносят деньги; также при просрочке уплаты налогов. Когда же фиск яв ляется преемником частного лица, то обычно он уплачивает проценты.
Если должники, платившие проценты в размере, меньшем чем 6% в год, стали должниками фиска (если к фиску перешло право требования), то они обязаны уплачивать 6% годовых с того времени, как требование против них перешло к фиску».
По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством как предтеча десятичной сис темы счисления. Проценты были известны индийцам еще в V веке. Это закономерно, так как в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. В Европе десятичные дроби появились на тысячу лет позже, их ввел бельгийский ученый С. Стевин. В 1584г. Он впервые опубликовал таблицу процентов.
Введение процентов оказалось удобным не только для оценки содержания одного вещества в другом. В процентах стали измерять изменение производства товара, рост денежного дохода и т.д.
Со временем люди научились извлекать из вещества его компоненты, составляющие тысячные доли от массы самого вещества. Тогда, чтобы не вводить нуль и запятую, ввели новую величину – промилле – тысячную долю, которую обозначили знаком %0 и вместо 0,6% стали писать 6%0. однако эту величину постоянно применяют лишь в некоторых областях техники, а в большинстве случаев используют десятые и сотые доли процента. Так, содержание соли в морской воде составляет 0,25% или 2,5%0.
Промилле можно часто встретить на страницах книг по медицине и фармакологии.
В операциях с ценными металлами используется другое название кванта 1/1000 - проба. Так, золото 750-й пробы это сплав с 75-процентным содер жанием золота.
Задача 1 . Купец торговал положенными в торг 100 рублями с убытком, так что оставшаяся сумма после первого года без 4/25 всего (начального) капитала, равна оставшейся сумме после двух лет.
Спрашивается: поскольку он получал убытка от 100 руб. в каждой год?
Решение. Составим уравнение 100
· (1- p/100)2 – 4/25
· 100 = 100
· (1- p/100) и решим квадратное уравнение относительно (1- p/100). Ответ: 80 или 20 руб.
Задача 2 . Отдан в ломбард капитал а по р процентов; проценты сии в ломбард оставля ются, причисляя их к капиталу, и сверх сего вно сится еще ежегодно по b руб. Спрашивается: сколь велик весь капитал будет по истечении п лет?
kn -1
Ответ: kn
·а + b, где k = 1 + p/100.
k-1
Задача 3. Положим, например, что отдан в ломбард капитал, состоящий из 10 000 руб лей по 5 процентов, и ежегодно еще вносится по 800 рублей. Спрашивается: после 12 лет сколь ве лик капитал сей будет?
Ответ: 30 692 руб. 26 коп.
Привычка к употреблению процентов в сфере де нежных отношений благоприятствовала быстрому их внедрению в развивающиеся технологии XIX в. Так, в словаре Брокгауза и Ефрона чита ем следующее: «По предварительным данным переписи 1897 г., население Петербурга оказалось возросшим за 6 лет на 178 тысяч, из которых 150 тыс. приходится на прилив извне; из всего прироста 85% падает на крестьян, составляющих теперь до 59% всего пе тербургского населения».
Как видно из этого отрывка, уже на рубеже XIX и XX вв. русскоязычное контекстное понима ние процентов максимально лаконизируется. В одном предложении фигурируют две различные стопроцентные базы. В последующем это становит ся нормой деловой речи и литературы.
1. Антикварный магазин, купив две ста ринные вазы на общую сумму 360 руб., продал их, получив 25% прибыли. За сколько была продана каждая ваза, если наценка на первую вазу была 50%, а на вторую 12,5%?
Анализ условия задачи.
Вопрос
Ответ
Какого типа задача?
Задача на проценты..
О чем идет речь в задаче?
Речь о товаре, приобретаемом в антикварном магазине.
Что происходит по условию задачи? Можно ли описать происходящее , используя слова «было», «изменилось», «стало»
Какие величины участвуют в задаче?
Что известно? Что требуется найти?
Оформление условия
Товары
Была цена
Изменилась
Стала (руб.)
рублей
%
рублей
%
1
1 ваза
100
50
2 ваза
100
12,5
Продажа
На 25 % больше
Поиск способа решения
Каким способом будем решать задачу? (апгебраическим). С чего начинают решать задачу алгебраически м методом?, Какое условие можно выбрать за основание для составления уравнения? Какова схема уравнения?
Товары
Была цена
Изменилась
Стала (руб.)
рублей
%
рублей
%
Покупка для магазина
1 ваза
х
100
0,5х
На 50 % больш е
1,5х
2 ваза
360-х
100
0,125
· (360-х)
На 12,5 % больше
1,125
· (360-х)
Продажа
360
90
На 25 % больше
450
Составим уравнение. (360-х) + 0,125
· (360-х) = 450 ; откуда х= 120.
Ответ: 180 руб., 270 руб.
2. Рабочий положил на хранение в сберегательный банк 5000 руб. По истечении года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в тоже время он увеличил свой вклад еще на 5000 руб., а по истечении еще одного года попро сил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начисляет Сбербанк, если рабочий получил 15200руб. процентных денег, оставив вклад в 10000 руб. на новый срок?
Оформление условия
Было рублей (100%)
Изменилось
Стало (руб.) (1+ )
рублей
%
Первоначальный вклад
5000
Через год
На 5000 увеличилось
На р больше
5000
· (1+ р/100) +5000
Через два года
5000
· (1+ р/100) +5000
На р больше
(5000
· (1+ р/100) +5000)
· (1+ р/100)
Поиск способа решения
Каким способом будем решать задачу? (апгебраическим). С чего начинают решать задачу алгебраически м методом?,
Составим уравнение: 5000
· (1+р/100 +1)
·(1 + р/100) = 25200:;
(2 + а)
· (1 + а) = 5,04; где а = р/100, откуда а = 0,8
Ответ: 80%.
3. Две шкурки общей стоимостью в 2250 тыс. руб. были проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от вто рой - 50%?
Ответ: 900 и 1350 тыс. руб.
4. Налог взимается в размере 10% от суммы до 8000 д.з. плюс 20% от превышения 8000 д.з. Какой налог заплатил налогоплательщик, если у него осталось 9000 д.з.?
Ответ: 1250 д.з.
Задачи для осуществления рейтингового контроля
1. Через сколько лет остаток вклада под 200% годовых превзойдет 16 000, если стартовая сумма вклада 1000 и если вкладчик берет 800 в конце каждого года.(5 баллов)
Ответ: через 3 года
2.Цену на пылесос снизили на 10%, в результате чего он стоит теперь 38,7 руб. Сколько стоил пылесос до снижения цены? (3 балла)
Ответ: 43 руб
3.Стоимость товара сначала снизили на 12%. а затем новую стоимость снизили еще на 5%. Сколько процентов от первоначальной стоимости составляет окончательная стоимость этого товара после двух последовательных снижений и на сколько процентов в общем снижена была стоимость товара? (4 балла)
Ответ: 83,6%, на 16,4%.
4.Во время предвыборной кампании социологический центр «ЗЕВС» поднял цену со циологических исследований на 300%. Но отсутст вие спроса заставило вернуться к прежнему уров ню цен. На сколько процентов была снижена цена?
5. «Брак на предприятии составляет 5%. После ряда принятых технико-экономических и организацион ных мер брак снизился до 1%. На сколько процен тов снизился брак?
Ответ: на 80%»
Задачи для самостоятельного решения
Из предложенных задач учитель делает необходимую для конкретного класса подборку задач.
Некоторое число было уменьшено на 25%. На сколько процентов нужно увеличить получившееся число, чтобы получить первоначальное число?
Ответ: на 331/3%.
Число увеличено на 25%. На сколько процентов нужно уменьшить результат этого увеличения, чтобы получить первоначальное число?
Ответ: на 20%.
На сколько процентов увеличится пло щадь квадрата, если периметр его увеличить на 10% .
Ответ: на 21%.
Выразите в процентах изменение площади прямоугольника, если длина его увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%.
Ответ: уменьшится на 9%.
Найдите относительную погрешность приближения (в процентах): 1) числа 1/3 числом 0,33; 2) числа 1/7 числом 0,14.
Ответ: 1) 1%; 2)2%.
За пересылку денег по почте с отправителя взимают 2% переводимой суммы. Какую наибольшую сумму денег можно перевести, имея на руках ровно 100 руб.?
Ответ: 98 руб. 3 коп.
Пусть цены на какие-то товары снижены на 20%. На сколько процентов больше можно купить этих товаров по сниженной цене на от веденную для них сумму?
Ответ: на 25%.4.
Число деталей, которое рабочий должен изготовить по плану, составляет 80% числа фактически изготовленных деталей. На сколько процентов рабочий перевыполнил план?
Ответ: на 25%.
В одном автопарке 250 машин, из них 24% составляют самосвалы, во втором автопарке 150 машин, из них 8% самосвалы. Какой процент общего числа машин в обоих парках состав ляют самосвалы?
Ответ: 18%.
Рабочий день уменьшился с 8 до 7 ч. На сколько процентов нужно повысить произво дительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла на 5%?
Ответ: на 20%
На какое целое положительное число надо разделить 180, чтобы остаток составлял 25% от частного?
Ответ: 11.
Магазином продано в первый день 50% поступившего товара, а во второй день - 25% остатка. Сколько процентов поступившего товара осталось непроданным?
Ответ: 37,5%.
В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в кон це года стал ежемесячно выпускать 726 изделий.
Ответ: 10%.
Палку длиной 364 см распилили на две части так, что первая из них оказалась короче второй на 18%. Найдите длину каждой части.
Ответ: 164 см, 200 см
Сосуд доверху наполнен 15-процентным раствором азотной кислоты. Из него отливают 6 л раствора и доливают 6 л воды. После перемешивания снова отливают 6л смеси и доливают 6л воды В результате в сосуде оказался 2,4-процентный раствор азотной кислоты. Найдите объем сосуда.
Ответ: 10 л
Какое наименьшее число работников может быть в кооперативе, если известно, что муж чины составляют в нем строго меньше 50%, но строго больше 40% ?
О т в е т: 9
Через сколько лет остаток вклада под 100% годовых превзойдет 2400, если стартовая сумм вклада 1000 и если вкладчик берет 900 в конце каждого года?
Ответ: через 4 года
Сколько процентов долга осталось после того, как должник первые три месяца выплачивал по 10% от остатка долга ежемесячно?
Ответ: 72,9%
Шварценеггер равномерно уходит от погони. За первый час расстояние между ними увеличилось на 30%. На сколько процентов оно увеличится за третий час?
Ответ: на 18,75%.
Шварценеггер равномерно уходит от погони. За три часа расстояние между ними увеличилось на 90%. На сколько процентов оно увеличилось за третий час?
Ответ: на 18,75%.
Шварценеггер равномерно уходит от погони. За три часа расстояние между ними увеличилось на 80%. На сколько процентов оно увеличится за вто рой час?
Ответ: на 211/9%
За А, В, С собираются голосовать 15% , 20%, 25% избирателей соответственно. Остальные колеблются. Сколько процентов колеблющихся должен привлечь А, чтобы не проиграть В и не проиграть С.
Ответ: не менее 62%
За А, В, С собираются голосовать 25% , 30%, 25% избирателей соответственно. Остальные колеблются. Сколько процентов колеблющихся должен привлечь А, чтобы не проиграть В и не проиграть С.
Ответ: не менее 831/3%.
Из прямоугольной заготовки с отношением сторон 2:3 вырезали прямоугольник максималь ной площади с отношением сторон 1:2. Найдите процент отходов.
Ответ: 25%.
Из прямоугольной заготовки с отношением сторон 2:3 вырезали два одинаковых квадрата максимальной площади. Найдите процент отходов.
Ответ: 25%.
Из квадратной заготовки вырезали два одина ковых прямоугольника с отношением сторон 3:2 максимальной площади. Найдите процент отходов.
Ответ: 25%.
Из кольцевой концентрической заготовки с отношением радиусов 1:4 вырезали два круга максимальной суммарной площади. Найдите про цент отходов.
Ответ: 70%.
. Из прямоугольной заготовки вырезали равнобокую трапецию с отношением оснований 5:2 максимальной площади. Найдите процент отходов.
Ответ: 30%.
Занятия 25-29
Задачи на числа. Разные задачи.
1.Один насос наполняет бак нефтью за 16 минут, второй- за 15 минут, а третий – за 18 минут. Какая часть бака будет наполнена нефтью в течение одной минуты тремя насосами?
2.Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу с двух станций. Первый поезд проходит всё расстояние между этими станциями за 24 минуты, а второй – за 36 минут . На какую часть этого расстояния приближаются поезда друг к другу в течение каждых 6 минут?
3.Возраст сына относится к возрасту отца, как 3:8. Сколько лет сыну, если отцу 44 года?
4. Отношение числа юношей к числу девушек в студенческой группе равно 5:7. Сколько в группе юношей, если всего в группе 24 студента.
5.Четыре брата разделили между собой 45 рублей. Если первому дать ещё 2 рубля, у второго взять 2 рубля, деньги третьего удвоить, а четвёртого – уменьшить в 2 раза, братья будут иметь денег поровну. Сколько рублей получил каждый брат?
6.Детям дали орехи. Первый получил 1 орех и 1/10 от оставшихся, второй – 2 ореха и 1/10 от оставшихся и т.д. Оказалось, что каждый ребёнок получил одинаковое число орехов. Сколько было орехов, если детей было 9?
7. Хозяин пригнал волов. Во дворе было забито несколько колов. Если к каждому колу он привяжет по волу, то для одного вола не хватит кола. Если к каждому колу он привяжет по два вола, то один кол останется без волов. Сколь ко волов и сколько колов?
8.Трое художников получили гонорар за свою работу. Первый получил треть всего гонорара без 1/21 части того, что получили двое остальных. второй получил треть гонорара и 3/17 части того, что получили первый и третий вместе. Третий получил 400 рублей. Какова сумма гонорара и сколько денег получил каждый художник?
9. Карп. Митрофан и Филлип путешествовали вместе. Карп имел 5 кг. хлеба, Митрофан – 3 кг, а Филлип ничего не имел. Во время путешествия все трое съели 8 кг. хлеба. Филлип дал Карпу и Митрофану 8 грошей как плату за ту часть хлеба, которую съел. Как им разделить эти 8 грошей.
10. Проволоку длиной 24,8 м разрезали на 3 части. Найти длину каждой проволоки, если известно, что длина первой части относится к длине второй, как 3:5, а длина второй части к длине третьей, как 2:3.
11. Из молока получают 11% творога. Сколько молока надо взять для того, чтобы получить 5 кг. творога.
12. Три магазина получили с базы 900 кг. яблок одного сорта. В конце дня в каждом магазине осталось непроданным по 20 кг. Сколько яблок получил каждый магазин, если первый продал яблок на 240 рублей, второй – на 840 рублей, третий – на 1440 рублей.
13. Часы показывают в 9:00 утра на 3 минуты меньше, чем следует, хотя идут вперёд. В 15:00 следующего дня они уже показывают на 2 минуты больше, чем следует. Определите, когда часы показывали точное время?
14. Куб разрезали на 64 одинаковых кубика. Во сколько раз площадь поверхности кубиков больше площади поверхности данного куба?
Литература.
1. Ю.В. Садовничий Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 6. Решение текстовых задач. Учебное пособие.– 3-е изд., стер. – М.: Издательский отдел УНЦ ДО, 2003г. (серия «В помощь абитуриенту»).
2. М.А. Иванов Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов Учебное пособие. – М.: Издательский центр «Вентана – Граф», 2002г.
3. М.В. Лурье, Б.И. Александров Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990г.
4. Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов Пособие по математике для поступающих в вузы (избранные вопросы элементарной математики). – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1976г.
5. Б.Ф. Бутузов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. Математика. Учебник для экономистов 10 – 11 классов. – М.: Сантакс - Пресс, 1996г.
6. В.В. Ткачук Математика – абитуриенту. – 9-е изд., исправленное и дополненное. М.: МЦНМО,2002г.
7. В.А. Нырко, В.А. Табуев Задачи с параметром. Текстовые задачи. Пособие для поступающих в вузы. – Екатеринбург: Издательство УМЦ – УПИ, 2001г.
8. Г.Н. Тимофеев Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие.– Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2001г.
9. Н.И. Попов, А.Н. Марасанов Задачи на составление уравнений. Учебное пособие. Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003г.
10. А. Тоом Как я учу решать текстовые задачи. - Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №46, 47, 2004г.
11. А. Прокофьев, Т. Соколова, В. Бардушкин, Т. Фадеичева Текстовые задачи. Материалы вступительных экзаменов в МИЭТ.–Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №9, 2005г.
12. В. Булынин Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005г.
13. О.О. Барабанов «Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления» «Математика в щколе», 2003- №5
14. Петухова Л.И. «О решении текстовых задач по математике» 2005-2006 «Фестиваль педагогических идей»
15. Короваева Г.Н. «Набор текстовых задач для самостоятельного и коллективного решения» , «Фестиваль педагогических идей» - 2005-2006
16. КИМ – 2004, 2005, 2006 г.г.
17.Т.Е. Демидова, А.П. Тонких Текстовые задачи и методы их решения. Издательство Московского университета, 1999