Мастер-класс (разработка) по математике Построение магических квадратов

Учитель начальных классов
2 класс
Таникеева В.Д.
Мастер – класс по математике по теме
«Построение магических квадратов»


Ход урока
Орг. Момент.
-Ребята, проверили свои рабочие места. Что вы заметили необычного? (много гостей, парты расставлены дугообразно). Чтобы не отвлекаться, посмотрите на гостей и подарите им свои улыбки. А сейчас тихо занимаем свои места.

Сообщение темы и целей занятия
Уважаемые коллеги, ребята, я приглашаю вас в удивительный мир магических квадратов, одним из основоположников которого является известный швейцарский ученый Леонард Эйлер. По его мнению, их составление есть превосходная умственная гимнастика.


«Составление магических квадратов
представляет собой превосходную
умственную гимнастику,
развивающую способность
понимать идеи
размещения,
сочетания
и симметрии».
 
  Леонард Эйлер




Цели занятия:
развитие процессов индукции и дедукции на основе выработки навыка построения латинского и магического квадрата методом террас, методом Эйлера и методом Делаира;
выражаю надежду, что вы увидите красоту геометрической фигуры на основе взаимодействия науки и искусства.

Оборудование:
работаем мы на основе раздаточного дидактического материала и презентаций учителя и школьников.

Методы работы:
основные методы работы – объяснение принципов построения магических квадратов, упражнение в их построении, а также иллюстрирование объяснения. Прошу проявлять активность в работе.











































2. Актуализация знаний, постановка проблемы и осознание познавательных задач.
2.1. Подготовительная работа.
- Ребята, а что вы видите на сладе?
-Где вы видели такие квадраты? (в книжке, у Наташи)
- Кто решал такие удивительные задачи?
На математических олимпиадах, в досуговых журналах и познавательных книгах очень часто встречаются задачи, когда необходимо в квадрат так вставить цифры от 1 до 9 , чтобы сумма этих цифр по строкам, столбцам и диагоналям была одной и той же, постоянной. Конечно для этого нужно иметь время и терпение. При решении таких задач используем метод подбора.
- Итак, посмотрите внимательно на доску.
4
9
2

3
5
7

8
1
6









-Мы должны подобрать цифры т.о., чтобы сумма в строках, столбцах, диагоналях была равна 15.
2.2. Введение нового понятия.
У нас получился квадрат, в котором сумма цифр в строках, столбцах и диагоналях равна 15 ( проверка). Такую фигуру называют магическим квадратом порядка 3.
В математике под  магическим квадратом обычно понимают квадратную таблицу, так заполненную различными натуральными числами, что их сумма в строках, столбцах и двух диагоналях таблицы одинакова. Значение этой суммы принято называть "магической постоянной".
- Давайте вспомним правило о натуральных числах!
- А в этом нам поможет наш справочник.
Итак, вписать числа от 1 до 9 в квадрат, чтобы он стал магическим, не составляет особого труда. Как же быть, если нужно вписать в квадрат числа от 1 до 25 или от 1 до 49, или от 2 до 50 так, чтобы квадрат получился магическим?
7 сл. – Ребята, сложно было решить магический квадрат?
Тема
Предположение . – Что должны составить для дальнейшей работы?
9 сл.
3.Изучение нового материала
Рассмотрим один способ построения магического квадрата нечетного порядка. Итак, первый способ – метод террас.
- Ребята, сможете объяснить слово терраса?
- Давайте обратимся к словарю.
( у нас в школе тоже есть терраса, только без крыши)
-А в магическом квадрате, как вы думаете, где терраса?
3.1. Объяснение. Построение магического квадрата методом террас.
Если магический квадрат третьего порядка не трудно построить простым перебором всевозможных комбинаций, то, уже начиная с квадрата четвёртого порядка, дело осложняется. Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Начнём с метода террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д.
Рассмотрим его на примере магического квадрата порядка 3.
С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы. В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата (числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо).
Итак, рассмотрим метод террас, заполнения магического квадрата нечётного порядка на примере квадратов порядка 3 . Записываем числа следующим образом:
-Вот для чего нужен нам метод террас!
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо. Получаем:

Магический квадрат 3*3. Сумма = 15. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3.2. Практическая работа.
У вас на столах лежит таб. №3. Сейчас построим с вами магический квадрат пятого порядка, используя метод террас.
Будем заполнять квадрат по шагам, по алгоритму.
1. С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавлены террасы. В полученной фигуре расположим числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх, как в примере с квадратом третьего порядка.














1


















6

2
















11

7

3














16

12

8

4












21

17

13

9

5












22

18

14

10














23

19

15
















24

20


















25





Числа, не попавшие в выделенный квадрат, сдвигаем на n=5 единиц: 1,2,6 – вниз, 4,5,10– влево, 24,25,20 – вверх, 16,21,20 – вправо. Получаем:
11
24
7
20
3

4
12
25
8
16

17
5
13
21
9

10
18
1
14
22

23
6
19
2
15








Важное наблюдение: заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка, но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.
6
32
18
44
30

40
16
42
28
4

14
50
26
2
38

48
24
10
36
12

22
8
34
20
46












4. Объяснение на основе иллюстраций.
Построение магического квадрата методом Делаира, или методом латинских квадратов.

Переходим ко второму способу составления магических квадратов и рассмотрим его на примере построения магического квадрата порядка 5.

Из целых чисел от 0 до 4 строят два латинских квадрата размером 5 *5.

Первый строят следующим образом:

произвольно заполняют нижний горизонтальный ряд квадратной таблицы
5*5 целыми числами от 0 до 4, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом 2=[5-1/2]; (k=[n-1/2], n- количество различных цифр в квадрате);

остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего перестановкой – первое число переносится в конец строки.

На этой иллюстрации приведён такой первый латинский квадрат
 
2
1
4
0
3

3
2
1
4
0

0
3
2
1
4

4
0
3
2
1

1
4
0
3
2



Построение второго латинского квадрата.
произвольно заполняют верхний горизонтальный ряд квадратной таблицы 5*5 целыми числами от 0 до 4, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом 2=[5-1/2]; (k=[n-1/2], n- количество различных цифр в квадрате);

остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют сверху вниз так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего перестановкой – первое число переносится в конец строки.

На этой иллюстрации приведён второй латинский квадрат
 
0
4
1
3
2

4
1
3
2
0

1
3
2
0
4

3
2
0
4
1

2
0
4
1
3



2. Преобразовываю полученные два латинских квадрата путём умножения каждого числа первого квадрата на 5 и увеличения на 1 каждого числа другого квадрата.

3. Произвожу поклеточное суммирование двух преобразованных на втором этапе квадратов.
 
Итак, построим магический квадрат, используя два выше построенных латинских квадрата:
11
10
2
24
18

20
12
9
3
21

22
19
13
6
5

4
23
16
15
7

8
1
25
17
14

 

 
5. Итог занятия
- Итак, мы научились строить магические квадраты тремя способами. Назовите их.
- Какой квадрат называется магическим?
- Какие операции мышления мы использовали?
Да, проведенная умственная гимнастика , надеюсь, помогла понять Вам идеи размещения, сочетания и симметрии. Эти идеи расположены рядом с нами, надо только их увидеть. Предлагаю увидеть их в искусстве, в быту, в науке на основе школьных презентаций.


Коллеги, наша совместная работа была не так проста, как умножение на десять, но и не так трудна, чтобы не познать основных принципов построения совершенной, по мнению В.Малевича, геометрической фигуры - квадрата. А сделать его магическим нам под силу.






















13PAGE 15


13PAGE 14815