Лекция на тему Результат измерений – приближённое число. Математические действия с приближёнными числами. Нормализованный вид приближённого числа. Значащие и сомнительные цифры.

1.2.Результат измерений – приближённое число. Математические действия с приближёнными числами. Нормализованный вид приближённого числа. Значащие и сомнительные цифры.
Прямое измерение. Два подхода к прямому измерению. Нормальное (тауссовское) распределение. Доверительная вероятность.
Результат любого измерения – приближённое число, представляющее измеряемое свойство объекта с некоторой неопределённостью, связанной как со свойством прибора, так и со свойством объекта измерений.
Например, расстояние между пластинами плоского конденсатора, или – между стенами квартиры.
Для измерения расстояния между стенами используется лазерный дальномер, погрешность измерения которого составляет ∆= 0,001 ммк. Результаты измерения будут отличаться друг от друга на единицы милиметров по причине непаралельности стенок. Поэтому результат измерения – некоторый интервал, внутри которого находится искомая величина: ( 7,342 – 7,354)м = 0,012 0,012: 2 = 0,006
число (7,348 + 0,006) м
0,006 – погрешность числа. Нанометр (10-9) милимикрон (ммк).Итак: результат эксперимента – приближённое число, т.е. число, содержащее сомнительные цифры. В приведённом примере цифры милиметрового разряда.
Подробнее о приближённых числах:
Число в десятичной системе представляет собой совокупность цифр разных разрядов – 1.единицы, десятки, сотни, тысячи;
2.десятичные, тысячные, сотые, десятые доли.
Число содержит верные и сомнительные цифры.
Число сомнительных цифр не должно превышать двух: в примере с измерением расстояния между стенами – верных цифр две: 7,3, сомнительных две: 0,042 – 0,054.
Нельзя изменять число верных и сомнительных цифр математическим преобразованием или переходом к должным и кратным единицам.
Например: 1,32А=>0,02 – сомнительная цифра.
В милиамперах это число = 1,32 103 мА, но не 1,320мА, т.к. здесь 0 - сомнительная цифра, а 2 перешла в разряд верных.
Нормализованный вид приближённого числа – наиболее удобная форма представления приближённого числа в таблицах:
производная форма нормализования342 3,42 102
0,0576 5,76 10-2
0,0100 1,10 10-2
Значащие цифры в приближённом числе – верные цифры и одна сомнительная. Нули впереди числа не являются значащими, а после числа они значащие (в нормализованном виде нулей впереди числа нет, а сзади значащие).
Точность приближённого числа оценивается количеством значащих цифр: отношение последней значащей цифры к числу, выраженное в процентах:
342 => Ɛ = 2342 = 200342 % ~ 1%
34 => Ɛ = 434 = 40034 % ~ 10%
342,4 => Ɛ = 0,4342 = 40342 % ~ 0,1%
В учебных лабораториях результаты измерений не могут выражаться
4-х значными числами.
Прямое измерение.
Нормальное распределение результата измерения.
Прямое измерение – измерение, результаты которого определяются используемым прибором.
Существует два подхода к измерению, которые, по существу по математической природе являются единым подходом.
Рассмотрим подробнее оба подхода:
Один объект измерения (например, параметр R, L, C конкретной цепи, длина конкретного стержня и т.п.) и много различных, но выполненных по требованиям ГОСТа приборов. Каждое измерение будет выполнено однократно одним прибором.
Вопрос – будут ли показания приборов одинаковы?
Ответ – да, U= 2,1 В, т.е. с точностью до двух значащих цифр показания вольтметров одинаковы;
нет, U= 2,12 – 2,18 В, т.е. с точностью до трёх значащих цифр показания вольтметров разные (третья цифра принимает различные значения).
Особенно наглядно это представлено на цифровом приборе: на одной шкале будет высвечена цифра 2,1 В, на другой – 2,1…., третья цифра будет неустойчиво разная, её значения будут от 2 до 8.
Один прибор, с помощью которого производится измерение некоторого свойства различных объектов, выполненных с едиными требованиями в соответствии с ГОСТом. Например, частота в цепи переменного тока промышленной частоты, напряжение на разных участках городской линии электропередачи, длина карандаша в коробке и т.п.
Будут ли результаты измерений одинаковы?
Ответ такой же, как и в первом случае п.1.
Проблема не в подходе, а в понятии «одинаковость».
Свойство «одинаковых объектов»: они подчиняются закону нормального распределения, для которого справедливы следующие утверждения.
Число объектов № достаточно велико (математически: N→∞), при малом N свойства распределения нарушаются.
Свойство объекта Х характеризуется его средним арифметическим значением ˂Х>, определяемым по формуле:
˂Х> = 1NN=1NХN
при N→∞ ˂Х>- математическое ожидание, при N достаточно большом ˂Х> = ХН.В. ; ХН.В – наиболее вероятное значение.
Малые и большие отклонения в разные стороны от среднего равновероятны.
Малых отклонений много, чем больше величина отклонения, тем реже оно встречается.