Урок по математике «Решение (текстовых) задач на совместную работу»

Тема урока: Решение задач с помощью уравнений.
Цель на уроке:Уметь составлять в виде таблицы краткое условие задач; составлять дробно-рациональное уравнение по условию; применять полученные знания при решении задач на совместную работу, воспитывать познавательную активность и самостоятельность.
Ход урока:1. Организационный момент.
У многих учеников вызывает затруднение решение задач на совместную работу, поэтому разработкой этого урока показан метод составления условия в виде таблицы, что облегчает составление уравнения. Учащиеся легче и быстрее усваивают решение задач в такой форме.
На уроке будут рассмотрены тестовые задачи на совместную работу.
Задача №1. На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 мин. За какое время можно выполнить эту работу каждой машине в отдельности, если известно, что на первой машине её можно сделать на 15 мин. быстрее, чем на второй?
Составим краткое условие задачи с помощью таблицы.
Время за которое выполнят работу
Количество работы Производительность
(кол-во работы за 1 мин.) Совместное время работы Выполненная работа за 1 мин.
1 машина x мин ? 1 1x10 мин
10x1

2 машина x+15 мин ? 1 1x+1510 мин 10x+15Решение:
По краткому условию можно составить уравнение 10x+10x+15=1. Данное уравнение равносильно системе:x2+15x=20x+150
x≠0
x≠-15
Решим квадратное уравнение x2-5x-150=0; D=625;
x=15; x=-10 – не удовлетворяет смыслу задачи.
1 машина может выполнить эту работу за 15 мин, а 2 машина за 30 мин.
Ответ: 15 мин; 30 мин.
Задача №2. Фирма А может выполнить некоторый заказ на производство игрушек на 4 дня быстрее, чем фирма В. За какое время может выполнить этот заказ каждая фирма, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполняют заказ в 5 раз больший?
Время выполнения заказа (дни) Заказ Производительность (кол-во заказа за
1 день) Время при совместной работе (дни) Выполненная работа за 24 дня
Фирма А x ? 1 1x24
24x5

Фирма В x+4 ? 1 1x+424 24x+4Решение:
По условию составим уравнение: 24x+24x+4=5. Данное уравнение
равносильно системе:5x2+20x=48x+96
x≠0
x≠-4
Решим уравнение: 5x2-28x-96=0; D1=196+480=676>0; x=14±265;
x1=8; x2=-125 – не удовлетворяет смыслу задачи.
x=8 дней – время выполнения заказа фирмой А
x+4=12 дней – время выполнения заказа фирмой В.
Ответ: 8 дней; 12 дней.
Задача №3. На дачном участке есть небольшой бассейн. Если подавать в него воду с помощью двух шлангов, то за 8 мин будет заполнено 23 бассейна. За какое время можно наполнить бассейн водой через каждый из шлангов в отдельности, если один из них наполняет бассейн на 10 мин быстрее, чем другой?
Время наполнения бассейна Бассейн (работа) Объём работы (производительность)
за 1 мин Время совместной работы Кол-во работы за 8 мин
1 шланг x мин ?
1 1x8 мин
8x23
2 шланг x+10 мин ?
1 1x+108 мин 8x+10Решение:
8x+8x+10=23 x2-14x-120=0; D1=169; x=7±13
x=20; x=-6 – не удовлетворяет
2(x2+10x)=24(x+10)+24xсмыслу задачи
x≠0
x≠-10
x=20 мин – время наполнения бассейна 1 шлангом
30 мин – вторым шлангом.
Ответ: 20 мин; 30 мин.
Задача №4. Два строителя выложили стену из кирпичей за 14 дней, причём второй присоединился к первому через 3 дня после начала работы. Известно, что первому строителю на выполнение всей работы потребовалось бы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней мог бы выложить эту стену каждый строитель, работая отдельно?
Время
(дни) на выполнение всей работы Количество работы Производительность за 1 день Время совместной работы (дни) Кол-во работы за 14 дней
1 строитель x+6 ?
1 1x+614+3
17x+61

2 строитель x ?
1 1x14 14xРешение:

17x+6+14x=1; 17x+14x+84=x2+6xx2-25x-84=0
x≠0x=28
x≠-6x=-3 – не удовлетворяет
смыслу задачи
x=28 – время выполнения работы 1-м строителем
34 дня – вторым строителем.
Ответ: 28 дней; 34 дня.
Задача №5. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет выполнено только 0,6 всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения данного задания?
Время для самостоятельного выполнения Работа Производительность Время выполнения задания Выполняемая работа
Бригада слесарей x ч 1 1x6 ч
6x0,6

Бригада учеников x+15 ч 1 1x+1518 ч 18x+15Решение:
6x+18x+15=610; 1x+3x+15=110
10x+150+30x=x2+15x
x≠0
x≠-15
x2-25x-150=0; x=30; x=-5 – не удовлетворяет смыслу задачи.
30ч – время выполнения задания слесарями
45ч – время выполнения задания учениками.
Ответ: 45 часов.
1
Задача №6. Две снегоуборочные машины, работая вместе, могут очистить определённую территорию от снега за 4 ч. Если бы сначала первая машина выполнила половину работы, а затем её сменила вторая, то на всю уборку снега ушло бы 9 ч. За какое время может очистить от снега эту территорию каждая машина в отдельности?
Работа Время выполнения половины работы Производительность (кол-во работы
за 1 час) Время совместной работы Выполняемая работа
1 машина 1 x ч 12x4 ч
2x2 машина 1 9-x ч 12(9-x)4 ч 29-xРешение:
2x+29-x=118-2x+2x=9x-x2
x≠0
x≠9
x2-9x+18=0; x=6; x=3 – время выполнения 1-й машиной половины работы
6 ч – время выполнения работы 1-й машиной
12 ч – 2-й машиной.Ответ: 6ч; 12ч.