Материал для подготовки к уроку по теме Вписанная и описанная окружность

УРОК 60.
Тема: Вписанная и описанная окружность.
Прежде чем перейти к теме урока, повторим теоремы о серединном перпендикуляре к отрезку.
Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Теорема 2 (Обратная  к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Определение. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.1).
  В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

Рис. 1
      Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
      Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.
Фигура Рисунок Формула Обозначения
Произвольный треугольник
Посмотреть вывод формулы a, b, c – стороны треугольника, S –площадь,  r –  радиус вписанной окружности, p – полупериметр
.

Посмотреть вывод формулыРавнобедренный треугольник
Посмотреть вывод формулыa – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание,   r –  радиус вписанной окружности
Равносторонний треугольник
Посмотреть вывод формулыa – сторона равностороннего треугольника,  r  –  радиус вписанной окружности
Прямоугольный треугольник
Посмотреть вывод формулa, b – катеты прямоугольного треугольника,   c  – гипотенуза,  r – радиус вписанной окружности
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
      Теорема 3 . Для произвольного треугольника справедливо равенство
,
где a, b, c – стороны треугольника,  r –  радиус вписанной окружности,–  полупериметр (рис. 6).

Рис. 2
      Доказательство. Из формулы
с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.
      Теорема 4. Для равнобедренного треугольника справедливо равенство
,
где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание,  r –  радиус вписанной окружности (рис. 3).

Рис. 3
      Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула,
где
,
то, в случае равнобедренного треугольника, когда

получаем

что и требовалось.
      Теорема 5 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника,  r –  радиус вписанной окружности (рис. 4).

Рис. 4
      Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула,
то, в случае равностороннего треугольника, когда
b = a,
получаем

что и требовалось.
      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.
      Теорема 6. Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

где a, b – катеты прямоугольного треугольника,   c  –  гипотенуза,  r –  радиус вписанной окружности.
      Доказательство. Рассмотрим рисунок 5.

Рис. 5
      Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно,
СВ = СF= r,
      В силу теоремы 3 справедливы равенства

      Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.
Определение. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.1). 
В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.

Рис.6
Свойства описанной около треугольника окружности
Фигура Рисунок Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Окружность, описанная около треугольника Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Центр описанной около остроугольного треугольника окружности Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне тренгольника.
Радиус описанной окружности Для любого треугольника справедливо равенство:

где a, b, c  – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
      Теорема 7. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
   Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 7).

Рис. 7
      Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
CO = AO .
      Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
AO = BO .
      Следовательно, справедливо равенство:
CO = BO ,
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
      Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
      Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC(рис. 2).
      При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
AO = OB = OC ,
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.
Выполните задания.