Конспект урока по алгебре и началам анализа «Применение производной к решению задач».
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 6 ИМЕНИ ПОНОМАРЧУКА МИХАИЛА ИВАНОВИЧА СТАНИЦЫ НОВОИВАНОВСКОЙ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОПОКРОВСКИЙ РАЙОН
ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ
Тема: «Применение производной к решению задач».
Учитель Нагирная Я.Л.
2016 год
Тема: «Применение производной к решению задач».
Цели урока:
Обучающие: повторить основные формулы и правила дифференцирования, применение производной к исследованию функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции, физический и геометрический смысл производной; сформировать умение комплексного применения знаний, умений, навыков и их перенос в новые условия; проверить знания, умения, навыки учащихся по данной теме.
Воспитательные: содействовать формированию творческой деятельности учащихся.
Развивающие: содействовать развитию мыслительных операций: анализ, синтез, обобщение; формированию умений самооценки и взаимооценки.
Оборудование:
Мультимедийный проектор.
Презентация с целеполаганием и заданиями.
Приложения с основными формулами и правилами дифференцирования (для каждого ученика).
Карточки с заданиями.
Карточки для проведения рефлексии, оценочные листы
Разноуровневое домашнее задание.
План урока:
1. Организационное начало урока, целеполагание. (4 минуты)
Актуализация знаний (8 минут)
Групповая работа (13 минут)
Проверка выполненных заданий. (10 минут)
Итог занятия, рефлексия. (5 минуты)
Домашнее задание.
Ход урока:
1. Организация начала урока. Целеполагание.
Время: 4 минуты
Форма: фронтальная работа.
Учителем сообщается тема урока и предлагается ученикам определить цели урока и самостоятельно выбрать из предложенных трёх групп цели, которые они ставят для себя на данном уроке. Демонстрация целей идёт с помощью мультимедийного проектора. Цели классифицируются по мотивам обучения:
Когнитивные: уточнить основные понятия и законы темы, углублённо рассмотреть конкретные вопросы во время решения задач.
Креативные: провести самостоятельное исследование по теме, применить имеющиеся знания в нестандартной ситуации.
Оргдеятельностные: проявить и развить свои способности, организовать свои цели, составить реальный план, выполнить его и оценить свои результаты.
На основании выбранных целей учащиеся поднимают кружок определённого цвета: 1 группа – коричневый, 2 группа – красный, 3 группа – зелёный.
Актуализация субъективного опыта учащихся, их знаний.
Время: 8 минут
Метод: репродуктивный
Форма: фронтальная работа
Задача: повторить и закрепить навыки вычисления производной,
применение производной к решению задач;
проверить сформированность грамотной математической речи.
Форма подачи заданий: мультимедийный проектор.
Ответы учащиеся демонстрируют на переносных досках.
Задание 1.
1. Зная правило дифференцирования произведения двух функций, составьте формулу (u
·v
·w)
· =
Ответ: u
·vw + uv
·w + uvw
·
2. Зная связь первой производной и экстремумов, установите, как определить вид экстремума по второй производной.
Задание 2.
Составить алгоритм отыскания промежутков выпуклости вверх и вниз для функции у = 2х6 – 5х4.
Ответ: 1. у
·=12х5 – 20х3
2. у
·
·=60х4 – 60х2
3. у
·
·=0 при х=0, х=1, х=-1.
4. у
·
·> 0, функция выпукла вниз при х
· -1, х
· 1.
5. у
·
·< 0, функция выпукла вверх при -1
· х
· 1.
Задание 3.
Установить соответствие между предложенными графиками у=f
·(x) и формулами, задающими функцию у=f(x).
1. у=х2-1 2. у=х3- 1 3. у=(х-1)2 4. у=-х2 -1
А Б В Г
Ответы:
1- Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – В.
Анализ итогов работы.
Применение знаний и умений.
Время: 13 минут
Метод: частично – поисковый
Форма: групповая письменная
Задача: содействовать формированию активной творческой деятельности,
развивать мотивацию учащихся, сформировать умение
комплексного применения знаний, умений, навыков и их перенос в
новые условия; проверить знания, умения, навыки учащихся по
данной теме.
Форма подачи заданий: карточки
Учащиеся согласно заявленным целям на урок распределяются по группам, заполняют оценочный лист.
Каждой группе предлагаются задания.
Группа 1. Когнитивные мотивы обучения.
I. По графику производной схематически изобразить
график функции и график второй производной.
II. Определите значение параметра b, при котором функция
13 EMBED Equation.3 1415 возрастает на отрезке [b-5; b+4].
Группа 2. Креативные наклонности.
I. По предложенному решению составить условие задачи.
Решение:
1. D(у) = R
y
·=-3x2-12x, k(x0)=-3x02 - 12x0,
2. 1 способ хв=12:(-6)=-2
2 способ k
·(x0) = -6x0 – 12 k
· + -
k
·(x0) = 0 при x0 = -2 -2
k max
хmax = -2
3. у=f(x0) + f
·(x0)(x- x0)
у=-13 + 12(х+2)
у=12х + 11
II. Предложите несколько формул, задающих функцию у=f(x), если
13 EMBED Equation.3 1415
(данное задание является пропедевтическим для изучения темы «Первообразная»)
Группа 3. Оргдеятельностные приоритеты деятельности.
I. Описать алгоритм нахождения наибольшего
и наименьшего значения функции у=f(x) на
отрезке [a;b]. Составить блок-схему.
II. Составить план решения следующей задачи:
Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t)=18t2 – t3 (x- в метрах, t- в секундах). Определите, в какой момент времени из промежутка [4;8] скорость точки будет наибольшей и найдите в это время ускорение.
Защита учащимися выполненных работ.
Время: 10 минут
Форма: фронтальная
Задача: проверить знания, умения, навыки учащихся по данной теме.
Учащиеся оформляют решения на доске и поясняют ход выполнения заданий. Каждая группа, выслушивая защиту других, готовит им вопросы.
Работа первой группы.
№ 1.
Для графика функции у=f(x): f
·(x)>0 f(x) возрастает [-5;-2,8],[-0,4;3,5]
f
·(x)<0 f(x) убывает [-2,8;-0,4,[3,5;5]
f
·(x)=0 и производная меняет знак с плюса на
минус при х=-2,8 и х=3,5 х=-2,8 и х=3,5
точки максимума
f
·(x)=0 и производная меняет знак с минуса на
плюс при х=-0,4 х=-0,4 точка минимума
Для графика функции у=f
·
·(х): f
·(x) убывает на промежутках [-3,5;-1,5],
[0,5;1,5], [2,8;5] значит функция у=f
·
·(x)
отрицательна на этих промежутках и
обращается в нуль при х=-3,5, х=-1,5, х=0,5,
х=1,5, х=2,8
f
·(x) возрастает на промежутках [-5;-3,5],
[-1,5;0,5], [1,5;2,8] значит функция у=f
·
·(x)
положительна на этих промежутках.
№ 2. D(у)=R, 13 EMBED Equation.3 1415, у
·>0 при х <1 и непрерывна при х=1, значит функция возрастает на промежутке (-
·; 1], т.е. b+4
·1, b
·-3.
Работа второй группы.
№ 1. Учащиеся представляют составленные ими условия задачи. Классу предлагается проанализировать решение и условия и выбрать наиболее точную формулировку.
Формулировка учителя: Напишите уравнение касательной к графику функции у=-х3-6х2+3, которая имеет наибольший угловой коэффициент.
№ 2. 13 EMBED Equation.3 1415
Все остальные функции будут отличаться от данной свободным членом.
Работа третьей группы.
№ 1.
Найти наибольшее значение функции y=f(x) на отрезке [a,b].
1. Найти производную данной функции.
2. Найти критические точки.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4. Найти значение функции в отобранных критических точках и концах отрезка.
5. Выбрать наибольшее значение функции.
№ 2.
План решения
Реализация плана
1. Отыскать функцию, задающую скорость у= V(t).
2. Найти производную функции V(t). 3. Указать критические точки.
4. Выбрать точки, принадлежащие отрезку [4,8]
5. Найти значение функции V(t) при х=4, х=6, х=8
6. Записать ответ, выбрав наибольшее из найденных значений.
1. V(t)=x
·(t), V(t)=36t – 3t2
2. V
· (t)= 36 – 6t
3. V
· (t)=0 при t=6
4. 6 принадлежит отрезку [4,8]
5. V(4)=96 м/с, V(6)=108 м/с,
V(8)=96м/с
6. max V(t) = V(6) =108 м/с
[4;8]
Блок-схема № 1.
Подведение итогов урока, рефлексия.
Время: 5 минут
Задача: определить уровень достижения целей урока и меру участия каждого учащегося в занятии, оценка работы школьников.
Рефлексия.
На листочках для рефлексии учащимся предлагается изобразить в виде прямых, как изменялись во время урока три параметра: личная активность, самочувствие, самостоятельность. По шкале ординат отмечено время урока.
о мин 0 мин мин
15 30 45 15 30 45 15 30 45
активность самостоятельность самочувствие
Каждая группа заполняет оценочные листы.
№
Ф.И.
Самооценка
Оценка группы
1.
2.
Заслушиваются итоги каждой группы.
Домашнее задание.
Ученикам предлагается домашнее задание по трём уровням сложности, обращается внимание на номер третий, он одинаковый у всех и является дополнительным.
Домашнее задание.
Группа А
Группа В
Группа С
1. Проводятся касательные к графику функции y = 3x – x2 в точке с абсциссой 2 и в точке максимума. Найдите площадь треугольника, образованного осью ординат и этими касательными.
2. Придумайте функцию y = f(x), у которой значение в точке максимума меньше значения в точке минимума.
3. Составьте блок-схему для исследования функции с помощью производной.
1. Напишите уравнение такой касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415,
которая не пересекает прямую у = х
2. Придумайте функцию, у которой два минимума и ни одного максимума. Задайте её формулой, исследуйте и постройте график.
3. Составьте блок-схему для исследования функции с помощью производной.
1. Найдите все отрицательные a, для каждого из которых касательные к параболе у = (х-1)2, проведенные через точку оси Oy с ординатой a высекают на оси Ox отрезок длины 4.
2. Придумайте непрерывную функцию, график которой будет иметь наклонную асимптоту, задаваемую уравнением у=0,5х-1. Опишите эту функцию своими свойствами.
3. Составьте блок-схему для исследования функции.
13PAGE 14815
2
3
1
1
2
3
нет
да
max f(x) = f(хn)
[a,b]
нет
да
f(xn)- наиб
max f(x) = f(х1)
[a,b]
нет
да
f(x1)- наиб
f(x1), f(x2) f(xn), f(a), f(b)
х1, хn лежат на отрезке
max f(x) = f(b)
[a,b]
max f(x) = f(a)
нет
да
f(a)> f(b)
х1, х2 хn
нет
да
f
·(x)=0
y= f
·(x)
у=f(x), [a;b]
Root Entry