Обобщающий урок по теме: Производная и её применение

Урок – семинар по теме:
«Производная и её применение».
Подготовка к уроку: класс разбивается на три группы, каждая из которых получает задание, состоящее из общего задания для всех групп и индивидуального задания для данной группы (за 7–10 дней до урока).
Теоретическая часть домашнего задания (общая для всех групп).
В чём заключается геометрический смысл производной?
В чём заключается физический смысл производной?
Какова роль знака первой производной для определения возрастания или убывания функции на некотором промежутке?
Что происходит с производной в точке её экстремума?
Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.
Практическая часть домашнего задания (общая для всех групп).
Вращение тела вокруг оси совершается по закону 𝜑(t)=2t2 – 4t +3. Найти угловую скорость ω(t) (рад/с) вращения тела в момент времени t=4с.
Определить угол, который составляет с осью Ох касательная к графику функции f(х)=2х2 в точках с абсциссами х0= 1 4; и х0 = 1.
Исследовать функцию и построить её график: y = 2x3+3x2 – 2
Найти производную функции:
f(х) = 4х3 – 3х-2+4 х – 2х + 5х4+ 6х-π;
f(х) = (4х+1)∙(1–3х);
f(х) =х3- 1х3+ 1;
f(х) = sin 2x;
f(х) = cos(1– х3);
f(х) = (2х–1)100 и f ʹ(1);
f(х) = х4+ 2 ;
5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=х3+ 3х2 – 4 на отрезке [-4;1].
Практическая часть домашнего задания (индивидуальная для каждой группы).
Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью 2500м2. Каковы должны быть её размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»?
Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием составляют в сумме 36см. Чему равен наибольший объём такого параллелепипеда?
Урок – семинар
Тема: Производная и её применение.
Дидактическая цель: создать условия для систематизации изученного материала, выявления уровня овладения системой знаний и умений, опытом творческой деятельности.
Тип урока: урок обобщения и систематизации.
Цели по содержанию:
Образовательные:
Закрепление и углубление знаний учащихся о производной и её приложениях к исследованию свойств функций;
Формирование умений по применению знаний и способов действий в
изменённой и новой учебных ситуациях.
Развивающие:
Развитие подсознательной активности учащихся, формирование учебно-познавательных действий при подготовке к уроку и в работе на уроке;
Углубление знаний учащихся о моделировании процессов действительности с помощью аппарата производной.
Воспитательные:
Способствовать формированию у учащихся понятий о научной организации труда;
Способствовать формированию у учащихся познавательного интереса к предмету.
Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый
Форма организации учебной деятельности: фронтальная, групповая, парная;
Средства обучения: справочники учащихся, Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл., карточки для парной работы.
План урока.
Организационный момент.
Решение домашних индивидуальных задач (трое учащихся у доски заранее записывают решение). После урока у всех собираются тетради, и проверяется общее д/з.
Целеполагание и мотивация (историческая справка).
Актуализация (кроссворд)
Систематизация и обобщение пройденного материала (разминка).
Работа в парах (применение учебного материала в знакомой и новой учебных ситуациях).
Блицтурнир (проверка уровня обученности).
Итоги урока.
Историческая справка.
(готовит и рассказывает ученик).
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.
И. Ньютон в основном опирался на физические представления о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и, сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.
Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решён целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, учёные предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII века.
С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник «Дифференциальное исчисление».
Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако, в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.
Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.
В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.
3631685141617Кроссворд по теме: «Производная».
1. Французский математик XVII века Пьер Ферма определял эту линию так: «Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности заданной точки».
2. В математике это понятие возникло в результате попыток придать точный смысл таким понятиям как «скорость движения в данный момент времени» и «касательная к кривой в заданной точке».
3. Приращение какой переменной обычно обозначают ∆х?
4. График такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша, без отрыва от бумаги.
5. Эта точка лежит внутри области определения функции, и в ней функция принимает самое большое значение по сравнению со значениями в близких точках.
6. Эта величина определяется как производная скорости по времени.
7. Как называется функция вида y=g(f(х))?
Разминка.
В чём заключается геометрический смысл производной?
В чём заключается физический смысл производной?
Как связаны между собой монотонность функции и её производная?
Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.
Укажите промежутки непрерывности функции:
а) f(х)= x2–2; г) f(х)= 6 х∙(х-2) ;
б) f(х)= 1x-1; д) f(х)= 2х+12
в) f(х)= х4х2 +1 ;
6. Знак производной некоторой функции меняется по схеме, изображён ной на рисунке. Определите, на каких промежутках функция возрастает,
а на каких убывает.
\s
x
y
7. На рисунке изображён график производной функции y=f ʹ(х). Найдите промежутки монотонности самой функции y=f(х).
centercenter8. По этому же рисунку укажите количество точек экстремума, их вид.
Работа в парах.
Карточка №11. Установите соответствие между функциями и соответствующими производными.
Функции Производные
1) y = 4х2–6х+1 1) yʹ = 24х+1 2) y = 2х4 – 1 х +4х 2) yʹ = - 200∙(1–2х)99
3) y = (1–2х)100 3) yʹ = 124х+1 4) у = 4х+1 4) yʹ = 8х–6
5) у = cos 2x 5) yʹ = -2∙sin 2x
6) у = 2∙sin x3 6) yʹ = ‒ 8x5+1x2+2x 7) yʹ = 100∙(1‒2x)99
8) yʹ = 23∙cos x32. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y= ‒ x3‒4x2+3x+16
3. Каковы должны быть стороны прямоугольного участка, периметр которого 120м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?
Карточка №2
1.Установите соответствие между функциями и соответствующими производными.
Функции Производные
1) y=3x4‒2x+3 1)y ʹ =cos x
2) y= 12 x4 ‒ 0,5x2‒4x+1 2) y ʹ = 5∙(x+1)4
3) y= 5x-3+2x ‒ 1x 3) y ʹ = 12x‒2
4) y= 2x 4) y ʹ = 2x3 ‒x ‒4
5) y= sin 4x 5) y ʹ = 4 ∙cos 4x
6) y=(x+1)5 6) y ʹ = 12x3 ‒2
7) y ʹ = ‒15x-4 + 1x + 1x2 8) y ʹ = 12x 9) y ʹ = 15x-2 + 2x+1x22. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y= 3х2 ‒ 4х + 5.
3.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y= 2х2 ‒ 8х + 6 на отрезке [‒1;4].
Карточка №3
1. Установите соответствие между функциями и соответствующими производными.
Функции Производные
1) y= x5 + 9x20 +1 1) y ʹ = 40∙(4x+1)9
2) y= x‒2x ‒ 1x 2) y ʹ = ‒3x-4 ‒ 4x2+ 12x5+3x
3) y= x∙sin x 3) y ʹ = 3x-2 +1x2 - 12x4+6x
4) y=(4x+1)10 4) y ʹ = 5x4 + 180x19
5) y= x+1 5) y ʹ = 12x+1
6) y= x-3 + 4x - 3x4+ 6x 6) y ʹ = 1‒ 1 x + 1x2 7) y ʹ = sin x + x∙cos x
8) y ʹ = 1∙cos x
9) y ʹ = 10∙(4x+1)9
2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(х)=x3 ‒ 2x2 + 3x +4 в точке x0=2.
3. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y =x3 + 3x2 +4.
Карточка № 4
1. Установите соответствие между функциями и соответствующими производными.
Функции Производные
1) y = ‒3x2 ‒ 13x 1) y ʹ = 1∙(‒ sin x)
2) y = sin x + 3x ‒1 2) y ʹ = ‒6x ‒ 13
3) y = ‒ 23 x6 ‒ 4x + π 3) y ʹ = ‒ 6∙sin 3x
4) y = 2x5 - 4x +2x 4) y ʹ = cos x + 3
5) y = 2∙cosx 5) y ʹ = -2sinx
6) y = x∙cosx 6) y ʹ = -4x5-4
7) y ʹ = cosx-x∙sinx
8) y ʹ =-10x6 + 4x2 + 1x 9) y ʹ =-12x5 -4x + π2. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y=13 x3 -4x.
3. При каких значениях аргумента касательная к графику функции fx= 13x3 -6x2 +x составляет с положительным направлением оси Оx угол 45⁰?
Карточка № 5
1. Установите соответствие между функциями и соответствующими производными.
Функции Производные
1) y = x4 -4x2 +x -2 1) y ʹ = 4x 2) y = -4x-2 + 1x - x 2) y ʹ = 12x-1 3) y = 4x‒3 3) y ʹ = 4x3- 8x +1 4) y = x-1 4) y ʹ = 4
5) y = 45 x5 -0,5x2 –x 5) y ʹ = 8x-3-1x2 - 12x 6) y = 4sinx2 6) y ʹ = 4cosx 7) y ʹ = 4x4 –x -1 8) y ʹ= 2cosx2 9) y ʹ= 8x-1 - 1x2 - 12x2. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y = x2 +4x -5.3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = x3 -3x2 +4 на отрезке [‒1;4].
Карточка № 6
1. Установите соответствие между функциями и соответствующими производными.
Функции Производные
1) y = x3‒5x2 ‒ x +1 1) y ʹ= 3 2) y = 3x2 - 1x + x 2) y ʹ= 3x2 -10x -1 3) y = 3-2x 3) y ʹ= 4(3x+5)3 4) y =(3x+5)4 4) y ʹ= -8sin4x 5) y = 2cos4x 5) y ʹ= -6x3 + 1x2 + 12x 6) y = -3x +4x - 12 x-4 6) y ʹ= -2 7) y ʹ= 12(3x+5)3 8) y ʹ= 3x2 +2x +2x-5 9) y ʹ= 3x2 + 42x +4x-32. Точка движется прямолинейно по закону st= t6 -4t4, st- измеряется в метрах, t - в секундах. Найдите её скорость и ускорение в момент времени t=2с.
3. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)= x3 -3x2 +2x -7 в точке x0=1.
Блицтурнир.
В заключение семинара любой желающий может блеснуть знаниями в следующем блицтурнире.
1. Какое значение принимает производная в точке А?
Ответы:
f ʹ (x) >0f ʹ (x) <0f ʹ (x) = 0
•
y = f (x)
A
-419106905625


2. Какое значение принимает производная в точке В?
B
•
x
right8081010Ответы:
f ʹ (x)=0;
y =f(x)
f ʹ (x) <0;f ʹ (x) >0. x
righttopy
3. Назовите промежуток убывания функции.
y= f(x)
Ответы:
x>2;
0≤x≤3;0≤x≤2.y
4. Назовите промежуток возрастания функции.
y = f(x)
-38102540 Ответы:
x
а) x<0;
b) x>0; c) x-любое число
y
10814052152655. Назовите точки, в которых производная функции равна нулю.
x
Ответы:
(3;1);
(0;1);
y = f(x)
(4;0);
(0;0).
6. Функция y = f(x) определена на промежутке (-7;6). На рисунке изображён график её производной. Найдите число точек экстремума функции
y = fx на промежутке (-7;6).
y
righttopОтветы:
1;
x
2;
3;
4.

Итоги урока.
1)Заключительное слово учителя.
Исторически понятие производной возникло из практики. Возникнув из практики, понятие производной получило абстрактный смысл, что ещё более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно расширило возможности применения математических методов в естествознании и технике. И я думаю, что мы рады тому, что небольшой кусочек дифференциального исчисления изучили и научились применять его на практике.
2) Рефлексия.
Сейчас в тетради напишите предложение, выражающее Ваше эмоциональное состояние на уроке (можно просто прилагательное, наречие).
Ответьте на вопросы:
Чему Вы научились на уроке?
В чём Вы испытали затруднения?
Что нужно сделать, чтобы улучшить результат?
3) Оценки на уроке.
Оценка учащемуся за блицтурнир.
Возможна оценка за активную работу во время разминки (одного, двух учащихся).
Оценка за работу в парах (будет поставлена тогда, когда проверятся тетради).
Оценка троим учащимся за представление домашних индивидуальных заданий.
4) Домашнее задание.
На оценку «3» — с.294 № 230(а), № 235(а)
На оценку «4», «5» — с. 294 № 232(в), № 236.