Конспект по математике Приемы быстрого счета на примерах с заданиями для самостоятельной работы (5-11 класс)

Приемы быстрого счета
Автор подборки: Корякина Елена Викторовна,учитель математики, МБОУ СОШ №32 г.Озерск Челябинской области
Одно из условий успешного обучения математике - хорошо развитые у учащихся навыки устного счета. Поэтому на каждом занятии (будь то урок или кружок) учителю необходимо обращать особое внимание на устный счет. Несколько минут (в качестве разминки) можно посвящать обучению приемам быстрого счета, которые помогают ускорять не какие-нибудь сложные вычисления, а самые обычные числовые выкладки, с которыми постоянно приходится иметь дело при решении математических задач.
            В наше время существует мнение, что человеку не надо знать приемы быстрых вычислений, что для этого существуют калькуляторы, компьютеры. Однако польза устных вычислений огромна, особенно для школьника:
1)  Применяя законы арифметических действий к устным вычислениям, можно закрепить, усвоить их не механически, а осознано.
2) Устный счет тренирует память.
3)   В устных вычислениях нет готового шаблона, приемы вычислений разнообразны, каждый раз надо думать, какой из них целесообразнее, а эта умственная деятельность способствует развитию очень полезных качеств человека, как внимание, логика, сосредоточенность, смекалка, самостоятельность, творческое мышление.
(1)Прием округления при сложении многозначных чисел
Пример: 599 + 387
 Имеем: 599 + 1 + 387 – 1 = 600 + 386 = 986
 Вывод: если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а другое уменьшить  на столько же единиц, то величина суммы не изменится. Округлением слагаемых можно пользоваться также при сложении обыкновенных и десятичных дробей.
 Примеры: 173 + 59 = 172+60=232
                     8127 + 893 = 8120+900=9020
Примеры для самостоятельной работы:
286+199=
485

154+297=
451

6245+6498=
12743

4575+797=
5372

499+612=
1111

(2)Умножение на однозначное число
А)Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 * 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20*8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.
34*7=30*7+4*7=210+28=238
17*6=40*6+7*6=240+42=282
Б) Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:
Зная эту таблицу, можно умножение, например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8-140*8+7*8= 1120 + 56= 1176
В)Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350
(3)Умножение на двузначное число
А) Умножение на двузначное число стараются облегчить, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число. Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют умножение на однозначное число. Например:6*28=28*6=120+48=168
Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
29*12=29*10+29*2=290+58= 348
41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656
или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз. Например: 45*14 =90*7=630
Примеры для самостоятельной работы:
36*8=
288

24*5=
120

34*12=
408

58*21=
1218

235*7=
1645

472*8=
3776

(4)Умножение на 4 и на 8. Деление на 4 и на 8
Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
112*4 =224*2=448
335*4 = 670*2 =1340
Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
217*8 = 434*4=868*2=1736
Можно и так: 217*8=200*8 +17*8= 1600+136=1736.
Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:
76:4 =38:2=19
236:4=118:2=59
Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:
464:8=232:4=116:2=58
516:8=258:4=129:2= 64 Ѕ
Примеры для самостоятельной работы:
36*4=
144

245*4=
980

3,5*4=
14

226*4=
904

188:4=
47

236:4=
59

122:4=
30,5

36*8=
288

245*8=
1960

3,5*8=
28

226*8=
1808

188:8=
23,5

236:8=
29,5

122:8=
15,25

(5)Умножение на 5, на 50, на 25, на 250
А) Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:
74*5= 740:2= 370
243*5=2430:2=1215
При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному числу приписать ноль. Например: 74*5 = 74/2*10=370
Аналогично при умножении на 50 надо число разделить на 2 и умножить на 100.                  Например, 36
· 50 =36 : 2
· 100 = 180 или   426
· 50 = 426 : 2
· 100 = 21300
Б) Чтобы устно умножить число на 25 или 250, надо его разделить на 4, а затем полученное частное умножить на 100 или 1000.Например:
224
· 25 =224: 4
· 100 = 5600
                     44
· 25 =44: 4
· 100 = 1100
                    168
· 250 =168: 4
· 1000 = 42000
                     72
· 250 =72: 4
· 1000 = 18000
В) Умножение на 125. 
Т.к.  125 = 1000 : 8, то  чтобы умножить число на 125, надо его разделить на 8, а затем  умножить на 1000. Например:
              896
· 125 = 896: 8
· 1000 = 112000
             120
· 125 = 120: 8
· 1000 = 15000
             240, 24
· 125 =240, 24: 8
· 1000 = 30, 03
· 1000 = 30030
Примеры для самостоятельной работы:
36*5=
180

68*5=
340

129*5=
645

48*50=
2400

234*50=
11700

28*25=
700

44*50=
2200

64*125=
8000

816*125=
102000

(6) Умножение на 9 или 99. 
Т.к 9 = 10 – 1;   99 = 100 – 1, то при умножении на 9 или 99 надо число умножить на 10 или 100 и из полученного числа вычесть данное. Например:
45
· 9 = 45
· 10 – 45 = 450 – 45 = 405
                    128
· 9 =1280 – 128 = 1152
                    7
· 99 =7
· 100 – 7 = 700 – 7 = 693
                    67
· 99 =6700 – 67 = 6633
Примеры для самостоятельной работы:
27*9=
243

85*9=
765

27*99=
2673

85*99=
8415

94*99=
9306

(7)Умножение на 15.
Т.к 15 = 10 + 5 = 10 + 0,5
· 10, то при умножении на 15 надо число умножить на 10 и к произведению прибавить его половину.
 Например: 64
· 15 = 64
· 10 + (64
· 10): 2 = 640 + 320 = 960  
                     72
· 15 =720 + 360 = 1080
                     224
· 15 =2240 +1120 = 3360
Примеры для самостоятельной работы:
20*15=
300

60*15
900

46*15=
960

38*15=
570

422*15=
6330

808*15=
12120

(8)Умножение на 1,5, на 1,25, на 2,5, на 3/4
Чтобы устно умножить число на 1,5, прибавляют к множимому его половину. Например: 34·1,5=34+17=51, 23·1,5=23+11,5=34,5.
Чтобы устно умножить число на 1,25, прибавляют к множимому его четверть. Например: 48·1,25=48+12=60, 58·1,25=58+14,5=72,5.
Чтобы устно умножить число на 2,5, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например: 18·2,5=36+9=45, 39·2,5=78+19,5=97,5. Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам: 18·2,5=90:2=45.
Чтобы устно умножить число на 3/4 (то есть, чтобы найти три четверти этого числа), умножают число на 1,5 и делят пополам. Например: 30·3/4=(30+15):2=22,5. Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.
Примеры для самостоятельной работы:
20*1,5=
30

60*1,5
90

46*1,5=
96

38*1,5=
57

422*1,5=
633

808*1,5=
1212

20*2,5=
50

60*2,5
150

44*2,5=
110

28*2,5=
70

464*2,5=
1160

808*2,5=
2020

Эти же числа умножить на 1,25 и на 3/4
(9)Умножение на 11 и на 101.
1)   Т.к.11 = 10 + 1, то чтобы умножить число на 11, надо умножить его на 10 и к полученному результату прибавить само данное число.
87
· 11 =870 + 87 = 957
                               36
· 11 = 360 + 36 = 396
2)    При умножении двузначного числа на 11 можно раздвинуть цифры этого числа и вставить между ними их сумму. Получим нужный результат.
              Например: 24
· 11 = 264
      Если сумма цифр двузначного числа сама является двузначной, то ее единицы вставляем между цифрами данного числа, а десятки прибавляем к первой цифре.
              Примеры: 67
· 11 =737
                                  59
· 11 = 649
3)  Особенно просто умножение двузначного числа на 101. Надо мысленно приписать справа к   данному числу его само и прочесть  то, что получится.
          Например:  62
· 101 = 6262
                               93
· 101 = 9393
Примеры для самостоятельной работы:
23*11=


54*11=


87*11=


38*11=


55*11=


23*101=


54*101=


87*101=


38*101=


55*101=


(10)Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся 5
Возведение числа вида X5 (оканчивающегося пятеркой) в квадрат производится по схеме: умножаем X на X+1 и приписываем 25 справа, то есть (X5)І = (X*(X+1))*100 + 25. Например, 65І = 6*7 и приписываем справа 25 = 4225 или 95І = 9025 (9*10 и приписать 25 справа). Доказательство: (X*10+5)І = XІ*100 + 2*X*10*5 + 25 = X*100*(X+1) + 25.
Примеры для самостоятельной работы:
352 =
1225

452 =
2025

552 =
3025

752 =
5625

952 =
9025

652 =
4225

1052=
11025

(11) Полезно запомнить: 37·3=111
Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и так далее: 37·6=37·(3·2)=111·2=222, 37·9=37·(3·3)=111·3=333, 37·12=37·(3·4)=111·4=444 и так далее.
Полезно также запомнить: 7·11·13=1001.
Запомнив это, вы сможете легко выполнять устно умножения следующего рода:а) 77·13=(7·11)·13=1001; 77·26=(7·11)·(2·13)=2002; 77·39=(7·11)·(3·13)=3003 и т. д.б) 91·11=(7·13)·11=1001; 91·22=(7·13)·(2·11)=2002; 91·33=(7·13)·(3·11)=3003 и т. д.в) 143·7=(11·13)·7=1001; 143·14=(11·13)·(2·7)=2002; 143·21=(11·13)·(3·7)=3003 и т. д.
Примеры для самостоятельной работы:
37*15=
555

37*27=
999

37*30=
1110

37*60=
2220

77*65=
5005

91*55=
5005

143*35=
5005

(12) Вычисли устно (повторение приемов устного счета 1-5)
287+199=
486
3,5*8=
28

154+299=
453
188:4=
47

6347+1798=
8145
244:8=
30,5

4574+796=
5370
38*5=
190

599+835=
1434
64*5=
320

34*12=
408
58*50=
2900

58*31=
1798
214*50=
10700

235*6=
1410
56*25=
1400

46*4=
184
88*50=
4400

475*4=
1900
16*125=
2000

12,5*4=
50
408*125=
51000

(13) Вычисли устно (повторение приемов устного счета 6-7)
35
· 9 =
315
94*99=
9306

28
· 9 =
252
120*15=
1800

 67
· 9=
603
48*15
720

27*9=
243
2,4*15=
3,6

85*9=
765
3,6*15=
54

27*99=
2673
426*15=
6390

85*99=
8415
40,8*15=
612

(14) Вычисли устно (повторение приемов устного счета 8-10)
30*1,5=
45
40*1,25=
50

80*1,5
120
88*1,25
110

22*1,5=
33
22*1,25=
27,5

3,2*1,5=
4,8
3,2*1,25=
8

846*1,5=
1269
848*1,25=
1060

10,8*1,5=
16,2
10,8*1,25=
13,5


30*2,5=
75
28*0,75=
21

80*2,5=
200
80*0,75=
60

22*2,5=
55
22*0,75=
16,5

3,2*2,5=
8
3,2*0,75=
2,4

640*2,5=
1600
640*0,75=
480

10,8*2,5=
27
10,8*0,75=
8,1


43*11=
473
43*101=
4343

17*11=
187
18*101=
1818

95*11=
1045
95*101=
9595

28*11=
308
21*10,1=
212,1

75*11=
825
75*1,01=
75,75


152 =
225

252 =
625

452 =
2025

652 =
4225

752 =
5625

852 =
7225


(15) Вычисли устно (повторение всех изученных приемов устного счета)
34*1,5=
51
85*101=
8585

9,5*8=
76
68*9=
612

76*11=
836
42*2,5=
105

399+286=
685
752=
5625

284:8=
35,5
68*5=
340

6,4*0,75=
4,8
32*25
800


(16) Соревнование «Лучший счетчик».
Пример карточки для соревнования:

ответы

598+824=
1422

46*1,5=
69

452=
2025

7,5*4=
30

124:8=
15,5

46*2,5=
115

8,6*5=
43

2,4*0,75=
1,8

42*11=
462

91*77=
7007


Литература:
Г. Н. Берман «Приемы быстрого счета» - ОГИЗ, 1947
Я.И. Перельман «Быстрый счет» - Ленинград, 1945
И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» -М, Просвещение, 1989
Я.И. Перельман «Занимательная арифметика» -  М, Транзиткнига, 2005
Интернет - ресурсы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

15