Изучение темы Проценты в школьном курсе математики

Районные педагогические чтения
Повьяхина В.В.
учитель математики
МОУ «Комсомольская СОШ №17»

Изучение темы «Проценты» в школьном курсе математики
Что такое проценты?
Числа, цифры или знаки
Символ, мера измерения
Или грань изменения?
Тему «Проценты» нельзя отнести к легко усваиваемым. Её традиционное изучение относится к курсу математики 5-6 классов. Это не позволяет рассмотреть всё разнообразие задач по данной теме, т.к. в старших классах эта тема в программу не входит, а значит навыки работы с процентами утрачиваются, а между тем такие задачи входят контрольно- измерительные материалы для сдачи ЕГЭ. Кроме того понятие процента широко используется в повседневной жизни, значит выпускник современной школы должен быть компетентен и в этом вопросе. Поэтому цель моей работы: показать значимость данной темы для формирования общематематической культуры учащихся. Задачи: рассмотреть понятие «процент» в историческом плане и употребление данного понятия в повседневной жизни; проанализировать задачи на проценты, решаемые в курсе 5-6 классов; рассмотреть задачи и методы их решения, доступные для учащихся старших классов. В конечном результате своей работы я предполагаю проведение кружковых или факультативных занятий для старшеклассников по данной теме.
1.Вначале обратимся к истории возникновения понятия «процент». Это слово происходит от латинского pro centum,что буквально означает «на сотню». Обычно возникновение этого термина связывают с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV веке, однако впервые проценты появились в Древнем Риме как финансово-юридический термин - именно столько должен был платить ростовщику заёмщик за право пользования его деньгами. Упоминание о процентах встречается в «Дагестах Юстиниана», датируемых Vв. Термин «процент» имеет в этой кодификации римского права вполне современное употребление. В русском языке применять данный термин, вероятно, начали применять с конца XVІІІ века. Об этом свидетельствуют учебники математики Е. Войтяховского и Т. Осиповского. Применение процентов в торгово – денежных отношениях способствовало их широкому внедрению во всех сферах жизни. Жизнь современного общества без употребления данного термина представить нельзя. Там, где речь идёт о статистике, будь то экономика, химия, биология, социология или политология,- везде счёт идёт на проценты.
2.Рассмотрим типы задач, решаемых в курсе математики 5-6 классов по данной теме.
Задачи на нахождение нескольких процентов от числа. Перед решением таких задач школьники должны уметь выражать проценты в виде обыкновенной и десятичной дроби, выполнять обратное преобразование. Примеры задач такого типа:
А) Найдите 12% от числа 300.
Б) В мире ежегодно добывается 1600млн м3 древесины, 20% всей древесины идёт на топливо. Сколько кубических метров древесины ежегодно сжигается?
Задачи на нахождение числа по его нескольким процентам.
А) Найдите число, 7% которого равны 14.
Б) В библиотеке 12% всех книг – словари. Сколько книг в библиотеке, если словарей в ней 900?
Задачи на уменьшение (увеличение) числа на несколько процентов.
А) Изделие стоило 500 рублей. Цену уменьшили (увеличили) на 10%. Сколько теперь стало стоить изделие?
Б) В настоящее время леса на планете занимают около 40млн км2. Ежегодно эта величина уменьшается на 2%. Когда планета останется без своих «лёгких», если этот процесс не остановить?
Задачи на нахождение того, сколько одно число составляет от другого; на сколько процентов одно число больше другого.
А) Сколько процентов числа 50 составляет число 40?
Б) Цена товара снизилась с 40 рублей до 30 рублей. На сколько процентов снизилась цена?
Подобные задачи, а также несколько усложнённые задачи содержатся в действующих пособиях для 5-6 классов. В І части сборника заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс/Л.В.Кузнецова и др.- 6 изд. М.: Дрофа,2001 содержатся задачи примерно такого же уровня сложности. Например, в работе № 1 (вариант 1) задача такого же уровня сложности: В школьной библиотеке 210 учебников математики, что составляет 15% всего библиотечного фонда. Сколько всего книг в библиотеке? Во ІІ части сборника задачи несколько сложнее. Например, №230(1): В двух школах посёлка 1500 учащихся. Через год число учащихся первой школы увеличилось на 10%, а второй – на 20%, и в результате общее число учащихся стало 1720. Сколько учащихся было в каждой школе первоначально? №258(2):Цена товара была дважды на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена каждый раз, если первоначальная цена 2000р., а окончательная 1805р.?
В сборнике заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе во второй части задачи сложнее. Например, задача 7.52(на 6 баллов): закупив чайные кружки на складе, магазин стал продавать их по цене, приносящей доход в 50%. Перед Новым годом цена была снижена на 40%. Какая цена меньше: та, по которой магазин закупил кружки или предновогодняя – и на сколько процентов?
В этом сборнике таких задач достаточно много, трудность которых оценивается и в 4 и в 6 баллов, встречаются в данном сборнике и задачи на сплавы и смеси, которые традиционно вызывают затруднения. Но так как повторного обращения к этому вопросу после 5-6 класса не предусматривается, а в этих классах дети в силу возрастных особенностей не получили полноценного представления о роли процентов в повседневной жизни, такие задачи решаются с большим трудом.
Рассмотрим теорию решения задач на проценты, которую можно изложить для старшеклассников.
Каково количество, составляющее р % от А ? (найти р % от А) Формула ответа:р100А.
Каково количество, р% от которого есть А? Формула ответа:100рА.
Каково количество, большее (меньшее) чем А, на р%? ( 1- р100 ) А Формула ответа:1+р 100А.
Сколько процентов составляет А от В? Формула ответа:АВ 100%.
На сколько процентов А больше, чем В? Формула ответа:А-ВВ100%
На сколько процентов А меньше, чем В? Формула ответа:В-АВ100%
Старшеклассники должны научиться переводить ту или иную словесную формулировку в соответствующую математическую формулу. Например, в задаче: «В одном городе Канады 70% жителей знают французский язык и 80 % - английский язык. Сколько процентов жителей этого города знают оба языка?» дважды можно увидеть формулу(4) АВ 100%.
Решение:
Пусть х жителей знают только английский, у – только французский, z – оба языка. Тогда х+zх+z+у =0,8, у+zх+у+z=0,7. Сложив оба эти равенства, получим 1+zx+y+z=1,5, а значит zx+y+z=0,5.Таким образом два языка знают 50% жителей.
При решении задач на «примеси», «сплавы», «растворы» кроме математических формул очень часто бывает удобно применять химический метод, так называемый «конверт Пирсона»
Сущность этого приема состоит в том, что по диагоналям из большей величины массовой доли растворенного вещества (в %) вычитают меньшую:

где а – большая массовая доля I раствора,
в - меньшая массовая доля II раствора,
с - искомая массовая доля (%) растворенного вещества в растворе.
Задача.
Смешали 30% и 10% растворы соляной кислоты и получили 600 г 15% раствора. Сколько граммов каждого вещества взяли?
Решение:
“Конверт Пирсона”:
30%   5%   1– 150г.
600г. 15%   5  
10%   15%   4 – 450г.

Как приготовить 630 г 36% раствора из 9% и 72% растворов?
Решение: “Конверт Пирсона”
9%   36   4-360(г)
630г 36%   9  
72%   27   3-270(г)
1) 36-9=27, 72-36=36.
2) НОД (36;27) = 9.
3) 36:9=4 (массовой части 9% раствора),
27:9=3 (массовой части 72% раствора).
4) 630:(3+4)=90(г) раствора с соответственно на одну массовую часть раствора
5) 90*4=360(г) – 9% раствор,
90*3=270(г) – 72% раствор.
Результатом работы по данной теме стало составление тематического планирования и подборки задач для проведения кружковых занятий в 9 классе. На занятиях кружка при решении сюжетных задач тема «Проценты» была выделена отдельно следующим образом
Вводное занятие. История возникновения понятия.1час.
Теоретические сведения о решении задач на проценты. 1 час.
Задачи на нахождение количеств по процентам. 1 час.
Задачи на нахождение процентов по колчеству.1 час.
Задачи на «сплавы», «растворы», «примеси». 3 часа.
Проценты вокруг нас.2 часа.
Итоговое занятие.
Подборку задач по данной теме для старших классов я составляла, используя задачник «2500 задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией М.И. Сканави. А также журнал «Математика в школе» №5, 2003,статьи «Корпорация процента», «Изучение темы «Проценты» через кружковую работу в 8 -9 классах», опубликованные на Фестивале педагогических идей «Открытый урок».
Умение свободно оперировать с процентами необходимо каждому современному человеку независимо от рода деятельности, и это умение должно быть закреплено в старших классах через кружковую или факультативную работу.
Литература:
Артеменко А.Р. Задачи на концентрацию и процентное содержание // Математика в школе.-1994.-№4.
Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления // Математика в школе.-2003.-№5.
Белявская В.В. Корпорация процента : Фестиваль педагогических идей - Открытый урок.
Кузнецова Л.В. и др. Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл.-2-е изд.-М.: Просвещение, 2007
Кузнецова Л.В. и др. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс.-6-е изд., - М.: Дрофа,2001
Лященко Е.И., Радченко В.П., Фефилова Е.Ф. Обучение решению сюжетных задач – Архангельск, издательство ПГУ им. Ломоносова, 1992
Пчелинцев Ф., Чулков П. Материалы к занятию кружка по теме «Проценты»// Математика - ПС. – 2006.-№4.
Титова И.Б. Изучение темы «Проценты» через кружковую работу в 8-9 классах: : Фестиваль педагогических идей - Открытый урок.
Шевкин А.В. Ещё раз об изучении процентов// Математика в школе.-1993.-№1.
Яковлева Н.С. Интегрированный урок математики и химии по теме «Решение задач на проценты»: : Фестиваль педагогических идей- Открытый урок.