КОС для текущего контроля по Математический аппарат для построения компьютерных сетей
Департамент образования города Москвы
Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение города Москвы
«Западный комплекс непрерывного образования»
Комплект
контрольно-оценочных средств
для текущего контроля знаний
программы подготовки специалистов среднего звена
дисциплина МДК 01.02 «Математический аппарат для построения компьютерных сетей»
профессионального модуля ПМ 01 «Участие в проектировании сетевой инфраструктуры»
код, профессия/специальность 09.02.02 Компьютерные сети
Москва
2015год
Согласовано
цикловая комиссия
Компьютерных систем
сетей и телекоммуникаций
(КСТ)
Протокол №
от «___ » ____________ 2015 г.
Председатель ЦК
__________/ Журкин М.С./
Утверждаю
Заведующий отделением среднего профессионального образования
_________ / И.Н.Мордвинова/
«____» ___________ 2015 г.
Составитель: Кирсанова Н.Ю., преподаватель математики, первая квалификационная категория, ГБПОУ ЗКНО
1. Общие положения
Контрольно-оценочные средства (КОС) являются составной частью образовательной программы среднего профессионального образования по подготовке специалистов среднего звена 09.02.02 Компьютерные сети и предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся в ходе освоения ими программы междисциплинарного курса МДК 01.02 «Математический аппарат для построения компьютерных сетей» профессионального модуля ПМ 01 «Участие в проектировании сетевой инфраструктуры».
КОС включают контрольные материалы для проведения текущего и рубежного контроля знаний и умений обучающихся по МДК 01.02 «Математический аппарат для построения компьютерных сетей».
КОС разработаны на основании:
Положения о Фонде оценочных средств (ФОС);
Рекомендаций по разработке контрольно-оценочных средств (КОС);
рабочей программы учебной дисциплины,
ФГОС СПО по специальности 09.02.02 Компьютерные сети.
2. Результаты освоения дисциплины, подлежащие проверке
КОС для текущего контроля направлены на проверку и оценивание результатов обучения, знаний и умений:
Результаты обучения
(освоенные умения, усвоенные знания)
Коды формируемых профессиональных и общих компетенций
Основные показатели оценки
У 1 – использовать математический аппарат теории графов
ОК 1,ОК 2, ОК3, ОК 4, ОК5, ОК 6,ОК 7,ОК8,
ПК 1.1, ПК 1.2,
ПК 1.5
практический навык задания и визуализации графа на плоскости; навыки построения графов по образцу в графических средах;
практические умения использования поиска эйлерова, гамильтонова цикла (пути) на конкретных примерах ориентированных и неориентированных графов;
применение математического аппарата теории графов в решении задач;
построение графа по матрице смежности; по графу составить матрицу смежности
З 1 – основные понятия теории графов
ОК 1,ОК 2, ОК3, ОК 4, ОК5, ОК 6,ОК 7,ОК8,
ПК 1.1, ПК 1.2,
ПК 1.5
Проверка знаний теоретико-множественного и графического представлений графов, простейших свойств графов;
алгоритм поиска эйлерова, гамильтонова цикла (пути) в графе;
знаний основных понятий теории конечных и бесконечных графов;
матричных способов представления графов
У 2- применение алгоритма поиска кратчайшего пути
ОК 1, ОК 2, ОК 3, ОК4
ОК5, ОК8, ОК 9
ПК 1.1, ПК 1.2,
ПК 1.5
навыки в применении алгоритма Краскала, поиск кратчайшего пути в графе при помощи алгоритма Дейкстры
З 2 – алгоритмы поиска кратчайшего пути
ОК 1, ОК 2, ОК 3, ОК4
ОК5, ОК8, ОК 9
ПК 1.1, ПК 1.2, ПК 1.5
знания основных понятий теории графов: алгоритмов поиска кратчайшего пути
У 3 – планировать структуру сети с помощью графа с оптимальным расположением узлов
ОК 3, ОК 4, ОК 5,
ОК 8, ОК 9
ПК 1.1, ПК 1.2
ПК 1.5
обоснованный выбор варианта поиска пути: подстановки, удобная форма записи, перебор вершин по алфавиту, перебор всех путей с начала, графический
З 3 – основные проблемы синтеза графа атак
ОК 1, ОК 2
ПК 1.2
Решение задач по теории конечных автоматов
З 4 – построение адекватной модели
ОК 1, ОК 2, ОК 3, ОК4
ОК5, ОК8, ОК 9
ПК 1.1, ПК 1.2, ПК 1.5
Понятия конечного автомата; приемы построения лингвистических формально -логических моделей, описываемых конечно - автоматными функциями; навыки решения задач прогнозирования, управления, диагностики на конечно - автоматных моделях; способы задания автоматов, построение абстрактного автомата первого рода, эквивалентного автомату второго рода. Усвоение навыков решения задач прогнозирования, управления, диагностики на конечно - автоматных моделях; освоение способов задания автоматов. Метод критического пути (МКП); суть оптимизации сетевого графика
У 4 - решение задач сетевого планирования. Построения сетевых моделей, решение задач оптимизации
ОК 1, ОК 2, ОК 3, ОК4
ОК5, ОК8, ОК 9
ПК 1.1, ПК 1.2, ПК 1.5
Умение строить диаграмму Ганта, сетевые графики, решать задачи сетевого планирования с применением критического пути; выполнять имитационное моделирование стохастических процессов методом статистических испытаний ( метод Монте-Карло); составление расписания – базового плана по срокам
З 5 - вероятностные и стохастические процессы, элементы теории массового обслуживания, основные соотношения теории очередей
ОК 1, ОК 2, ОК 3, ОК4
ОК5, ОК8, ОК 9
ПК 1.1, ПК 1.2, ПК 1.5
Знание сложных стохастических моделей, овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в разнообразных приложениях; определения и формулы числовых характеристик случайной величины; правила преобразования и вычисления типовых распределений; определения характеристик системы массового обслуживания
3. Кодификатор контрольных заданий
Функциональный признак оценочного средства
(тип контрольного задания)
Код контрольного задания
Теоретическое задание (устный или письменный опросы)
ТЗ
Практическое задание
ПЗ
Расчётно- графическое задание
РГЗ
4. Содержательно-компетентностная матрица оценочных средств
текущего контроля
Содержание учебного материала
по программе МДК 01.02 «Математический аппарат для построения компьютерных сетей»
Код контрольного задания
У1
У2
У3
З1
З2
З3
З4
З5
Тема 2.1 Теория графов
ТЗ
ПЗ
РГЗ
ТЗ
ПЗ
РГЗ
ТЗ
ПЗ
РГЗ
ТЗ
ПЗ
РГЗ
ТЗ
ПЗ
РГЗ
ТЗ
ПЗ
РГЗ
Тема 2.2. Элементы теории конечных автоматов
ТЗ
ПЗ
РГЗ
ТЗ
ПЗ
РГЗ
ТЗ
ПЗ
РГЗ
ТЗ
ПЗ
РГЗ
ТЗ
ПЗ
РГЗ
ТЗ
ПЗ
РГЗ
Тема 2.3. Элементы теории вероятностей и очередей. Система сетевого планирования
ТЗ
ПЗ
ТЗ
ПЗ
ТЗ
ПЗ
ТЗ
ПЗ
ТЗ
ПЗ
РГЗ
5. Распределение КОС по темам учебной дисциплины
Контрольно-оценочные средства для текущего контроля представляют собой перечень теоретических вопросов и практических заданий как по темам, изучаемым за счет аудиторных часов, так и по темам, вынесенных для самостоятельного изучения; варианты контрольных работ.
КОС, используемые для текущего контроля, охватывают все Этемы учебной дисциплины:
Содержание учебного материала
по программе
№ заданий
ТЗ
ПЗ
РГЗ
Тема 2.1 Теория графов
1 - 48
2, 7, 8, 9, 10 , 33
1, 3, 4, 5, 6, 11
Тема 2.2. Элементы теории конечных автоматов
49 - 99
12 – 15; 17, 19
27 - 30
16, 18
Тема 2.3. Элементы теории вероятностей и очередей. Система сетевого планирования
100 - 161
20, 22 – 26;
31, 32
21
6. Содержание КОС
6.1 Теоретические задания (ТЗ):
Тема 2.1 Теория графов
1.Что называется графом? Ориентированным графом? Приведите примеры.
2.Что такое степень вершины?
3.Перечислите основные понятия, связанные с неориентированными графами.
4.Перечислите основные понятия, связанные с орграфами.
5.В чем состоит аналитический способ задания графа?
6.В чем состоит геометрический способ задания графа?
7.В чем состоит матричный способ задания графа?
8.Что называется маршрутом, циклом и цепью графа?
9.Сформулируйте понятие связности графа. Какой граф называют связным?
10.Какие два графа называются изоморфными?
11.Сформулируйте алгоритм изоморфизма двух графов.
12.Перечислите операции над графами.
13.Дайте определение Эйлерова графа.
14.Сформулируйте алгоритм построения эйлерова цикла.
15.Какой граф называют гамильтоновым?
16.Существует ли эйлеров граф, обладающий висячей вершиной?
17.Чем отличается эйлеров путь от гамильтонова?
18. Дайте определение конечного графа.
19. Дайте определение бесконечного графа.
20. Какой граф называется однородным?
21. Где применяются бесконечные графы?
22.Как в задачах применяется ориентированный граф?
23. Какой граф можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине?
24. Какое современное устройство решает задачу о кинесберских мостах?
25. Когда вершина графа называется четной, а когда нечетной?
26. Дайте определение « остов графа»
27. Дайте определение «минимальный остов графа»
28. В чем смысл алгоритма Краскала?
29. Дайте определение планарности графа
30. Какой используется граф, в определении двудольного графа?
31. Какие два вида графа рассматриваются в теореме Х. Уитни?
32. Что означает укладка графа на поверхности?
33. Перечислите основные способы представления графов.
34. В чем отличия матричного представления ориентированных и неориентированных графов?
35. В чем особенности представления графа матрицей смежности?
36. В чем особенности представления графа матрицей инцидентности?
37. Перечислите основные компоненты связности графов.
38. В чем смысл матрицы достижимости?
39. Запишите теорему Форда-Фалкерсона 1 (о максимальном потоке и минимальном разрезе).
40. Что означает DFS и BFS?
41. Дайте определение « NP-полная задача».
42.Какое множество вершин графа называется независимым?
43. Дайте определение доминирующего множества.
44. Дайте определение понятию «ядро графа».
45.Чем отличается путь от маршрута?
46. Дайте определение понятию « поиск кратчайшего пути»
47. Перечислите алгоритмы по поиску кратчайшего пути.
48. Какое программное обеспечение лучше подходит для вычисления пути?
Тема 2.2. Элементы теории конечных автоматов
49. Укажите где применяются конечные автоматы.
50. Как можно представить (задать) конечный автомат?
51.Как можно использовать конечный автомат в словаре?
52. Что понимается под логической структурой автомата?
53. Что понимается под абстрактной и структурной теорией конечных автоматов?
54. Что понимается под моделью автомата?
55. Какие основные математические модели используются для описания элементарных конечных автоматов?
56. Дайте определение автомата – двоякий смысл автомата.
57. Перечислите виды автоматов.
58. Перечислите способы задания автоматов.
59. Перечислите способы перевода чисел из оной системы счисления в другую.
60.Приведите примеры позиционной системы счисления.
61. Какая система счисления используется компьютером?
62.В какой системе счисления записывается адресация ячеек памяти компьютера?
63.Перечислите основные правила выполнения арифметических операций.
64.Объясните понятие инверсия цифр.
65.Как относится прямой код к обратному?
66. Дайте определение понятию « модифицированный код»
67. Из чего состоит операция нормализации?
68.Как применяется мантисса числа для кодов и разрядов?
69.Перечислите способы задания конечного автомата
70.Как понять алфавит автомата?
71.Что такое класс эквивалентности?
72.Перечислите правила построения граф-схем переходов.
73.Объясните экспериментальный подход абстрактного автомата.
74.Дайте определение понятию «дерево управления».
75.Какие два вида уравнений включает модель Мура?
76.Какой автомат описывает система уравнений вида:
77.Какие способы используются для представления конечных автоматов?
78.Что представляет собой направленный граф, используемый для описания конечного автомата?
79.Что представляют собой автоматные таблицы?
80.Что представляет собой секвенциальное описание автомата?
81. Какие секвенции называются элементарными?
82.Что представляет собой таблица функций возбуждения элементов памяти конечного автомата?
83.Как выполняется минимизация функций возбуждения элементов памяти при заданном типе триггеров?
84.Где применяются система Тьюринга?
85.Чем превосходит алгоритм Маркова?
86.Дайте определение матрице переходов в конечном графе
87.Из чего состоит конечный автомат?
88.Дайте определение комбинационного автомата. Приведите примеры и таблицы истинности КА.
89.Реализуйте операции И, ИЛИ, НЕ на элементах ИЛИ-НЕ
90.Занесите на карту Карно функцию 5 переменных (a, b, c, d, e).
91.Запишите теорему разложения и её тождества. Покажите на примере как используются тождества для упрощения логических выражений.
92.Какие способы минимизации Вы знаете? Опишите порядок минимизации одним из этих способов.
93.Как преобразовать функцию в СДНФ в полином Жегалкина и как выполнить обратное преобразование?
94.Запишите код Грея. Как сделать преобразователь двоичного кода в код Грея?
95.Докажите равенство 13 EMBED Equation.3 1415.
96. Как построить Абстрактную Таблицу Переходов?
97. Какими функциями обладает программа ПОКАМиМ для построения тригерров?
98. Как называется автомат, который имеет одно состояние?
99.Какие автоматы называются эквивалентными?
Тема 2.3. Элементы теории вероятностей и очередей. Система сетевого планирования
100.Какие задачи изучает комбинаторика?
101.В чем заключаются правила суммы и произведения?
102.Что такое перестановка и как находится количество возможных перестановок?
103. В чем сходство и отличие размещения без повторений и с повторениями?
104. В чем сходство и отличие сочетания без повторений и с повторениями?
105. В чем основное отличие сочетания от размещения?
106.Как находится число размещений без повторений и с повторениями, число сочетания без повторений и с повторениями?
107.Дайте формулировку явного метода моделирования сигналов
108.Как определить шаг дискретизации по времени?
109.Какие тригонометрические функции используется для построения графика сигналов?
110.Что означает стохастический процесс?
111.Перечислите кривые, которые позволяют строить графики стохастического процесса (на примере Гильберта)
112.Что называют числовыми характеристиками (или параметрами) случайной величины?
113.Как определяется математическое ожидание случайной величины: а) дискретной; б) непрерывной?
114.Как определяется математическое ожидание конечной дискретной с.в.?
115.Как определяется математическое ожидание конечной непрерывной с.в., т.е. с.в., все значения которой принадлежат отрезку [a, b]?
116.Какие другие названия используют для математического ожидания? Чем объясняются эти названия?
117. Всегда ли существует математическое ожидание с.в.? Приведите примеры с.в., для которых не существует математического ожидания.
118.Сформулируйте свойства математического ожидания.
119.В чем заключается свойство линейности математического ожидания?
120.Как определяется дисперсия случайной величины?
121.Что характеризует дисперсия случайной величины?
122.Как выглядят формулы, определяющие дисперсию, для дискретных и непрерывных случайных величин?
123.По какой формуле можно проще вычислять дисперсию?
124.Запишите формулы для вычисления дисперсии, если случайная величина: а) дискретная; б) дискретная конечная; в) непрерывная; г) непрерывная конечная, т.е. все ее значения принадлежат отрезку [a, b].
125.Сформулируйте свойства дисперсии.
126.Что такое среднее квадратическое (стандартное) отклонение случайной величины?
127.Что характеризует среднее квадратическое отклонение и в чем смысл его введения?
128.Какое явление можно назвать случайным событием, элементарным исходом?
129.Какие виды элементарных исходов и случайных событий существуют?
130.В чем сходство и отличие классического, геометрического и статистического определения вероятности?
131.Как находится вероятность суммы , произведения событий ?
132.Для каких событий используются специальные формулы?
133.Чему равна вероятность противоположного события?
134. Какой формулой выражается зависимость между количеством информации в сообщении о наступлении событии и вероятностью его наступления?
135. Дайте определение системы массового обслуживания с неограниченной очередью.
136. Определите процесс функционирования системы массового обслуживания с неограниченной очередью.
137. Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с неограниченной очередью.
138. Почему простейший поток занимает центральное место в ТМО?
139. Является ли простейший поток потоком Эрланга и наоборот?
140. Дайте определение системы массового обслуживания с отказами.
141.Определите процесс функционирования системы массового обслуживания с отказами.
142.Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с отказами.
143. Дайте определение системы массового обслуживания с ограниченной очередью.
144.Определите процесс функционирования системы массового обслуживания с ограниченной очередью.
145.Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с ограниченной очередью.
146. В чем особенности замкнутых систем массового обслуживания?
147. Перечислите основные элементы сетевой модели.
148. Какие существуют правила построения сетевых графиков.
149. В каких еще приложениях можно создавать диаграммы Ганта, существуют ли специализированные приложения?
150. Перечислите недостатки диаграммы Ганта.
151. Как понимаете понятие ранга события?
152.Коэффициент напряженности работы: что показывает и как определяется?
153. В чем суть оптимизации сетевого графика?
154. Какие другие существуют методы напоминающие метод Монте-Карло?
155.Приведите пример программы, которая может выполнить расчет метода Монте-Карло?
156. Объясните метод оценки и пересмотра планов (ПЕРТ, PERT).
157.Чем лучше метод графической оценки и анализа (GERT)?
158.Для чего применяют выше перечисленные методы?
159.Какие задачи называются задачами оптимизации?
160.Почему все переменные неотрицательные, как называются эти ограничения?
161.Какое допустимое решение называется оптимальным?
6.2. Практические задания (ПЗ):
Тема 2.1 Теория графов
1. Практическая работа № 1
Тема: Графическое изображение графов.
Цель: изучить основы теоретико-множественного и графического представлений графов, простейших свойств графов, получить практический навык задания и визуализации графа на плоскости; закрепить навыки построения графов по образцу в графических средах (программы для графического представления графов).
Задачи:
1. Закрепить знания основных понятий теории графов.
2. Приобрести практические умения использования специального программного обеспечения для моделирования.
Материальное обеспечение:
Программы для графического представления графов: grin_rus, Grafoanalizator1.3.3 rus, windisc ru.
Инструкция к практической работе
Задание 1. Изобразите графически:
Неориентированное и ориентированное ребро;
Неориентированный граф G(V,E), заданный множеством V={v0, v1, v2, v3, v4, v5} E(v0)={v1,v2}={v0,v2,v4}; E(v1)={v0,v2,v4}; E(v2)={v0,v1,v5}; E(v3)={v4}; E(v5)={v2};
Плоский граф;
Полный неориентированный граф на трех, четырех и пяти вершинах;
Неполный ориентированный граф на пяти вершинах;
Петлю графа;
Неориентированный и ориентированный мультиграф.
Задание 1. Выполните задание по образцу.
Изобразите графически:
G(V,E) - орграф.
V={1,2,3,4}, E={(1, 2), (4, 3), (3, 4), (3, 1), (4, 1)}.
Задание 2. Изобразите графы в соответствующих программах. Полученные графы сохранить в свои папки.
Граф
Программа
Grafoanalizator1.3.3 rus
grin_rus
windisc ru
2. Практическая работа № 2
Тема: Решение задач по теории графов. Эйлеровы и Гамильтоновы графы.
Цель: изучить алгоритм поиска эйлерова, гамильтонова цикла (пути) в графе, рассмотреть на конкретных примерах ориентированные и неориентированные графы.
Задачи:
1. Закрепить знания основных понятий теории графов.
2. Приобрести практические умения использования специального программного обеспечения для моделирования.
3. Использовать математический аппарат теории графов
Материальное обеспечение:
Программа анализатор графов: Grafoanalizator1.3.3 rus, практическое задание.
Задание:
1. Проработать алгоритм выполнения поиска эйлерова и гамильтонова пути (изобразите графы, содержащие эти пути)
2. Среди приведённых ниже графов найдите те, которые имеют эйлеров и гамильтонов цикл. Результат проверить при помощи программы Grafoanalizator1.3.3.
2. Какие из следующих ориентированных графов имеют эйлеровы и гамильтоновы циклы? Результат проверить при помощи программы Grafoanalizator1.3.3.
3. Практическая работа № 3
Тема: Решение задач по теории графов. Конечные графы. Бесконечные графы.
Цель: изучить теоретические основы конечных и бесконечных графов.
Задачи:
1.Закрепить знания основных понятий теории конечных и бесконечных графов.
2. Использовать математический аппарат теории графов
Материальное обеспечение:
практическое задание.
Задание
Изобразить конечные и бесконечные графы.
Определите, какие графы изображены
A
B
C
D
E
F
Проверьте правильность ответа: A, b – платоновы тела; c – неориентированный конечный однородный граф степени 2; d – неориентированный конечный однородный граф степени 1; е – неориентированный конечный однородный граф степени 4; f – ориентированный бесконечный однородный граф степени 2
4. Практическая работа № 4
Тема: Решение задач по теории графов
Цель: научиться применять математический аппарат теории графов в решении задач.
Задачи:
1.Закрепить знания основных понятий теории конечных и бесконечных графов.
2. Использовать математический аппарат теории графов
Материальное обеспечение: раздаточный материал.
Решить задачи:
1. Между девятью планетами Cолнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля Меркурий, Плутон Венера, Земля Плутон, Плутон Меркурий, Меркурий Венера, Уран Нептун, Нептун Сатурн, Сатурн Юпитер, Юпитер Марс и Марс Уран. По каждому маршруту ракеты летают в обе стороны. Можно ли долететь на рейсовых ракетах от Земли до Марса?
2. В государстве 100 городов. Из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?
3. Экспозиция картинной галереи представляет собой систему коридоров, на обеих стенах которых развешаны картины:
Можно ли предложить такой маршрут осмотра экспозиции, при котором
посетитель проходит вдоль каждой стены ровно один раз?
4. В городе 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединён ровно с пятью другими?
5. В теннисном турнире каждый игрок команды «синих» встречается с каждым игроком команды «красных». Число игроков в командах одинаково и не больше восьми. «Синие» выиграли в четыре раза больше встреч, чем «красные». Сколько человек в каждой из команд?
6. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы при этом перелезть через каждый забор ровно один раз?
7. Можно ли нарисовать граф, изображённый на рисунках а,б
не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз?
8. Дан кусок проволоки длиной 120 см.
Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10 см? Какое наименьшее число раз придётся ломать проволоку, чтобы всё же изготовить требуемый каркас?
9. Можно ли так нарисовать 5 горизонтальных и 4 вертикальных отрезка, чтобы каждый горизонтальный отрезок пересекался ровно с тремя вертикальными, а каждый вертикальный ровно с тремя горизонтальными?
10. При встрече каждый из моих одноклассников пожал руку другому (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было: 1)трое; 2)четверо; 3)пятеро? (решите и изобразите граф решения)
5. Практическая работа № 5
Тема: Решение задач по теории графов. Алгоритм Краскаля
Цель: изучить и отработать навыки в применении алгоритма Краскала; закрепить навыки моделирования графов в графической среде Kraskal.
Задачи:
1. Закрепить знания основных понятий теории графов.
2. Приобрести практические умения использования специального программного обеспечения для моделирования.
3. Использовать математический аппарат теории графов
Материальное обеспечение:
Программы для вычисления алгоритма краскала: Kraskal
Задание:
Проработать две первые задачи. Третью и четвертую решить самостоятельно, используя программное обеспечение Kraskal .
Задача №1. Дан взвешенный связный неориентированный граф, состоя щий из пяти вершин. Необходимо найти остов минимального веса с помощью ал горитма Краскала.
Выбираем вершину начала построения остова минимального веса, напри мер, первую вершину.
Шаг 1. Найдено ребро минимального веса: 1-2=6. Полученный остов на рисунок.
Шаг 2. Найдено ребро минимального веса: 2-3=7. Полученный остов на рисунок.
Шаг 3. Найдено ребро минимального веса: 3-4=9. Полученный остов на рисунок.
Шаг 4. Найдено ребро минимального веса: 3-5=11.
Рассмотрены все вершины и инцидентные ребра этим вершинам, остав шиеся образуют цикл в полученном минимальном остове. А это не удовлетворяет условиям поставленной задачи.
На четвертом шаге получили окончательный остов минимального веса, ко торый представлен на рисунке.
Задача №2. Дан взвешенный, связный, неориентированный граф, состоя щий из девяти вершин. Необходимо найти остов минимального веса с помощью ал горитма Краскала. Исходный граф на рисунке.
Выбираем вершину начала построения остова минимального веса, напри мер, первую вершину.
Шаг 1. Найдено ребро минимального веса: AC=1. Полученный остов на рисунок.
Шаг 2. Найдено ребро минимального веса: CF=3, AB=4, AC=4. Полученный остов на рисунок.
Шаг 3. Найдено ребро минимального веса: FD=4, EK=3, AE=4. Полученный остов на рисунок.
Шаг 4. Найдено ребро минимального веса: KH=5, KG=4. Рассмотрены все вершины и инцидентные ребра этим вершинам, остав шиеся ребра образуют цикл в полученном минимальном остове. А это не удовлетворяет условиям поставленной задачи.
На четвертом шаге получен окончательный остов минимального веса, ко торый представлен на рисунке.
Задача №3. Найти остов минимального веса с помощью алгоритма Краскала., проверить программой Краскала.
Задача №4. Найти минимальное остовное дерево в неориентированном нагруженном графе. Результат проверить программным обеспечением.
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
а)
б)
в)
6. Практическая работа № 6
Тема: Решение задач по теории графов. Двойственность по Уитни
Цель: изучить теоретические основы планарности, двойственности графов и теорему Уитни; закрепить навыки моделирования графов.
Задачи:
1. Закрепить знания основных понятий теории графов.
2. Использовать математический аппарат теории графов
Материальное обеспечение:
Раздаточный материал. Линейка карандаш.
Задание:
Постройте планарный граф с а) 6; б) 7; в) 8; г) 9; вершинами так, чтобы некоторые его ребра пересекались.
Постройте плоский граф, соответствующий графу из предыдущего задания.
Постройте геометрически двойственный граф к графу из задания 2.
Покажите, что К5 не обладает абстрактно двойственными графами.
7. Практическая работа № 7
Тема: Решение задач по теории графов.
Построение матриц смежностей и инциденций
Цель: изучение матричных способов представления графов; отработать на примерах основные понятия теории графов; научить строить графы по матрице смежности; по графу составлять матрицу смежности; закрепить навыки моделирования графов в графической среде Grafoanalizator1.3.3 rus.
Задачи:
1. Закрепить знания основных понятий теории графов.
2. Приобрести практические умения использования специального программного обеспечения для моделирования.
3. Использовать математический аппарат теории графов
Материальное обеспечение:
Программы для графического представления графов: Grafoanalizator1.3.3 rus, Просто граф, практическая работа.
Задание:
Для графа заданного матрицей смежности
найти матрицу инцидентности
построить граф
Используя программное обеспечение, изобразите граф и проверьте матрицу.
Вариант 1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
3
1
1
1
1
1
3
1
1
3
1
1
4
1
1
1
4
1
4
1
5
1
1
5
1
5
1
6
1
1
1
1
1
6
6
Вариант 2.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
3
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
1
4
1
4
1
1
4
1
1
1
5
1
5
1
5
1
1
1
1
1
6
6
6
1
1
1
Вариант 3
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
4
1
4
1
1
4
1
1
1
5
1
5
1
5
1
1
1
6
6
6
1
1
1
Вариант 4
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
3
1
1
3
1
1
3
1
1
1
1
1
4
1
4
1
1
4
1
1
1
1
5
1
5
5
1
1
1
6
6
6
1
1
1
1
Вариант 5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
3
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
1
4
1
4
1
1
4
1
1
1
1
5
1
5
1
5
1
1
1
1
6
6
6
1
1
8. Практическая работа № 8
Тема: Решение задач по теории графов. Выделение связных компонентов. Нахождение максимального потока и минимального разреза.
Цель: научиться определять компоненты связности и находить максимальный поток и строить минимальный разрез в сети с использованием алгоритма Форда- Фалкерсона; закрепить навыки моделирования графов в графической среде Grafoanalizator1.3.3 rus.Простой граф.
Задачи:
1. Закрепить знания основных понятий теории графов.
2. Приобрести практические умения использования специального программного обеспечения для моделирования.
3. Использовать математический аппарат теории графов
Материальное обеспечение:
Программы для графического представления графов: Grafoanalizator1.3.3 rus, Простой граф, практическая работа.
Задание:
1. С помощью матрицы смежности найти компоненты сильной связности ориентированного графа D. При решении использовать программу Grafoanalizator1.3.3 rus, Простой граф
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
Вариант1
Вариант 2
Вариант 3
2. Дана сеть:
Определить максимальный поток в сети при начальных значениях дуговых потоков: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Варианты значений пропускных способностей дуг для задания:
9. Практическая работа № 9
Тема: Решение задач по теории графов. Нахождение путей в графе
Цель: реализовать алгоритмы обработки графовых структур: поиск различных путей; получение навыком при решении задач нахождения пути в графе; закрепить навыки моделирования графов в графической среде Grafoanalizator1.3.3 rus, Простой граф, Grin.
Задачи:
1. Закрепить знания основных понятий теории графов.
2. Приобрести практические умения использования специального программного обеспечения для моделирования.
3. Использовать математический аппарат теории графов.
4. Применение алгоритмов поиска кратчайшего пути.
5. Планирование структуры сети с помощью графа с оптимальным расположением узлов.
Материальное обеспечение:
Программы для графического представления графов: Grafoanalizator1.3.3 rus? Простой граф, Grin.
практическая работа. Интернет ссылка: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Задания:
Выполнить задание и проверить с помощью программы Grin, Простой граф.
1. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?(ответ 12)
2. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж? (ответ:24)
3. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?
(Ответ33)
4. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К? (Ответ:23)
5. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К? (ответ:17)
6. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К? (Ответ:13)
7. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж? (Ответ:20)
8. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К? (Ответ:12)
9. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж? (Ответ:24)
10. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К? (Ответ:17)
11. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж? (Ответ:46)
12. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город З? (Ответ 14)
13. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К? (ответ: 16)
14. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К? (Ответ:14)
15. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город З? (Ответ: 8)
16. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж? (Ответ:14)
17. На рисунке – схема дорог, связывающих города A, B, C, D, E, F, G H. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города A в город H? (Ответ:14)
18. На рисунке – схема дорог, связывающих города A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города A в город M? (Ответ:12)
19. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К? (Ответ:23)
20. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город M?(Ответ:16)
21. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К? (ответ:13)
22. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько
23. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К? (ответ:13)
24. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город И? (ответ:16)
25. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город И? (Ответ:11)
26. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город З? (Ответ: 9)
27. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Е?
28. На рисунке – схема дорог, связывающих города A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города A в город E? (ответ:4)
29. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город З? (ответ:3 )
30. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К? (Ответ:17)
10. Практическая работа № 10
Тема: Решение задач по теории графов. Нахождение минимально доминирующих множеств (МДМ). Нахождение максимально независимых множеств (МНМ)
Цель: реализовать алгоритмы нахождения МДМ и МНМ; закрепить навыки моделирования графов в графической среде Grafoanalizator1.3.3 rus, Простой граф
Задачи:
1. Закрепить знания основных понятий теории графов.
2. Приобрести практические умения использования специального программного обеспечения для моделирования.
3. Использовать математический аппарат теории графов.
4. Планирование структуры сети с помощью графа с оптимальным расположением узлов.
Материальное обеспечение:
Программы для графического представления графов: Grafoanalizator1.3.3 rus, Простой граф, практическая работа.
Задания:
1. Перечислите все максимальные независимые множества графа G, показанного на рисунке, а также найти число независимости.
2. Составить список всех максимальных независимых множеств графа приведенного на рисунке. (Обратить внимание на симметрию)
3. Найти доминирующие множества по рисунку.
4. Найти максимально независимые множества по рисунку.
11. Практическая работа № 11
Тема: Решение задач по теории графов. Нахождение кратчайшего пути
Цель: научиться находить кратчайшие пути в графе при помощи алгоритма Дейкстры; получение навыком при решении задач нахождения пути в графе; закрепить навыки моделирования графов в графической среде Grafoanalizator1.3.3 rus, Простой граф, Grin.
Задачи:
1. Закрепить знания основных понятий теории графов.
2. Приобрести практические умения использования специального программного обеспечения для моделирования.
3. Использовать математический аппарат теории графов.
4. Применение алгоритмов поиска кратчайшего пути.
5. Планирование структуры сети с помощью графа с оптимальным расположением узлов.
Материальное обеспечение:
Программы для графического представления графов: Grafoanalizator1.3.3 rus, Простой граф, Grin, практическая работа.
Задание.
1. Найти кратчайшие расстояния от 1-й вершины до всех остальных для графа, представленного на рисунке. Используя программное обеспечение, проверьте другие алгоритмы вычисления кратчайшего пути.
Тема 2.2. Элементы теории конечных автоматов
12. Практическая работа № 12
Тема: Решение задач по теории конечных автоматов. Алгебраическая теория конечных автоматов.
Цель: ознакомление с понятием конечного автомата; ознакомление с приемами построения лингвистических формально -логических моделей, описываемых конечно - автоматными функциями; усвоение навыков решения задач прогнозирования, управления, диагностики на конечно - автоматных моделях; освоение способов задания автоматов, построение абстрактного автомата первого рода, эквивалентного автомату второго рода.
Задачи: использования специального программного обеспечения для моделирования; построение адекватной модели.
Материальное обеспечение: практическая работа, программа Automata Guide.
Задание к работе:
1. Построить конечные автоматы в программе Automata Guide. Проработать основные операторы данной программы.
1. 2.
3. 4.
13. Практическая работа № 13
Тема: Решение задач по теории конечных автоматов.
Структурная схема конечных автоматов.
Цель: ознакомление со структурной схемой конечного автомата; усвоение навыков решения задач прогнозирования, управления, освоение способов задания автоматов.
Задачи: использования специального программного обеспечения для моделирования; построение адекватной модели.
Материальное обеспечение: практическая работа.
Задание к работе:
придумайте схему конечного автомата на любую тему. Оформить в любом редакторе.
14. Практическая работа № 14
Тема: Решение задач по теории конечных автоматов. Основная модель
Цель: ознакомление с примерами моделей конечного автомата; усвоение навыков решения задач прогнозирования, управления, диагностики на конечно - автоматных моделях; освоение способов задания автоматов.
Задачи: использования специального программного обеспечения для моделирования; построение адекватной модели.
Материальное обеспечение: практическая работа, программа Automata Guide
Задание к работе:
Придумайте свой конечный автомат используя любой способ задания.
15. Практическая работа № 15
Тема: Алгоритмическая система Тьюринга
Цель: знакомство с алгоритмической системой Тьюринга и нормальным алгоритмом Маркова.
Материальное обеспечение: практическая работа, программное обеспечение для вычисления алгоритма Тьюринга.
Задание к работе:
Элементарные машины это машины с алфавитом {s0, |}, получаемым присоединением к однобуквенному алфавиту {|} пустой буквы s0. Результатом их применения к записи на ленте являются некоторые элементарные изменения (преобразования) этой записи.
Пример 1.
Машина А, имеющая программу, данную в таблице 5, выше уже рассмотрена.
Таблица 5
A
s0
|
q1
|Нq0
|Пq1
Пример 2.
Машина B воспринимает любое число из набора x1, x2, ..., xn, уменьшает число палочек в его записи на одну и останавливается, воспринимая уменьшенное число. Так работает машина с программой, данной в таблице 6.
Таблица 6
B
s0
|
q1
s0Лq0
Задача 2.
Изобразите на ленте в алфавите {s0, |} набор чисел 2, 3, 4 и пусть машина В воспринимает второе число в стандартном положении. Изобразите ленту после работы машины. Какой набор чисел будет записан на ней?
Пример 3.
Машина C воспринимает набор чисел x1, x2, ..., xn в стандартном положении и через одну пустую ячейку справа от этого набора записывает число 0, после чего останавливается, воспринимая 0.
Программа машины C представлена таблицей 7.
Таблица 7
C
s0
|
q1
s0Пq2
|Пq1
q2
|Нq0
Пустая клетка таблицы означает, что пара (|, q2) не возникает в процессе работы этой машины (поэтому можно записать в этой клетке произвольную команду).
Задача 3.
Изобразите на ленте в алфавите {s0, |} набор чисел 1, 2, 3 и имитируйте работу машины C (изобразите ленту после каждого такта машины до ее остановки).
Пример 4.
Машина D, отправляясь от воспринятого в стандартном положении числа, не самого правого на ленте, заполняет промежуток из пустых клеток (если имеется такой) между этим числом и ближайшим справа, оставляя между ними пустую клетку, и останавливается, воспринимая в стандартном положении получающееся число.
Так, машина D, примененная к ленте
s0
|
|
s0
s0
s0
|
s0
|
|
s0
s0
s0
q1
в качестве результата выдает следующую запись на ленте:
s0
|
|
|
|
s0
|
s0
|
|
s0
s0
s0
q0
Так работает машина с программой, данной в таблице 8.
Таблица 8
D
s0
|
q1
|Пq2
q2
|Пq2
|Лq3
q3
s0Лq0
Задача 4.
Изобразите на ленте числа 3 и 2 в алфавите {s0, |}, отделенные друг от друга четырьмя пустыми ячейками. Имитируйте работу машины D применительно к этой записи на ленте.
Пример 5.
Машина r, примененная к произвольной записи на ленте, сдвигает воспринимаемую ячейку на одну ячейку вправо и затем останавливается, не изменяя записи на ленте.
Так работает машина с программой, данной в таблице 9.
Таблица 9
r
s0
|
q1
s0Пq0
|Пq0
Пример 6.
Машина l, примененная к произвольной записи на ленте, сдвигает воспринимаемую ячейку на одну ячейку влево и затем останавливается, не изменяя записи на ленте.
Задача 5.
Составьте программу машины l.
l
s0
|
q1
s0Лq0
|Лq0
Пример 7.
Машина R, отправляясь от воспринятого в стандартном положении числа, не самого правого на ленте, идет вправо к стандартному положению ближайшего справа числа.
Программа машины R помещена в таблице 10.
Таблица 10
R
s0
|
q1
s0Пq2
|Пq1
q2
s0Пq2
|Пq3
q3
s0Лq0
|Пq3
Задача 6.
Примените машину R к ленте
s0
|
|
|
s0
s0
|
|
s0
|
|
s0
s0
s0
q1
Пример 8.
Машина L, отправляясь от воспринятого в стандартном положении числа, не самого левого на ленте, идет влево к стандартному положению ближайшего слева числа.
Задача 7.
Составьте программу машины L и проверьте ее работу на ленте
s0
|
|
|
s0
s0
|
|
s0
|
|
s0
s0
s0
q1
Пример 9.
Рассмотрим машину Тьюринга, производящую следующую операцию: если на ленте дан набор чисел x1, x2, ..., xn, воспринимаемый машиной в стандартном положении, то машина в заключительном состоянии имеет на ленте набор чисел x1, x2, ..., xn, 3, воспринимаемый ею также в стандартном положении.
Так работает машина с программой, данной в таблице 11.
Таблица 11
s0
|
q1
s0Пq2
|Пq1
q2
|Нq3
q3
|Нq4
|Пq3
q4
|Нq5
|Пq4
q5
|Нq0
|Пq5
Задача 8.
Проимитируйте работу машины для записи на ленте
s0
|
|
s0
|
|
|
s0
|
s0
s0
s0
s0
s0
s0
q1
Пример 10.
Рассмотрим машину Тьюринга, которая по записи любого числа на ленте распознает, оно больше нуля или равно нулю. В первом случае машина в качестве результата выдает число 1, записанное через одну пустую клетку справа от воспринимаемого числа, во втором число 0, записанное также через одну пустую клетку справа от воспринимаемого числа.
Составим сначала схему работы этой машины (рис.).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
В соответствии с этой схемой получим программу машины (табл. 12).
Таблица 12
s0
|
q1
s0Лq2
|Лq2
q2
s0Нq3
|Нq6
q3
s0Пq4
|Пq4
q4
s0Пq5
|Пq4
q5
|Нq0
q6
s0Пq7
|Пq7
q7
s0Пq8
|Пq7
q8
|Нq9
q9
|Нq0
|Пq9
Задача 9.
Проимитируйте работу машины для записи на ленте:
a)
s0
|
|
s0
s0
б)
s0
|
s0
s0
s0
Пример 11.
Построим машину, которая, отправляясь от числа, воспринятого в стандартном положении, стирает все числа левее данного (если таковые имеются) до первого встречного промежутка из двух или более пустых ячеек и возвращается к стандартному положению первоначально воспринятого числа.
Для построения программы такой машины (по существу, «построить машину Тьюринга» означает построить ее программу) составим по аналогии с примером 10 схему работы этой машины (рис.).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Составим программу для этой машины (табл. 13).
Таблица 13
s0
|
q1
s0Лq2
|Лq1
q2
q3
q6
q3
s0Пq4
q4
s0Пq4
|Пq5
q5
s0Лq0
|Пq5
q6
s0Нq1
s0Лq6
Задача 10.
Проимитируйте работу машины с такой программой (табл. 13) для исходной записи на ленте:
|
s0
s0
|
|
|
s0
|
|
|
|
s0
|
|
s0
q1
Из примеров 9, 10, 11 видно, что для решения даже простых задач нужны довольно сложные машины Тьюринга. Естественно возникает вопрос: нельзя ли «собрать», сконструировать машины Тьюринга путем соединения нескольких более простых, элементарных машин?
В примере 9 мы могли бы поместить одну за другой машину С и три машины А.
В примерах 10, 11 мы могли бы сначала сконструировать машины для частных задач и затем «собрать» из них нужную машину. Из этих примеров видно также, что наряду с простым соединением машин (когда машина М' должна работать независимо от того, какая буква стояла в последней обозреваемой ячейке перед остановкой М) была бы желательна возможность и их дифференцированного соединения, т.е. такого, что если в последней обозреваемой ячейке перед остановкой машины М стояла буква s0, то дальше должна работать машина М1, иначе, т. е. если там стояла буква |, то машина M2.
Даны две машины Тьюринга М1 и М2, имеющие общий алфавит А = {s0, s1, s2, , sk} и состояния q0, q1, q2, ..., qp и q'0, q'1, q'2, ..., q'm соответственно. Композицией машин M1 и M2 называется машина, обозначаемая М1(М2, имеющая алфавит А и состояния q1, q2, ..., qp, q'1, q'2, ..., q'm, q'0 (начальное состояние машины M1(M2 - начальное состояние машины M1, т.е. q1, заключительное состояние - заключительное состояние машины М2, т.е. q'0).
Программа этой машины строится из программ машин М1 и M2 (см. табл. 14).
Таблица 14
В соответствии с этим определением машину из примера 9 мы могли бы записать так: ((С(А)(А)°А.
Задача 11.
а) Покажите, что операция композиции машин ассоциативна, т.е. для любых машин M1, M2, M3
(M1(М2)°М3 = М1((М2°М3).
б) Является ли операция композиции машин коммутативной?
Окончательно машину из примера 9 мы можем записать: С(А(А(А или С(А3, если условиться считать 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Даны 3 машины М1, М2, М3, имеющие общий алфавит А = {s0, s1, s2, ..., sk} и состояния q0, q1, ..., qp; q'0, q'1, ..., q'm; q''0, q''1, ..., q''n соответственно. Ветвлением машин M1, M2, М3 называется машина, обозначаемая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415имеющая алфавит А и состояния q0, q1, q2, ..., qp, qp+1, q'1, ..., q'm, q''1, q''2, ..., q''n. Программа этой машины строится из программ машин M1, M2, M3 так, как показано в следующей таблице:
Проиллюстрируем теперь программу машины из примера 10 (табл. 16).
Таблица 16
s0
|
q1
s0Лq2
|Лq2
q2
s0Нq3
|Нq6
q3
s0Пq4
|Пq4
q4
s0Пq5
|Пq4
q5
|Нq0
q6
s0Пq7
|Пq7
q7
s0Пq8
|Пq7
q8
|Нq9
q9
|Нq0
|Пq9
Программа машины из примера 10 запишется, как видно, следующим образом: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где M1, M2, М3 указаны слева от программы.
Дальнейший анализ программы машины из примера 10 показывает, что машина M1 это машина l, машину М2 можно представить в виде композиции машин r и С (r(С), а М3 в виде r°С°А. Тогда машина из примера 10 окончательно запишется так:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Как видно, из простых (элементарных) машин Тьюринга l, r, С, А с помощью операций композиции и ветвления сконструировали более сложную машину Тьюринга (пример 10).
Дана машина М, имеющая алфавит А={s0, s1, s2, ..., sk} и состояния q0, q1, , qp. Программа машины М содержит по крайней мере две команды с заключительным состоянием q0. Будем говорить, что машина М' получена из машины М с помощью операции зацикливания, если в одной из команд машины М, содержащих состояние q0, это состояние заменено на одно из состояний q1, q2, , qp.
Так, машина из примера 11 получена с помощью операции зацикливания из машины с программой, данной в таблице 17.
Таблица 17
s0
|
q1
s0Лq2
|Лq1
q2
q3
q6
q3
s0Пq4
q4
s0Пq4
|Пq5
q5
s0Лq0
|Пq5
q6
s0Нq0
s0Лq6
Действительно, эта программа содержит две команды с заключительным состоянием q0: s0Лq0 и s0Нq0. Заменив в команде s0Нq0 состояние q0 состоянием q1 получили машину из примера 11.
Проанализируем теперь программу этой машины, данную в таблице 18.
Таблица 18
s0
|
q1
s0Лq2
|Лq1
q2
q3
q6
q3
s0Пq4
q4
s0Пq4
|Пq5
q5
s0Лq0
|Пq5
q6
s0Нq1
s0Лq6
Работа этой машины может быть следующим образом описана в терминах машин Р, Q, R. Сначала используется машина Р, затем в соответствии с тем, обозревает машина Р в состоянии q2 пустую ячейку или ячейку с буквой |, используется машина R или Q соответственно. В случае если используется машина Q, ее результат подается в Р. Записать это можно следующим образом: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где точки обозначают, что результат работы машины Q подается обратно в качестве входных данных для машины Р.
Пример 12.
Рассмотрим машину Тьюринга Т1, которая по записи любого числа, воспринятого в стандартном положении, по окончании работы через одну пустую ячейку от него выдает его копию, воспринимая ее в стандартном положении.
Машину Т1 построим, используя введенные ранее элементарные машины. Тогда:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задача 12.
а) Составьте программу машины Т1.
б) Имитируйте работу машины T1 для записи на ленте:
s0
s0
|
|
|
s0
s0
16. Практическая работа №16
Тема: Решение задач по теории конечных автоматов. Таблицы, графы и матрицы переходов.
Цель: Научиться решать задачи по теории конечных автоматов.
Материальное обеспечение: практическая работа, программное обеспечение.
Задание к работе:
Определить, существует ли стационарный режим для марковского случайного процесса, размеченный граф состояний которого изображен на рисунке. Если стационарный режим существует, то найти стационарное распределение вероятностей.
Указание. Проведите классификацию состояний системы и примените следствия из теоремы Маркова.
1. а) б)
2. а) б)
3. а) б)
4. а) б)
5. а) б)
а) б)
7. а) б)
8. а) б)
9. а) б)
10. а) б)
17. Практическая работа №17
Тема: Решение задач по теории конечных автоматов. Таблицы
Цель: отработать навыки в решении задач в теории конечных автоматов, используя таблицы.
Материальное обеспечение: практическая работа
Задача. Пусть необходимо синтезировать автомата Мили, заданный совмещенной таблицей переходов и выходов:
xj /ai
a0
a1
a2
x1
a1/y1
a1/y2
a1/y2
x2
a2/y3
a2/y3
a0/y1
В качестве элементарных автоматов будем использовать JK-триггера, а в качестве логических элементов – элементы И, ИЛИ, НЕ.
A = {a0, a1, a2}; X = {x1, x2}; Y = {y1, y2, y3}. Здесь M + 1 = 3; F = 2, G = 3.
1. Перейдем от абстрактного автомата к структурному, для чего определим количество элементов памяти R и число входных L и выходных N каналов:
= 2,
= 1,
=2.
Таким образом необходимо иметь два элементарных автомата Q1 и Q2, один входной канал a и два выходных канала z1 и z2 (каналы a и z называют еще физическими входами и выходами автомата соответственно).
2. Закодируем состояния автомата, входные и выходные сигналы совокупностью двоичных сигналов.
Таблица кодирования состояний автомата
aj
Q1
Q2
a0
0
0
a1
0
1
a2
1
0
Таблица кодирования входных сигналов
xf
O1
x1
0
x2
1
Таблица кодирования выходных сигналов
yg
z1
z2
y1
0
0
y2
0
1
y3
1
0
Поскольку автомат имеет 3 состояния, то комбинация состояний элементарных автоматов 11 не используется и является запрещенной (автомат в это состояние никогда не попадет). Здесь и в дальнейшем будем использовать естественное кодирование, когда наборы значений двоичных переменных расписываются в порядке возрастания их номеров. С учетом кодирования перерисуем совмещенную таблицу переходов и выходов абстрактного автомата.
xj /ai
00
01
10
0
01/00
01/01
01/01
1
10/10
10/10
00/00
3. Построим кодированные таблицы переходов и выходов. Эти таблицы определяют зависимости состояний элементарных автоматов и выходных сигналов в момент времени (t + 1) от значения входного сигнала и внутренних состояний автоматов в предшествующий момент времени t, т.е.:
Кодированная таблица переходов и выходов имеет следующий вид:
t
t + 1
a
O1
Q2
z1
z2
O1
Q2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
-
-
-
-
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
-
-
-
-
18. Практическая работа № 18
Тема: Решение задач по теории конечных автоматов. Графы.
Цель: отработать навыки в решении задач в теории конечных автоматов, используя графы.
Материальное обеспечение: практическая работа
Задание к работе
Задача № 1
Представлен автомат, распознающий конечный язык A={0, 01, 10, 001, 101, 1100}.
Построить диаграмму (граф)
Задача № 2
Построить конечные автоматы, распознающие объединение, пересечение и разность языков, заданных конечными автоматами
Задача № 3
F1={q1}, F2={q3};
F1={q0}, F2={q1, q2};
F1={q0}, F2={q0, q3}.
Задача № 4
Построить конечный автомат, распознающий конкатенацию языков, заданных конечными автоматами, диаграммы которых представлены на рис., в случаях, когда подмножества «хороших» состояний этих автоматов определяются следующим образом:
F1={q1, q2}, F2={q0};
F1={q0}, F2={q3};
F1={q0, q1}, F2={q0}.
Задача № 5
Построить конечный автомат, распознающий итерацию языка, заданного конечным автоматом, диаграмма которого представлена на рис., в случаях, когда подмножество «хороших» состояний этого автомата определяется следующим образом:
F={q1, q2};
F={q0, q4};
F={q3, q4}.
Задача № 6
Построить конечный автомат, распознающий итерацию языка, заданного конечным автоматом, диаграмма которого представлена на рис., в случаях, когда подмножество «хороших» состояний этого автомата определяется следующим образом:
F={q1, q2};
F={q0, q4};
F={q3, q4}.
19. Практическая работа № 19
Тема: Решение задач по теории конечных автоматов. Матрицы переходов.
Цель: отработать навыки в решении задач в теории конечных автоматов, используя графы, матрицы переходы; уметь осуществлять проверку автоматов используя программное обеспечение.
Материальное обеспечение: практическая работа, программное обеспечение.
Задание к работе:
Используя предыдущую практическую работу проверить данные автоматы на программе ПОКАМиМ.
Тема 2.3. Элементы теории вероятностей и очередей. Система сетевого планирования
20. Практическая работа № 20
Тема: Решение задач по комбинаторике.
Цель: овладеть навыками подсчета количества различных комбинаций,
подчиненных тем или иным условиям.
Материальное обеспечение: практическая работа.
Задание к работе:
I тип
Задача 1. В аквариуме 8 рыбок гуппи , 1 петушок и 2 сома. Сколькими
способами можно выловить одну из рыбок?
Задача 2. В коробке 10 конфет с вишневой начинкой и 12 с абрикосовой.
Сколькими способами можно достать одну конфету?
Задача 3. В пенале 3 ручки и 4 карандаша. Сколькими способами можно
достать одну из письменных принадлежностей?
Задача 4. Студент до университета может поехать на одной из трех различных маршрутных такси, или одним из двух троллейбусов, а также он может дойти пешком. Сколькими способами студент может добраться до университета?
Задача 5. В магазине 5 ярких ленточек разного цвета и 6 разноцветных
коробок для тортов. Сколькими способами можно упаковать торт?
Задача 6. В коробке 17 карандашей и 2 фломастера . Сколькими способами
можно составить пару из фломастера и карандаша ?
Задача 7. В упаковке 5 кофейных вафель и 5 шоколадных. Сколькими
способами можно составить пару из разных вафель ?
Задача 8. 15 вопросов из одной темы на экзамене составят первую половину
билета, 16 вопросов из другой темы – вторую. Сколькими способами можно скомпоновать билет?
Задача 9. Сколько существует пятизначных чисел?
Задача 10. Сколько существует трехзначных чисел?
Задача 11. Сколько существует четырехзначных чисел, цифры которых
различны?
Задача 12. Сколько существует трехзначных чисел, цифры которых
различны?
Задача 13. Сколько словарей надо установить в компьютер, чтобы можно
было непосредственно выполнить переводы с любого из 3 языков: русского, английского, немецкого – на любой другой из этих трех языков?
II тип
Задача 14. На раскопках были найдены 5 мумий , лежащих отдельно от 5
саркофагов. Сколькими способами могли быть расположены мумии по
саркофагам?
Задача 15. На столе 6 пронумерованных урн и 6 пронумерованных шаров.
Сколькими способами можно разместить шары по урнам, чтобы в каждой урне было по одному шару?
Задача 16. У продавца имеется 4 букета и оберточная бумага четырех цветов. Сколькими способами можно упаковать букеты так, чтобы все были обернуты в бумагу разных цветов?
Задача 17. У Пети 3 друга и 3 книги, которые он хочет преподнести друзьям в подарок. Сколько вариантов подарков должен рассмотреть Петя?
Задача 18. От пяти платформ необходимо отправить 3 поезда . Сколько
существует вариантов отправки составов?
Задача 19. Доставка груза может быть осуществлена шестью дорогами.
Сколькими способами менеджер может составить маршрут для двух машин, если они должны ехать различными путями?
Задача 20. В аэропорту 6 выходов на посадку. По расписанию назначен
вылет трех самолетов. Сколькими способами можно организовать посадку?
Задача 21. В детском лагере проводится мероприятие, в котором участвуют 4 отряда. Каждый отряд должен прийти к финишу своей дорогой. Всего дорог пять . Сколькими способами можно отправить отряды к финишу?
Задача 22. Зоопарк приобретает трех тигров . В питомнике имеется 6
животных данного вида . Сколькими способами можно осуществить закупку?
Задача 23. Из 12 наименований в магазин необходимо доставить семь.
Сколькими способами можно осуществить выбор наименований?
Задача 24. Из 7 ингредиентов для приготовления супа нужно использовать
пять. Сколько существует способов сварить суп, если вне зависимости от порядка добавления продуктов вкус блюда неизменен?
Задача 25. Из 8 человек, работающих в фирме, каждый день двое должны
отвечать на телефонные звонки. Сколькими способами можно составить
расписание работников фирмы, отвечающих на телефонные звонки клиентов?
Задача 26. В кафе работают 17 сотрудников. Каждый день на работу должны выходить пятеро. Сколькими способами можно составить график работы персонала кафе?
III тип
Задача 27. На участие в четырех конференциях претендует шесть человек. На каждую конференцию может поехать только один человек, уровень конференций разный, поэтому порядок назначения человека на поездку существенен. Сколькими способами можно сформировать список участников конференций, если любой из кандидатов может поехать на несколько конференций?
Задача 28. В метро 6 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 3 человека при условии, что они необязательно должны ехать в разных вагонах?
Задача 29. На кафедре работает 4 профессора . Они должны прочесть 2 лекции, причем один человек может прочитать обе лекции. Порядок прочтения лекций важен. Сколькими способами можно отобрать кандидатов для прочтения лекций?
Задача 30. 7 кандидатов должны заполнить 3 анкеты, причем один человек
может заполнить все 3 анкеты. Порядок заполнения анкет играет важную роль. Сколькими способами можно заполнить анкеты?
Задача 31. В стандартной колоде 36 карт. Из четырех тузов разных мастей
извлекается один, запоминается, затем возвращается обратно. Затем извлекается вторая карта. Сколькими способами можно выбрать таким образом пару тузов?
Задача 32. Из команды девяти человек нужно выбрать участников для четырех забегов, причем каждый из спортсменов может участвовать в
нескольких забегах. Сколько существует способов выбрать участников
соревнований?
Задача 33. На пляже для игры в волейбол из 15 человек нужно отобрать тех, кто будет участвовать в трех таймах, причем один человек может участвовать во всех трех играх. Сколькими способами можно отобрать участников?
Задача 34. На конкурсе парикмахеров 3 номинации. Один мастер может
участвовать во всех трех номинациях. Всего кандидатов на участие в конкурсе 20. Сколькими способами можно выбрать конкурсантов?
21. Практическая работа № 21.1
Решение задач по теории вероятностей. Детерминированные процессы
Цель: изучение методов математического моделирования детерминированных процессов; приобретение умения исследовать процессы на ЭВМ; приобретение навыков оформления результатов исследования на ЭВМ; принципы составления программ для моделирования детерминированных сигналов;
Материальное обеспечение: программа Ms Excel.
Задание к работе:
Построить явным методом заданный сигнал, используя его комплексное представление. Для организации цикла по варьируемому параметру сигнала примениv программу MS Excel.
Задания
I. Сигнал низкой частоты радиомаячной системы посадки ILS имеет вид
U(t) = (1 + 0.5RGM) sin(2(90t) + (1 - 0.5RGM) sin(2(150t) . Построить модель радиосигнала ILS (величину высокой частоты (
·и глубину амплитудной модуляции
·выбрать самостоятельно) для значений варьируемого параметра - разности глубин модуляции - RGM = 0.01, 0.07, 0.155. Моделируемый отрезок времени принять равным двум периодам сигнала частоты 90 Гц.
II. Сигнал низкой частоты радиомаячной дальномерной системы DME имеет вид
,
где Т – длительность импульса колоколообразной формы, измеренная по уровню 0,88. Построить модель радиосигнала DME (величину высокой частоты (
·выбрать самостоятельно) для значений варьируемого параметра - длительности импульса колоколообразной формы - Т = 2, 4, 8 мкс. Моделируемый отрезок времени принять равным двум периодам импульсной последовательности со скважностью 2 (для наибольшей длительности импульса колоколообразной формы, измеренной по уровню 0,1).
III. Сигнал низкой частоты имеет вид треугольного импульса. Построить модель радиосигнала (величину высокой частоты (
·выбрать самостоятельно) для значений варьируемого параметра - длительности импульса - Т = 2, 4, 8 мкс. Моделируемый отрезок времени принять равным двум периодам импульсной последовательности со скважностью 1 при Т=8 мкс.
IV. Сигнал низкой частоты радиомаячной азимутальной системы VOR имеет вид
,
где А – азимут (в радианах); М = 10 – масштабный коэффициент (рекомендуемое для моделирования значение). Построить модель радиосигнала VOR (величину высокой частоты (
· и глубину амплитудной модуляции выбрать самостоятельно) для значений варьируемого параметра – азимута - А = 20, 40, 80 град. Моделируемый отрезок времени принять равным одному периоду сигнала частоты 30 Гц.
V. Сигнал низкой частоты радиомаячной системы посадки СП-50 имеет вид
,
где m = m(() – коэффициент амплитудной модуляции (КАМ), зависящий от углового отклонения самолета (; m 1= 0.4 - глубина амплитудной модуляции ЧМ сигналом; М = 10, М 1 = 1.5 – масштабные коэффициенты (заданы рекомендуемые значения).
Построить модель радиосигнала СП-50 (величину высокой частоты (
·выбрать самостоятельно) для значений варьируемого параметра – КАМ – m = 0.1, 0.2, 0.3. Моделируемый отрезок времени принять равным одному периоду сигнала частоты 60 Гц.
Практическая работа № 21.2
Решение задач по теории вероятностей. Стохастические процессы , кривая Гильберта.
Цель: изучение сложных стохастических моделей, овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в разнообразных приложениях.
Материальное обеспечение: практическая работа, программа Ms Excel.
Задание к работе:
Построить графики функции
В декартовой системе координат
y(x) = (cos0,5x
· cos 200x + |x|0,5
· 0,7)(4
· x2)0,01
Простые формулы в полярных координатах вида, где t изменяется от 0 до 2Пи (с помощью преподавателя)
R(t) = (1 + sin t)(1 + 0,9
· cos 8t)(1 + 0,1
· cos 24t),
R(t) = (1 + sin t)(1
· 0,9
· |sin 4t|)
· (0,9 + 0,05
· cos 200t),
R(t) = (1 + sin t)(1 + 0,9
· cos 8t)(1 + 0,1
· cos 24t) (0,5+0,05
· cos 140t)
22. Практическая работа № 22.1
Тема 1: Решение задач по теории вероятностей. Математическое ожидание.
Цель: научиться вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины.
Материальное обеспечение: практическая работа.
Задание к работе:
Задача 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:
Хi
8
4
6
5
Рi
0,2
0,5
0,2
0,1
Задача 2. Игральная кость брошена два раза. Составить закон распределения случайной величины Х – числа появления двойки. Найти математическое ожидание случайной величины.
Задача 3. Дан закон распределения случайной величины X.
xi
0
1
2
3
pi
0,2
0,3
0,4
0,1
Вычислите математическое ожидание случайной величины.
Задача 4. Случайная величина X задана рядом распределения:
xi
0
1
2
3
4
pi
0,5
0,3
0,15
0,03
0,02
Вычислить математическое ожидание случайной величины.
Задача 5. Используя свойства математического ожидания, доказать, что: а) М(Х Y) = M(X)М (Y); б) математическое ожидание отклонения XM(Х) равно нулю. Задача 6. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x1= 4 С вероятностью р1 = 0,5; xЗ = 6 С вероятностью P2 = 0,3 и x3 с вероятностью р3. Найти: x3 и р3, зная, что М(Х)=8.
Задача 7. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1 = 1, х2 = 0, x3= 1 также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(Х) = 0,1, М(Х^2)=0,9. Найти вероятности p1, p2,p3 соответствующие возможным значениям xi Задача 8. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X числа нестандартных деталей среди двух отобранных. Задача 9. Найти математическое ожидание дискретной слу чайной величины Xчисла таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях по явится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.
Задача 10. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р1=0,3; p2=0,4; p3=0,5; p4=0,6. Найти математическое ожидание.
Практическая работа № 22.2
Решение задач по теории вероятностей. Дисперсия.
Цель: научиться вычислять дисперсию случайной величины.
Материальное обеспечение: практическая работа.
Задание к работе:
Монета подбрасывается 10 раз. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа выпавших при этом гербов.
В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 5 пар обуви. Найти математическое ожидание и дисперсию числа купленных пар обуви, изготовленных первой фабрикой.
Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Найти математическое ожидание и дисперсию числа проверенных деталей, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.
23. Практическая работа № 23
Тема: Решение задач по теории вероятностей. Типовые распределения.
Цель: научиться вычислять типовые распределения в предложенных задачах.
Материальное обеспечение: практическая работа.
Задание к работе:
Задача 1. Подбрасывается монета
а) описать пространство элементарных исходов;
б ) указать невозможное и достоверное события для данного опыта ;
в) найти исходы благоприятствующие появлению события А =
« выпадение орла »;
г ) найти вероятность наступления события А;
д ) найти событие , противоположное событию А и его вероятность.
Задача 2. В мешке 3 геометрические фигуры – куб , тетраэдр , шар. Из мешка
случайным образом извлекается одна фигура
а) описать пространство элементарных исходов;
б ) указать невозможное и достоверное события для данного опыта ;
в) найти исходы благоприятствующие появлению события А =
« извлечение фигуры без углов»;
г ) найти вероятность наступления события А;
д ) найти событие , противоположное событию А и его вероятность.
Задача 3. В лототроне находится 36 шаров. Вслепую извлекается один из
шаров
а) описать пространство элементарных исходов;
б ) указать невозможное и достоверное события для данного опыта ;
в) найти исходы благоприятствующие появлению события А – номер
шара будет кратным 6;
г ) найти вероятность наступления события А;
д ) найти событие , противоположное событию А и его вероятность.
Задача 4. А – выпадение на кубике числа кратного 2, В – выпадение на
кубике числа кратного 3. Найти события А + В и А В .
Задача 5. А – извлечение из урны с 36 занумерованными шарами шара с
номером кратным 5, В – извлечение из урны с 36 занумерованными шарами шара с номером кратным 7. Найти события А + В и А В .
Задача 6. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20.
Какова вероятность того , что число:
кратно 5;
кратно 3;
простое;
составное;
не простое, не составное.
Задача 7. В корзине а белых и b черных шаров. Из этой корзины
вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым . После этого из корзины берут еще один шар. Какова вероятность, что этот шар также белый ?
Задача 8. На книжной полке стоят 17 книг , из них 5 детективов , остальные
учебники, какова вероятность того , что сонный студент наудачу возьмет
учебник ? Детектив ?
Задача 9. В магазин пришло 26 упаковок шампуня . Из них 18 упаковок
шампуня PantineProV, остальные Head&Shoulders. Какова вероятность того , что в случайно взятой коробке окажется PantineProV; Head&Shoulders?
Задача 10. В ящике письменного стола лежат 15 одинаковых ручек, в
четырех из них черный стержень , в 11- ти синий . Какова вероятность того, что стержень синий ? Черный?
24. Практическая работа № 24
Тема: Решение задач по теории вероятностей. Преобразования распределений
Цель: отработать навыки в решении задач по теории вероятности.
Материальное обеспечение: практическая работа.
Задание к работе:
Вариант 1.
Задача 1. Студент выучил 17 экзаменационных билетов, а 8 оставшихся не выучил. Какова вероятность, что студент не получит « двойку » (А), что получит « двойку » (А )?
Задача 2. Вероятность того , что на соревнованиях спортсмен из России придет к финишу первым – 0,39. Вероятность того , что к финишу первым придет спортсмен из Беларуси – 0,41. Какова вероятность того , что к финишу первым придет хотя бы один из этих спортсменов?
Задача 3. В урне находится 17 шаров: 9 белых , остальные – черные. Какова
вероятность того , что первый, извлеченный из урны шар будет белый , а
следующий черный?
Задача 4. Имеется 4 карточки с буквами В, С, А. Я . Какова вероятность того , что студент, извлекая по одной карточке , сможет сложить из них свое имя ? Как зовут студента ?
Задача 5. В лесу водится 500 лосей, 340 медведей и 200 волков . Какое сообщение наиболее информативно, что охотник подстрелил лося , медведя или волка?
Вариант 2.
Задача 1. В ученическом портфеле 5 учебников в синих обложках и 7 в красных . Какова вероятность, что наудачу извлеченный учебник окажется в синей обложке ( А)? В красной ( А )?
Задача 2 К зачету по литературе нужно было прочитать 34 книги . Студентка 12 книг прочла полностью , 11 – наполовину, а остальные не читала вообще. Какова вероятность того , что она не сдаст зачет?
Задача 3 В зоомагазине 12 котят: 2 рыжих , остальные полосатые. Какова
вероятность того , что первым купят полосатого котенка, а следующим
рыжего?
Задача 4 Какова вероятность выпадения ровно двух шестерок при одном бросании 5 костей ?
Задача 5 Из 100 заявлений, поданных о приеме в ЧГПУ , в 37 говорится о факультете информатики , в 34 – о математическом факультете , в остальных – о филологическом факультете . Какое сообщение наиболее информативно, что абитуриент поступил на факультет информатики , филологический, математический факультет?
Вариант 3.
Задача 1 В коробке 6 конфет с вишневой начинкой; 9 с шоколадной. Какова
вероятность того , что наудачу извлеченная из коробки конфета окажется
с вишневой начинкой ( А)? С шоколадной ( А )?
Задача 2 Два работника приходят каждое утро в магазин, чтобы открыть его для покупателей. Первый работник не опоздает к открытию с вероятностью 0,51, второй – с вероятностью 0,38. Какова вероятность того , что магазин откроется вовремя ?
Задача 3 Студенту на контрольной работе предложили 8 конвертов с заданиями . Из них 6 конвертов содержат простые задания, остальные – сложные . Какова вероятность того , что, случайным образом выбирая конверты, студент сначала возьмет конверт с простым , а затем со сложным
заданием ?
Задача 4 Имеется 2 карточки с буквой К, 2 карточки с буквой А и одна карточка с буквой З . Какова вероятность случайным образом составить из этих карточек слово КАЗАК?
Задача 5 Определить количество информации в слове КОНФЕТТИ, если по
данным словаря русского языка частота появления символа : Н – 0,053; Ф
– 0,002; К – 0,028; Т – 0,053; О – 0,09; И – 0,062; Е – 0,072.
25. Практическая работа № 25
Тема: Решение задач по теории очередей.
Цель: отработать навыки в решение задач по теории очередей; приобретение навыков построения математической модели и определения характеристик системы массового обслуживания.
Материальное обеспечение: практическая работа, программное обеспечение.
Задание к работе:
Задача №1. На станции работает несколько касс по продаже жетонов. Среднее время обслуживания составляет 1 минуту, а интенсивность потока заявок на обслуживание равна 3 (чел в минуту). Определить среднюю длину очереди для семи работающих касс и время пребывания в очереди.
Задача №2. В мастерской работает 5 мастеров. Клиенты приходят на обслуживание в среднем каждые 20 минут, время обслуживания 1 клиента составляет 1,5 часа. Определить среднее число клиентов в системе и среднюю длину очереди.
Задача №3. АТС имеет 6 линий связи. Поток заявок имеет интенсивность 1 вызов минуту, а время каждого разговора составляет в среднем 3 минуты. Определить вероятность отказа и вероятность того, что ни одна линия связи не будет занята.
Задача №4. АТС имеет 5 линий связи. Поток заявок имеет интенсивность 2 вызова в минуту, а время каждого разговора составляет в среднем 3 минуты. Определить вероятность отказа и вероятность того, что ни одна линия связи не будет занята.
Задача №5. На станции работает несколько касс по продаже жетонов. Среднее время обслуживания составляет 0.5 минуты, а интенсивность потока заявок на обслуживание равна 8 (чел. в минуту). Определить среднюю длину очереди для 5 работающих касс.
Задача №6. В мастерской работает 8 мастеров. Клиенты приходят на обслуживание в среднем каждые 10 минут, время обслуживания 1 клиента составляет 1 час. Определить среднее число свободных мастеров и среднюю длину очереди.
Задача №7. На станции работает несколько касс по продаже жетонов. Среднее время обслуживания составляет 2 минуту, а интенсивность потока заявок на обслуживание равна 2 (чел в минуту). Определить среднюю длину очереди для шести работающих касс и время пребывания в очереди.
Задача №8. СМО имеет 6 обслуживающих каналов. Поток заявок, поступающих на обслуживание, имеет интенсивность 0,1 (заявок в мин.). Время обслуживания составляет в среднем 20 минут. Вычислить вероятности состояний системы среднее время пребывания заявки в очереди.
Задача №9. СМО имеет 5 обслуживающих каналов. Время поступления заявок составляет 5 минут. Время обслуживания составляет в среднем 20 минут. Вычислить вероятности состояний системы среднее время пребывания заявки в очереди.
Задача №10. Два мастера обслуживают 10 устройств, требующих постоянной регулировки. Среднее время, необходимое для регулировки 1-го устройства одним мастером составляет 2 часа, а интенсивность потока заявок на обслуживание устройств 0,2. Определить среднюю длину очереди и вероятность отказа.
Задача №11. В автопарке работает 8 грузовых машин и 1 площадка для их ремонта. Интенсивность ремонта составляет 0,2 , а интенсивность потока заявок на ремонт машин равна 0,01. Определить вероятность простоя площадки и вероятность отказа.
Задача №12. Три крана загружают 6 машин. Интенсивность погрузки машины краном составляет 20 погрузок в час, а время поступления машин на погрузку равна 0,05 часа. Определить среднюю длину очереди и вероятность отказа.
Задача №13. Два мастера обслуживают 8 устройств, требующих постоянной регулировки. Среднее время, необходимое для регулировки 1-го устройства одним мастером составляет 1 час, а среднее время поступления заявок составляет 4 часа. Определить среднее время пребывания заявки в очереди и вероятность отказа.
Задача №14. В автопарке работает 10 грузовых машин и 3 площадки для их ремонта. Среднее время ремонта равно 3 часа, а интервал поступления заявок на ремонт машин равно 9 часов. Определить вероятность простоя площадки и вероятность отказа.
Задача №15. Два крана загружают 9 машин. Интенсивность погрузки машины краном составляет 8 погрузок в час, а время поступления машин на погрузку равна 0,5 часа. Определить среднее число машин в очереди и вероятность отказа.
Задача №16. Два мастера обслуживают 8 устройств, требующих постоянной регулировки. Среднее время, необходимое для регулировки 1-го устройства одним мастером составляет 1 час, а среднее время поступления заявок составляет 4 часа. Определить среднее время пребывания заявки в очереди и вероятность отказа.
Задача №17. Три мастера обслуживают 8 устройств. Среднее время обслуживания равно 2 часа, а интервал поступления заявок на ремонт машин равно 5 часов. Определить вероятности всех состояний системы.
Задача №18. Два крана загружают 8 машин. Интенсивность погрузки машины краном составляет 6 погрузок в час, а время поступления машин на погрузку равна 0,5 часа. Определить вероятности всех состояний системы.
Задача №19. На станции работает 3 кассы по продаже жетонов. Среднее время обслуживания составляет 1 минуту, а интенсивность потока заявок на обслуживание равна 4 (чел в минуту). Определить среднюю длину очереди и время пребывания в очереди и вероятности всех состояний системы.
Задача №20. СМО имеет 5 обслуживающих каналов. Поток заявок, поступающих на обслуживание, имеет интенсивность 0,2. Время обслуживания составляет в среднем 10 минут. Вычислить вероятности 10-и состояний системы и среднее время пребывания заявки в очереди.
26. Практическая работа № 26
Тема: Решение задач сетевого планирования. Задачи оптимизации.
Цель: научиться решать задачи оптимизации.
Материальное обеспечение: практическая работа, программа Ms Excel.
Задание к работе:
Трикотажная фабрика предполагает предложить потребителям полотна 150 и 90 артикулов. Требуется определить ассортимент указанных тканей, позволяющий фабрике получить максимальную прибыль на имеющемся оборудовании (машины Текстима и Кокетт). При этом следует определить какие артикулы трикотажного полотна и в каких объемах нужно выпускать на каждой из машин. Исходные данные приведены в таблицах 3, 4.
Таблица 3 – Исходные данные для решения задания 3
Артикулы
полотна
Величина прибыли в тыс. руб. при
выработке 1 т полотна на машине
Фактическая производительность
в кг/час машины
текстима
кокетт
текстима
кокетт
150
13,40
13,46
2,42
3,76
90
7,06
7,17
4,08
7,66
Таблица 4 – Исходные данные для решения задания 3
Машины
Фонд машинного времени, маш/час
ВАРИАНТЫ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Текстима
9305
8405
7405
8608
9806
9204
8235
8505
9204
8808
8000
Кокетт
6534
5545
4505
5642
6845
6756
5835
5448
6608
5845
6200
Продолжение таблицы 4
Машины
Фонд машинного времени, маш/час
ВАРИАНТЫ
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Текстима
8350
7850
7500
8120
8240
8340
9000
9500
8400
8208
Кокетт
5850
5500
6500
6240
5600
5340
6600
6500
6400
5643
27. Самостоятельная работа №1
Системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую. Выполнение сложения в разных системах счисления.
Цель: знакомство с различными системами счисления, отработать навыки в переводе чисел из одной системы счисления в другую, освоить сложение чисел в разных системах счисления.
Материальное обеспечение: практическая работа, программное обеспечение для вычисления чисел в разных системах счисления.
Задание к работе:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести подбором коэффициентов многочлена.
2. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести подбором коэффициентов многочлена.
3. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести делением на основание.
4. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести делением на основание.
5. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести делением на основание.
6. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести делением на основание.
7. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести умножением на основание. Точность 6 знаков после запятой.
8. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести умножением на основание. Точность 5 знаков после запятой.
9. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести умножением на основание. Точность 4 знака после запятой.
10. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести умножением на основание. Точность 7 знаков после запятой.
11. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести делением и умножением на основание. Точность 5 знаков после запятой.
12. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести делением и умножением на основание. Точность 4 знака после запятой.
13. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести с использованием промежуточной системы счисления.
14. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести с использованием промежуточной системы счисления.
15. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести с использованием промежуточной системы счисления.
16. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести с использованием промежуточной системы счисления.
17. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести с использованием промежуточной системы счисления.
18. 13 EMBED Equation.3 1415 Перевести с использованием промежуточной системы счисления.
28. Самостоятельная работа №2
Представление двоичных чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах.
Цель: знакомство с двоичными числами (прямом, обратном и дополнительном коде)
Материальное обеспечение: практическая работа, программное обеспечение двоичного числа.
Задание к работе:
Выполнить алгебраическое сложение в двоичной системе счисления. Результат представить в 10 с/с. Разрядная сетка 8 бит. Указать на переполнение разрядной сетки, если есть.
9-2
Обратный код
-20-19
Обратный код
-120-15
Обратный код
2-9
Дополнительный код
50-25
Дополнительный код
-126-1
Дополнительный код
-5-7
Обратный код
127-1
Обратный код
-101+43
Обратный код
-4-10
Дополнительный код
-75-12
Дополнительный код
-73+45
Дополнительный код
Выполнить арифметическое и алгебраическое сложение в коде прямого замещения (8421) и коде 8421 с избытком 3
операнды представлять в дополнительном коде
операнды представлять в обратном коде
-60-678 операнды представлять в дополнительном коде
6754+1234 операнды представлять в дополнительном коде
9876+4656 операнды представлять в обратном коде
-28-27 операнды представлять в обратном коде
29. Самостоятельная работа №3
Представление чисел в форме с плавающей запятой. Сложение чисел с плавающей точкой (запятой).
Цель: научиться выполнять сложения чисел с плавающей запятой.
Материальное обеспечение: практическая работа, программное обеспечение для вычисления чисел с плавающей точкой.
Задание к работе:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 в обратном коде, m=8 разрядов, p=4 разряда.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 в дополнительном коде, m=8 разрядов, p=4 разряда.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 в обратном коде, m=8 разрядов, p=4 разряда.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 в дополнительном, m=8 разрядов, p=4 разряда.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 в дополнительном коде, m=8 разрядов, p=4 разряда.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 m=8 разрядов, p=4 разряда.
30. Самостоятельная работа № 4
Синтез автоматов по дереву управления
Цель: изучить синтез автоматов по дереву управления.
Задачи: использования специального программного обеспечения для моделирования; построение адекватной модели.
Задание к работе:
Записать и проработать решения примеров 1-6:
Пример 1. Записать событие, состоящее из всех слов алфавита 13 EMBED Equation.3 1415, которые начинаются буквой 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, а заканчиваются отрезком
Решение: используя п.п. 11, 1, 4 получим
Пример 2. Составить регулярные выражения для автомата А, сравнивающего два двоичных числа. Количество разрядов в числах произвольно. Окончание чисел фиксируется буквой . Сравниваемые числа имеют одинаковое количество разрядов. Числа подаются на вход начиная с младших разрядов.
Если 1-е число < 2-го, то А выдает сигнал y1, 13 EMBED Equation.3 1415
Если 1-е число > 2-го, то А выдает сигнал y2, 13 EMBED Equation.3 1415
Если 1-е число = 2-e, то А выдает сигнал y3,
Решение: На вход поступают пары двоичных цифр 00, 01, 10, 11. Первая цифра относится к 1-му числу, вторая – ко 2-му. Эти комбинации можно закодировать как , тогда входным алфавитом будет 13 EMBED Equation.3 1415
Регулярные выражения будут описывать все условия "если".
1.) Событие, которое отражает равенство входных цифр, а также и чисел – сигнал y3, , и по условию должно заканчиваться буквой 13 EMBED Equation.3 1415.
2.) Событие для сингала y1, 13 EMBED Equation.3 1415 будет содержать все слова, в которых после произвольной комбинации букв обязательно следует буква , т.е. . После сигнала/буквы 13 EMBED Equation.3 1415 на вход автомата могут поступать только одинаковые комбинации, т.е. или 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Окончание сравниваемых чисел обозначается буквой 13 EMBED Equation.3 1415.
При объединении данных рассуждений в единое регулярное выражение, получим:
3.) Рассуждения для записи события, соответствующего сигналу y2, 13 EMBED Equation.3 1415 аналогичны п.2.
13 EMBED Equation.3 1415
Для проверки сравним числа 13 EMBED Equation.3 1415
Получено следующее выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
До 7 разряда следует произвольная комбинация букв , т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, в 7 разряде находится буква 13 EMBED Equation.3 1415, а затем следуют токо одинаковые комбинации, т.е. буквы или 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом получаем, что первое число меньше второго, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. Составить регулярные выражения для автомата, выполняющего функции дешифратора. На вход дешифратора поступают 3-х разрядные двоичные числа. После подачи цифры старшего разряда дешифратор выдает один из сигналов 13 EMBED Equation.3 1415, в зависимости от того, какое из чисел 13 EMBED Equation.3 1415 поступило на вход дешифратора.
Решение: Цифры 0 и 1 3-х разрядных двоичных чисел поступают на вход последовательно, пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - соответствует поступлению на вход 0, 13 EMBED Equation.3 1415 - поступление 1, поэтому входной алфавит 13 EMBED Equation.3 1415. Использование 0 и 1 во входном алфавите для последующей записи регулярных выражений может привести к путанице и сокращению булевых выражений, что делать в данном случае нельзя, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
До подачи на вход автомата какого-либо 3-разрядного числа, могли поступать другие 3-х разрядные числа, таким образом 13 EMBED Equation.3 1415 - событие, описывающее, что было до поступления на вход автомата конкретной комбинации, т.е. могла прийти любая 3х-буквенная комбинация.
Когда поступила конкретная комбинация, РВ будут иметь вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Составить регулярные выражения для следующего автомата А. На вход А поступают 4х-разрядные двоичные числа – тетрады. Тетрады являются правильными, если они меньше 10, остальные – неправильные. При поступлении на вход автомата любой правильной тетрады на выходе формируется сигнал 13 EMBED Equation.3 1415, при поступлении любой неправильной – сигнал 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Цифры 0 и 1 двоичных тетрад поступают на вход последовательно, пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - соответствует поступлению на вход 0, 13 EMBED Equation.3 1415 - поступление 1, поэтому входной алфавит 13 EMBED Equation.3 1415.
Событие R1 – содержит все слова, соответствующие неправильным тетрадам, а R2 – событие, содержащее слова, соответствующие правильным тетрадам.
13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично записывается РВ для R2 .
Пример 5. Построить автомат для выдачи магнитной карты в метро. Автомат принимает монеты достоинством 1 или 2 руб., карта стоит 4руб.
Решение: Входной алфавит X={1, 2} – в соответствии с монетами, которые может принимать автомат. Выходной алфавит – 1- выдача карты, 0 – отказ/ожидание, с – сброс/возврат денег, Y={1, 0, c}.
РВ, соответствующее выдаче карты – перебор комбинаций монет 1 и 2, чтобы получить требуемую сумму 4руб. в т.ч. без сдачи - 13 EMBED Equation.3 1415
РВ, описывающее сброс монет при неверной сумме – 13 EMBED Equation.3 1415
РВ при отказе – 13 EMBED Equation.3 1415
Граф автомата, построенный по приведенным РВ.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Отмеченная таблица переходов
0
0
0
0
1
с
S1
S2
S3
S4
S5
S6
1
S2
S3
S4
S5
S2
S2
2
S3
S4
S5
S6
S3
S3
S1
S2
S3
S4
S5
S6
1
S2
0
S3
0
S4
0
S5
1
S2
0
S2
0
2
S3
0
S4
0
S5
1
S6
c
S3
0
S3
0
S1
S2
S3
S4
1
S2
0
S3
0
S4
0
S1
1
2
S3
0
S4
0
S1
1
S1
c
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Пример 6. Синтезировать автомат по продаже билетов стоимостью 5руб. Автомат может принимать монеты 1,2,5 руб.
Решение: Входной алфавит X={1, 2, 5} – в соответствии с монетами, которые может принимать автомат. Выходной алфавит – 1- выдача билета, 0 – отказ/ожидание, с – сброс/возврат денег, если введена неверная сумма (>5руб.), Y={1, 0, c}.
1) РВ, соответствующее выдаче билета – перебор комбинаций монет 1, 2, 5 чтобы получить требуемую сумму 5руб. без сдачи
2) РВ, соответствующее ожиданию – не вся сумма введена
3) РВ при Вводе неверной суммы – перебор возможных комбинаций.
31. Самостоятельная работа № 5
Решение задач сетевого планирования. Построения сетевых моделей. Диаграмма Ганта.
Цель: научиться решать задачи сетевого планирования и строить диаграммы Ганта.
Материальное обеспечение: практическая работа, программа Ms Excel.
Задание к работе:
Изучить понятие «Диаграмма Ганта».
Изучить возможности работы электронных таблиц MS Excel 2007 по построению диаграмм.
Создать таблицу проекта «PR-акция». В таблице указать дату начала и дату окончания каждого этапа проекта
В созданной таблице вычислить длительность каждого этапа проекта с помощью функции ДНЕЙ360.
Проект «PR-акция»
Дата начала
Дата окончания
Длительность
Задача 1. ХХХ
01.09.2010
30.10.2010
Задача 2. ХХХ
Задача 3. ХХХ
4. Создать линейчатую диаграмму с накоплением.
5. Настроить параметры диаграммы так, чтобы она приняла вид диаграммы Ганта (рисунок).
32. Самостоятельная работа № 6
Решение задач сетевого планирования. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Цель: выполнять имитационное моделирование стохастических процессов методом статистических испытаний (Монте-Карло).
Материальное обеспечение: практическая работа, программа Ms Excel.
Задание к работе:
1. Ознакомьтесь с постановкой задачи.
2. Выберите условие задачи в соответствии с номером варианта из таблицы.
3. Заполните расчетную таблицу MS Excel по аналогии с примером выполнения для задания 1.
Варианты заданий
№ варианта
Вид схемы соединения приборов в системе контроля качества продукции
Значение
P1
Точное значение вероятности P отказа системы (используется для контроля правильности расчетов)
1, 19
0.1
0.109
2, 20
0.2
0.232
3, 21
0.3
0.363
4
0.3
0.027
5
0.4
0.064
6
0.5
0.125
7, 22
0.3
0.1719
8, 23
0.2
0.0719
9, 24
0.4
0.2944
10, 25
0.4
0.4384
11, 26
0.3
0.3189
12, 27
0.2
0.2064
7, 22
0.3
0.1719
8, 23
0.2
0.0719
9, 24
0.4
0.2944
10, 25
0.4
0.4384
11, 26
0.3
0.3189
12, 27
0.2
0.2064
33. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ВАРИАНТ 1
1.Изобразите графически: а) неориентированный граф G(V,E), заданный множеством V={v0, v1, v2, v3, v4, v5} E(v0)={v1,v2}={v0,v2,v4}; E(v1)={v0,v2,v4}; E(v2)={v0,v1,v5}; E(v3)={v4}; E(v5)={v2};
б) G(V,E) - орграф.
V={1,2,3,4}, E={(1, 2), (4, 3), (3, 4), (3, 1), (4, 1)}.
2. Найдите эйлеров цикл в эйлеровом графе
3. В государстве 100 городов. Из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?
4. Дан взвешенный связный неориентированный граф, состоя щий из пяти вершин. Необходимо найти остов минимального веса с помощью ал горитма Краскала.
5. Для графа заданного матрицей смежности
а) найти матрицу инцидентности
б) построить граф
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
3
1
1
1
1
1
3
1
1
3
1
1
4
1
1
1
4
1
4
1
5
1
1
5
1
5
1
6
1
1
1
1
1
6
6
6. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?
ВАРИАНТ 2
1. Изобразите графически: а) неориентированный и ориентированный мультиграф; б) G(V,E) – орграф: V={1,2,3,4,5}, E={(1, 2), (4, 3), (3, 5), (5, 1), (4, 1)}.
2. Найдите цикл, содержащий все вершины додекаэдра, причём в точности по одному разу каждую.
3. Между девятью планетами Cолнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля Меркурий, Плутон Венера, Земля Плутон, Плутон Меркурий, Меркурий Венера, Уран Нептун, Нептун Сатурн, Сатурн Юпитер, Юпитер Марс и Марс Уран. По каждому маршруту ракеты летают в обе стороны. Можно ли долететь на рейсовых ракетах от Земли до Марса?
4. Дан взвешенный, связный, неориентированный граф, состоя щий из девяти вершин. Необходимо найти остов минимального веса с помощью ал горитма Краскала. Исходный граф на рисунке.
5. Для графа заданного матрицей смежности
а) найти матрицу инцидентности
б) построить граф
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
3
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
1
4
1
4
1
1
4
1
1
1
5
1
5
1
5
1
1
1
1
1
6
6
6
1
1
1
6. На рисунке схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?
7. Эталоны ответов
7.1 Теоретические задания (ТЗ)
Граф – это система, которая интуитивно может быть рассмотрена как множество кружков и множество соединяющих их линий (геометрический способ задания графа – см. рисунок 1). Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – рёбрами.
Граф, в котором направление линий не выделяется (все линии являются ребрами), называется неориентированным; граф, в котором направление линий принципиально (линии являются дугами) называется ориентированным.
Теория графов может рассматриваться как раздел дискретной математики (точнее – теории множеств), и тогда определение графа таково:
Граф – это конечное множество Х, состоящее из n элементов 13 EMBED Equation.3 1415 называемых вершинами графа, и подмножество V декартова произведения 13 EMBED Equation.3 1415 называемое множеством дуг.
Ориентированным графом G (орграфом) называется совокупность (Х, V).
Неориентированным графом называется совокупность множеств Х и множества неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству Х.
Дугу между вершинами i и j, 13 EMBED Equation.3 1415 будем обозначать (i, j). Число дуг графа будем обозначать 13 EMBED Equation.3 1415
Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми рёбрами (дугами), соединяющими вершины из этого множества. Если в графе удалить часть рёбер (дуг), то получим частичный граф.
Две вершины называются смежными, если они соединены ребром (дугой). Смежные вершины называются граничными вершинами соответствующего ребра (дуги), а это ребро (дуга) - инцидентным соответствующим вершинам.
Граф называется полным, если каждые две вершины его соединены одним и только одним ребром.
Граф, для которого из 13 EMBED Equation.3 1415 следует 13 EMBED Equation.3 1415 называется симметричным. Если из 13 EMBED Equation.3 1415 следует 13 EMBED Equation.3 1415, то соответствующий граф называется антисимметричным.
Язык графов оказывается удобным для описания многих физических, технических, экономических, биологических, социальных и других систем.
Вершины в графе могут отличаться друг от друга тем, скольким рёбрам они принадлежат.
Степень вершины называется число рёбер графа, которым принадлежит эта вершина. Степень графа ещё называют его валентностью и обозначают 13 EMBED Equation.3 1415. Вершина графа, для которой 13 EMBED Equation.3 1415 является изолированной, для которой 13 EMBED Equation.3 1415висячей.
Вершина называется нечётной, если 13 EMBED Equation.3 1415 нечётное число. Вершина называется чётной, если 13 EMBED Equation.3 1415чётное число. Степень каждой вершины полного графа на единицу меньше числа его вершин.
В графе 13 EMBED Equation.3 1415сумма степеней всех его вершин – число чётное, равное удвоенному числу рёбер графа. Число нечётных вершин любого графа чётно. Во всяком графе с n вершинами, где 13 EMBED Equation.3 1415всегда найдутся, по меньшей мере, две вершины с одинаковыми степенями.
Если в графе с n вершинами 13 EMBED Equation.3 1415 в точности две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдётся либо в точности одна вершина степени 0, либо в точности одна вершина степени 13 EMBED Equation.3 1415
Маршруты, цепи, циклы
Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и рёбер, в которой любые два соседних элемента инцидентны: 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то маршрут замкнут, в противном случае открыт.
Путём называется последовательность дуг (в ориентированном графе), такая, что конец одной дуги является началом другой дуги.
Простой путь – путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды.
Контур – путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной вершиной.
Длиной пути (контура) называется число дуг пути (или сумма длин его дуг, если последние заданы).
Цепью называется множество рёбер (в неориентированном графе), которые можно расположить так, что конец (в этом расположении) одного ребра является началом другого. Другое определение: цепь – последовательность смежных вершин. Замкнутая цепь называется циклом. Можно определить простые и элементарные цепи.
Элементарная цепь (цикл, путь, контур), проходящая через все вершины графа называется гамильтоновой цепью.
Простая цепь (цикл, путь, контур), содержащая все рёбра (дуги) графа называется эйлеровой цепью.
Если любые две вершины графа можно соединить цепью, то граф называется связным. Если граф не является связным, то его можно разбить на связные подграфы, называемые компонентами.
Связностью графа называется минимальное число рёбер, после удаления которых граф становится несвязным.
Ориентированные графы
Если элементы множества Е графа 13 EMBED Equation.3 1415упорядоченные пары, то граф называется ориентированным или орграфом.
Ребро 13 EMBED Equation.3 1415 графа G называется ориентированным, если одну вершину считают началом ребра, а другую – концом, на рисунке его изображают стрелкой между вершинами. Таким образом, граф, все рёбра которого ориентированы, называется ориентированным графом.
Одна и та же вершина ориентированного графа может служить началом для одних рёбер и концом для других, поэтому различают две степени вершины: степень выхода и степень входа.
Степенью выхода вершины орграфа называется число выходящих из вершины рёбер.
Степенью входа вершины орграфа называется число входящих в вершину рёбер.
В орграфах в зависимости от сочетаний степеней входа и выхода для данной вершины рассматривается три случая.
Изолированной вершиной называется вершина, у которой и степень входа и степень выхода равна 0.
Источником называется вершина, степень выхода которой положительна, а степень входа равна 0.
Стоком называется вершина, степень входа которой положительна, а степень выхода равна 0.
Путём в ориентированном графе называется последовательность ориентированных рёбер, т. е. для орграфов цепь называется путём.
Простым путём в ориентированном графе называется путь, в котором ни одна вершина не содержится более одного раза.
Замкнутый путь в ориентированном графе называется ориентированным циклом или контуром.
Длиной пути называется число рёбер в этом пути.
Полным ориентированным графом называется граф, каждая пара вершин которого соединена в точности одним ориентированным ребром.
Всякий полный ориентированный граф с n вершинами имеет простой ориентированный путь, проходящий через все вершины графа.
Петлёй называется ребро, у которого начальная и конечная вершины совпадают. Петля обычно считается неориентированной.
Мультиграфом называется граф, в котором пара вершин соединяется несколькими различными рёбрами. Для ориентированного мультиграфа вершины 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 могут соединяться несколькими рёбрами в каждом из направлений.
Изоморфизм графов
Два графа 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются изоморфными, если между множествами их вершин существует биективное (взаимнооднозначное) соответствие, такое, что вершины соединены рёбрами в одном из графов в том и только в том случае, когда соответствующие им вершины соединены в другом графе. Если рёбра ориентированы, то их направление в изоморфных графах должно совпадать. Изоморфизм графов есть отношение эквивалентности, так как обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Для того чтобы граф 13 EMBED Equation.3 1415 был изоморфен графу 13 EMBED Equation.3 1415 необходимо и достаточно существования такой подстановки, которая бы установила взаимнооднозначное соответствие между вершинами графа, а также между их рёбрами.
При замене графа любым ему изоморфным все свойства графа сохраняются. Строго говоря, графы отличающиеся только нумерацией вершин, являются изоморфными.
Алгоритм распознания изоморфизма двух графов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
1. Подсчитаем число вершин каждого графа (число вершин должно совпадать, в противном случае графы неизоморфные).
2. Выписываем все элементы обоих графов в естественной упорядоченности и определяем пары 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 для каждого элемента, где 13 EMBED Equation.3 1415 число исходов для каждой вершины графов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415 число заходов для соответствующих графов.
3. Для каждого элемента х графа 13 EMBED Equation.3 1415 ищем такой элемент у графа 13 EMBED Equation.3 1415 что выполняется условие: число исходов х совпадает с числом исходов у, и число заходов х совпадает с числом заходов у. Найденные элементы х и у соединяем ребром, т. е. строим граф соответствия (если соответствия нет, то графы не изоморфны).
4. Выписываем подстановку, которая переводит граф 13 EMBED Equation.3 1415 в граф 13 EMBED Equation.3 1415.
Плоские графы
Граф 13 EMBED Equation.3 1415 называется плоским, если на плоскости его можно изобразить так, что все пересечения его рёбер являются вершинами графа 13 EMBED Equation.3 1415.
В качестве характеристики плоского представления графа вводится понятие грани.
Гранью в плоском представлении графа называется часть плоскости, ограниченная простым циклом и не содержащая внутри других циклов.
Операции над графами
Рассмотрим графы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
а) Дополнением графа 13 EMBED Equation.3 1415 называется граф 13 EMBED Equation.3 1415 множеством вершин которого является множество 13 EMBED Equation.3 1415 а множеством его рёбер является множество 13 EMBED Equation.3 1415
б) Объединением графов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при условии, что 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 называется граф 13 EMBED Equation.3 1415 множеством вершин которого является множество 13 EMBED Equation.3 1415 а множеством его рёбер является множество 13 EMBED Equation.3 1415
в) Пересечением графов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется граф 13 EMBED Equation.3 1415 множеством вершин которого является множество 13 EMBED Equation.3 1415 а множеством его рёбер является множество 13 EMBED Equation.3 1415
г) Суммой по модулю два графов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при условии, что 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415называется граф 13 EMBED Equation.3 1415 множеством вершин которого является множество 13 EMBED Equation.3 1415 а множеством его рёбер – множество 13 EMBED Equation.3 1415 Т. е. этот граф не имеет изолированных вершин и состоит только из рёбер, присутствующих либо в первом графе, либо во втором графе, но не в обоих графах одновременно.
Способы задания графов
Существуют три эквивалентных способа задания графов: аналитический, геометрический и матричный. Рассмотрим каждый из них.
Аналитический способ задания графов
Граф 13 EMBED Equation.3 1415 задан, если задано множество элементов V и отображение E множеств V в V. Отображение Е может быть как однозначным, так и многозначным.
Пусть дано множество 13 EMBED Equation.3 1415 которое имеет мощность 13 EMBED Equation.3 1415
Для того чтобы задать отображение Е на V , необходимо каждому элементу 13 EMBED Equation.3 1415 поставить в соответствие некоторое подмножество множества V, которому соответствует отображение Е. Это подмножество обозначают через 13 EMBED Equation.3 1415 Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 Совокупность двух объектов: множества V и отображение Е на V задаёт некоторый граф.
Другой формой аналитического способа задания является задание графа как совокупности множества элементов V и подмножества множества упорядоченных пар 13 EMBED Equation.3 1415
Геометрический способ задания графов
Множество элементов V графа G изображают кружками, это множество вершин. Каждую вершину 13 EMBED Equation.3 1415 соединяют линиями с теми вершинами 13 EMBED Equation.3 1415, для которых выполняется условие 13 EMBED Equation.3 1415 Множество линий, которое соответствует множеству упорядоченных пар 13 EMBED Equation.3 1415 есть множество рёбер.
Матричный способ задания графов
Квадратная матрица 13 EMBED Equation.3 1415 элементами которой являются нули и единицы, а также некоторое число m, называется матрицей смежности графа 13 EMBED Equation.3 1415 тогда и только тогда, когда её элементы образуются по следующему правилу: элемент 13 EMBED Equation.3 1415 стоящий на пересечении 13 EMBED Equation.3 1415 й строки и 13 EMBED Equation.3 1415го столбца, равен единице, если имеется ребро, идущее из вершины 13 EMBED Equation.3 1415 в вершину 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равен нулю в противном случае. Элемент 13 EMBED Equation.3 1415 равен единице, если при вершине 13 EMBED Equation.3 1415 имеется петля, и равен нулю в противном случае. Элемент 13 EMBED Equation.3 1415 равен некоторому числу m, где m – число рёбер графа, идущее из вершины 13 EMBED Equation.3 1415 в вершину 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, если граф 13 EMBED Equation.3 1415 задан одним из указанных способов: аналитическим, геометрическим или матричным, всегда можно перейти к любому другому способу задания. Наиболее часто для задания графа используется аналитический и матричный способы, а геометрический способ служит для иллюстрации полученных результатов.
Эйлеровы графы
К задачам на Эйлеровы графы относятся головоломки, в которых требуется вычертить на плоскости одним росчерком замкнутые кривые, обводя каждый участок в точности один раз. Введём следующие понятия.
Эйлеровым путём в графе называется путь, содержащий все рёбра графа.
Эйлеровым циклом или эйлеровой цепью называется цикл, содержащий все рёбра графа и притом по одному разу.
Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом.
Замкнутую линию, если её можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, проходя при этом каждый участок в точности один раз, принято называть уникурсальной.
Рисунок графа, обладающий эйлеровым путём или эйлеровым циклом, является уникурсальной линией.
Докажем следующие две теоремы
Теорема 1. Если граф 13 EMBED Equation.3 1415 обладает эйлеровым циклом, то он связный и все его вершины четные.
Доказательство. Связность графа следует из определения эйлерова цикла. Эйлеров цикл содержит каждое ребро и притом только один раз, поэтому, сколько раз эйлеров путь приведет конец карандаша в вершину, столько и выведет, причём уже по одному ребру. Следовательно, степень каждой вершины графа должна состоять из двух одинаковых слагаемых: одно – результат подсчета входов в вершину, другое – выходов.
Теорема 2. Если граф 13 EMBED Equation.3 1415 связный и все его вершины четные, то он обладает эйлеровым циклом.
Доказательство. Если начать путь из произвольной вершины графа 13 EMBED Equation.3 1415, то найдётся цикл, содержащий все рёбра графа. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- произвольная вершина. Из 13 EMBED Equation.3 1415 начнём путь по l по одному из рёбер и продолжим его, проходя каждый раз по новому ребру. Все вершины графа имеют чётные степени, поэтому если l есть «выход» из 13 EMBED Equation.3 1415, то должен быть и «вход» в 13 EMBED Equation.3 1415, также как и для любой вершины другой вершины. И если есть «вход» в вершину, то должен быть и «выход». Так как число ребер конечно, то это путь должен окончиться, причём в вершине 13 EMBED Equation.3 1415. Если путь, замкнувшийся в 13 EMBED Equation.3 1415, проходит через все рёбра графа, то мы получим искомый эйлеров цикл.
Для построения эйлерова цикла в связном графе со всеми вершинами чётной степени применяется следующий алгоритм:
1. Выйти из произвольной вершины 13 EMBED Equation.3 1415. Каждое пройденное ребро зачеркнуть. Если путь 13 EMBED Equation.3 1415 замыкается в 13 EMBED Equation.3 1415 и проходит через все рёбра графа, то получим искомый эйлеров цикл.
2. Если остались непройденные рёбра, то должна существовать вершина 13 EMBED Equation.3 1415 принадлежащая 13 EMBED Equation.3 1415 и ребру, не вошедшему в 13 EMBED Equation.3 1415
3. Так как 13 EMBED Equation.3 1415чётная, то число рёбер, которым принадлежит 13 EMBED Equation.3 1415и которые не вошли в путь 13 EMBED Equation.3 1415 тоже чётно. Начнём новый путь 13 EMBED Equation.3 1415 из 13 EMBED Equation.3 1415 и используем только рёбра, не принадлежащие 13 EMBED Equation.3 1415 Этот путь кончится в 13 EMBED Equation.3 1415
4. Объединим теперь оба цикла: из 13 EMBED Equation.3 1415 пройдём по пути 13 EMBED Equation.3 1415к 13 EMBED Equation.3 1415 затем по 13 EMBED Equation.3 1415 и, вернувшись в 13 EMBED Equation.3 1415 пройдём по оставшейся части 13 EMBED Equation.3 1415 обратно в 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Если снова найдутся рёбра, которые не вошли в путь, то найдём новые циклы. Так как число рёбер и вершин конечно, то процесс закончится.
Таким образом, замкнутую фигуру, в которой все вершины чётные, можно начертить одним росчерком без повторений и начиная с любой точки.
На практике эйлеровым графом может быть план выставки; это позволяет расставить указатели маршрута, чтобы посетитель смог пройти по каждому залу в точности по одному разу.
Гамильтоновы графы
Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым графом.
Гамильтоновым циклом, или путём в графе, называется цикл, или путь, проходящий через каждую вершину графа в точности по одному разу.
Эйлеровы и гамильтоновы пути сходны по способу задания. Первые содержат все рёбра, и притом по одному разу, вторые – все вершины по одному разу. Но, несмотря на внешнее сходство, задачи их отыскания резко отличаются по степени трудности. Для решения вопроса о существовании эйлерова цикла в графе достаточно выяснить, все ли его вершины чётные.
Критерий же существования гамильтонова цикла на произвольном графе ещё не найден.
Однако есть несколько достаточных условий существования гамильтоновых циклов в графе:
1. Всякий полный граф является гамильтоновым, так как он содержит простой цикл, которому принадлежат все вершины данного графа.
2. Если граф, помимо простого цикла, проходящего через все его вершины, содержит и другие рёбра, то он также является гамильтоновым.
3. Если граф имеет один гамильтонов цикл, то он может иметь и другие гамильтоновы циклы.
Алгоритма проверки существования эйлерова пути
Представим динамику выполнения алгоритма проверки существования эйлерова пути (цикла) из вершины 0 для представленного на рисунке 1 графа. Цикл существует. Рисунок 1
Например, один из возможных путей прохождения всех ребер графа из вершины 0 может быть следующим: 0 – 1 – 2 – 0 – 6 – 4 – 2 – 3 – 4 – 5 – 0 В приведенном списке вершин, следующих за 0, каждая вершина является одновременно концом предыдущего ребра и началом следующего. В соответствии с алгоритмом: 0 – степень 4; 1 – 2; 2 – 4; 3 – 2; 4 – 4; 5 – 2; 6 – 2; Степени всех вершин четные, следовательно, эйлеров цикл в данном графе существует.
Рисунок 2
Граф, изображенный на рисунке 2 отличается от рисунка 1 только добавлением ребра (3 – 5). При этом степени вершин 3 и 5 стали нечетными. Согласно алгоритму проверки существования эйлерова цикла, основывающемуся на проверке четности степени каждой вершины, в данном графе цикла быть не может. Однако, если учесть следствие, по которому в точности две вершины имеют нечетную степень, то и в графе, изображенном на рисунке 1 должен существовать эйлеров путь. Пример такого пути: 3 – 2 – 4- 3 – 5 – 4 – 6 – 0 – 2 – 1 – 0 – 5. При этом две вершины, имеющие нечетную степень, находятся на концах такого пути.
Алгоритм поиска гамильтонова пути
Представим динамику выполнения рекурсивного алгоритма поиска гамильтонова пути (цикла) из вершины 0 для графа, представленного на рисунке 3.
Рисунке 3. Цикла не существует. 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 4-6 2-4 4-3 4-5 4-6 0-2 2-1 2-3 3-4 4-5 4-6 2-4 4-3 4-5 4-6 0-5 5-4 4-2 2-1 2-3 4-3 3-2 2-1 4-6 0-6 6-4 4-2 2-1 4-3 3-2 2-1 4-5 Представим динамику выполнения рекурсивного алгоритма поиска гамильтонова пути для представленного на рисунке 4 графа.
Цикл существует, например: 0 – 6 – 4 – 2 – 1 – 3 – 5 – 0. Рисунке 4. Продемонстрируем поиск цикла от вершины 1. 1-0 0-5 5-3 3-2 2-4 4-6 3-4 4-2 4-6 5-4 4-2 2-3 4-6 0-6 6-4 4-2 2-3 3-5 4-3 3-2 3-5 4-5 5-3 3-2 2-1
Искомый путь 1 – 0 – 6 – 4 – 5- 3 – 2 – 1 .
Конечный граф
Граф называется конечным, если число вершин и ребер в нем конечно, в противном случае – бесконечным.
Рассмотрим неориентированный граф G. Число ребер
·(v), инцидентных вершине v, назовем локальной степенью графа в вершине v.
Если все числа
·(v) для (v(V, то граф называется локально-конечным.
Обозначим
·(v,u) =
·(u,v) – это число ребер, соединяющих вершины v и u, т.е. это кратность ребра (v,u). Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Обозначим m(G) – число ребер в графе G. Т.к. каждое ребро будет учитываться в двух локальных степенях v и u, то запишем:
(1)
Теорема. Число вершин нечетной локальной степени в графе четно.
Доказательство. Воспользуемся формулой (1), т.е. сумма всех локальных степеней четна. Тогда, удалив из суммы все четные слагаемые, получим четное число, представляющее собой сумму нечетных степеней. Теорема доказана.
Граф называется однородным в степени k, если локальные степени всех вершин равны k. Примерами однородных графов являются правильные треугольники, многоугольники, многогранники.
Для однородных графов можно записать:
13 EMBED Equation.3 1415,
где n – число вершин графа G.
Для куба:
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть G – ориентированный граф. Тогда введем следующие обозначения:
od(v) – число дуг, выходящих из вершины;
id(v) – число дуг, заходящих в вершину.
Это локальные степени графа.
Петли, если они есть, считаются по одному разу и в od(v), и в id(v).
Аналогично считаются две кратности. Обозначим как
·o(v,u),
·i(v,u) число дуг, выходящих из v в u и из u в v соответственно.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ориентированный граф называется однородным, если для (v(V выполняется следующее: od(v) = id(v) = k.
Бесконечный граф
Примеры бесконечных однородных графов.
Бесконечные однородные графы находят широкое применение в задачах трассировки печатных соединений, т.к. их использование позволяет разбивать коммутационное поле печатных плат на элементарные ячейки одинаковой формы.
Бесконечным графом называется пара , , где бесконечное множество элементов, называемое вершинами, а бесконечное семейство неупорядоченных пар элементов из , называемых ребрами.
Если оба множества и счетны, то называется счетным графом. Заметим, что наши определения исключают те случаи, когда бесконечно, а конечно. Такие объекты являются всего лишь конечными графами с бесконечным множеством изолированных вершин. Когда бесконечно, а конечно, такие объекты являются конечными графами с бесконечным числом петель или кратных ребер.
Некоторые определения таких понятий, как "смежный", "инцидентный", "изоморфный", "подграф", "объединение", "связный", "компонента" переносятся на бесконечные графы.
Степенью вершины бесконечного графа называется мощность множества ребер, инцидентных Степень вершины может быть конечной или бесконечной. Бесконечный граф, все вершины которого имеют конечные степени, называется локально конечным. Хорошо известным примером такого графа является бесконечная квадратная решетка, часть которой изображена на рисунке. Локально счетный бесконечный граф это граф, все вершины которого имеют счетную степень. Под счетным множеством здесь и в дальнейшем понимается бесконечное множество, допускающее взаимно однозначное отображение на множество натуральных чисел.
Теорема Каждый связный локально счетный бесконечный граф является счетным.
Доказательство
Пусть произвольная вершина такого бесконечного графа, и пусть множество вершин, смежных , множество всех вершин, смежных вершинам из , и т.д. По условию теоремы счетно и, следовательно, множества тоже счетны. Здесь используется тот факт, что объединение не более чем счетного множества счетных множеств счетно. Следовательно, последовательность множеств, объединение которых счетно. Кроме того, эта последовательность содержит каждую вершину бесконечного графа в силу его связности. Отсюда и следует нужный результат.
Следствие Каждый связный локально конечный бесконечный граф является счетным.
Помимо этого, на бесконечный граф можно перенести понятие маршрута, причем тремя различными способами:
Конечный маршрут в определяется так. Маршрутом в данном графе называется конечная последовательность ребер вида , . Маршрут можно обозначить и так: .
Бесконечным в одну сторону маршрутом в с начальной вершиной называется бесконечная последовательность ребер вида , .
Бесконечным в обе стороны маршрутом в графе называется бесконечная последовательность ребер вида ,
Бесконечные в одну сторону и в обе стороны цепи и простые цепи определяются очевидным образом, так же как и понятия длины цепи и расстояния между вершинами. Бесконечные простые цепи не так уж трудно обнаружить.
Теорема 6.1. (Кениг, 1936) Пусть связный локально конечный бесконечный граф, тогда для любой вершины существует бесконечная в одну сторону простая цепь с начальной вершиной .
Доказательство
Если произвольная вершина графа , отличная от , то существует нетривиальная простая цепь от до , отсюда следует, что в имеется бесконечно много простых цепей с начальной вершиной . Поскольку степень конечна, то бесконечное множество таких простых цепей должно начинаться с одного и того же ребра. Если таким ребром является , то, повторяя эту процедуру для вершины , получим новую вершину и соответствующее ей ребро . Продолжая таким образом, получим бесконечную в одну сторону простую цепь .
Важное значение леммы Кенига состоит в том, что она позволяет получить результаты о бесконечных графах из соответствующих результатов для конечных графов. Типичным примером является следующая теорема.
Теорема 6.2. Пусть счетный граф, каждый конечный подграф которого планарен, тогда и планарен.
Доказательство Так как счетный граф, его вершины можно занумеровать в последовательность . Исходя из нее, построим строго возрастающую последовательность подграфов графа , выбирая в качестве подграф с вершинами и ребрами графа , соединяющими только эти вершины между собой. Далее, примем на веру тот факт, что графы могут быть уложены на плоскости конечным числом, скажем , топологически различных способов, и построим еще один бесконечный граф . Его вершины , пусть соответствуют различным укладкам графов , а его ребра соединяют те из вершин и , для которых и плоская укладка, соответствующей . Мы видим, что граф связен и локально конечен, поэтому, как следует из леммы Кенига, он содержит бесконечную в одну сторону простую цепь. А так как граф является счетным, то эта бесконечная простая цепь и дает требуемую плоскую укладку графа .
Стоит подчеркнуть, что если принять дальнейшие аксиомы теории множеств, в частности, аксиому выбора для несчетных множеств, то многие результаты можно перенести и на такие бесконечные графы, которые необязательно являются счетными.
Под графом мы будем понимать множество точек (вершин), некоторые из которых соединены отрезками (ребрами).
Степень вершины графа это количество выходящих из нее (или, что то же самое, входящих в нее) ребер (еще говорят: количество ребер, инцидентных данной вершине). Вершина графа называется четной, если ее степень четна, и нечетной в противном случае.
Некоторая часть вершин данного графа называется компонентой связности, если из любой ее вершины можно «дойти» до любой другой, двигаясь по ребрам.
В некоторых случаях на ребрах графа выбирается «направление движения» (например, когда на автомобильной дороге вводится одностороннее движение). При этом получается ориентированный граф. (Если направление движения по ребрам не определено, то граф называется неориентированным). В ориентированном графе различают положительную и отрицательную степень каждой вершины (то есть количество ребер, соответственно, входящих и выходящих из нее). Две вершины могут быть соединены и несколькими ребрами, направления движения по которым противоположны («дорога с двусторонним движением»). Изменяется понятие компоненты связности: теперь каждый «маршрут» от одной вершины до другой должен учитывать направление движения по ребрам.
Графовые задачи обладают рядом достоинств, позволяющих их использовать для развития воображения и улучшения логического мышления, применимы в решении многих геометрических задач.
На уроке геометрии было предложено построить граф классификации геометрических объектов. Это оказалось легко сделать с помощью понятия граф.
Задача о мостах
Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены.
Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако не удавалось и доказать, что это даже теоретически невозможно.
Этот вопрос привлек внимание ученых разных стран. В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).
Причем, он не только решил эту конкретную задачу, но придумал общий метод решения подобных задач. Эйлер поступил следующим образом: он «сжал» сушу в точки, а мосты « вытянул» в линии, как показано на рисунке 1 а, б.
Рисунок 1
На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (рёбра графа), а частям города точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:
Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа всегда чётно. Невозможно начертить граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
Давайте четко сформулируем поставленную задачу. При каком условии можно обойти все ребра графа, пройдя каждое ровно один раз? Решение оказалось очень простым. Сосчитаем, сколько ребер выходит из каждой вершины. Одни из этих чисел будут четными, а другие - нечетными. Будем и сами вершины называть четными, если из них выходит четное число ребер, и нечетными в противном случае. Как мы уже знаем: количество ребер, выходящих из данной вершины, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечетную степень, называется нечетной, а четную степень – четной.
Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины, следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.
Решая задачу про кенигсбергские мосты, Эйлер установил, в частности, свойства графа:
Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине.
Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение надо начинать от любой нечетной вершины, а закончить на другой нечетной вершине.
Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
В задаче о кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа нечетные, то есть нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат.
Двойственность по Уитни
Граф G =(V, E), который может быть изображен на плоскости или сфере без пересечений называется планарным
На рисунке показаны непланарные графы. Эти два графа играют важную роль в теории планарных графов и известны как графы Куратовского.
Неориентированный граф G = (V, E) называют двудольным, если множество его вершин V может быть разбито на такие два подмножества Vа и Vb, что каждое ребро имеет один конец в Vа , а другой в Vb (рисунок 1,а).
Ориентированный граф G называется двудольным, если его неориентированный двойник – двудольный граф (рисунок 1,б,в).
Двудольный граф G=(Vа
·Vb, E) называют полным, если для любых двух вершин vi
·Vа и vj
·Vb существует ребро (vi,vj) в G=(V,E) (рисунок 1,г).
Рисунок 1
Теорема (X. Уитни, 1932 г.). Граф планарен тогда и только тогда когда он имеет абстрактно двой ственный граф.
Говорят, что граф G укладывается на поверхности S, если его можно нарисовать на этой поверхности так, что его ребра будут пересекаться лишь в концевых точках - вершинах. Граф называется планарным, если его можно уложить на плоскости. Изображение планарного графа на плоскости называют планарной укладкой. Для каждого простого планарного графа существует планарная укладка, в которой все ребра графа будут прямыми линиями.
Если граф не укладывается на плоскости (поверхности нулевого порядка), то его можно уложить на какой - либо другой поверхности (более высокого порядка). Укладываемость графа на плоскости равносильна его укладываемости на сфере, поскольку сфера и плоскость относятся к поверхности нулевого порядка, что можно установить стереографической проекцией сферы на плоскость.
На рисунок 2, а и б показаны две планарные укладки одного и того же графа, а на рисунке в и г приведены два основных непланарных графа – K5 и K3,3 (графы Куратовского).
Графы Куратовского считаются основными непланарнами графами потому, что играют решающую роль в исследовании планарности графов.
Теорема Граф планарен тогда и только тогда, когда каждый его блок планарен.
Рисунок 2. Примеры планарного и непланарных графов: а - планарная укладка с непрямолинейными ребрами; б - планарная укладка того же графа с прямолинейными ребрами; в - непланарный граф K5; г - непланарный граф K3,3
До появления статьи Куратовского, в которой был дан критерий планарности графов, характеризация планарных графов была труднейшей нерешенной проблемой. Доказательство приводимой ниже теоремы Куратовского можно найти в книге.
Рисунок 3. Непланарность графа Петерсена: а - граф Петерсена; б - граф Петерсена, стянутый к K5; в - один из подграфов графа Петерсена, гомеоморфный K3,3
Граф Петерсена не имеет подграфов, гомеоморфных K5, но легко стягивается к K5. Сложнее увидеть, что граф Петерсена имеет подграф, гомеоморфный K3,3.
Уитни связал планарность графов с существованием двойственных графов. Граф G* называется двойственным к графу G, если существует такое взаимнооднозначное соответствие их ребер, что множество ребер графа G* образует цикл тогда и только тогда, когда в графе G это же множество ребер образует разрезающее множество. Для плоского графа существует простой способ построения двойственного графа (см. пример на рисунок 4).
Рисунок 4. Пример: а – граф G; б – построение двойственного графа G*; в – граф G*, двойственный графу G
Суть способа построения в следующем: а) в каждой области укладки графа G на плоскости размещается вершина графа G*; б) через каждое ребро eграфа G, общее для областей 0i и 0j, проводится линия, соединяющая вершины и и образующая ребро e*.
Теорема Граф имеет двойственный граф тогда и только тогда, когда он планарен.
Матрица смежности
Пусть дан граф G, его матрица смежности обозначается через A=[aij] и определяется следующим образом:
aij=1, если в G существует дуга (xi,xj),
aij=0, если в G нет дуги (xi,xj).
Таким образом, матрица смежности графа, изображенного на рисунке 1, имеет вид
Матрица смежности полностью определяет структуру графа. Например, сумма всех элементов строки xi матрицы дает полустепень исхода вершины xi, а сумма элементов столбца xi - полустепень захода вершины xi. Множество столбцов, имеющих 1 в строке xi есть множество Г(xi), а множество строк, которые имеют 1 в столбце xi совпадает с множеством Г-1(xi).
Петли на графе представляют собой элементы, имеющие 1 на главной диагонали матрицы, например a22, a66 для графа, изображенного на рисунке 1.
В случае неориентированного графа матрица смежности является симметричной относительно главной диагонали (рисунок 2).
Матрица инцидентности
Пусть дан граф G с n вершинами и m дугами. Матрица инцидентности графа G обозначается через B=[bij] и является матрицей размерности n x m, определяемой следующим образом:
bij=1, если xi является начальной вершиной дуги aj;
bij=-1, если xi является конечной вершиной дуги aj;
bij=0, если xi не является концевой вершиной дуги aj.
Для графа, приведенного на рисунке 1, матрица инцидентности имеет вид:
Поскольку каждая дуга инцидентна двум различным вершинам (за исключением случая, когда дуга образует петлю), то каждый столбец содержит один элемент, равный 1, и один - равный -1. Петля в матрице инцидентности не имеет адекватного математического представления (в программной реализации допустимо задание одного элемента bij=1).
Если G является неориентированным графом (рисунок 2), то его матрица инцидентности определяется следующим образом:
bij=1, если xi является концевой вершиной дуги aj;
bij=0, если xi не является концевой вершиной дуги aj.
Матрица инцидентности, как способ задания графов, успешно применяется при описании мультиграфов (графов, в которых смежные вершины могут соединяться несколькими параллельными дугами).
13 EMBED Equation.3 1415
Матрица инцидентности
13 EMBED Equation.3 1415
Задача. Дана матрица 13 EMBED Equation.3 1415
Постройте орграф, для которого данная матрица является матрицей смежности. Найдите матрицу инцидентности орграфа.
Решение: Для построения орграфа его вершине однозначно сопоставим точку на плоскости. Данная матрица смежности имеет четыре строки и четыре столбца, следовательно, в орграфе четыре вершины 1, 2, 3, 4.
Проанализируем элементы матрицы:
13 EMBED Equation.3 1415 при вершине 1 нет петель;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 1 выходят две стрелки к вершине 2;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 1 не выходит ни одной стрелки к вершине 3;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 1 не выходит ни одной стрелки к вершине 4;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 2 не выходит ни одной стрелки к вершине 1;
13 EMBED Equation.3 1415 при вершине 2 нет петель;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 2 выходит одна стрелка к вершине 3;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 2 не выходит ни одной стрелки к вершине 4;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 3 выходит одна стрелка к вершине 1;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 3 не выходит ни одной стрелки к вершине 2;
13 EMBED Equation.3 1415 при вершине 3 нет петель;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 3 выходит одна стрелка к вершине 4;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 4 выходит 3 стрелки к вершине 1;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 4 выходит одна стрелка к вершине 2;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 4 не выходит ни одной стрелки к вершине 3;
13 EMBED Equation.3 1415 при вершине 4 нет петель.
Строим орграф.
Для построения графа запишем матрицу инцидентности:
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь четыре строки по числу вершин и 9 столбцов по числу дуг.
Выделение связных компонентов. Нахождение максимального потока и минимального разреза.
Компоненты связного и несвязного графа
В теории графов, понятие связности графа является ключевым при решении многих прикладных задач.
Определение связного и несвязного графа.
Граф G(V,E) называется связным, если для любой пары различных вершин этого графа существует цепь, соединяющая эти вершины. Если для графа G(V,E) можно указать пару различных вершин, которые не соединяются цепью, то граф называется несвязным.
Пример связного и несвязного графов.
Компонента связности графа некоторое множество вершин [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] такое, что для любых двух вершин из этого множества существует путь из одной в другую, и не существует пути из вершины этого множества в вершину не из этого множества.
Для ориентированных графов определено понятие сильной компоненты связности
Пример компонент связности графа.
Рассмотрим пример двусвязного графа G(V, E). Всего имеется два множества связных между собой вершин V1 = {v1, v2, v5, v6} и V2 = {v3, v4, v7, v8}.
Свойства компонент связности.
1. Каждая вершина графа входит лишь в одну компоненту связности.
2. Любой конечный граф имеет конечное число компонент связности.
3. Граф, состоящий из единственной компоненты связности, является связным.
4. Каждая компонента связности графа является его подграфом.
Теорема. Если в конечном графе G ровно две вершины u и v имеют нечетную степень, то они связаны.
Задание 1. Компоненты сильной связности ориентированного графа.
С помощью матрицы смежности найти компоненты сильной связности ориентированного графа D.
Cоставляем матрицу смежности A(D) размерности 13 EMBED Equation.3 1415 (n
· количество вершин) для данного ориентированного графа: она состоит из нулей и единиц, номера строк – индексы вершин , из которых исходят дуги, номера столбцов – индексы вершин, в которые дуги входят (если есть дуга, исходящая из вершины vi и входящая в vj, то элемент матрицы смежности, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца равен 1, иначе – 0.).
Для того, чтобы выделить компоненты сильной связности, необходимо сначала найти матрицу достижимости T(D)
Матрица достижимости ориентированного графа D
· квадратная матрица T(D)=[tij] порядка n, элементы которой равны
13 EMBED Equation.3 1415
ориентированного графа по (1) формуле (T(D)=sign[E+A+A2+A3+ An-1]), затем находим матрицу сильной связности S(D) ориентированного графа (она должна быть симметрической) по (2) формуле (S(D)=T(D)(TT(D) (TT-транспонированная матрица, (- поэлементное умножение)).
Алгоритм выделения компонент сильной связности
1. Присваиваем p=1 (p
· количество компонент связности), 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Включаем в множество вершин Vp компоненты сильной связности Dp вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы Sp. В качестве матрицы A(Dp) возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из Vp.
3. Вычеркиваем из Sp строки и столбцы, соответствующие вершинам из Vp. Если не остается ни одной строки (и столбца), то p- количество компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу как Sp+1, присваиваем p=p+1 и переходим к п. 2.
Максимальный поток и минимальный разрез
Теорема Форда-Фалкерсона 1 (о максимальном потоке и минимальном разрезе).
В любой сети существует максимальный поток. Величина максимального потока равна пропускной способности минимального разреза.
Теорема Форда-Фалкерсона 2.
Поток, вычисленный с помощью алгоритма Форда-Фалкерсона имеет максимальную величину, а разрез 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415-множество вершин, помеченных при последнем помечивании, имеет минимальную пропускную способность.
Нахождение максимального потока и построение минимального разреза в сети с использованием алгоритма Форда-Фалкерсона
В данной задаче основным параметром на дугах сети является 13 EMBED Equation.3 1415 – пропускная способность. Пропускная способность показывает, сколько единиц потока может быть передано по дугам сети. Таким образом, потоком в сети D = [N, M] называется неотрицательная вещественная функция, удовлетворяющая условиям:
1. ограниченности: поток по любой дуге сети не превосходит пропускной способности этой дуги 13 EMBED Equation.3 1415;
2. сохранения: суммарный поток, заходящий в любую вершину сети (кроме истока и стока), равен суммарному потоку, выходящему из этой вершины.
Дуга сети называется насыщенной, если поток по этой дуге равен пропускной способности этой дуги, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Разрезом сети называется множество дуг, удаление которых из сети приводит к тому, что исток и сток оказываются несвязанными.
Пропускной способностью разреза называется число, равное сумме пропускных способностей дуг этого разреза. Разрез называется минимальным, если имеет наименьшую пропускную способность.
Отыскание минимального разреза – одна из основных задач анализа транспортных сетей. В силу конечности графа минимальный разрез может быть найден перебором всех разрезов, но этот путь, конечно, неприемлем для достаточно больших графов.
Минимальный разрез можно отыскать при помощи теоремы Форда – Фалкерсона: в любой транспортной сети величина любого максимального потока равна пропускной способности любого минимального разреза.
Для нахождения максимального потока в сети разработан алгоритм Форда – Фалкерсона. Перед началом выполнения алгоритма все вершины сети нумеруются произвольным образом, кроме источника и стока (источник получает минимальный номер 1, сток – максимальный 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – число узлов).
Алгоритм состоит из следующих основных шагов:
1. Определить начальный поток в сети, сложив потоки по дугам, выходящим из источника.
2. Вершинам сети присвоить целочисленные метки, а дугам – знаки «+» и «–» по следующим правилам:
а) вершине-истоку присвоить метку 13 EMBED Equation.3 1415;
б) находим непомеченную вершину 13 EMBED Equation.3 1415, смежную помеченной вершине 13 EMBED Equation.3 1415. Если поток по соединяющей вершины 13 EMBED Equation.3 1415 дуге меньше пропускной способности этой дуги, то происходит помечивание, иначе переходим к рассмотрению следующей вершины. Если вершина 13 EMBED Equation.3 1415 является образом помеченной вершины 13 EMBED Equation.3 1415, то происходит прямое помечивание (дуга в прямом направлении допустима): вершина 13 EMBED Equation.3 1415 получает метку, равную номеру вершины 13 EMBED Equation.3 1415, соединяющая вершины 13 EMBED Equation.3 1415 дуга получает метку «+», переходим к рассмотрению следующей вершины. Если вершина 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет ни одного помеченного прообраза, поток по дуге в прямом направлении больше 0, то происходит обратное помечивание (дуга допустима в обратном направлении): вершина 13 EMBED Equation.3 1415 получает метку, равную номеру вершины 13 EMBED Equation.3 1415 (являющейся в данном случае ее образом), соединяющая вершины 13 EMBED Equation.3 1415 дуга получает метку «–», происходит переход к рассмотрению следующей вершины. Процесс помечивания продолжается до тех пор, пока все удовлетворяющие этим условиям вершины не получат метку.
3. Если в результате процедуры помечивания вершина-сток метки не получила, то текущий поток – максимальный, переход к шагу 5. В противном случае перейти к пункту 4.
4. Рассмотреть последовательность вершин L, метка каждой из которых равна номеру следующей за ней вершины, и множество дуг МL, соединяющих соседние вершины из L.
Построение нового потока по схеме:
а) Если дуга принадлежит множеству МL (смотри выше) и имеет знак «+», то новый поток по этой дуге = старый поток по этой дуге +
· (схему нахождения смотри далее).
б) Если дуга принадлежит множеству МL и имеет знак «–», то новый поток по этой дуге = старый поток по этой дуге –
·.
в) Если дуга не принадлежит множеству МL, то поток по дуге оставляем без изменения.
Схема нахождения
·:
I. 13 EMBED Equation.3 1415, где для нахождения 13 EMBED Equation.3 1415 рассматриваются все дуги, принадлежащие множеству МL и имеющие знак «+», и для каждой такой дуги вычисляется разность между пропускной способностью дуги и потоком по этой дуге (13 EMBED Equation.3 1415). Затем из этих значений разностей выбирается минимальное значение и присваивается 13 EMBED Equation.3 1415.
II. Для нахождения 13 EMBED Equation.3 1415 рассматриваются все дуги, принадлежащие множеству МL и имеющие знак «–». Затем из этих дуг выбирается дуга с минимальным потоком (13 EMBED Equation.3 1415), и значение потока по этой дуге присваивается 13 EMBED Equation.3 1415.
Перейти к шагу 2.
5. Определяем максимальный поток, складывая начальный поток и все полученные изменения потока.
В оптимальном решении, т. е. когда найден максимальный поток, минимальный разрез образуется насыщенными дугами.
Нахождение путей в графе
В основе построения большинства алгоритмов на графах лежит систематический перебор вершин графа, при котором каждая вершина просматривается в точности один раз, а количество просмотров ребер графа ограничено заданной константой (лучше – не более одного раза).
Один из основных методов проектирования графовых алгоритмов – это поиск (или обход графа) в глубину (depth first search, DFS), при котором начиная с произвольной вершины v0, ищется ближайшая смежная вершина v, для которой в свою очередь осуществляется поиск в глубину (т.е. снова ищется ближайшая, смежная с ней вершина) до тех пор, пока не встретится ранее просмотренная вершина, или не закончится список смежности вершины v (то есть вершина полностью обработана). Если нет новых вершин, смежных с v, то вершина v считается использованной, идет возврат в вершину, из которой попали в вершину v, и процесс продолжается до тех пор, пока не получим v = v0. Иными словами, поиск в глубину из вершины v основан на поиске в глубину из всех новых вершин, смежных с вершиной v.
Путь, полученный методом поиска в глубину, в общем случае не является кратчайшим путем из вершины v в вершину u. Это общий недостаток поиска в глубину. На рисунке показан путь, полученный обходом графа в глубину.
Указанного недостатка лишен другой метод обхода графа – поиск в ширину (breadth first search, BFS). Обработка вершины v осуществляется путем просмотра сразу всех новых соседей этой вершины. При этом полученный путь является кратчайшим путем из одной вершины в другую.
показан путь, найденных методом поиска в ширину
При использовании алгоритмов DFS и BFS графы обходят разными способами, получая при этом некоторые подграфы, которые имеют специфические названия: каркасы, остовы или стягивающие деревья. Все вершины исходного графа входят в полученное стягивающее дерево, а все ветви дерева – это множество ребер из все множеств ребер графа.
Произвольный путь в графе, проходящий через каждое ребро графа точно один раз, называется эйлеровым путем. При этом, если по некоторым вершинам путь проходит неоднократно, то он является непростым. Если путь замкнут, то имеем эйлеров цикл. Для существования эйлерова пути в связном графе необходимо и достаточно, чтобы граф содержал не более двух вершин нечетной степени.
Путь в графе, проходящий в точности один раз через каждую вершину графа (а не каждое ребро) и соответствующий цикл называются гамильтоновыми и существуют не для каждого графа, как и эйлеров путь. В отличие от эйлеровых путей неизвестно ни одного простого необходимого и достаточного условия для существования гамильтоновых путей. Неизвестен даже алгоритм полиномиальной сложности, проверяющий существование гамильтонова пути в произвольном графе. Проблема существования гамильтонова пути принадлежит к классу так называемых NP-полных задач.
В теории алгоритмов классом NP (от [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] non-deterministic polynomial) называют множество задач распознавания ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]), решение которых при наличии некоторых дополнительных сведений (так называемого сертификата решения) можно «быстро» (за время, не превосходящее полинома от размера данных) проверить на машине Тьюринга.
NP-полная задача задача из [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], к которой можно свести любую другую задачу из класса NP за полиномиальное время. Таким образом, NP-полные задачи образуют в некотором смысле подмножество «самых сложных» задач в классе NP; и если для какой-то из них будет найден «быстрый» алгоритм решения, то и любая другая задача из класса NP может быть решена так же «быстро».
При решении некоторых практических задач возникает необходимость поиска максимального пути ( пути с наибольшей суммой длин дуг). Такая задача сводится к задаче нахождения минимального пути заменой знаков при длинах дуг ( в матрице весов C) на противоположные . При этом необходимым является требование отсутствия в ориентированном графе контуров положительной длины .
Нахождение минимально доминирующих множеств (МДМ). Нахождение максимально независимых множеств (МНМ)
Подмножество вершин S графа G = (V,U) называется доминирующим (внешне устойчивым), если каждая вершина из V S смежна с некоторой вершиной из S. Другими словами, каждая вершина графа находится на расстоянии не более единицы от доминирующего множества. Доминирующее множество называется минимальным, нет другого доминирующего множества, содержащегося в нем. Минимальных доминирующих множеств в графе может быть несколько, и они не обязательно содержат одинаковое количество вершин. Минимальное доминирующее множество, имеющее наименьшую мощность называется наименьшим.
Подмножество вершин графа, являющееся одновременно независимым и доминирующим, называется ядром графа.
Понятие доминирующего множества переносится и на случай ориентированных графов. Подмножество S вершин орграфа называется доминирующим, если для любой вершины 13 EMBED Equation.3 1415 существует такая вершина 13 EMBED Equation.3 1415, что 13 EMBED Equation.3 1415 где А - множество дуг орграфа Подмножество вершин S, являющееся одновременно и независимым, и доминирующим называется ядром орграфа.
Множество вершин графа называется независимым, если никакие две вершины этого множества не соединены ребром. Другими словами, индуцированный этим множеством подграф состоит из изолированных вершин. Иногда также говорят, что каждое ребро графа инцидентно не более чем одной вершине из независимого множества. Задача разрешения выглядит так: существует ли в заданном графе G независимое множество размера k? Соответствующая ей оптимизационная задача, она же задача о независимом множестве, формулируется следующим образом: в заданном графе G требуется найти независимое множество максимального размера.
Иногда эту задачу называют поиском независимого множества максимального размера или максимального (по размеру) независимого множества. Не стоит путать это понятие с максимальным (по включению) независимым множеством, которое определяется как такое независимое множество вершин, что при добавлении к нему еще одной (любой) вершины исходного графа оно перестает быть независимым. Понятно, что таких множеств, вообще говоря, может быть несколько и разных размеров. Максимальное по включению независимое множество отнюдь не всегда является максимальным по размеру. В то же время, каждое независимое множество максимального размера по определению является также и максимальным по включению. Для нахождения (какого-то) максимального по включению независимого множества можно воспользоваться жадным алгоритмом, работающим за полиномиальное время, тогда как задача о независимом множестве максимального размера принадлежит к классу NP-полных задач.
Например, для графа G, изображенного на рисунке, ((G)=4, множества вершин {1,2,3,7}, {1,2,3,8}, {2,3,5,7}, {2,3,5,8} являются наибольшими независимыми, а {4,7} – максимальное независимое множество, не являющееся наибольшим.
2
1 3 7
5 4 6
8
Нахождение кратчайшего пути
Нахождение кратчайшего пути на сегодняшний день является жизненно необходимой задачей и используется практически везде, начиная от нахождения оптимального маршрута между двумя объектами на местности (например, кратчайший путь от дома до университета), в системах автопилота, для нахождения оптимального маршрута при перевозках, коммутации информационного пакета в сетях и т.п.
Кратчайший путь рассматривается при помощи некоторого математического объекта, называемого графом. Поиск кратчайшего пути ведется между двумя заданными вершинами в графе. Результатом является путь, то есть последовательность вершин и ребер, инцидентных двум соседним вершинам, и его длина.
Описываемый в данном разделе алгоритм позволяет находить в графе кратчайший путь между двумя выделенными вершинами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при положительных длинах дуг. Этот алгоритм предложенный в 1959 г. Дейкстрой, считается одним из наиболее эффективных алгоритмов решения задачи.
Главная идея, лежащая в основе алгоритма Дейкстры, предельно проста. Предположим, что нам известны 13 EMBED Equation.3 1415 вершин, ближайших к вершине 13 EMBED Equation.3 1415 (близость любой вершины x к вершине 13 EMBED Equation.3 1415 определяется длиной кратчайшего пути, ведущего из 13 EMBED Equation.3 1415 в 13 EMBED Equation.3 1415). Пусть также известны сами кратчайшие пути, соединяющие вершину 13 EMBED Equation.3 1415 с выделенными m вершинами). Покажем теперь, как может быть определена 13 EMBED Equation.3 1415-я ближайшая к 13 EMBED Equation.3 1415 вершина.
Окрасим вершину 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 ближайших к ней вершин. Построим для каждой неокрашенной вершины 13 EMBED Equation.3 1415 пути, непосредственно соединяющие с помощью дуг 13 EMBED Equation.3 1415 каждую окрашенную вершину 13 EMBED Equation.3 1415 с 13 EMBED Equation.3 1415. Выберем из этих путей кратчайший, и будем считать его условно кратчайшим путем из вершины 13 EMBED Equation.3 1415 в вершину 13 EMBED Equation.3 1415.
Какая же из неокрашенных вершин является 13 EMBED Equation.3 1415-й ближайшей к 13 EMBED Equation.3 1415 вершиной? Та, для которой условно кратчайший путь имеет наименьшую длину. Это обусловливается тем, что кратчайший путь из вершины 13 EMBED Equation.3 1415 в 13 EMBED Equation.3 1415-ю ближайшую вершину при положительном значении длин всех дуг должен содержать в качестве промежуточных лишь окрашенные вершины, т. е. вершины, входящие в число 13 EMBED Equation.3 1415 вершин, ближайших к вершине 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, если известны 13 EMBED Equation.3 1415 ближайших к 13 EMBED Equation.3 1415 вершин, то 13 EMBED Equation.3 1415-я ближайшая к 13 EMBED Equation.3 1415 вершина может быть найдена так, как это описано выше. Начиная с 13 EMBED Equation.3 1415, описанная процедура может повторяться до тех пор, пока не будет получен кратчайший путь, ведущий из вершины 13 EMBED Equation.3 1415 к вершине 13 EMBED Equation.3 1415.
Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса.
Любая задача,требующая нахождения оптимальных маршрутов может быть выполнена с помощью алгоритма Дейкстры. Это касается и сетей, и транспортных потоков, и обработка графов. Очень часто используется не сам алгоритм в чистом виде, а его модификация.
Примеры:
1. При эвакуации населения из очагов бедствия оптимальные маршруты до пунктов сбора транспорта для каждой группы людей(дом,улица,школа и т.д) в штабе МЧС рассчитывает программа на основе алгоритма Дейкстры.
2. Компьютерная игра. Указываете точку назначения для персонажа и он движется туда по кратчайшему маршруту. Это тоже алгоритм Дейкстры.
3. Дана сеть автомобильных дорог, соединяющих города Гомельской области. Некоторые дороги односторонние. Найти кратчайшие пути от города Гомеля до каждого города области (если двигаться можно только по дорогам).
4. Имеется некоторое количество авиарейсов между городами мира, для каждого известна стоимость. Стоимость перелёта из A в B может быть не равна стоимости перелёта из B в A. Найти маршрут минимальной стоимости (возможно, с пересадками) от Милана до Минска.
Алгоритм широко применяется в программировании и технологиях, например, его использует протокол OSPF для устранения кольцевых маршрутов.
OSPF разбивает процесс построения таблицы маршрутизации на 2 этапа.
Второй этап состоит в нахождении оптимальных маршрутов с помощью полученного графа. Задача нахождения оптимального пути на графе является достаточно сложной и ёмкой. В протоколе OSPF для её решения используется итеративный алгоритм Дейкстры. Каждый маршрутизатор считает себя центром сети и ищет оптимальный маршрут до каждой известной ему сети. В каждом найденном таким образом маршруте запоминается только один шаг - до следующего маршрутизатора, в соответствии с принципом одношаговой маршрутизации. Данные об этом шаге и попадают в таблицу маршрутизации. Если несколько маршрутов имеют одинаковую метрику до сети назначения, то в таблице маршрутизации запоминаются первые шаги всех этих маршрутов".
Алгоритм
1. Каждой вершине 13 EMBED Equation.3 1415 в ходе алгоритма присваивается число 13 EMBED Equation.3 1415, равное длине кратчайшего пути из вершины 13 EMBED Equation.3 1415 в вершину 13 EMBED Equation.3 1415 и включающем только окрашенные вершины. Положить 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 для всех остальных вершин графа. Окрашиваем вершину 13 EMBED Equation.3 1415 и полагаем 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – последняя окрашенная вершина.
2. Для каждой неокрашенной вершины 13 EMBED Equation.3 1415 пересчитывается величина 13 EMBED Equation.3 1415 по следующей формуле:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3. Если 13 EMBED Equation.3 1415 для всех неокрашенных вершин, то алгоритм заканчивается т. к. отсутствуют пути из вершины 13 EMBED Equation.3 1415 в неокрашенные вершины. Иначе окрашивается та вершина, для которой величина 13 EMBED Equation.3 1415 является минимальной. Окрашивается и дуга, ведущая в эту вершину в соответствии с выражением 13 EMBED Equation.3 1415 и полагаем 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Если 13 EMBED Equation.3 1415, кратчайший путь из 13 EMBED Equation.3 1415 в 13 EMBED Equation.3 1415 найден. Иначе переходим к шагу 2.
Каждый раз окрашивается вершина и дуга, заходящая в эту вершину. Окрашенные дуги не могут образовывать цикл, а образуют в исходном графе дерево с корнем (началом) в вершине 13 EMBED Equation.3 1415. Это дерево называют ориентированным деревом кратчайших путей. Путь из 13 EMBED Equation.3 1415 в 13 EMBED Equation.3 1415 принадлежит этому дереву. При поиске одного кратчайшего пути процедура наращивания завершается при достижении конечной вершины этого пути. Нам же необходимо получить все кратчайшие пути начинающиеся в вершине №1. Для этого процедуру наращивания ориентированного дерева продолжается до тех пор, пока все вершины не будут включены. Таким образом, мы получаем ориентированное дерево кратчайших путей, которое является покрывающим деревом графа.
Иногда в графе имеются несколько кратчайших путей. Кратчайший путь будет единственным, если в алгоритме ни разу не возникает неоднозначность при окрашивании дуги.
Отметим, что главным условием успешного применения алгоритма Дейкстры к задаче на графе является неотрицательность длин дуг этого графа
Для графа с отрицательными весами применяется более общий алгоритм Алгоритм Дейкстры с потенциалами.
Алгебраическая теория конечных автоматов
Алгебраическая теория автоматов представляет собой ветвь теории систем. В приложениях автомат оказывается наиболее подходящим объектом для моделирования действия ряда логических элементов, когда не удается непосредственно воспользоваться вычислительными системами. Модели алгебраической теории автоматов ограничиваются только такими явлениями, действие которых можно описать конечными автоматами. Рассматриваются только абстрактные состояния и их изменения под действием последовательности входных сигналов. Пренебрегают изменением состояний при установке электронных элементов - триггеров и линий задержки, а также в реакции на входные воздействия при установке этих элементов. Инженеры постоянно сталкиваются с конструированием конечных автоматов, так как последние являются важнейшими элементами вычислительных машин, средств связи и систем автоматического управления. Современная техника проектирования в основном эмпирическая, поэтому следовало бы приветствовать любые методы, которые вели бы к более надежному и хорошему конечному результату. Инженеры постоянно сталкиваются с конструированием конечных автоматов, так как последние являются важнейшими элементами вычислительных машин, средств связи и систем автоматического управления.
Конечный автомат – это функционирующий в дискретном времени Т
логико - математический объект
С=(X, Y, S,
· ,
·) , где
Т ={0,1,2,} – множество моментов времени,
X – конечный входной алфавит,
Y – конечный выходной алфавит,
S – конечное множество состояний,
· :SЧ X S – функция переходов,
· :SЧ X Y – функция выходов.
Если конечный автомат представляет собой модель поведения
реального объекта, то
X – множество возможных действий по отношению к объекту;
Y – множество возможных наблюдаемых реакций объекта;
S – множество состояний, выражающих совокупность значений
ненаблюдаемых переменных, и играющих роль внутренней памяти;
функция переходов s(t+1)=
·(s(t),x(t)) описывает процесс переходов автомата из состояния в состояние под влиянием входных
воздействий;
функция выходов y(t)=
·(s(t),x(t)) описывает зависимость выходной реакции моделируемого объекта от его состояния и входного
воздействия.
Обе функции выражают причинно- следственные связи, определяющие закономерности поведения моделируемого реального объекта в дискретном времени .
Символы входного алфавита x(t)
· X и символы выходного алфавита y(t)
· Y представляют собою , как правило, лингвистические переменные, то есть слова и фразы естественного языка, аббревиатуры или жаргона предметной области.
Иными словами, конечный автомат функционирует в дискретные
такты времени T={0, 1, 2,...} так, что находясь в момент t
·T в состоянии s(t)
·S и получая на входе сигнал x(t)
· X, он переходит в очередное состояние s(t+1)
· S и формирует на выходе сигнал y(t)
· Y , то есть
s(t+1)=
· (s(t),x(t)),
y(t)=
· (s(t),x(t)) .
Последовательность символов входного или выходного алфавита
называют входным или выходным Uсловом U, соответственно . Длина слова определяется количеством следующих друг за другом символов. Тогда можно говорить о том, что конечный автомат формулирует (индуцирует) отображение множества входных слов в множество выходных. Другими словами, на временную последовательность входных воздействий (событий) он отвечает равной по длине временной последовательностью выходных реакций (событий).
Из множества слов, которые можно составить («слепить») из символов входного алфавита, выделяется подмножество слов, допустимых для данного начального состояния. Это те слова, которые реально реализуемы в отношении моделируемого объекта, находящегося в конкретном состоянии.
Например, если настольная лампа светит, то нельзя вставить ее вилку в розетку, так как она уже вставлена (иначе бы лампа не светилась). Поэтому все слова, начинающиеся с символа «вставить вилку в розетку», для названного состояния недопустимы, ибо они нереализуемы. Входное слово (длина равна 2) <вставить вилку в розетку, вставить вилку в розетку недопустимо при любом начальном состоянии. Получая входное слово, автомат поочередно заменяет его символы на символы выходного слова по правилам, определяемым функциями переходов и выходов.
При такой интерпретации конечно - автоматная модель может быть задана множеством правил, следующего типа :
« если текущее состояние есть p и входное событие есть х,
то выходное событие – у и следующее состояние – q»,
то есть q=
· (p, x), y=
· (p, x) .
где p, q – текущее и последующее состояния конечного автомата;
х, у – имена входного и выходного событий.
Или иначе, «если состояние и вход, то состояние и выход».
Запомните последнюю фразу. Она всегда напомнит вам о том , что
такое функции переходов и выходов.
Функции переходов и выходов, описывающие поведение конечного
автомата, могут быть заданы:
в форме графа,
в форме таблиц переходов и выходов,
в форме построчного описания по установленным для него
синтаксическим правилам.
Как представить поведение конечного автомата
в форме графа
Для наглядности процесс функционирования конечного автомата
можно представить в виде направленного графа, вершины которого
сопоставляются с состояниями автомата, а направленные дуги – с.
переходами из состояний в состояния. Дуги при этом помечаются
символами входного алфавита, инициирующими переходы (над чертой), и символами выходного алфавита, выражающими реакцию объекта (под
чертой). При заданном начальном состоянии реакцию автомата на заданное входное слово нетрудно найти, пройдя от вершины, соответствующей начальному состоянию , по последовательности дуг, помеченных символами входного слова, считывая встречающиеся на пути символы выходного алфавита .
Пример. Пусть задан конечный автомат такой, что X={x1, x2} – множество входов, Y={y1, y2} – множество выходов , S={s1, s2, s3} – множество состояний. Предположим, что его поведение описывается функциями переходов и выходов, интерпретируемыми графом, приведенном на рисунке 1.
Такой автомат ведет себя следующим образом (проследите по графу ).
При начальном состоянии s1 и входе x2 автомат переходит в состояние s3 и дает на выходе сигнал y2 .
При начальном состоянии s3 и входном слове x2x1 автомат переходит в состояние s2 и дает выходное слово y2y1 .
При начальном состоянии s1 и входном слове x1x2x1 выходная реакция автомата y2y2y1, конечное состояние s2.
При начальном состоянии s2 и входном слове x1x2x1 выходная реакция автомата y1y1y2, конечное состояние s1.
И так далее. Для любой пары <начальное состояние, входное слово> по графу можно найти конечное состояние автомата и его выходную реакцию (выходное слово).
Как задать конечный автомат таблицами
переходов и выходов
Таблицы переходов и выходов являются одной из возможных форм представления функций переходов и выходов. Так как каждая из них –функция двух аргументов , то представляющие их таблицы двумерны. Это значит, что таблица состоит из столбцов и строк. В строках пишутся значения одного аргумента, в столбцах – другого. На пересечении столбца со строкой указывается значение функции, которое она принимает при данных значениях аргументов.
Пусть
X={x1, x2, , xk} – множество входов конечного автомата;
Y={y1, y2, , ym} – множество выходов;
S={s1, s2, , sn} – множество состояний.
Функция переходов конечного автомата s(t+1)=
·(s(t),x(t)) описывает
процесс переходов автомата из состояния в состояние под влиянием
входных воздействий. Представляющая эту функцию таблица переходов
выглядит следующим образом.
Значение
· (si,xj), указанное в клетке таблицы на пересечении столбца si и строки xj – это значение функции переходов при указанных аргументах , то есть это состояние s(t+1) , в которое перейдет автомат из состояния si при входном воздействии xj.
Таблица переходов конечного автомата
Функция выходов конечного автомата y(t)=
· (s(t),x(t)) описывает
зависимость выходной реакции моделируемого объекта от его состояния и входного воздействия. Представляющая ее таблица выходов имеет
следующий вид.
Выходная реакция
· (si,xj) возникает при входном воздействии xj в
состоянии si.
Таблица выходов конечного автомата
Так как аргументы обеих функций одни и те же, то обе функции могут быть заданы одной таблицей, называемой совмещенной таблицей
переходов и выходов.
Совмещенная таблица переходов и выходов конечного автомата
Пример. У телевизора две кнопки включения - выключения электропитания: одна на корпусе, вторая на пульте дистанционного управления. Если подать электропитание , нажав кнопку на корпусе (КнК ), то засветится сигнальная лампочка. Если нажать эту кнопку при светящейся лампочке, то питание выключится и сигнальная лампочка погаснет. Если сигнальная лампочка светится , то нажатие кнопки на пульте ( КнП ) приводит к появлению картинки на экране телевизора . Если при наличии картинки нажать кнопку на пульте , то картинка исчезнет, но сигнальная лампочка будет светиться. Если нажать кнопку на пульте, когда индикатор не светит, то он по прежнему не светит , и картинка не появляется.
Тогда X={ Нажать КнК , Нажать КнП }; Y={СгнлЕсть, СгнлНет , КртнЕсть, КртнНет}; S={ Сост1, Сост2, Сост3)}.
Совмещенная таблица переходов и выходов будет выглядеть так.
Поведение автомата по такой таблице можно представить себе так.
Если начальное состояние Сост1 (см. первый столбец таблицы) и выполняется входное воздействие Нажать КнК ( см. первую строку ), то автомат переходит в состояние Сост2 и его выходная реакция (СгнлЕсть, КртнНет) (см. пересечение названных столбца и строки).
Если начальное состояние Сост2 (см. второй столбец таблицы ) и выполняется входное воздействие НажатьКнП ( см. вторую строку ), то автомат переходит в состояние Сост3 и его выходная реакция (СгнлЕсть, КртнЕсть) ( см. пересечение названных столбца и строки ).
И так далее.
Можете проверить, совпадает ли поведение автомата , заданное таблицей , с описанием рассматриваемого объекта, заданным текстом, и с вашим мысленным представлением этого, известного вам из повседневной деятельности , объекта.
Интерпретация состояний здесь такова: Сост1 – телевизор выключен; Сост2 – телевизор в дежурном режиме; Сост3 – телевизор в рабочем состоянии.
Структурная схема конечных автоматов.
В структурной теории автомат представляют в виде композиции двух частей: запоминающей части, состоящей из элементов памяти, и комбинационной части, состоящей из логических элементов. Комбинационная схема, строится из логических элементов, образующих функционально полную систему, а память – на элементарных автоматах, обладающих полной системой переходов и выходов.
Каждое состояние абстрактного автомата ai, i=0,n, кодируется в структурных автоматах набором состояний элементов памяти Q2, R=1,R. Поскольку в качестве элементов памяти используются обычные двоичные триггера, то каждое состояние можно закодировать двоичным числом ai=Q1Q2.Qr. Здесь Q – состояние автомата, а ai = {0, 1}/ Как и прежде Q
Общее число необходимых элементов памяти можно определить из следующего неравенства 2R > n + 1. Здесь (n+1) – число состояний. Логарифмируя неравенство получим R > ]log2 (n+1)[. Здесь ]с[ - означает, что необходимо взять ближайшее целое число, большее или равное C.
В отличии от абстрактного автомата, имеющего один входной и один выходной канала, на которые поступают сигналы во входном X={x1, x2,..,xm} и выходном Y={y1,y2,.,yk} алфавитах, структурный автомат имеет L входных и N выходных каналов. Каждый входной xj и выходной yj сигналы абстрактного автомата могут быть закодированы двоичным набором состояний входных и выходных каналов структурного автомата.
Очевидно число каналов L и N можно определить по формулам
L ( ]log m[;
N ( ]log k[,
аналогичным формуле для определения a3 под действием сигнала xj с выдачей сигнала yg соответствует переход структурного автомата из состояния ai в состояние as под действием сигнала xj с выдачей сигнала yg соответствует переход структурного автомата из состояния (13 EMBED Equation.3 1415) в состояние (13 EMBED Equation.3 1415), под действием входного сигнала (13 EMBED Equation.3 1415) с выдачей выходного сигнала (13 EMBED Equation.3 1415). Для того, чтобы структурный автомата перешел из одного состояния в другое, необходимо изменить состояние элементов памяти Qr.
Изменение же состояния элементов памяти происходит под действием сигналов U=(U1,U2,,Ur) поступающих на их входы. Эти сигналы формируются комбинационной схемой II и называются функций возбуждения элементов памяти (элементарных автоматов). На вход комбинационной схемы II, кроме входного сигнала xj, по цепи обратной связи поступают сигналы Q=(Q1, Q2, , QR), называемые функцией обратной связи от памяти автомата к комбинационной схеме. Комбинационная схема I служит для формирования выходного сигнала yg, причем в случае автомата Мили на вход этой схемы поступает входной сигнал xj, а в случае автомата Мура – сигнал xj не поступает, т.к. yg не зависит от xj.
Основная модель
Модель конечного автомата описывает систему как абстрактную математическую машину. В этой модели переменные состояния представляют состояния машины, а функции перехода описывают способ изменения переменных.
Представления модели управления доступом как конечного автомата получили предпочтение из-за того, что они представляют компьютерную систему способом, имитирующим работу операционной системы и аппаратуры. Переменная состояния является абстракцией для каждого бита и байта в системе, изменяющихся по мере работы системы. Функции переходов из состояния в состояние - это абстракция обращений к операционной системе, явно описывающие то, как состояние может (или не может) изменяться.
Автомат, модель которого представлена на рисунке, описывает поведение студента и преподавателей.
- состояния;
- входные сигналы: "н", "2" и "5".
- выходные реакции:
- отмечаем "н";
- успокаивать;
- хвалим студента;
- поощряем;
- надеемся;
- предупреждаем;
- отчисляем.
Способы задания конечных автоматов
Представление конечного автомата фактически сводится к описанию задающих его автоматных функций.
Существуют три способа задания конечных автоматов:
~ Табличный (матрицы переходов и выходов);
~ Графический (с помощью графов);
~ Аналитический (с помощью формул).
Аналитический способ – автомат задается системой уравнений. Из такой системы следует, что при конечном числе возможных внутренних состояний количество возможных значений автоматных функций также оказывается конечным. Примером такого задания служат системы уравнений, задающие автоматы Мили и автоматы Мура
Табличный способ. Составляется таблица состояния автомата для функции перехода
· и функции выхода. При этом:
~ столбцы таблицы соответствуют элементам входного алфавита X,
~ строки таблицы соответствуют состояниям (элементы конечного множества Q).
Пересечению i-и строки и j-го столбца соответствует клетка (i, j), которая является аргументом функций 8 и
· автомата в момент, когда он находится в состоянии qi на его входе слово xj, а в самой соответствующей клетке запишем значения функций 8 и
·. Таким образом, вся таблица соответствует множеству Q х X.
При заполнении таблицы переходов каждая клеточка однозначно определяется парой символов: символом следующего состояния и символом выходного сигнала.
На практике автоматные функции задаются двумя конечными таблицами, именуемыми соответственно матрицей перехода и матрицей выводов. При этом строки обозначаются буквами входного алфавита, а столбцы буквами внутреннего алфавита (символами, кодирующими внутреннее состояние автомата).
В матрице переходов на пересечении строки xk и столбца qr помещается значение функции перехода
·(qi, х) и функции выводов
·(q, х). В ряде случаев обе таблицы объединяются в одну таблицу.
Графический способ.
Автомат задается с помощью графа, схемы, графика и др. Задание с помощью ориентированного гра фа более удобная и компактная форма описания автомата.
Граф автомата содержит
~ Вершины, соответствующие состоянию qiОQ,
~ Дуги, соединяющие вершины переходы автомата из одного состояния в другое. На дугах принято указывать пары вход ных и выходных сигналов сигналов переходов.
Если автомат переходит из состояния q1 в состояние q2 под воз действием нескольких входных сигналов, то на соответствующей дуге графа этот вариант будет представлен через дизъюнкцию. Для представления автомата используют двухполюсные графы с выде ленными начальным и конечным состояниями.
Системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую. Выполнение сложения в разных системах счисления.
Системы счисления (с/с) бывают позиционными и непозиционными.
Пример непозиционной с/с – римская.
В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
700 + 50 + 7 + 0,7 = 7102 + 5101 + 7100 + 710-1 = 757,7.
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Опр. Основание позиционной системы счисления это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
Для позиционных систем счисления: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
где a – разрядная цифра, q – основание с/с, n – количество целых разрядов, m – количество дробных разрядов.
Перевод из одной системы счисления в другую.
Существует несколько способов перевода чисел из одной системы счисления в другую. Например,
Перевод подбором коэффициентов ("вручную")
Перевод целых чисел делением на основание
Перевод дробных чисел умножением на основание
Использование промежуточной системы счисления
Рассмотрим все варианты подробнее.
1. Перевод подбором коэффициентов ("вручную")
13 EMBED Equation.3 1415
Метод сводится к задаче определения коэффициентов 13 EMBED Equation.3 1415 нового ряда.
Правило: выбрать максимальную степень, которая содержится в числе 13 EMBED Equation.3 1415. Все операции выполняются по правилам исходной системы счисления.
2. Перевод целых чисел делением на основание
Действия выполняются по правилам исходной системы счисления. Деление происходит на основание новой системы счисления, записанное в исходной системе счисления. Результат записывается перечислением остатков от деления, начиная с последнего.
3. Перевод дробных чисел умножением на основание.
Действия выполняются по правилам исходной системы счисления. Умножение происходит на основание новой системы счисления, записанное в исходной системе счисления. Результат записывается перечисление целых частей произведений, начиная с первого. Умножение производится либо с заданной точностью, либо до получения нулевого остатка.
4. Перевод с использованием промежуточной системы счисления.
Используется для систем с основанием 13 EMBED Equation.3 1415, k=1,2,3,, т.е для 2, 8, 16 с/с.
Промежуточной с/с является двоичная.
Каждая цифра числа, записанного в исходной с/с с основанием 13 EMBED Equation.3 1415, записывается в двоичной с/с с использованием k количества разрядов. Для записи числа в новой с/с с основанием 13 EMBED Equation.3 1415 в двоичном представлении выделяется по k1 разрядов, начиная от запятой влево для целой части числа и вправо – для дробной. Затем выделенные части переводятся в числа новой с/с. Запись подряд полученных цифр и будет являться результатом перевода.
Сложение чисел в разных системах счисления.
Существует общий способ – сложение с выделением основания.
Является ручным способом. Для работы используется 10 с/с. Сложение выполняется поразрядно, если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Представление двоичных чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах.
Для определения знака числа в двоичном коде используются 0 и 1. Нулем кодируется знак "+", Единицей кодируется знак "-".
Для представления положительных и отрицательных чисел в вычислительной технике используются ПРЯМОЙ, ОБРАТНЫЙ и ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ коды.
Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.
1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа двоичный код его абсолютной величины. Например:
2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы нулями. Например:
3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:
Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.
Пример: Представить число +7, -12, -15, -16 в прямом, обратном и дополнительном кодах.
Число
Прямой код
Обратный код
Дополнительный код
-12
1 0001100
1 1110011
1 1110100
-15
1 0001111
1 1110000
1 1110001
-16
1 0
·і і 010000
1 1101111
1 1110000
При переводе из обратного в прямой код происходит инверсия цифр числа.
При переводе из дополнительного в прямой код происходит 1) инверсия цифр числа, 2)добавляется +1 в младший разряд инвертированного числа.
Арифметические действия над числами со знаком
В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.
Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:
Алгебраическое сложение
|A|<|B|
|A|>|B| или (A<0,B<0)
Обратный код
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Дополнительный код
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если результат получен со знаком минус (с "1"), то результат необходимо преобразовать в прямой код!!!
1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:
Получен правильный результат.
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. |A| < |B|
Например:
Если результат получен со знаком минус с "1", то результат необходимо преобразовать в прямой код!!!
Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -710.
3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. |A| > |B|
Например:
Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
4. А и В отрицательные. Например:
Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -1110 вместо обратного кода числа -1010) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -1010.
При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.
5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2n-1, где n количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2n-1 = 27 = 128). Вариант переполнения.
Например:
Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.
6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2n-1. Вариант переполнения.
Например:
Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.
Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:
1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А.
Например:
Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -710.
3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А.
Например:
Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
4. А и В отрицательные. Например:
Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.
Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:
на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;
время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.
ВАЖНО: Результат всегда представляется в том виде, в котором представлены исходные операнды.
Двоично-десятичные коды
Числа в кодах такого типа представляются двоичными тетрадами соответствующих десятичных цифр.
Двоично-десятичный код (2/10) – код прямого замещения; код 8421
10 код
2/10 код
10 код
2/10 код
Остальные комбинации 10 – 15 - запрещенные
10 код
2/10 код
10 код
2/10 код
0
0000
5
0101
10
1010
15
1111
1
0001
6
0110
11
1011
2
0010
7
0111
12
1100
3
0011
8
1000
13
1101
4
0100
9
1001
15
1110
Преобразование числа в обратный код
Запись отрицательного числа в прямом коде
Добавление тетрады + 0110 во все тетрады числа из п.1 - Сложение
Инверсия полученной в п.2. суммы - Это и есть результат – число в обратном коде.
Преобразование числа в дополнительный код
Выполнить операции 1-3 из преобразования в обратный код
В младшую тетраду добавить + 0001 - Результат сложения – число в дополнительном коде.
При преобразовании в обратный или дополнительный код результат не корректируется.
Преобразование в прямой код из обратного или дополнительного кода происходит аналогично.
Правила выполнения арифметических операций
Коррекция результата потетрадного сложения путем добавления поправки + 0110 требуется в случае, если :
Был перенос в старшую тетраду
Возникают запрещенные комбинации
При коррекции разрешен межтетрадный перенос.
Двоично-десятичный код 8421 с избытком 3
10 код
2/10 код
10 код
2/10 код
Остальные комбинации - запрещенные
0
0011
5
1000
1
0100
6
1001
2
0101
7
1010
3
0110
8
1011
4
0111
9
1100
Преобразование числа в обратный код
Запись отрицательного числа в прямом коде
Инверсия полученного в п.1. числа – результат – число в обратном коде.
Преобразование числа в дополнительный код
Выполнить операции 1-2 из преобразования в обратный код
В младшую тетраду добавить + 0001 - Результат сложения – число в дополнительном коде.
Правила выполнения арифметических операций
Если при сложении не было переноса из анализируемой тетрады, то в нее надо добавить + 1101.
Если был перенос в старшую тетраду, то в нее надо добавить + 0011.
Если получена неправильная тетрада, то в нее надо добавить + 0110.
Поправки вводятся при блокировке межтетрадного переноса
Представление чисел в форме с плавающей запятой.
Сложение чисел с плавающей точкой (запятой).
Модифицированные коды
Для обнаружения переполнения разрядной сетки вводят вспомогательный разряд в знаковую часть изображения числа.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Для положительных чисел: 00.000101 (+5)
Для отрицательных чисел: 11.000101 (-5)
Признак переполнения наличие комбинаций 01 и 10 в знаковых разрядах.
Примеры:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Представление чисел в форме с плавающей запятой
Число состоит из мантиссы (m) и порядка (p). 13 EMBED Equation.3 1415
Нормализованная форма представления числа – форма, для которой справедливо условие: 13 EMBED Equation.3 1415, где q – основание системы счисления.
Для двоичной системы счисления условие нормализации принимает вид: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример Формата изображения числа с п.з.
Обобщение: число уменьшается, степень увеличивается
Число увеличивается, степень уменьшается
Особенности сложения чисел с плавающей запятой
Нормализация
Нарушение нормализации – не выполнение условия 13 EMBED Equation.3 1415. Нарушение нормализации может быть справа и слева.
Операция нормализации состоит из совокупности сдвигов и проверки наличия признаков нарушения нормализации.
Сдвиги
Исх. число
Сдвиг на 1 влево
(
Сдвиг на 1 вправо
(
+Х
0.x1x2xn
x1.x2xn0
0.0x1x2xn-1
(-Х) доп.код
1.x1x2xn
x1.x2xn0
1.1x1x2xn-1
(-Х) обр.код
1.x1x2xn
x1.x2xn1
1.1x1x2xn-1
Нарушение нормализации
Влево если мантисса числа равна или больше 1 Коррекция: сдвиг вправо
Вправо, если мантисса числа меньше q-1
Отрицательное число в обр. или доп. коде начинается с 1 после точки – 11.1
Положительное число начинается с 0 после точки – 00.0
Сложение чисел с плавающей точкой (запятой)
Запись мантисс в прямом коде и заданной разрядной сетке
Запись мантисс в требуемом коде (обратном или дополнительном)
Уравнять порядки чисел – порядок меньшего числа привести к порядку большего, сдвигая мантиссу меньшего числа
Сложить мантиссы по обычным правилам
Проверить полученную сумму на нарушение нормализации
Операнды для сложения всегда должны быть представлены в нормализованном виде.
Для выравнивания порядков необходимо порядок меньшего числа увеличить на 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. сдвинуть мантиссу меньшего числа вправо на количество разрядов, равное
·p. При выравнивании порядков может случиться нарушение нормализации, в этом случае коррекция не проводится.
Основные способы представления автоматов
Конечный автомат может быть задан словесным алгоритмом, таблицами переходов (ТП) и выходов (ТВ), графом состояний и системой уравнений, выражающих зависимости между входами, выходами и внутренними состояниями автомата. Последний (алгебраический) способ задания представляет собой математическую модель, по которой составляется схема, реализующая заданный алгоритм. Следовательно, в любом случае конечной формой задания автомата является алгебраическая, а порядок синтеза сводится к получению математической модели и функциональной схемы автомата и состоит из следующих этапов:
1) составление словесного алгоритма работы автомата;
2) определение числа состояний автомата;
3) составление таблиц переходов и выходов;
4) определение количества элементов памяти автомата;
5) кодирование таблиц переходов и выходов;
6) составление таблицы истинности конечного автомата;
7) получение математической модели автомата;
8) составление функциональной схемы;
9) составление принципиальной схемы.
Способы представления автоматов
Рассматриваем автоматы Мили и Мура – их еще называют автоматами I и II рода.
Автоматы можно представить : - таблицей, - графом.
Автомат Мили задается 2-мя таблицами: переходов и выходов, или одной – совмещенной таблицей переходов-выходов.
Автомат Мура задается одной таблицей, называемой отмеченной таблицей переходов.
Эквивалентность автоматов Мили и Мура
Существует 2 варианта перехода от Автомата Мили к автомату Мура – общий и тривиальный.
Минимизация полностью определенных автоматов
Минимизация автоматов Мили
Рассматривается метод (-разбиения.
Идея алгоритма.
В таблице переходов/выходов выделяются группы столбцов, имеющие одинаковую выходную реакцию (в нижеследующем примере столбцы групп помечены *,+). Состояния, соответствующие одинаково помеченным столбцам составляют один класс эквивалентности. Полученные классы эквивалентности составляют начальное разбиение (1.
Для дальнейших попыток разбиения исходная талица переписывается. Состояния группируются по принадлежности к классу эквивалентности. Содержимым ячеек теперь являются найденные классы эквивалентности, соответствующие находившимся там состояниям. Для этого анализируется исходная таблица. Например в столбце для состояния 1 будет записано: А2 А1 , т.к. 3 состояние попало в класс А2 , а 5 состояние – в класс А1.
В полученной таблице опять производится попытка выделить эквивалентные классы. Ссостав новых классов также определяется сравнением содержимого столбцов в пределах одного класса. Найденные новые классы эквивалентности составляют разбиение (2 .
Проводится сравнение разбиений (1 и (2, если они одинаковы, т.е. одинаков состав классов эквалентности, то разбиение считается завершенным, в противном случае попытки построения нового разбиения продолжаются.
Если разбиение закончено, производится построение минимизированной таблицы автомата. Из каждого класса последнего разбиения Ci выбирается по одному состоянию и они переобозначаются в терминах Si . Эти состояния будут составлять новый автомат, столбец входных букв переписывается, добавляются столбцы состояний, по количеству полученных состояний Si . Ячейки новой таблицы заполняются следующим образом: берется очередное состояние Si , определяется, какие состояния исходной талицы ему эквивалентны и в новую таблицу записываются выходные реакции, содержащиеся в соответствующих столбцах исходной таблицы, для записи состояний анализируется, какому классу эквивалентности принадлежит состояние, записанное в соответствующей ячейке исходной таблицы, а затем, какое новое состояние соответствует этому же классу эквивалентности и оно записывается в новую таблицу в соответствующую ячейку.
Минимизация автоматов Мура
При минимизации автоматов Мура вводится понятие 0-эквивалентности состояний и разбиения множества состояний на 0-классы.
0-эквивалентными называются любые одинаково отмеченные состояния автомата Мура.
Если два 0-эквивалентных состояния любым входным сигналом переводятся в два 0эквивалентных состояния, то они называются 1-эквивалентными.
Все дальнейшие классы эквивалентностей состояний для автомата Мура определяются аналогично, как и для автомата Мили
Синтез автоматов по дереву управления
Эксперименты с автоматами. Синтез автоматов по дереву управления
Существуют ситуации, когда не дано общее описание поведения проектируемого автомата, но известно, во что автомат перерабатывает входные слова.
Данную ситуацию можно характеризовать следующим образом. Пусть задан автомат, называемый "черный ящик", о внутренней структуре которого ничего или почти ничего не известно. На вход автомата можно подавать входные слова и наблюдать соответствующие выходные слова. Требуется расшифровать его, т.е. построить абстрактный автомат, работающий так же, как и "черный ящик".
Такой подход называется экспериментальным.
Эксперименты могут быть кратные и простые, оба в свою очередь могут быть условными и безусловными.
Для кратных экспериментов характерным является наличие кнопки возврата в начальное состояние. Перед очередным вопросом автомат переводится в начальное состояние.
При простых экспериментах кнопка возврата отсутствует. Каждый следующий вопрос задается "черному ящику" в том состоянии, в котором он оказался в результате ответа на предыдущий вопрос.
В Условных экспериментах очередной вопрос зависит от ранее заданных вопросов.
В безусловных экспериментах каждый очередной вопрос не зависит от ранее заданных вопросов и ответов. Все вопросы уже заранее фиксированы.
При безусловных экспериментах осуществляется полный перебор всех допустимых слов одной установленной длины. Число экспериментов в этом случае определяется как 13 EMBED Equation.3 1415.
В условных экспериментах используется априорная информация: r - степень различимости автомата.
Алгоритм организации условного эксперимента.
Построить дерево высотой h0=r+1
Выделить базис для k-го яруса (k=1, 2, 3 )
Продолжить эксперимент на 1 букву, т.е. перейти на следующий ярус только относительно вершин найденного базиса.
Перейти к п.2. и продолжить выделять базис для k=k+1 до «насыщения», т.е. до тех пор, пока будут появляться новые неразличимые вершины. Как только будет получено, что все новые вершины являются неразличимыми с ранее поименованными, будет достигнуто состояние «насыщения».
Результаты эксперимента удобно представлять в виде дерева, которое называется деревом управления. Корнем дерева управления является начальное состояние.
Высота дерева h определяется количеством ярусов и соответствует длине входных/выходных слов.
Вершины 1-го яруса отображают реакции автомата на все слова длины 2 и т.д.
Каждый путь в дереве определяет входное слово.
При построении дерева (в поведенческой теории) следует придерживаться соглашений:
На дереве управления входные буквы не пишутся, а подразумевается, что они следуют в заранее определенном порядке; на ребрах дерева запись производится только выходных букв.
Вершины дерева нумеруются по мере перехода на старшие яруса слева-направо.
Для записи порядка следования входных букв используют схему, называемую ключом дерева. Например, задан входной алфавит X={0, 1}, тогда ключ будет выглядеть следующим образом: по левой ветви будет выполняться переход на следующий ярус, если на вход поступает 0, а по левой ветви – если на вход поступает 1. Можно и наоборот – все зависит от поставленной задачи и желания исследователя.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Переход от дерева управления к представлению автомата в виде графа с меньшим числом состояний называют сверткой дерева управления. Свертка состоит из 2-х этапов: 1) Выделение базиса; 2) Построение граф-схемы переходов.
Правила Выделения базиса.
Вершины дерева именуются по мере перехода на старшие яруса и внутри слева-направо.
Вершины неразличимые с уже поименованными вершинами именуются аналогично. Если вершина неразличима с несколькими вершинами, то она именуется списком имен этих вершин.
Базис составляют вершины, в которые существует путь из начальной вершины (корня). Имена вершин, составляющих базис должны быть различны. Т.О. вершины с повторяющимися именами на более верхних ярусах исключаются из рассмотрения.
Правила построения граф-схемы переходов.
Любой вершине базиса ставится в соответствие состояние: 13 EMBED Equation.3 1415.
Образование дуг графа
если 13 EMBED Equation.3 1415 смежные, то из в направляется дуга, которой приписывается соответствующие входная и выходная буквы.
если 13 EMBED Equation.3 1415 смежные, при чем вершина 13 EMBED Equation.3 1415 имеет обозначение 13 EMBED Equation.3 1415 , то дуга направляется из вершины 13 EMBED Equation.3 1415 в одну из вершин 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 .
Таким образом, процедура построения автомата по дереву управления неоднозначна. Но при этом все полученные автоматы являются эквивалентными.
Именование вершин дерева.
Корень дерева именуется сразу 13 EMBED Equation.3 1415. Для остальных вершин именование выполняется следующим образом: для именования очередной вершины вырезается поддерево с корнем в этой вершине и последовательно совмещается с поддеревьями уже поименованных вершин. Если выходные реакции на ребрах сравниваемых поддеревьях совпадут, то неименованной вершине приписывается имя вершины, с поддеревом которой выходные реакции совпали. Эти вершины будут называться неразличимыми.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Синтез автомата по регулярным выражениям
Основные правила
- итерация
13 EMBED Equation.3 1415 - усеченая итерация
Приоритеты выполнения операций
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
Любые отступления от этого порядка выполнения операций обозначаются путем введения круглых скобок.
Для описания регулярных событий будем пользоваться системой основных событий, т.е. некоторыми стандартными заготовками.
13 EMBED Equation.3 1415
1. Событие, состоящее из всех слов входного алфавита, называется универсальным (всеобщим) и имеет вид
2. Событие, включающее все возможные слова, состоящие из букв: 13 EMBED Equation.3 1415, например
13 EMBED Equation.3 1415
3. Событие, содержащее все слова, оканчивающиеся буквой 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4. Событие, содержащее все слова, оканчивающиеся отрезком слова
13 EMBED Equation.3 1415
5. Событие, состоящее из всех слов, имеющих начальный и конечный отрезки l1 и l2 соответственно
13 EMBED Equation.3 1415
6. Событие, содержащее все слова, в которых хотя бы один раз встречается отрезок l1 в любом месте
13 EMBED Equation.3 1415
7. Событие, содержащее только одно-буквенные слова входного алфавита
13 EMBED Equation.3 1415
8. Событие, содержащее только двух-буквенные слова входного алфавита
13 EMBED Equation.3 1415
9. Событие, содержащее все слова из букв входного алфавита длины n
13 EMBED Equation.3 1415
10. Событие, содержащее все слова из букв входного алфавита длины кратной n
13 EMBED Equation.3 1415
11. Событие, состоящее из всех слов, которые начинаются буквами xi или xk
12. Событие, состоящее из всех слов алфавита 13 EMBED Equation.3 1415, не содержащее комбинации букв и оканчивающееся на буквой
13. Событие, состоящее из всех слов алфавита 13 EMBED Equation.3 1415, не содержащее комбинации букв 13 EMBED Equation.3 1415 и оканчивающееся на буквой 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
14. Событие, состоящее из всех слов алфавита , не содержащее серии из r букв 13 EMBED Equation.3 1415 и оканчивающееся на буквой 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Структурный синтез автомата
В качестве элементов памяти структурного автомата обычно используются триггеры.
Триггер – это устройство, имеющее два устойчивых состояния, в которые он переходит под действием определённых входных сигналов.
Обычно в триггерах выделяют два вида входных сигналов (и соответственно входов): информационные и синхросигналы.
Информационные сигналы определяют новое состояние триггера и присутствуют в любых триггерах. По типу информационных сигналов осуществляется классификация триггеров: D, T, RS, JK и т.д.
На синхровход триггера поступают тактирующие импульсы задающего генератора, синхронизирующего работу А.
Рассмотрим основные типы триггеров, используемые для синтеза А: D, T, RS, JK.
D-триггер – элемент задержки – имеет один информационный вход D и один выход Q и осуществляет задержку поступившего на его вход сигнала на один такт.
Условное обозначение и таблица переходов D-триггера представлена на рис. .
13 EMBED Word.Picture.8 1415
D
Q t
Q t+1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
Из приведенной таблицы переходов для данного триггера Qt+1 = f(Qt,Dt) можно получить таблицу функций его входов Dt = ((Qt, Qt+1).
Q t
Q t+1
D t
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Как видно из таблицы, состояние, в которое переходит триггер (средний столбец), совпадает с поступившим на его вход сигналом D(t) (правый столбец). В связи с этим таблица функций возбуждения памяти синтезируемого автомата с использованием D-триггеров будет полностью совпадать с кодированной таблицей переходов этого автомата.
T-триггер – триггер со счетным входом – имеет один информационный вход Т и один выход Q и осуществляет суммирование по модулю два значений сигнала T и состояния Q в заданный момент времени.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
T
Q t
Q t+1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Таблица функций входов триггера Tt = f(Qt, Qt+1) представлена в таблице.
Q t
Q t+1
T t
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
RS-триггер – триггер с раздельными входами.
Данный триггер имеет два входных канала R и S и один выходной Q. Вход S (set) называется входом установки в единицу, вход R (reset) – входом установки в нуль. Условное обозначение и таблица переходов RS-триггера представлена на рис. 27.
В таблице переходов при подаче комбинации S = R = 1 состояние перехода Qt+1 не определено и эта комбинация сигналов является запрещенной для RS-триггера.
R
S
Q t
Q t+1
R
S
Q t+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
–
1
0
0
0
б)
1
0
1
0
1
1
0
–
1
1
1
–
а)
Q t
Q t+1
Rt
S
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
Таблица входов RS-триггера.
JK- триггер – имеет два информационных входа J и K и один выход Q. Вход J – вход установки в 1, вход K – вход установки в 0, т.е. эти входы аналогичны соответствующим входам RS-триггера: J – соответствует S, K – соответствует R. Однако, в отличие от RS-триггера, входная комбинация J = 1, K= 1 не является запрещённой.
J
K
Q t
Q t+1
J
K
Q t+1
0
0
0
0
0
0
Q t
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
Q t
1
0
0
1
б)
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
а)
Как следует из таблиц переходов, для комбинаций входных сигналов JK = 00(10 триггер ведет себя как RS-триггер, а при комбинации JK = 11 – как T-триггер.
Использование триггеров.
При большом числе состояний автомата обычно выгоднее использовать D триггеры.
Если граф переходов автомата имеет относительно небольшое число состояний и почти не содержит петель, предпочтение можно отдать использованию Ттриггера.
При большом количестве петель или требовании установки автомата в начальное состояние потребуется использовать RS-триггер.
Наиболее известным методом решения данной задачи является канонический метод структурного синтеза, предусматривающий выполнение следующих шагов:
Шаг 1. Выбор набора элементов памяти (ЭП) (триггеров) и системы логических элементов;
В качестве системы логических элементов используются элементы булева базиса – И ИЛИ НЕ и их комбинации.
Шаг 2. Кодирование входных, выходных сигналов и внутренних состояний автомата. Для этого первоначально необходимо определить наименьшее количество букв для кодирования полученных на этапе абстрактного синтеза входных и выходных сигналов.
Наименьшее число ЭП определяется величиной 13 EMBED Equation.3 1415, где п число внутренних состояний автомата. Эта же формула используется и для определения количества букв для кодирования входных и выходных сигналов:
13 EMBED Equation.3 1415, где п число входных сигналов (букв входного алфавита X).
13 EMBED Equation.3 1415, где п число выходных сигналов (букв выходного алфавита Y).
Для борьбы с «состязаниями»/гонками ЭП применяется методика противогоночного кодирования, предотвращая любую возможность перехода в «чужое» состояние под воздействием входных сигналов.
С точки зрения упрощения входной КЛС определенный эффект может дать следующий прием. Наиболее «популярные» состояния (по числу заходящих дуг) абстрактного автомата предлагается кодировать наименьшим числом единиц.
В результате строится кодированная таблица (или кодированный граф) переходов и выходов.
Шаг 3. Формирование по имеющейся кодированной таблице (графу) переходов и выходов функций возбуждения для каждого ЭП и выходных функций в виде соответствующих ФАЛ;
Шаг 4. Синтез входной и выходной КЛС; для этой цели применяются классические методы минимизации ФАЛ.
Пример проведения структурного синтеза по графу автомата
Синтезировать структурный автомат, представленный таблично и графом.
S0
S1
S2
S3
X1
S1
Y1
S0
Y2
S1
Y1
S0
Y1
X2
S2
Y2
S2
Y2
S3
Y1
S1
Y2
13 EMBED Word.Picture.8 1415
1. Выбор элементного базиса
– логические элементы И ИЛИ НЕ
– В качестве элементов памяти выбран Т-триггер, т.к. число состояний графа небольшое и нет петель.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
T
Q t
Q t+1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
2. Кодирование
– входные сигналы 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 - потребуется минимум 1 буква для кодирования
– выходные сигналы13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - потребуется минимум 1 буква для кодирования
– внутренние состояния 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - потребуется минимум 2 Т-триггера
X
a
Y
b
X1
0
Y1
0
X2
1
Y2
1
S
Z1
Z2
S0
0
1
S1
0
0
S2
1
0
S3
1
1
Данный вариант кодирования основан на следующем: состояние автомата с наибольшем числом заходящих дуг кодируется нулями, т.о. состояние, куда заходит наименьшее число дуг кодируется единицами. Остальные – промежуточными вариантами.
Построение кодированной таблицы переходов и выходов.
Код вх.букв
Код сост в момент T
Код сост в момент T+1
Функции возбуждения
Код вых.букв
a
Z1(t)
Z2(t)
Z1(t+1)
Z2(t+1)
V1
V2
b
X1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
X2
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Запись кодов состояний.
В столбцы Z1(t) и Z2(t) записывается набор кодов состояний автомата последовательно для всех вариантов кодов входных букв. Для данного примера – сначала перечислены все коды состояний (01; 00; 10; 11) для кода входной буквы X1 , затем записываются все коды состояний для кода входной буквы X2 .
В столбцы Z1(t+1) и Z2(t+1) записываются коды состояний автомата, в которые по соответствующей букве происходит переход. Происходит анализ переходов по графу или таблице автомата. Например (1-я строка кодированной таблицы переходов), из состояния S0 (код 01) по входной букве X1 (код 0) происходит переход в состояние S1 (код 00), в столбец «код вых.буквы» (b) этой же строки будет записан код выходной буквы Y1 (код 0), т.е. выходная реакция, соответствующая этому переходу. На рисунке ниже представлен рассмотренный переход графа автомата.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. Переход графа автомата
Если из текущего состояния перехода по указанной входной букве нет, то начиная со столбцов Z1(t+1) и Z2(t+1) и до конца в текущей строке записываются прочерки и в последующем строка исключается из рассмотрения.
При заполнении столбцов функций возбуждения. Потребуется анализ таблицы переходов T-триггера.
T
Q t
Q t+1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Для заполнения столбца V1 проводится анализ столбцов Z1(t) и Z1(t+1) . Столбец Z1(t) сопоставляется со столбцом Q t таблицы переходов T-триггера, а Z1(t+1) с Q t+1 таблицы переходов T-триггера. Например, в рассматриваемой 1-й строке кодированной таблицы в столбцах Z1(t) и Z1(t+1) стоят 0 и 0 соответственно, далее в таблице переходов Т-триггера в столбцах Q t и Q t+1 ищется такая же комбинация 0 и 0 и соответствующее значение столбца T записывается в ячейку столбца V1 . Выполнив такие же действия с данными столбцов Z2(t) и Z2(t+1) (имеем 1 и 0) в в ячейку столбца V2 будет записана 1, соответствующая комбинации 10 для Q t и Q t+1 таблицы переходов T-триггера.
На нижеследующем рисунке схематично представлено заполнение строки кодированной таблицы переходов.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. Схема заполнения кодированной таблицы переходов
Запись функций возбуждения.
Для записи ФВ используются строки, содержащие 1 в столбце, соответствующем рассматриваемой ФВ. Для анализа потребуются столбцы a, Z1(t) и Z2(t) . 1 соответствует истинному значению столбца, 0 – его отрицанию, т.е., если в анализируемой строке столбца а записан 0, то в выражение для ФВ будет записано «13 EMBED Equation.3 1415», если стоит 1, то будет записано «а». Логическое произведение значений столбцов a, Z1(t) и Z2(t) для строк, содержащих 1 записывается через логическое ИЛИ.
Если в столбце ФВ находятся все 0, то ФВ равна 0 (V=0) и в КЛС на вход триггера, которому соответствует данная ФВ подается 0.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Запись функций выходов выполняется аналогично записи ФВ, т.е. анализируются строки, содержащие 1 в рассматриваемом столбце.
13 EMBED Equation.3 1415
Построение КЛС на основе логических выражений для ФВ и функций выходов.
Сначала логическими элементами формируются ФВ
Алгоритмическая система Тьюринга
Первоначально, исходя из условия задачи, надо определить входной алфавит, т.е. символы, которые будут находиться на ленте для данной задачи. В процессе решения задачи – написания алгоритма для работы МТ входной алфавит может быть дополнен.
Затем придумать идею алгоритма, т.е. как будет двигаться головка МТ – управляющая головка (УГ), где будет начальное ее положение. Алгоритм работы МТ может немного напоминать алгоритм сортировки (надеюсь, что не запутала вас). Начальное положение головки МТ вы выбираете сами, исходя из идеи алгоритма. Так как лента бесконечная, то для конкретной задачи, для упрощения ее решения можно ограничить последовательность символов некоторыми специальными, либо ввести в рассмотрение знак пробела.
Определить начальное состояние. В большинстве случаев, это первое из состояний, записанных в таблице.
Получается, что в соответствии с алгоритмом УГ бегает направо – налево вдоль ленты и производит предписанные алгоритмом действия.
Для упрощения построения алгоритма можно нарисовать частный случай задачи и на нем попытаться придумать алгоритм, а потом, когда станет ясна идея, переделать алгоритм для любого варианта расположения символов на ленте для данной задачи.
Задача 1.
Построить МТ, которая определяет четность или нечетность числа 1 в строке. Конец последовательности помечается символом В, затем в эту ячейку будет записан результат.
Допущение: Управляющая головка (УГ) находится под первым символом последовательности (если специально не оговорено, определяется человеком решающим задачу).
1
0
1
1
0
1
1
В
^
Алгоритмическая идея: МТ требуется 2 состояния: одно для нечетного числа 1, другое для четного. Исходя из условия, результат будет записан в ячейку с символом В – 0 при четном числе 1, 1 – при нечетном. Для учета уже посчитанных/пройденных 1, каждая встретившаяся и учтенная 1 стирается, т.е. на ее место записывается 0.
S1
S2
Установим: S1 – состояние для четного числа 1, S2 – для нечетного.
0
S1 П
S2 П
В начальный момент времени, находимся в состоянии S1
1
0 S2 П
0 S1 П
B
0 S1 !
1 S2 !
Действие: УГ устанавливается в очередную ячейку. Если там записана 1, то на ее место записывается 0, МТ переходит в противоположное состояние, и УГ передвигается в следующую ячейку. Движение УГ слева направо. Если в рассматриваемой ячейке записан 0, то состояние не меняется, УГ передвигается вправо к следующей ячейке. Если встретился символ В – надо анализировать, в каком состоянии находится МТ в этот момент. Если в S1, то на место В записывается 0, если в S2, то записывается 1 и происходит остановка МТ.
Задача 2.
Построить МТ, для проверки скобочных выражений. МТ должна решить, является ли последовательность из левых и правых скобок правильной, т.е. каждой левой скобке ( должна соответствовать правая ). Начало и конец последовательности ограничены символами А.
Допущение: Управляющая головка (УГ) находится под первой слева скобкой.
0
0
А
(
(
)
(
)
)
А
^
Алгоритмическая идея: Ищется первая правая ) скобка, затем первая левая (, ей парная, и обе заменяются символом Х. Вычеркивание парных скобок продолжается до тех пор, пока не произойдет одно из событий:
МТ, продвигаясь влево не находит парного символа ( , при достижении символа А она на его месте печатает символ 0 и останавливается.
МТ, продвигаясь вправо не находит ни одного символа ) и достигает символа А. В этом случае МТ начинает движение влево и проверяет – не остался ли какой-то из символов ( :
Если такой ( символ найден, то на месте А печатается 0
Если нет символа ( , то на месте символа А печатается 1.
Состояние S1 предписывает движение вправо (П)
Состояние S2 предписывает движение влево (Л)
Состояние S3 предписывает движение влево (Л), когда не найдено ни одной ")". Т.е. головка приходит к правому А и при продвижении влево при нахождении "(" переходит в S4, для того, чтобы поставить символ 0 вместо левого А
Начальное состояние S1.
S1
S2
S3
S4
)
Х S2 Л
Л
-
-
(
П
Х S1 П
S4 Л
Л
А
S3 Л
0 !
1 !
0 !
Х
П
Л
Л
Л
Прочерк "-" в программе МТ означает, что быть такой ситуации для данной задачи не может.
Задача 3. Построить МТ, переворачивающую любое слово в алфавите А={а,в}. Т.е. построить зеркальное отображение заданного слова.
Например.
Чтобы знать, где начинается слово, в соответствующую ячейку ленты запишем *. Конец последовательности символов слова означает пробел (().
*
а
а
в
а
в
(
(
(
^
Таким образом, алфавит для написания программы МТ будет состоять из: а, в, *, (.
Алгоритмическая идея: УГ устанавливается на последний символ слова. МТ находится в состоянии S1. Если это символ алфавита А={а,в}, то символ стирается, т.е. вместо него ставиться пробел (, МТ переходит в другое состояние, УГ начинает движение направо и ищет первый пробел. Найдя его она печатает на его месте стертый символ и переходит в состояние, отвечающее за продвижение налево, т.е. за возврат к анализируемому слову. В этом состоянии УГ движется налево до первого пробела, а найдя его сдвигается еще раз налево (к следующей ячейке) и переходит в состояние S1, отвечающее нахождение очередного символа слова для стирания. Если в состоянии S1 МТ в ячейке обнаруживает *, то это означает, что все символы проанализированы, зеркальное отображение построено. Происходит останов МТ.
Пошаговый пример построения зеркального отображения слова.
*
а
а
в
а
в
(
(
(
^
*
а
а
в
а
(
в
(
(
^
(
*
а
а
в
а
(
в
(
(
^
(
*
а
а
в
(
(
в
а
(
^
*
а
а
в
(
(
в
а
(
^
*
а
а
(
(
(
в
а
в
(
(
^
*
а
а
(
(
(
в
а
в
(
(
^
*
а
(
(
(
(
в
а
в
а
(
^
*
а
(
(
(
(
в
а
в
а
(
^
*
(
(
(
(
(
в
а
в
а
а
^
*
(
(
(
(
(
в
а
в
а
а
^
Программа МТ
Начальное состояние S1.
S1
S2
S3
S4
а
( S2 П
П
П
Л
в
( S3 П
П
П
Л
*
!
-
-
-
(
Л
а S4 Л
в S4 Л
S1 Л
Состояния S2 и S3 отличаются тем, что на месте найденного пробела в одном случае (S2) печатают "а", соответственно вместо стертой "а", а в другом печатается "в".
Задача 4. Построить МТ для сложения двух чисел в унарной с/с.
Например.
|
|
|
+
|
|
|
^
Алгоритмическая идея. Перенести все символы второго числа на свободное место перед первым числом, таким образом, все символы окажутся вместе – получится суммарное унарное число.
УГ установить на последний символ второго числа. Записать на его место пробел (стереть символ), перейти в другое состояние (чтобы при встрече очередной "|" выполнять другие действия, а не стирания, как в предыдущем состоянии) и двигаться налево до первого пробела. Найдя его, записать на его место стертую "|" и перейти в другое состояние, отвечающее за движение направо – для поиска очередного символа второго числа. Действовать, пока все "|" второго числа не будут записаны перед первым числом.
Программа МТ
Начальное состояние S1.
S1
S2
S3
1
( S2 Л
Л
П
(
-
1 S3 Л
S1 Л
+
!
Л
П
Есть еще вариант. Последний символ второго унарного числа перенести на место "+". Получится суммарное унарное число ни чем не разделенное.
Но в этом случае надо быть точно уверенным, что между числами и знаком "+" не стоят никакие другие символы (пробелы и т.п.), либо проверять.
Нормальный алгоритм Маркова
К исходному слову P применяют по порядку каждую пару из схемы подстановок. Если подстановка возможна, то ее осуществляют и все начинают сначала. Выполнение алгоритма прекращается, когда нет ни одной допустимой подстановки. В результате получается конечное слово Q.
Например, нормальная схема: ab ->ba, ac -> ab, aa -> bc.
Если входное слово acabba, то:
acabba -> acbaba -> acbbaa -> abbbaa -> babbaa -> bbabaa -> bbbaaa -> bbbbca.
То, что ниже взяла из инета, но вроде тоже читаемо. Основная операция при работе алгоритмов Маркова – это переработка слов в некотором алфавите. Эта переработка заключается в производстве некоторого количества замен определенных последовательностей символов. Эти замены совершаются в СТРОГО определенном порядке, а именно: после каждой замены алгоритм читается с самого начала, а слово анализируется с самого первого символа. В отличие от машин Тьюринга, алгоритмы Маркова выполняются без какого – либо устройства, осуществляющего движения и имеющего внутреннюю память. В данном случае мы можем оперировать только ленточными знаками. Сама лента в этом случае не разделяется на строгие ячейки, а имеет гибкую основу, что позволяет ей растягиваться и сжиматься исходя из того, увеличивается ли в слове число символов или уменьшается.
Формат команды (строки) следующий
{ai} ( {bj} [],
где
{ai} – последовательность символов, которая ищется в слове
( - знак перехода к операции записи
{bj} - последовательность символов, которая записывается вместо найденной
[] - знак принудительного окончания алгоритма (необязательный параметр)
Программа (алгоритм) представляет собой совокупность строк указанного вида, причем порядок строк имеет важнейшее значение. Окончание работы алгоритма происходит в тот момент, когда выполняется строка, содержащая знак принудительной остановки, либо тогда, когда более ни одна строка не может быть выполнена (в слове нет ни одной из искомых последовательностей символов).
Например, алгоритм, состоящий из одной строки, вида
0 ( *
будучи примененным к слову в алфавите {0,1}, заменит все нули на звездочки.
В свою очередь алгоритм
0 ( *
будучи примененным к слову в алфавите {0,1}, заменит на звездочку первый встреченный ноль.
Довольно сложная для реализации на машинах Тьюринга задача сортировки слова по возрастанию, допустим в алфавите {0,1,2}, решается при помощи Маркова весьма изящно:
20 ( 02
10 ( 01
21 ( 12
Некоторые задачи переработки слов нельзя решить без расширения алфавита.
Например, дано произвольное двоичное слово. Надо убрать из него два первых знака.
Рассмотрим алгоритм вида:
00 (
01 (
10 (
11 (
Если в слове случайно первыми двумя символами были нули (например, «001011»), то алгоритм действительно выполнит указанную задачу. Также работа закончится успешно, если в слове ни разу не встретилось два нуля подряд, а первыми символами оказалась пара 01 (например, «01011101»). Но в слове 1100101 выбросятся два нуля, которые вовсе не являются первыми символами слова. В этом случае существующий алфавит надо расширить вспомогательными буквами, которых нет в начальном слове и которые появляются в ходе вычисления. По сути, это некоторые аналоги внутренней памяти (состояний машин Тьюринга). Они вводятся с помощью формулы
· (
· (
· – вспомогательная буква) или, что более корректно, пары формул
· 0 (
· 0
· 1 (
· 1
Применив такие продукции к слову
· 1100101
· получим:
·
· 1100101
·
Дальше мы «тащим» эту букву по слову вправо, стирая и отсчитывая символы
(стерли первый):
· 0 (
·
· 1 (
·
(стерли второй):
· 0 (
· 1 (
Однако если мы расположит эти строки в обычном порядке, а именно:
· 0 (
· 0
· 1 (
· 1
· 0 (
·
· 1 (
·
· 0 (
· 1 (
алгоритм будет работать совсем не так, как хотелось бы. В частности вся его деятельность будет сводиться к созданию бесконечно большого числа символов
· поочередно со стиранием символов слова. Это связано с тем, что после выполнения каждой замены управление передается снова первой строке, а слово анализируется с левого символа. Поэтому чаще всего алгоритм пишется как бы «снизу-вверх», т.е. в самом начале ставятся строки, относящиеся к группе «окончание алгоритма», далее «тело программы» и в самом низу блок «инициализация», которая будет выполняться только однажды, а затем управление перейдет к более ранним строкам.
Правильный алгоритм выглядит следующим образом.
· 0 (
· 1 (
· 0 (
·
· 1 (
·
· 0 (
· 0
· 1 (
· 1
Ту же самую задачу можно решить и использовав всего один дополнительный символ:
·00 (
·01 (
·10 (
·11 (
·0 (
·1 (
· 0 (
· 0
· 1 (
· 1
Таблицы, графы и матрицы переходов.
Дискретный марковский процесс. Пять состояний.
Рис.. Граф состояний
Таблица переходов:
1
2
3
4
5
1
0.1
0.2
0.3
0
0.4
2
0
0.5
0.1
0.4
0
3
0
0
0
0.7
0.3
4
0.2
0.1
0
0.3
0.4
5
0.1
0.2
0.4
0
0.3
Система уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Результат:
----------------Экспериментальная часть----------------
Матрица состояний имеет следующий вид:
0.1 0.3 0.6 0.6 1.0
0.0 0.5 0.6 1.0 1.0
0.0 0.0 0.0 0.7 1.0
0.2 0.3 0.3 0.6 1.0
0.1 0.3 0.7 0.7 1.0
Вероятности равны:
p1 = 0.11 p2 = 0.186 p3 = 0.165 p4 = 0.262 p5 = 0.277
----------------Теоретическая часть----------------
Изначальная матрица переходов имеет вид:
0.1 0.2 0.3 0.0 0.4
0.0 0.5 0.1 0.4 0.0
0.0 0.0 0.0 0.7 0.3
0.2 0.1 0.0 0.3 0.4
0.1 0.2 0.4 0.0 0.3
Среднее значение рядка 1 = 1.0
Среднее значение рядка 2 = 1.0
Среднее значение рядка 3 = 1.0
Транспонируем матрицу:
0.1 0.0 0.0 0.2 0.1
0.2 0.5 0.0 0.1 0.2
0.3 0.1 0.0 0.0 0.4
0.0 0.4 0.7 0.3 0.0
0.4 0.0 0.3 0.4 0.3
Умножаем матрицу на следующий вектор:
1.0
0.0
0.0
0.0
0.0
Вероятности равны:
p1= 0.1 p2= 0.2 p3= 0.3 p4= 0.0 p5= 0.4
Вероятности равны:
p1= 0.05 p2= 0.2 p3= 0.21 p4= 0.29 p5= 0.25
Вероятности равны:
p1= 0.088 p2= 0.189 p3= 0.135 p4= 0.314 p5= 0.274
Вероятности равны:
p1= 0.099 p2= 0.1983 p3= 0.1549 p4= 0.2643 p5= 0.2835
Вероятности равны:
p1= 0.0912 p2= 0.2021 p3= 0.1629 p4= 0.267 p5= 0.2769
Вероятности равны:
p1= 0.0902 p2= 0.2014 p3= 0.1584 p4= 0.2749 p5= 0.2753
Вероятности равны:
p1= 0.0915 p2= 0.2013 p3= 0.1573 p4= 0.274 p5= 0.2762
Таблицы
Табличный метод структурного синтеза конечных автоматов. Структурный синтез конечных автоматов заключается в выборе типов элементарных автоматов, в составлении функции возбуждения каждого элементарного автомата и функций кодированных выходов заданного автомата. На этапе структурного синтеза выбираем способ кодирования состояний, входных и выходных сигналов автомата, в результате чего составляют кодированные таблицы переходов и выходов. Функции возбуждения элементарных автоматов и функции выходов получаются на основе кодированной таблицы переходов и выходов. Рассмотрим примеры синтеза, которые позволяют сформулировать общий алгоритм структурного синтеза конечных автоматов
Графы
Конечным автоматом (в дальнейшем – просто автоматом) называется система S={A, Q, V,d, l}, в которой A={а1, ..., a.m}, Q={q1, ..., qn}, V={v1, ..., vn} конечные множества (алфавиты), а d: QґA>Q иl: QґA->V – функции, определенные на этих множествах. А называется входным алфавитом, V – выходным алфавитом, Q – алфавитом состояний, d – функцией переходов, l – функцией выходов. Если, кроме того, в автомате S выделено одно состояние, называемое начальным (обычно будет считаться, что это q1), то полученный автомат называется инициальным и обозначается (S, q); таким образом, по неинициальному автомату с п состояниями можно п различными способами определить инициальный автомат. Поскольку функции d и l определены на конечных множествах, их можно задавать таблицами. Обычно две таблицы сводятся в одну таблицу dґl: QґA->QґV, называемую таблицей переходов автомата, или просто автоматной таблицей.
Еще один распространенный и наглядный способ задания автомата ориентированный мультиграф, называемый графом переходов или диаграммой переходов. Вершины графа соответствуют состояниям; еслиd(qi, аj) = qk и l(qj, аj) = vl, то из qi в qj ведет ребро, на котором написаны qj и vl.
Матрицы переходов
ПОКАМиМ - программа обработки конечных автоматов Мили и Мура. Данная программа обрабатывает конечные автоматы Мили и Мура, включая автоматы с неопределенными состояниями. Программа выполняет следующие функции: 1) Преобразование входных последовательностей в выходные 2) Преобразование автомата Мили в эквивалентный автомат Мура и обратно 3) Минимизация числа состояний автоматов Мили и Мура 4) Преобразование таблично заданных автоматов Мили и Мура в графическую форму Допустимое число состояний не более 32. Исходные данные вводятся в таблицы при помощи клавиатуры. При этом указывается только номер состояния или выходного сигнала (без буквенного префикса). Направление преобразования автомата определяется радиокнопкой на вкладке "Автоматы". Для преобразования автомата необходимо нажать кнопку "Преобразовать автоматы". После преобразования станет доступным построение графов. Минимизация проводится и для автомата Мили и для автомата Мура одновременно. При задании входного слова следует последовательно ввести только номера входных сигналов.
Комбинаторика
Решение комбинаторных задач связано с выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих определенными свойствами, и упорядочением множеств. Область математики, которая исследует решение комбинаторных задач, называется комбинаторикой. Все задачи, рассматриваемые комбинаторикой, требуют ответа на вопрос «сколько?» или «сколькими способами?».
Правило суммы. Если элемент a из одного множества можно выбрать m способами, а элемент b из другого множества – k способами, то выбор «либо a, либо b» можно осуществить m + k способами, при условии, что данные множества не пересекаются.
Правило произведения. Если элемент a из одного множества можно выбрать m способами, а элемент b из другого множества – k способами, то выбор пары «a и b» можно осуществить m · k способами.
Перестановка n элементов из n элементов.
Дано множество, состоящее из n элементов. Перестановкой называется упорядоченное множество, составленное из данных элементов. Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты перестановок: {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначается Pn и
находится по формуле Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · · 2 · 1 = n!
Число n! читается как «n факториал». Считается, что 1! = 1, 0! = 1.
Размещение без повторений из n элементов по k элементам
Дано множество, состоящее из n элементов. Размещением без повторений
из n элементов по k называется перестановка из k элементов, выбранных из n-элементного множества один раз. Например, для множества {a, b, c}
существуют следующие варианты размещений без повторений по 2 элементам:
{a, b}, {a, c}, {b, a}, {b, c}, {c, a}, {c, b}.
Число всевозможных размещений без повторений k из n элементов
обозначается k Аn и находится по формуле
Размещение с повторениями из n элементов по k элементам
Дано множество, состоящее из n элементов. Размещением c повторениями из n элементов по k называется перестановка из k элементов, выбранных из n-элементного множества, причем каждый элемент может быть
выбран несколько раз. Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты размещений с повторениями по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {b, a}, {b, c}, {c, a}, {c, b}, {a, a}, {b, b}, {c, c}.
Число всевозможных размещений с повторениями k из n элементов
обозначается и находится по формуле
Сочетание без повторений из n элементов по k элементам
Дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием без повторений из n элементов по k элементам называется неупорядоченное подмножество данного множества, состоящее из k элементов. Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты сочетаний без повторений по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {c, b}. Число всевозможных сочетаний без повторения k из n элементов обозначается и находится по формуле
Сочетание с повторениями из n элементов по k элементам
Дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием с повторениями из n элементов по k называется неупорядоченное подмножество данного множества, состоящее из k элементов, причем элементы могут повторяться. Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты сочетаний без повторений по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {c, b}, {a, a}, {b, b}, {c, c}. Число всевозможных сочетаний с повторениями k из n элементов обозначается и находится по формуле
При решении комбинаторных задач в первую очередь необходимо определить, является ли эта задача комбинаторной, т. е. можно ли сформулировать задачу в форме вопроса «сколькими способами?». Затем определить, какое правило нужно применить для этого.
1. Нужно определить, о скольких множествах идет речь:
a. если два множества и более, то возможны два варианта:
i. объединение множеств (когда элементы множества
объединяются с помощью союза «или»), тогда применяется
правило суммы. Задача решена;
ii. пересечение множеств (когда элементы множества
объединяются с помощью союза «и»), тогда применяется
правило произведения. Задача решена;
b. если одно множество, то для определения формулы нужно обратиться
к пункту 2.
2. Определяем, сколько элементов множества участвуют в задаче:
a. если n элементов из n без повторов, применяется формула
перестановки Pn. Задача решена;
b. если k элементов из n, то воспользуемся таблицей 16 для определения
формулы. Задача решена.
Определение комбинаторной формулы
Детерминированные процессы . Общая характеристика методов моделирования.
При использовании явного метода сигнал, заданный какой-либо функцией, моделируется путем обращения к встроенным функциям языка программирования (библиотечным функциям). Использование программы MS Excel.
Стохастические процессы. Кривая Гильберта.
Статическое явление, развивающееся во времени согласно законам теории вероятности, называется стохастическим процессом. Мы часто будем называть его просто процессом, опуская слово «стохастический». Подлежащий анализу временной ряд может быть рассматриваться как одна частная реализация изучаемой системы, генерируемая скрытым вероятностным механизмом. Другими словами, анализируя временной ряд, мы рассматриваем его как реализацию стохастического процесса.
Наблюденный временной ряд (жирная линия) и другие временные ряды, являющиеся реализациями одного и того же стохастического ряда. Кривые Гильберта не просто красивы, они являются очень полезными конструкциями.
Функции Гильберта могут помочь в индексировании пространственных баз данных; при поиске записи, близкой по географическому положению они дают возможность определить приоритет для поиска.
Кроме баз данных эти кривые иногда используются в обработке изображений. При преобразовании изображения в оттенки серого через сглаживание черного и белого значения, превосходящие критические, могут быть перенесены с помощью использования гильбертовой кривой так, что на рисунке крайности будут менее очевидными для глаз.
В более высоких размерностях они могут быть использованы для планирования задач в компьютерных программах с параллельной обработкой данных, преобразования многомерного распределения задач в одномерное и привязки близких задач к точкам размещения с более высоким уровнем близости.
Математическое ожидание.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно, такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго.
Определение1: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина X может принимать только значения x1, x2, xn , вероятности которых соответственно равны p1, p2, pn . Тогда математическое ожидание M (X) случайной величины X определяется равенством
M (X) = x1 p1 + x2 p2 + + xn pn .
Eсли дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то
13 EMBED Equation.3 1415,
причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
Вероятностный смысл математического ожидания
Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина X приняла m1 раз значение x1, m2 раз значение x2 ,, mk раз значение xk , причем m1 + m2 + + mk = n. Тогда сумма всех значений, принятых X, равна x1 m1 + x2 m2 + + xk mk.
Среднее арифметическое 13 EMBED Equation.3 1415 всех значений, принятых случайной величиной, будет
13 EMBED Equation.3 1415,
или
13 EMBED Equation.3 1415
Отношение mi/n - относительная частота Wi значения xi приближенно равно вероятности появления события pi, где 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
Или 13 EMBED Equation.3 1415
Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Свойства математического ожидания
Свойство1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной
13 EMBED Equation.3 1415
Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания
13 EMBED Equation.3 1415
Определение2: Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы.
Определение3: Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Свойство3:Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
13 EMBED Equation.3 1415
Следствие: Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Свойство4:Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
13 EMBED Equation.3 1415
Следствие: Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Пример. Вычислим математическое ожидание биномиальной случайной величины X – числа наступления события A в n опытах.
Решение: Общее число X появлений события A в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Введем случайные величины Xi – число появлений события в i-ом испытании, которые являются Бернуллиевскими случайными величинами с математическим ожиданием 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. По свойству математического ожидания имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и p равно произведению np.
Дисперсия.
Дисперсия дискретной случайной величины
Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она принимает, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики.
Определение1: Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: X – M(X).
Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю: M[X – M(X)] = 0.
Доказательство: Пользуясь свойствами математического ожидания и тем, что M(X)- постоянная величина, имеем
M[X – M(X)] = M(X) – M[M(X)] = M(X) –M(X)= 0.
Замечание: Наряду с термином “отклонение” используют термин “центрированная величина”. Центрированной случайной величиной 13 EMBED Equation.3 1415называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: 13 EMBED Equation.3 1415= X – M(X).
Определение2:Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = M[X – M(X)]2.
Пусть дискретная случайная величина задана рядом распределения
X
x1
x2
x3
..
xn
P
p1
p2
p3
..
pn
Тогда
D(X) = M[X – M(X)]2 = [x1-M(X)]2p1+ [x2-M(X)]2p2++ [xn-M(X)]2pn.
Таким образом, чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности
Для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться другой формулой:
D(X) = M(X2) – [M(X)]2.
Доказательство: D(X) = M[X – M(X)]2=M[X2 - 2X
·M(X) + M2(X)]= M(X2) – 2M(X)
·M(X) + M2(X) =
= M(X2) – 2M2(X)+ M2(X) = M(X2)- M2(X).
Таким образом, дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания
Свойства дисперсии
Свойство1: Дисперсия постоянной величины С равна нулю
13 EMBED Equation.3 1415
Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат
13 EMBED Equation.3 1415
Свойство3:Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
13 EMBED Equation.3 1415
Следствие1: Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
Следствие2: Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины.
Свойство4:Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
13 EMBED Equation.3 1415
Типовые распределения
Распределение Бернулли
Определение1: Случайная величина X, принимающая два значения 1 и 0 с вероятностями (“успеха”) p и (“неуспеха”) q, называется Бернуллиевской:
13 EMBED Equation.3 1415, где k=0,1.
Биномиальное распределение
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления q = 1 - p).
Рассмотрим случайную величину X – число появлений события A в этих испытаниях. Случайная величина X принимает значения 0,1,2,n с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли: 13 EMBED Equation.3 1415, где k = 0,1,2,n.
Определение2: Биномиальным называют раcпределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, поэтому для подсчета соответствующих вероятностей используют локальную теорему Лапласа, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Локальная теорема Лапласа: Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность 13 EMBED Equation.3 1415 того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание1: Таблицы, в которых помещены значения функции 13 EMBED Equation.3 1415, даны в приложении 1, причем 13 EMBED Equation.3 1415. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 является плотностью стандартного нормального распределения (смотри нормальное распределение).
Если нужно вычислить вероятность того, что событие A появится в n испытаниях не менее k1 раз и не более k2 раз, то нужно использовать интегральную теорему Лапласа:
Интегральная теорема Лапласа: Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность 13 EMBED Equation.3 1415 того, что событие A появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Другими словами, вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание2: Функцию 13 EMBED Equation.3 1415 называют функцией Лапласа (смотри нормальное распределение). Таблицы, в которых помещены значения функции 13 EMBED Equation.3 1415, даны в приложении 2, причем 13 EMBED Equation.3 1415.
Распределение Пуассона
Определение3: Дискретную случайную величину называют Пуассоновской, если ее закон распределения имеет следующий вид:
13 EMBED Equation.3 1415 ,где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415(постоянное значение).
Примеры Пуассоновских случайных величин:
Число вызовов на автоматическую станцию за промежуток времени T.
Число частиц распада некоторого радиоактивного вещества за промежуток времени T.
Число телевизоров, которые поступают в мастерскую за промежуток времени T в большом городе.
Число автомобилей, которые поступят к стоп-линии перекрестка в большом городе.
Замечание1: Специальные таблицы для вычисления данных вероятностей приведены в приложении 3.
Замечание2: В сериях независимых испытаний ( когда n велико, p мало) для вычисления вероятности наступления события ровно k раз используют формулу Пуассона: 13 EMBED Equation.3 1415,где 13 EMBED Equation.3 1415, то есть среднее число появлений событий остается постоянным.
Замечание3: Если есть случайная величина, которая распределена по закону Пуассона, то обязательно есть случайная величина, которая распределена по показательному закону и, наоборот (см. Показательное распределение).
Геометрическое распределение
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна p ( 0 < p < 1) и , следовательно, вероятность его непоявления
q = 1 - p. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось.
Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа х1= 1, х2= 2,
Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого “сложного события”, по теореме умножения вероятностей независимых событий, P ( X = k ) = q k-1p.
Определение.4: Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если ее закон распределения имеет следующий вид:
P ( X = k ) = q k-1p , где 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание1: Полагая k = 1,2,, получим геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (0< q <1). По этой причине распределение называют геометрическим.
Замечание2: Ряд 13 EMBED Equation.3 1415 сходится и сумма его равна единице. Действительно сумма ряда равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Гипергеометрическое распределение
Рассмотрим следующую задачу. Пусть в партии из N изделий имеется M стандартных (M
Обозначим через X случайную величину – число m стандартных изделий среди n отобранных. Тогда возможными значениями X будут 0, 1, 2,, min (M,n).
Используя классическое определение вероятности, получаем, что вероятность того, что среди n отобранных изделий ровно m стандартных будет равна
13 EMBED Equation.3 1415.
Определение5: Дискретная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение, если ее закон распределения имеет следующий вид:
13 EMBED Equation.3 1415, где m=0, 1, 2,, min (M,n).
Преобразования распределений.
Преобразования случайных величин
По каждой случайной величине Х определяют еще три величины – центрированную Y, нормированную V и приведенную U. Центрированная случайная величина Y – это разность между данной случайной величиной Хи ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y = Х – М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Y равно 0, а дисперсия – дисперсии данной случайной величины: М(Y)= 0, D(Y) =D(X). Функция распределения FY(x) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F(x) исходной случайной величины X соотношением:
FY(x) =F(x + M(X)).
Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство
fY(x) = f(x + M(X)).
Нормированная случайная величина V – это отношение данной случайной величины Х к ее среднему квадратическому отклонению , т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики Х так:
,
где v – коэффициент вариации исходной случайной величины Х. Для функции распределения FV(x) и плотности fV(x) нормированной случайной величины V имеем:
,
где F(x) – функция распределения исходной случайной величины Х, а f(x) – ее плотность вероятности.
Приведенная случайная величина U – это центрированная и нормированная случайная величина:
.
Для приведенной случайной величины
. (7)
Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.
Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если Y = aX + b, где a и b – некоторые числа, то
(8)
Пример 7. Если то Y – приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).
С каждой случайной величиной Х можно связать множество случайных величин Y, заданных формулой Y = aX + b при различных a>0 и b. Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством, порожденным случайной величиной Х. Функции распределения FY(x) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F(x). Вместо Y = aX + b часто используют запись
(9)
где
Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что Х – результат измерения некоторой величины – переходит в У – результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с, а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.
Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение Х называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).
Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины Х рассматривают Y = lg X, где lg X – десятичный логарифм числа Х. Цепочка равенств
FY(x) = P(lgX < x) = P(X < 10x) = F(10x)
связывает функции распределения Х и Y.
Теория очередей.
Очередь это линия ожидания. Теория очередей часть более широкой теории, в рамках которой проводятся оперативные исследования и создаются математические модели. Все это делается с одной целью решить проблемы, которые создает стояние в очередях. Здесь важно найти компромиссный вариант, учитывающий систему расходов и среднее время ожидания в очереди. анализировать телефонную систему в Копенгагене, чтобы разрешить проблему загруженности телефонных линий.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Первопроходцем в теории очередей был датский математик Агнер Краруп (1878-1929), взявшийся анализировать телефонную систему в Копенгагене, чтобы разрешить проблему загруженности телефонных линий.
В теории изучения очередей существуют законы Харпера, подобные знаменитым законам Мерфи.
Первый закон Харпера: неважно, в какую очередь ты становишься всегда есть одна, движущаяся быстрее остальных.
Второй закон Харпера: если ты переходишь в другую очередь, та, которую ты покинул, начинает двигаться быстрее.
Проблема очередей.
Современный человек проводит в ожидании более или менее значительную часть своей жизни. Разве есть среди нас те, кто никогда не стоял в очереди? Мир ожидания очень разнообразен: очереди машин на въезде на платную дорогу, очереди самолетов на выезде на взлетную полосу и, как следствие, очереди пассажиров к стойкам регистрации; очередь к банкоматам в больших зданиях, очередь на прием к врачу или очередь телефонных звонков, которые должны быть обработаны на пожарной станции... Это лишь некоторые примеры. Теория очередей пытается создать модели, поддающиеся последующей математической обработке.
Модели очередей
Некоторые модели очередей очень просты, другие требуют применения сложных математических теорий. Первичная классификация разбивает их на две большие группы.
Детерминированная очередь наиболее простая модель, которую можно заранее спрогнозировать, опираясь на известные условия, например, временные интервалы прибытия и ожидания. Это «очередь без сюрпризов».
Вероятностная очередь не может быть описана без применения вероятностей. Это более реалистичная модель, чем предыдущая. В дождливый день, например, есть большая вероятность того, что увеличатся очереди на стоянках такси и уменьшатся очереди в кассы зоопарка.
Системы массового обслуживания с отказами
В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем в процессе обслуживания не участвует.
Имеется n каналов в обслуживании, на которые поступает поток заявок с интенсивностью
·. Поток обслуживания имеет интенсивность
· (величина, обратная среднему времени обслуживания 13 EMBED Equation.3 1415). Требуется найти вероятности состояний СМО и характеристики ее эффективности.
Так как оба потока – заявок и освобождений – простейшие, процесс, протекающий в системе, будет марковским. Рассмотрим ее как систему с конечным множеством состояний:
13 EMBED Equation.3 1415 свободны все каналы;
13 EMBED Equation.3 1415 занят ровно один канал;
13 EMBED Equation.3 1415 заняты k каналов;
13 EMBED Equation.3 1415 заняты все n каналов/
Через 13 EMBED Equation.3 1415 обозначим вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии 13 EMBED Equation.3 1415.
Простейшие задачи для систем массового обслуживания с отказами были впервые решены А.К. Эрлангом. Им же были выведены формулы оценки функционирования этих систем при условии поступления простейшего потока заявок и для показательного закона распределения времени обслуживания.
Для установившегося процесса обслуживания при этих условиях Эрланг получил следующие зависимости.
Вероятность того, что обслуживанием заняты k аппаратов (линий, приборов и т.п.):
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 k – количество занятых аппаратов,
· – интенсивность потока заявок,
· – интенсивность потока обслуживания.
Частные случаи:
Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):
13 EMBED Equation.3 1415
Вероятность отказа (вероятность того, что все обслуживающие приборы заняты):
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда находим относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой, – вероятность того, что заявка будет обслужена:
13 EMBED Equation.3 1415
Абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, получим, умножив интенсивность потока заявок на относительную пропускную способность:
13 EMBED Equation.3 1415
Абсолютная пропускная способность – это интенсивность потока обслуженных системой заявок, а каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем
· заявок. Значит, среднее число занятых каналов равно
13 EMBED Equation.3 1415
Доля каналов, занятых обслуживанием (коэффициент загрузки):
13 EMBED Equation.3 1415
Системы массового обслуживания с неограниченным ожиданием.
Пусть имеется n-канальная СМО с очередью, на которую не наложено ограничений ни по длине очереди, ни по времени ожидания. В силу неограниченности очереди каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Для СМО с неограниченной очередью накладывается ограничение 13 EMBED Equation.3 1415. Если это условие нарушено, то очередь растет до бесконечности, наступает явление «взрыва».
Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):
13 EMBED Equation.3 1415
Вероятность занятости обслуживанием k каналов:
13 EMBED Equation.3 1415
Вероятность занятости обслуживанием всех каналов при отсутствии очереди: 13 EMBED Equation.3 1415
Вероятность наличия очереди есть вероятность того, что число требований в системе больше числа каналов:
13 EMBED Equation.3 1415
Вероятность для заявки попасть в очередь есть вероятность занятости всех каналов, эта вероятность равна сумме вероятностей наличия очереди и занятости всех n каналов при отсутствии очереди:
13 EMBED Equation.3 1415
Среднее число занятых обслуживанием каналов: 13 EMBED Equation.3 1415 (12)
Доля каналов, занятых обслуживанием: 13 EMBED Equation.3 1415 (13)
Среднее число заявок в очереди (длина очереди)
13 EMBED Equation.3 1415
Среднее число заявок в системе
13 EMBED Equation.3 1415
Среднее время ожидания заявки в очереди
13 EMBED Equation.3 1415
Среднее время пребывания заявки в системе 13 EMBED Equation.3 1415
Системы массового обслуживания с ожиданием и ограниченной длинной очереди.
Имеется n-канальная СМО с ожиданием, в которой количество заявок, стоящих в очереди, ограничено числом m, т.е. заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее m заявок.
Если число заявок в очереди равно m, то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему необслуженной.
Системы с ограниченной очередью являются обобщением двух рассмотренных ранее СМО: при m = 0 получаем СМО с отказами, при m = ( получаем СМО с ожиданием.
Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):
13 EMBED Equation.3 1415
Вероятность отказа в обслуживании равна вероятности 13 EMBED Equation.3 1415того, что в очереди уже стоят m заявок:
13 EMBED Equation.3 1415
Относительная пропускная способность есть величина, дополняющая вероятность отказа до 1, т.е. вероятность обслуживания:
13 EMBED Equation.3 1415
Абсолютная пропускная способность определяется равенством:
13 EMBED Equation.3 1415
Среднее число занятых обслуживанием каналов:
13 EMBED Equation.3 1415
Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди)
13 EMBED Equation.3 1415
Среднее время ожидания обслуживания в очереди 13 EMBED Equation.3 1415
Среднее число заявок в системе 13 EMBED Equation.3 1415
Среднее время пребывания заявки в системе
13 EMBED Equation.3 1415
Замкнутые системы массового обслуживания.
До сих пор мы рассматривали системы, в которых входящий поток никак не связан с выходящим. Такие системы называются разомкнутыми. В некоторых же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают на вход. Такие СМО называются замкнутыми.
Примеры:
Поликлиника, обслуживающая данную территорию.
Бригада рабочих, закрепленная за группой станков.
В замкнутых СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки.
В момент реализации оно поступает в саму систему. Например, рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта – в самой системе. Каждый работник является каналом обслуживания.
Пусть n – число каналов обслуживания, s – число потенциальных заявок, 13 EMBED Equation.3 1415,
· –интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, ( – интенсивность обслуживания, 13 EMBED Equation.3 1415. Поток
Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):
13 EMBED Equation.3 1415
Финальные вероятности состояний системы
13 EMBED Equation.3 1415
Через эти вероятности выражается среднее число замкнутых каналов:
13 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415
Через 13 EMBED Equation.3 1415 находим абсолютную пропускную способность системы
13 EMBED Equation.3 1415
а также среднее число заявок в системе
13 EMBED Equation.3 1415
Важно помнить. При применении экономического показателя важно правильно оценить реальные издержки, которые могут изменяться, например, от времени года, от объема запасов угля и пр.
На практике часто встречаются; замкнутые системы обслуживания, у которых входящий поток заявок существенным образом зависит от состояния самой СМО. В качестве примера можно привести ситуацию, когда на ремонтную базу поступают с мест эксплуатации некоторые машины: понятно, что чем больше машин находится в состоянии ремонта, тем меньше их продолжает эксплуатироваться и тем меньше интенсивность потока вновь поступающих на ремонт машин. Для замкнутых СМО характерным является ограниченное число источников заявок, причем каждый источник «блокируется» на время обслуживания его заявки (т.е. он не выдает новых заявок). В подобных системах при конечном числе состояний СМО предельные вероятности будут существовать при любых значения интенсивностей потоков заявок и обслуживании. Они могут быть вычислены, если вновь обратиться к процессу гибели и размножения
Построения сетевых моделей. Диаграмма Ганта.
Построение сетевой модели (структурное планирование) начинается с разбиения проекта на четко определенные работы, для которых определяется продолжительность. Работа – это некоторый процесс, приводящий к достижению определенного результата, требующий затрат каких-либо ресурсов и имеющий протяженность во времени. По количеству затрачиваемого времени работа может быть:
· действительной, т.е. требующей затрат времени;
· фиктивной, т.е. формально не требующей затрат времени.
Фиктивная работа может реально существовать, например, "передача документов от одного отдела к другому". Если продолжительность такой работы несоизмеримо мала по сравнению с продолжительностью других работ проекта, то формально ее принимают равной 0. Существуют фиктивные работы, которым в реальности не соответствуют никакие действия. Такие фиктивные работы только представляют связь между другими работами сетевой модели.
Работы связаны друг с другом таким образом, что выполнение одних работ может быть начато только после завершения некоторых других. Событие – это момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие. Событие представляет собой результат проведенных работ и, в отличие от работ, не имеет протяженности во времени.
Взаимосвязь работ и событий, необходимых для достижения конечной цели проекта, изображается с помощью сетевого графика (сетевой модели). Работы изображаются стрелками, которые соединяют вершины, изображающие события. Начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями. Поэтому для указания конкретной работы используют код работы , состоящий из номеров начального (i-го) и конечного (j-го) событий
Рисунок 1. Кодирование работы
Любое событие может считаться наступившим только тогда, когда закончатся все входящие в него работы. Поэтому работы, выходящие из некоторого события, не могут начаться, пока не будут завершены все работы, входящие в это событие. Событие, не имеющее предшествующих ему событий, т.е. с которого начинается проект, называют исходным. Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется завершающим.
Методические рекомендации по построению сетевых моделей.
При построении сетевого графика необходимо следовать следующим правилам:
· длина стрелки не зависит от времени выполнения работы;
· стрелка может не быть прямолинейным отрезком;
· для действительных работ используются сплошные, а для фиктивных – пунктирные стрелки;
· каждая операция должна быть представлена только одной стрелкой;
· между одними и теми же событиями не должно быть параллельных работ, т.е. работ с одинаковыми кодами;
· следует избегать пересечения стрелок;
· не должно быть стрелок, направленных справа налево;
· номер начального события должен быть меньше номера конечного события;
· не должно быть висячих событий (т.е. не имеющих предшествующих событий), кроме исходного;
· не должно быть тупиковых событий (т.е. не имеющих последующих событий), кроме завершающего;
· не должно быть циклов
Рисунок 2. Недопустимость циклов
Исходные данные для построения сетевой модели могут задаваться различными способами, например,
· описанием предполагаемого проекта. В этом случае необходимо самостоятельно разбить его на отдельные работы и установить их взаимные связи;
· списком работ проекта. В этом случае необходимо проанализировать содержание работ и установить существующие между ними связи;
· списком работ проекта с указанием их упорядочения. В этом случае необходимо только отобразить работы на сетевом графике.
Построение сетевого графика необходимо начинать с выявления исходных работ модели. Если согласно условию некоторая работа может выполняться, не ожидая окончания каких-либо других работ, то такая работа является исходной в сетевой модели и ее начальным событием является исходное событие. Если исходных работ несколько, то их стрелки выходят все из одного исходного события.
Если, согласно условию, после окончания некоторой работы не должны выполняться никакие другие работы, то такая работа является завершающей работой сетевой модели и ее конечным событием является завершающее событие. Если завершающих исходных работ несколько, то их стрелки заходят все в одно завершающее событие.
Если, согласно условию, несколько работ имеют общее начальное и общее конечное события, то они являются параллельными, имеют одинаковый код, что недопустимо. Для устранения параллельности работ вводят дополнительное событие и фиктивную работу (которой в реальности не соответствует никакое действие) таким образом, чтобы конечные события работ различались (рисунок 3.).
Рисунок 3. Устранение параллельности двух работ
Диаграмма Ганта.
Диаграмма Ганта (график Ганта) - это один из наиболее удобных и популярных способов графического представления времени выполнения задач. Как средство планирования используется в личном и корпоративном тайм-менеджменте; управлении проектами.
Диаграмма Ганта является наглядным и удобным инструментом для управления проектом. Несмотря на то, что при большом количестве задач она становится перегруженной, этот метод легок и доступен каждому.
Диаграммы Ганта используются в менеджменте для планирования и контроля (управление проектами), для составления графиков загрузки оборудования и ресурсов, планирования сроков, длительностей и логических связей работ, определение последовательности работ и т.д.
Диаграммы Гантта хорошо применять для описания детерминированных и почти статических процессов, в которых используется подавляющее большинство линейных ресурсов, технологические циклы которых хорошо известны и отработаны.
Метод планирования с помощью диаграмм Ганта реализован в современных программных продуктах: MS Project, Project Expert, Галактика ERP, MindManager Pro, MS Excel.
Диаграммы Ганта имеют ряд недостатков. Например, с их помощью довольно сложно планировать многовариантные взаимосвязанные цепочки работ (в строительных, военных, государственных проектах и на производстве). Кроме того, диаграммы Ганта удобно применять только для одного критического ресурса времени. При необходимости учитывать еще несколько ресурсов, например технологическую оснастку, диаграммы Ганта надо воспринимать как объемные, приобретающие ряд измерений по числу учитываемых ресурсов.
Диаграмма Ганта не является, строго говоря, графиком работ. И это один из основных её недостатков. Кроме того, диаграмма Ганта не отображает значимости или ресурсоемкости работ, не отображает сущности работ (области действия). Для крупных проектов диаграмма Ганта становится чрезмерно тяжеловесной и теряет всякую наглядность.
Указанные недостатки и ограничения серьёзно ограничивают область применения диаграммы.
Метод критического пути (МКП).
Временные параметры сетевых графиков и методика их расчета
Применение методов сетевого планирования и управления в конечном счете должно обеспечить получение календарного плана, определяющего сроки начала и окончания каждой операции. Построение сети является лишь первым шагом на пути к достижению этой цели. Вторым шагом является расчет сетевой модели, который выполняют прямо на сетевом графике, пользуясь простыми правилами.
К временным параметрам событий относятся:
ранний срок наступления события i – 13 EMBED Equation.3 1415;
поздний срок наступления события i – 13 EMBED Equation.3 1415;
резерв времени наступления события i – 13 EMBED Equation.3 1415.
Ранний срок наступления события 13 EMBED Equation.3 1415 – это время, необходимое для выполнения всех работ, предшествующих данному событию i. Оно равно наибольшей из продолжительности путей, предшествующих данному событию.
Поздний срок наступления события 13 EMBED Equation.3 1415 – это такое время наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети. Поздний срок наступления любого события i равен разности между продолжительностью критического пути и наибольшей из продолжительностей путей, следующих за событием i.
Резерв времени наступления события 13 EMBED Equation.3 1415 – это такой промежуток времени, на который может быть отсрочено наступление этого события без нарушения сроков завершения разработки в целом. Начальные и конечные события критических работ имеют нулевые резервы событий.
Рассчитанные численные значения временных параметров записываются прямо в вершины на сетевом графике следующим образом (рис. 1.6):
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Методика расчета временных параметров событий
Путем последовательного перехода от исходного события, ранний срок свершения которого равен нулю, к завершающему событию рассчитываются ранние сроки его свершения. Ранний срок наступления события представляет собой минимальный из возможных моментов наступления данного события при заданной продолжительности работ и начальном моменте. Ранний срок наступления j-го события 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – ранний срок наступления j-го события;
13 EMBED Equation.3 1415 – ранний срок наступления i-го события;
tij – средняя продолжительность работы ij;
k – число работ, непосредственно предшествующих j-му событию (все эти работы на сетевом графике обозначаются стрелками, входящими в кружок, обозначающий j-e событие).
Ранние сроки определяются величиной наиболее длительного отрезка пути от исходного до рассматриваемого события. При определении их около кружков карандашом проставляют длительность всех путей, ведущих от исходного события, и в левый сектор вносят максимальный из путей.
Путем последовательного перехода от завершающего события, поздний срок свершения которого равен величине критического пути, рассчитывают поздний срок его свершения. Этот срок 13 EMBED Equation.3 1415 определяется разностью продолжительности критического пути и максимальным из путей, следующим за этим событием
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – поздний срок наступления i-гo события;
13 EMBED Equation.3 1415 – поздний срок наступления j-гo события;
L – число работ, непосредственно следующих за i-м событием (все эти работы на сетевом графике обозначаются стрелками, выходящими из кружка, обозначающего i-e событие).
При определении поздних сроков свершения события около кружков записывают все возможные значения такой разности и в правый сектор вписывают минимальную величину разности. Поздний срок наступления завершающего события принимается равным раннему сроку наступления этого же события.
Разность между поздним и ранним сроками свершения событий есть резерв времени этого события. Резерв времени i-гo события Ri вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Полный резерв времени работы определяется как разность между поздним сроком свершения события, завершающего работу, и ранним сроком свершения, предшествующего работе события, минус продолжительность самой работы
13 EMBED Equation.3 1415.
После вычисления резервов времени определяется критический путь 13 EMBED Equation.3 1415, то есть полный путь, имеющий наибольшую продолжительность
13 EMBED Equation.3 1415.
Для него является характерным, что все события, принадлежащие ему, не имеют резервов времени (они равны нулю). При поиске критических путей следует помнить, что признаком критической работы являются нулевые значения резервов времени. Это означает, что каждая последующая критическая работа будет начинаться строго в момент окончания предыдущей критической работы.
Вследствие этого сдвиг любой из работ критического пути обязательно приведет к увеличению первоначальной длительности проекта (ТКР). Кроме того, следует учесть, что критический путь является полным, т. е. соединяет исходное и завершающее события сети.
Поэтому первая из работ критического пути всегда начинается в исходном событии сети с нулевого (начального) момента времени, а последняя из работ критического пути всегда завершается позже всех остальных работ сети в завершающем событии.
Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), программа Ms Excel.
Задана схема соединения приборов, составляющих систему контроля качества продукции. Вероятность отказа каждого из приборов в течение времени t одинакова и равна P1. Приборы выходят из строя независимо друг от друга. Используя метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), найти вероятность Р того, что система откажет за время t.
Задание 1
Выполнить имитационное моделирование эксперимента средствами табличного процессора MS Excel. Выполнить расчеты для 10 экспериментов, каждый из которых включает в себя 1000 испытаний системы. Для имитации состояния прибора в испытании использовать стандартную функцию СЛЧИС. Искомую вероятность отказа системы определить как среднее значение по результатам 10 экспериментов.
Задание 2
Выполнить имитационное моделирование эксперимента средствами языка программирования Паскаль. Для имитации состояния прибора в испытании использовать стандартную функцию Random. Предусмотреть в программе ввод значений числа экспериментов и числа испытаний системы в одном эксперименте. Выполнить расчеты для разных значений числа экспериментов (m) и числа испытаний в эксперименте (n). Заполнить таблицу с результатами расчетов в документе MS Word
Описание процедуры моделирования
Обычно числа, полученные с помощью программного генератора случайных чисел, подчиняются равномерному закону распределения. На практике это означает, что вероятности появления любого из чисел из некоторого заданного интервала одинаковы.
Допустим, все случайные числа принадлежат интервалу [0,1). Тогда попадание сгенерированного числа в интервал [0, 0.1) будет соответствовать выходу из строя испытуемого прибора, если эта вероятность равна 0.1. Попадание числа в интервал [0.1, 1) будет соответствовать безотказной работе прибора
Рисунок 1. Моделирование работы прибора
В том случае, если вероятность отказа каждого прибора равна 0.2, отказ прибора имитируется попаданием случайного числа в интервал [0, 0.2). Если вероятность отказа каждого прибора равна 0.3, отказ прибора имитируется попаданием случайного числа в интервал [0, 0.3) и т.д.
Так будет моделироваться работа любого из приборов, составляющих систему контроля качества. Компьютерная генерация случайных чисел, количество которых равно количеству приборов в системе, с проверкой условия, соответствующего схеме соединения приборов, будет соответствовать одному испытанию со всей системой. Под экспериментом будем понимать серию последовательных испытаний.
Построенная модель позволит многократно имитировать испытания, фиксируя всякий раз результат (безотказная работа или отказ системы). При большом количестве испытаний отношение числа отрицательных исходов (система вышла из строя) к общему числу испытаний даст приближенное значение вероятности Р выхода из строя системы за время t.
Метод оценки и пересмотра планов (ПЕРТ, PERT). Метод графической оценки и анализа (GERT).
Задача Составление расписания – базового плана по срокам. Процесс составления расписания состоит в анализе последовательности, продолжительности и ресурсных требований операций с целью определения дат старта и финиша операций проекта. При этом расписание должно быть скорректировано с учетом директивных дат (даты обязательства). На входе процесса составления расписания – базового плана по срокам – имеем:
сетевую диаграмму проекта;
оценку длительности операций;
описание потребности и доступности ресурсов, в т.ч. человеческих;
описание характеристик операций;
выявленные риски и план реагирования на риски.
На выходе:
расписание проекта;
план управления расписанием;
уточнение потребностей в ресурсах и другие документы.
Для составления расписания могут применяться различные методы. Метод критического пути (CPM – Critical Path Method) – это основной, первичный метод составления расписания, в котором задается одна, экспертная длительность для каждой операции и рассчитывается т.н. критический путь – последовательность операций, не допускающих задержек выполнения, т.е. имеющих нулевой резерв времени. Этот метод будет описан подробно позднее. Метод графического обзора и оценки (GERT – Graphical Evaluation and Review Technique) – это метод построения сетевых диаграмм, в котором можно учитывать вероятностный характер оценки длительности и логики выполнения операций. Здесь операция может не выполняться, выполняться частично или выполняться один и более раз.
Метод оценки и анализа проектов (PERT – Program Evaluation and Review Technique) использует последовательную сетевую логику и 3 оценки длительности операций: оптимистическую (О), наиболее вероятную (М), и пессимистическую (Р). Учитывают только операции критического пути. Далее, предполагая, что длительность расписания подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, для каждой операции критического пути вычисляют следующие характеристики по приведенным формулам:
ожидаемую длительность операции как математическое ожидание m ожидаемую длительность операции как математическое ожидание m
m = (P + 4M + O) / 6
стандартное (среднеквадратичное) отклонение операции (разброс)
· - сигма
· = (P – O) / 6
дисперсию операции d
d = [(P – O) / 6 ] 2
Общее время выполнения проекта вычисляют, как сумму ожидаемых длительностей операций критического пути.
Задачи оптимизации (программа Ms Excel).
К задачам оптимального планирования относится достаточно широкий круг задач оптимизации.
Задача оптимизации – это задача выбора таких условий и зависящих от них факторов, при которых критерий эффективности достигает экстремального значения.
Под решением задач оптимизации понимается процесс выбора таких значений переменных х, принадлежащих допустимой области D, которые обеспечивают оптимальное значение некоторой функции F(x), называемой целевой.
Если целевая функция линейна, а область допустимых значений задается системой линейных уравнений или неравенств, то такая задача является задачей линейного программирования.
Модель задачи линейного программирования должна иметь вполне определенный вид: требуется найти максимум (минимум) значения целевой функции L при переменных x1, x2, , xn.
Общая математическая формулировка задачи линейного программирования выглядит следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415, (1)
при соблюдении линейных ограничений
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Каждая из переменных не может принимать отрицательного значения, т. е.
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
В выражениях (1) и (2) коэффициенты aij и cj при переменных и величины bi – постоянные числа.
Решение системы уравнений (2) при выполнении условия (3) называется допустимым решением задачи линейного программирования.
Оптимальное решение – это допустимое решение, удовлетворяющее условию (1). Для нахождения оптимального решения следует иметь множество допустимых решений. Если число уравнений m в системе (2) равно числу переменных n, то такая система уравнений имеет только одно решение. В задачах линейного программирования число уравнений должно быть меньше числа переменных: m < n.
Все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть и в целевой функции. Свободные члены b1, b2, , bm в системе ограничений должны быть положительными или равны нулю (>=0).
Достаточно часто ограничения (2) задаются в виде системы неравенств.
Существует только одна переменная, и ищется только один экстремум.
Требуется найти такое неотрицательное решение системы (2), т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 (3.3), при котором функция L(x) достигает максимума или минимума.
Функция (1) – целевая функция; уравнение (2) – ограничения данной функции; неравенство (3) – условие не отрицательности.
В сокращенной записи задача линейного программирования заключается в минимизации (максимизации) функции
13 EMBED Equation.3 1415, (4)
при условиях, что
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
и
13 EMBED Equation.3 1415.
К типовым оптимизационным задачам линейного программирования можно отнести:
оптимизация производственной программы;
оптимизация раскроя материалов;
оптимизация состава смеси;
оптимизация перевозок;
оптимизация финансовых показателей;
оптимизация штатного расписания и т. п.
решение задачи с помощью утилиты «Поиск решения»
Прикладной программный продукт ТП Excel фирмы Microsoft содержит в своем составе достаточно мощное средство для решения задач оптимизации с учетом ограничений. Это так называемая утилита «Поиск решения» (см. рисунок 1). Прокомментируем некоторые аспекты работы с этой утилитой.
Рисунок 1 – Окно утилиты «Поиск решения»
Искомые переменные – ячейки рабочего листа Excel – называются регулируемыми ячейками.
Целевая функция L(х1, х2, ..., хn), называемая иногда просто целью, должна задаваться в виде формулы в ячейке рабочего листа. Эта формула может содержать функции, определенные пользователем, и должна зависеть (ссылаться) от регулируемых ячеек. В момент постановки задачи определяется, что делать с целевой функцией. Возможен выбор одного из вариантов:
– найти максимум целевой функции L(х1, х2, ..., хn);
– найти минимум целевой функции L(х1, х2, ..., хn);
– добиться того, чтобы целевая функция L(х1, х2, ..., хn) имела фиксированное значение: L(х1, х2, ..., хn) = а.
Функции G(х1, х2, ..., хn) называются ограничениями. Их можно задать как в виде равенств, так и неравенств.
На регулируемые ячейки (искомые параметры – х1, х2, ..., хn) можно наложить дополнительные ограничения: неотрицательности и/или целочисленности, тогда решение ищется в области положительных и/или целых чисел.
Под эту постановку попадает самый широкий круг задач оптимизации, в том числе решение различных уравнений и систем уравнений, задачи линейного и нелинейного программирования.
Управление диалоговым окном утилиты «Поиск решения» (см. рисунок 1) осуществляется следующим образом:
установить целевую ячейку – служит для указания целевой ячейки, значение которой необходимо максимизировать, минимизировать или установить равным заданному числу. Эта ячейка должна содержать формулу для вычисления целевой функции;
равной – служит для выбора варианта оптимизации значения целевой ячейки (максимизация, минимизация или подбор заданного числа). Чтобы установить число, его необходимо ввести в поле;
изменяя ячейки – служит для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в поле «Установить целевую ячейку». В этих ячейках должны содержаться переменные оптимизационной модели;
ограничения – служат для отображения списка граничных условий поставленной задачи;
выполнить – служит для запуска поиска решения поставленной задачи.
«Поиск решения» позволяет представить результаты в виде трех отчетов: Результаты, Устойчивость и Пределы.
Для генерации одного или нескольких отчетов выделяются их названия в окне диалога «Результаты» утилиты «Поиск решения».
Отчет по устойчивости содержит информацию о том, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Этот отчет имеет два раздела: один для изменяемых ячеек, а второй для ограничений.
Отчет по результатам содержит три таблицы: в первой приведены сведения о целевой функции до начала вычисления, во второй – значения искомых переменных, полученные в результате решения задачи, в третьей – результаты оптимального решения для ограничений. Кроме того, содержится информация о параметрах каждого ограничения: статус и разница. Статус может принимать три состояния: связанное, несвязанное или невыполненное. Значение разницы – это разность между значением, выводимым в ячейке ограничения при получении решения, и числом, заданным в правой части формулы ограничения.
Отчет по пределам содержит информацию о том, в каких пределах значения изменяемых ячеек могут быть увеличены или уменьшены без нарушения ограничений задачи.
Постановка задачи в терминах рабочего листа Excel для использования утилиты «Поиск решения».
Разместим исходные данные на листе MS Excel.
В окне «Поиск решения» зададим целевую ячейку, изменяемые ячейки и ограничения (рисунок 2).
Рисунок 2 – Окно утилиты «Поиск решения» задачи.
7.2 Практические задания (ПЗ), расчётно-графические задания (РГЗ)
1. Решение:
1) Неориентированное ребро ориентированное ребро
2. Алгоритм проверки существования эйлерова пути
Представим динамику выполнения алгоритма проверки существования эйлерова пути (цикла) из вершины 0 для представленного на рисунке 1 графа. Цикл существует. Рисунок 1
Например, один из возможных путей прохождения всех ребер графа из вершины 0 может быть следующим: 0 – 1 – 2 – 0 – 6 – 4 – 2 – 3 – 4 – 5 – 0 В приведенном списке вершин, следующих за 0, каждая вершина является одновременно концом предыдущего ребра и началом следующего. В соответствии с алгоритмом: 0 – степень 4; 1 – 2; 2 – 4; 3 – 2; 4 – 4; 5 – 2; 6 – 2; Степени всех вершин четные, следовательно, эйлеров цикл в данном графе существует.
Рисунок 2
Граф, изображенный на рисунке 2 отличается от рисунка 1 только добавлением ребра (3 – 5). При этом степени вершин 3 и 5 стали нечетными. Согласно алгоритму проверки существования эйлерова цикла, основывающемуся на проверке четности степени каждой вершины, в данном графе цикла быть не может. Однако, если учесть следствие, по которому в точности две вершины имеют нечетную степень, то и в графе, изображенном на рисунке 1 должен существовать эйлеров путь. Пример такого пути: 3 – 2 – 4- 3 – 5 – 4 – 6 – 0 – 2 – 1 – 0 – 5. При этом две вершины, имеющие нечетную степень, находятся на концах такого пути.
Алгоритм поиска гамильтонова пути
Представим динамику выполнения рекурсивного алгоритма поиска гамильтонова пути (цикла) из вершины 0 для графа, представленного на рисунке 3.
Рисунке 3. Цикла не существует. 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 4-6 2-4 4-3 4-5 4-6 0-2 2-1 2-3 3-4 4-5 4-6 2-4 4-3 4-5 4-6 0-5 5-4 4-2 2-1 2-3 4-3 3-2 2-1 4-6 0-6 6-4 4-2 2-1 4-3 3-2 2-1 4-5 Представим динамику выполнения рекурсивного алгоритма поиска гамильтонова пути для представленного на рисунке 4 графа.
Цикл существует, например: 0 – 6 – 4 – 2 – 1 – 3 – 5 – 0. Рисунок 4. Продемонстрируем поиск цикла от вершины 1. 1-0 0-5 5-3 3-2 2-4 4-6 3-4 4-2 4-6 5-4 4-2 2-3 4-6 0-6 6-4 4-2 2-3 3-5 4-3 3-2 3-5 4-5 5-3 3-2 2-1
Искомый путь 1 – 0 – 6 – 4 – 5- 3 – 2 – 1 .
3. Задание
Изобразить конечные и бесконечные графы.
Определите, какие графы изображены
A ВСД
Е F
A, b – платоновы тела; c – неориентированный конечный однородный граф степени 2; d – неориентированный конечный однородный граф степени 1; е – неориентированный конечный однородный граф степени 4; f – ориентированный бесконечный однородный граф степени 2.
4. Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине. Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение надо начинать от любой нечетной вершины, а закончить на другой нечетной вершине.
Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
В задаче о кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа нечетные, то есть нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат.
5. Строим граф, присоединяя к пустому графу на множестве вершин заданного графа ребро наименьшего веса. К полученному графу последовательно присоединяем остальные ребра, выбирая на каждом шаге ребро наименьшего веса, не образующее цикл с имеющимися ребрами. В нашем случае начинаем с ребра весом 13 – наименьшего в графе. На рисунках дана последовательность действий. Ребро весом 19 не включается в остов, так как оно образует цикл с ребрами
весом 14 и 13.
Выполнение алгоритма Краскала:
1. Начальная фаза. Минимальный покрывающий лес пуст.
2. Перебираем ребра в порядке возрастания веса: первое ребро с весом 2. Добавляем его к А.
3. Следующее безопасное ребро с весом 6. Добавляем его.
4-8. Добавляем остальные безопасные ребра.
6. Граф G* называется двойственным к графу G, если существует такое взаимнооднозначное соответствие их ребер, что множество ребер графа G* образует цикл тогда и только тогда, когда в графе G это же множество ребер образует разрезающее множество. Для плоского графа существует простой способ построения двойственного графа.
Пример: а – граф G; б – построение двойственного графа G*; в – граф G*, двойственный графу G
Суть способа построения в следующем: а) в каждой области укладки графа G на плоскости размещается вершина графа G*; б) через каждое ребро eграфа G, общее для областей 0i и 0j, проводится линия, соединяющая вершины и и образующая ребро e*.
Теорема Граф имеет двойственный граф тогда и только тогда, когда он планарен.
7. Матрица смежности
Пусть дан граф G, его матрица смежности обозначается через A=[aij] и определяется следующим образом:
aij=1, если в G существует дуга (xi,xj),
aij=0, если в G нет дуги (xi,xj).
Таким образом, матрица смежности графа, изображенного на рисунке 1, имеет вид
Матрица смежности полностью определяет структуру графа. Например, сумма всех элементов строки xi матрицы дает полустепень исхода вершины xi, а сумма элементов столбца xi - полустепень захода вершины xi. Множество столбцов, имеющих 1 в строке xi есть множество Г(xi), а множество строк, которые имеют 1 в столбце xi совпадает с множеством Г-1(xi).
Петли на графе представляют собой элементы, имеющие 1 на главной диагонали матрицы, например a22, a66 для графа, изображенного на рисунке 1.
В случае неориентированного графа матрица смежности является симметричной относительно главной диагонали (рисунок 2).
Матрица инцидентности
Пусть дан граф G с n вершинами и m дугами. Матрица инцидентности графа G обозначается через B=[bij] и является матрицей размерности n x m, определяемой следующим образом:
bij=1, если xi является начальной вершиной дуги aj;
bij=-1, если xi является конечной вершиной дуги aj;
bij=0, если xi не является концевой вершиной дуги aj.
Для графа, приведенного на рисунке 1, матрица инцидентности имеет вид:
Поскольку каждая дуга инцидентна двум различным вершинам (за исключением случая, когда дуга образует петлю), то каждый столбец содержит один элемент, равный 1, и один - равный -1. Петля в матрице инцидентности не имеет адекватного математического представления (в программной реализации допустимо задание одного элемента bij=1).
Если G является неориентированным графом (рисунок 2), то его матрица инцидентности определяется следующим образом:
bij=1, если xi является концевой вершиной дуги aj;
bij=0, если xi не является концевой вершиной дуги aj.
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
x1
1
1
0
0
0
0
0
1
x2
1
0
1
0
0
0
0
0
B=
x3
0
1
1
1
0
0
0
0
x4
0
0
0
1
1
1
0
0
x5
0
0
0
0
0
1
1
0
x6
0
0
0
0
1
0
1
1
Матрица инцидентности, как способ задания графов, успешно применяется при описании мультиграфов (графов, в которых смежные вершины могут соединяться несколькими параллельными дугами).
Задача. Для неориентированного графа, изображённого на рисунке, постройте матрицу смежности и матрицу инцидентности.
Решение:
Матрица смежности
13 EMBED Equation.3 1415
Матрица инцидентности
13 EMBED Equation.3 1415
Задача. Дана матрица 13 EMBED Equation.3 1415
Постройте орграф, для которого данная матрица является матрицей смежности. Найдите матрицу инцидентности орграфа.
Решение: Для построения орграфа его вершине однозначно сопоставим точку на плоскости. Данная матрица смежности имеет четыре строки и четыре столбца, следовательно, в орграфе четыре вершины 1, 2, 3, 4.
Проанализируем элементы матрицы:
13 EMBED Equation.3 1415 при вершине 1 нет петель;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 1 выходят две стрелки к вершине 2;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 1 не выходит ни одной стрелки к вершине 3;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 1 не выходит ни одной стрелки к вершине 4;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 2 не выходит ни одной стрелки к вершине 1;
13 EMBED Equation.3 1415 при вершине 2 нет петель;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 2 выходит одна стрелка к вершине 3;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 2 не выходит ни одной стрелки к вершине 4;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 3 выходит одна стрелка к вершине 1;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 3 не выходит ни одной стрелки к вершине 2;
13 EMBED Equation.3 1415 при вершине 3 нет петель;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 3 выходит одна стрелка к вершине 4;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 4 выходит 3 стрелки к вершине 1;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 4 выходит одна стрелка к вершине 2;
13 EMBED Equation.3 1415 из вершины 4 не выходит ни одной стрелки к вершине 3;
13 EMBED Equation.3 1415 при вершине 4 нет петель.
Строим орграф.
Для построения графа запишем матрицу инцидентности:
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь четыре строки по числу вершин и 9 столбцов по числу дуг.
8. Пример выполнения задания 1
Выделим компоненты связности ориентированного графа, изображенного на рисунке 1. В данной задаче количество вершин n=5.
13 EMBED PBrush 1415
Рисунке 1.
Значит, для данного ориентированного графа матрица смежности будет иметь размерность 5Ч5 и будет выглядеть следующим образом
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем матрицу достижимости для данного ориентированного графа по формуле (1)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, матрица сильной связности, полученная по формуле (2), будет следующей:
13 EMBED Equation.3 1415.
Присваиваем p=1 13 EMBED Equation.3 1415 и составляем множество вершин первой компоненты сильной связности D1: это те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы S(D). Таким образом, первая компонента сильной связности состоит из одной вершины 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычеркиваем из матрицы S1(D) строку и столбец, соответствующие вершине v1, чтобы получить матрицу S2(D):
13 EMBED Equation.3 1415.
Присваиваем p=2. Множество вершин второй компоненты связности составят те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы S2(D), то есть 13 EMBED Equation.3 1415. Составляем матрицу смежности для компоненты сильной связности 13 EMBED Equation.3 1415 исходного графа D
· в ее качестве возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из V2:
13 EMBED Equation.3 1415.
Вычеркиваем из матрицы S2(D) строки и столбцы, соответствующие вершинам из V2 ,чтобы получить матрицу S3(D), которая состоит из одного элемента:
13 EMBED Equation.3 1415
и присваиваем p=3. Таким образом, третья компонента сильной связности исходного графа, как и первая, состоит из одной вершины 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, выделены 3 компоненты сильной связности ориентированного графа D:
D1:
13 EMBED PBrush 1415
D2:
13 EMBED PBrush 1415
D3:
13 EMBED PBrush 1415
Пример № 1 выполнения задания 2
На заданной сети найти максимальный поток из X4 в X1 и минимальный разрез. Решение Необходимо заполнить таблицу:
1
2
3
4
5
6
7
t X1
2, +Х2
1, +Х6
2, +Х8
1, +Х6
1, +Х6
1,+Х8
X2
2, +Х3
1, +Х3
1, +Х6
X3
2, +Х4
1, +Х5
2, +Х5
1, +Х5
s X4
·,+Х4
·,+Х4
·,+Х4
·,+Х4
·,+Х4
·,+Х4
·,+Х4
X5
1, +Х4
1, +Х4
2, +Х7
2, +Х7
2, +Х7
1, +Х7
X6
2, Х3
1, +Х5
2, +Х7
1, +Х7
2, +Х5
1, Х5
X7
5, +Х4
5, +Х4
5, +Х4
3, +Х4
2, +Х4
1, +Х4
X8
2, +Х7
1, +Х6
V
2
1
2
1
1
1
После первого шага увеличиваем потоки в дугах, которые сначала были везде = 0. Далее продолжаем наращивать поток по цепям: Х4, Х3, Х2, Х1, V1 = 2 Х4, Х5, Х6, Х1, V2 = 1 Х4, Х7, Х8, Х1, V3 = 2 Х4, Х7, Х6, Х1, V4 = 1 Х4, Х7, Х5, V5 = 1 Х4, Х7, Х5, Х6, Х8, V6 = 1 , т.е. максимальный поток = 8. На последнем, 7-ом шаге, на котором мы не достигли (не можем пометить) вершину t = Х1 находим все помеченные вершины: Xs = {X4} и непомеченные вершины Xt = {X1, X2, X3, X5, X6, X7, X8}. Минимальный разрез – ребра, один конец которых лежит в Xs, а другой в Xt. В нашем случае это: (Х4, Х3), V(Х4, Х3) = 2; (Х4, Х5), V(Х4, Х5) = 1; (Х4, Х7), V(Х4, Х7) = 5 Т.е. величина минимального разреза совпадает с максимальным потоком.
Пример № 2 выполнения задания № 2.
Постановка задачи поиска максимального потока: найти максимальный поток из 13 EMBED Equation.3 1415 в 13 EMBED Equation.3 1415 для транспортной сети (рисунок) с помощью алгоритма Форда – Фалкерсона:
Решение:
№
Алгоритм
Конкретные действия
1.
1-я итерация
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2.1 (Второй шаг, первая итерация – подобное обозначение идет далее для всех шагов алгоритма). Производим помечивание вершин и дуг, результат показан на рисунке. Вершина 6 получила метку 13 EMBED Equation.3 1415.
2.
2-я итерация
3.1. 13 EMBED Equation.3 1415 .
4.1. 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
2.2. Заново осуществляется помечивание. Вершина 6 снова получает метку 13 EMBED Equation.3 1415 (смотри рисунок).
3.
3-я итерация
3.2. 13 EMBED Equation.3 1415.
4.2. 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
2.3. Осуществляется помечивание. При этом из вершины 3 прямых допустимых дуг не выходит, однако дуга 2–3 является допустимой в обратном направлении, и вершина 2 получает метку 13 EMBED Equation.3 1415. Вершина 6 получает метку 13 EMBED Equation.3 1415 (смотри рисунок).
4.
4-я итерация
3.3. 13 EMBED Equation.3 1415.
4.3. 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
2.4. Осуществляется помечивание. При этом из вершины 3 допустимые дуги не выходят. Вершина 6 не получает метку (смотри рисунок). Переходим к шагу 5.
5.
5. 13 EMBED Equation.3 1415.
Минимальный разрез образуют насыщенные дуги 3–6 и 5–6. Пропускная способность минимального разреза 13 EMBED Equation.3 1415. Условия теоремы Форда – Фалкерсона выполняются 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 задача решена правильно.
Алгоритм Форда – Фалкерсона используется при решении многих практических задач. Одна из них – задача об источниках и потребителях.
9. Пример задания:
На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?
Решение (1 вариант, подстановки):
1) начнем считать количество путей с конца маршрута – с города К
2) будем обозначать через NX количество различных путей из города А в город X
3) общее число путей обозначим через N
4) по схеме видно, что NБ = NГ = 1
5) очевидно, что если в город X можно приехать только из Y, Z, то NX = NY + N Z, то есть нужно сложить число путей, ведущих из A во все города, откуда можно приехать в город X
6) поскольку в K можно приехать из Е, Д, Ж или И, поэтому
N = N К = NД + NЕ + NЖ + NИ
7) в город И можно приехать только из Д, поэтому NИ = NД
8) в город Ж можно приехать только из Е и В, поэтому
N Ж = NЕ + NВ
9) подставляем результаты пп. 6 и 7 в формулу п. 5:
N = NВ + 2NЕ + 2NД
10) в город Д можно приехать только из Б и В, поэтому
N Д = NБ + NВ
так что
N = 2NБ + 3NВ + 2NЕ
11) в город Е можно приехать только из Г, поэтому N Е = NГ так что
N = 2NБ + 3NВ + 2NГ
12) по схеме видно, что NБ = NГ = 1, кроме того, NВ = 1 + N Б + NГ = 3
13) окончательно N = 2NБ + 3NВ + 2NГ = 2·1 + 3·3 + 2·1 = 13
14) Ответ: 13.
Решение (2 вариант, удобная форма записи):
1) начнем считать количество путей с конца маршрута – с города К
2) записываем для каждой вершины, из каких вершин можно в нее попасть
К ИДЖЕ
И Д
Ж ВЕ
Е Г
Д БВ
Г А
В АБГ
Б А
3) теперь для удобства «обратного хода» вершины можно отсортировать так[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], чтобы сначала шли все вершины, в которые можно доехать только из начальной точки А:
Б А
Г А
затем на каждом шаге добавляем те вершины, в которые можно доехать из уже добавленных в список (и из исходной точки):
В АБГ
Е Г
далее добавляем все вершины, куда можно доехать из А, Б, Г, В и Е:
Д БВ
Ж ВЕ
на следующем шаге добавляем вершину И
И Д
и, наконец, конечную. вершину
К ИДЖЕ
именно в таком порядке мы и будем вычислять количество путей для каждой вершины
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Такая процедура называется топологической сортировкой графа.
4) теперь идем по полученному списку вершин, полагая, что количество вариантов попасть в вершину равно суммарному количеству вариантов попасть в ее непосредственных предшественников.
NБ = 1, NГ = 1
NВ = 1+1+1 = 3, NЕ = 1
NД = 1+3 = 4, NЖ = 3 + 1 = 4
NИ = 4,
N = NК = 4 + 4 + 4 + 1 = 13
5) заметим, что вершины можно и не сортировать специально, а просто выбирать возможный порядок вычисления: проверять, какие значения известны и какие можно рассчитать с их помощью на следующем шаге
6) Ответ: 13.
Возможные ловушки и проблемы:
очень важна аккуратность и последовательность; сначала идем от конечной точки к начальной, выписывая все вершины, из которых можно приехать в данную; затем идем обратно, определяя числовые значения
построение полного дерева маршрутов – занятие трудоемкое и достаточно бесперспективное, даже грамотные учителя информатики здесь в большинстве случаев что-то забывают и ошибаются
Решение (3 вариант, перебор вершин по алфавиту):
1) Запишем вершины в алфавитном порядке и для каждой из них определим, из каких вершин можно в нее попасть
Б А
В АБГ
Г А
Д БВ
Е Г
Ж ВЕ
И Д
К ИДЖЕ
2) теперь определяем количество путей; сначала ставим 1 для тех вершин, в которые можно проехать только из начальной (А):
3) затем на каждом шаге добавляем те вершины, в которые можно доехать из уже добавленных в список (и из исходной точки):
4) следующий шаг
5) и последние 2 шага
6) Ответ: 13.
Решение (4 вариант, перебор всех путей с начала, А. Яфарова):
1) запишем все вершины, в которые есть прямой путь из вершины A: Б, В и Г; получается три начальных отрезка:
АБ, АВ, АГ
2) рассмотрим маршрут АБ: из Б можно ехать в В и Д, поэтому получаем два маршрута:
АБВ, АБД
3) рассматриваем конечные точки этих маршрутов: из В можно ехать в Д и Ж, а из Д – в И и К:
АБВД, АБВЖ, АБДИ, АБДК
4) снова смотрим на конечные точки: из Д едем в И и К, из Ж и И – только в К:
АБВДИ, АБВДК, АБВЖК, АБДИК, АБДК
5) из И едем только в К, таким образом, все возможные маршруты, содержащие участок АБ, доведены до конечной точки К, всего 5 таких маршрутов:
АБВДИК, АБВДК, АБВЖК, АБДИК, АБДК
6) затем аналогично рассматриваем маршруты, которые начинаются с АВ:
АВД, АВЖ
АВДИ, АВДК, АВЖК
АВДИК, АВДК, АВЖК
всего 3 маршрута
7) наконец, остается рассмотреть маршруты, которые начинаются с АГ:
АГВ, АГЕ
АГВД, АГВЖ, АГЕЖ, АГЕК
АГВДИ, АГВДК, АГВЖК, АГЕЖК, АГЕК
АГВДИК, АГВДК, АГВЖК, АГЕЖК, АГЕК
всего 5 маршрутов
8) складываем количество маршрутов для всех начальных участков: 5 + 3 + 5 = 13
9) Ответ: 13.
Возможные проблемы:
при большом количестве маршрутов легко запутаться и что-то пропустить
Решение (5 вариант, графический):
1) Главную идею решения: (число дорог в город N есть сумма дорог, приводящих в города, из которых есть прямой проезд в город N), отразим на самой схеме, показывая на ней ЧИСЛО ДОРОГ, приводящих в каждый город.
2) Последовательность очевидна: начинаем с Б и Г (городов, куда есть по 1-й дороге из А)
3) Посчитаем дороги в В: 1 (из A)+ 1(дороги города Б)+ 1(дороги города В)= 3
4) Аналогично посчитаем дороги в Д, И, Е, Ж:
5) Определяем число дорог в город К, как сумму дорог в города, с которыми он связан: Д, И, Ж, Е.
6) Ответ: 13.
10. 1. В заданном графе G = (X, V) (рисунок 1) удалить указанные ребра (дуги) и новом графе G' найти все минимальные доминирующие множества (МДМ). Ребро (дуга), которую необходимо удалить (Х4,Х5), (Х1,Х2)
Рисунок 1
Решение
Описываем каждую вершину с помощью дизъюнкции самой вершины и вершин, из которых она достижима. Например для и составим конъюнкцию таких выражений для всех вершин. Таким образом МДМ1 = {Х2, Х5}, МДМ2 = {Х3}, МДМ3 = {Х6}.
2. В заданном графе G = (X, V) (рисунок 2) удалить указанные ребра (дуги) и новом графе G' найти все максимальные независимые множества (МНМ). Ребро (дуга), которую необходимо удалить (Х4,Х5), (Х1,Х2)
Рисунок 2
Решение
Описываем каждое ребро (дугу) дизъюнкцией отрицаний и производим конъюнкцию всех дизъюнкций. Например ребро (Х2, Х1) описываем как и т.д. Получим Производим упрощение. Откуда из первой группы следует: МНМ1 = {Х3}, МНМ2 = {Х6}, МНМ3 = {Х1, Х5}, МНМ4 = { Х1, Х4}.
11. Пример выполнения задания.
Требуется найти кратчайшие расстояния от 1-й вершины до всех остальных для графа, представленного на рисунке:
№
Алгоритм
Конкретные действия
1.
Инициализация.
Cтартовая вершина, от которой строится дерево кратчайших путей - вершина № 1.
Задаем стартовые условия: d(1)=0, d(x)=
·.
Окрашиваем вершину № 1, y=1.
Находим ближайшую вершину к окрашенной нами, используя формулу: 13 EMBED Equation.3 1415.
Составим матрицу длин кратчайших дуг для данного графа.
№/№
1
2
3
4
5
6
1
13 EMBED Equation.3 1415
7
9
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
14
2
7
13 EMBED Equation.3 1415
10
15
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3
9
10
13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415
2
4
13 EMBED Equation.3 1415
15
11
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415
5
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415
9
6
14
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415
или
13 EMBED Equation.3 1415
2.
Первый шаг.
Рассмотрим шаг алгоритма Дейкстры.
d(2)=min{d(2) ; d(1)+a(1,2)}=min{
·; 0+7}=7
d(3)=min{d(3) ; d(1)+a(1,3)}=min{
·; 0+9}=9
d(4)=min{d(4) ; d(1)+a(1,4)}=min{
·; 0+
·}=
·
d(5)=min{d(5) ; d(1)+a(1,5)}=min{
·; 0+
·}=
·
d(6)=min{d(6) ; d(1)+a(1,6)}=min{
·; 0+14}=14
Минимальную длину имеет путь от вершины № 1 до вершины № 2 d(2)=7.
Включаем вершину № 2 в текущее ориентированное дерево, а так же дугу ведущую в эту вершину.
Согласно выражению это дуга (1,2).
3.
Второй шаг.
d(3)=min{d(3) ; d(2)+a(2,3)}=min{9; 7+10}=9
d(4)=min{d(4) ; d(2)+a(2,4)}=min{
·; 7+15}=22
d(5)=min{d(5) ; d(2)+a(2,5)}=min{
·; 7+
·}=
·
d(6)=min{d(6) ; d(2)+a(2,6)}=min{14; 7+
·}=14
Минимальную длину имеет путь от вершины № 1 до вершины № 3 d(3)=9.
Включаем вершину № 3 в текущее ориентированное дерево, а так же дугу ведущую в эту вершину.
Согласно выражению это дуга (1,3)
4.
Третий шаг.
d(4)=min{d(4) ; d(3)+a(3,4)}=min{22; 9+11}=20
d(5)=min{d(5) ; d(3)+a(3,5)}=min{
·; 9+
·}=
·
d(6)=min{d(6) ; d(3)+a(3,6)}=min{14; 9+2}=11
Минимальную длину имеет путь от вершины № 1 до вершины № 6 d(6)=11.
Включаем вершину № 6 в текущее ориентированное дерево, а так же дугу ведущую в эту вершину. Согласно выражению это дуга (1,6)=(1,3)+(3,6)
5.
Четвертый шаг.
d(4)=min{d(4) ; d(6)+a(6,4)}=min{20; 11+
·}=20
d(5)=min{d(5) ; d(6)+a(6,5)}=min{
·; 11+9}=20
Минимальную длину имеет путь от вершины № 1 до вершины № 4 и № 5 d(4)=d(6)=20.
Включаем вершину № 4 и № 5 в текущее ориентированное дерево, а так же дугу ведущую в эту вершину.
Согласно выражению это дуга (1,4)=(1,3)+(3,4) и (1,5)=(1,3)+(3,6)+(6,5).
6.
Заключение.
Мы получили ориентированное дерево кратчайших путей начинающихся в вершине №1 для исходного графа.
d(1)=1 Длина маршрута L=0
d(2)=1-2 Длина маршрута L=7
d(3)=1-3 Длина маршрута L=9
d(4)=1-3-4 Длина маршрута L=20
d(5)=1-3-6-5 Длина маршрута L=20
d(6)=1-3-6 Длина маршрута L=11
Пример выполнения задание № 2
Требуется найти кратчайшие расстояния от 1-й вершины до всех остальных для графа, представленного на рисунке:
Решение:
№
Алгоритм
Конкретные действия
1.
Инициализация.
Cтартовая вершина, от которой строится дерево кратчайших путей - вершина № 1.
Задаем стартовые условия: d(1)=0, d(x)=
·.
Окрашиваем вершину № 1, y=1.
Находим ближайшую вершину к окрашенной нами, используя формулу: 13 EMBED Equation.3 1415.
Составим матрицу длин кратчайших дуг для данного графа.
№/№
1
2
3
4
5
6
1
13 EMBED Equation.3 1415
10
18
8
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2
10
13 EMBED Equation.3 1415
16
9
21
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
15
4
7
9
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
12
5
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
23
6
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
15
13 EMBED Equation.3 1415
23
13 EMBED Equation.3 1415
или13 EMBED Equation.3 1415
2.
Первый шаг.
Рассмотрим шаг алгоритма Дейкстры.
d(2)=min{d(2) ; d(1)+a(1,2)}=min{
·; 0+10}=10
d(3)=min{d(3) ; d(1)+a(1,3)}=min{
·; 0+18}=18
d(4)=min{d(4) ; d(1)+a(1,4)}=min{
·; 0+8}=8
d(5)=min{d(5) ; d(1)+a(1,5)}=min{
·; 0+
·}=
·
d(6)=min{d(6) ; d(1)+a(1,6)}=min{
·; 0+
·}=
·
Минимальную длину имеет путь от вершины № 1 до вершины № 4 d(4)=8.
Включаем вершину № 4 в текущее ориентированноe дерево, а так же дугу ведущую в эту вершину.
Согласно выражению это дуга (1,4)
3.
Второй шаг.
d(2)=min{d(2) ; d(4)+a(4,2)}=min{10; 8+9}=10
d(3)=min{d(3) ; d(4)+a(4,3)}=min{18; 8+
·}=18
d(5)=min{d(5) ; d(4)+a(4,5)}=min{
·; 8+
·}=
·
d(6)=min{d(6) ; d(4)+a(4,6)}=min{
·; 8+12}=20
Минимальную длину имеет путь от вершины № 1 до вершины № 2 d(2)=10.
Включаем вершину № 2 в текущее ориентированноe дерево, а так же дугу ведущую в эту вершину.
Согласно выражению это дуга (1,2)
4.
Третий шаг.
d(3)=min{d(3) ; d(2)+a(2,3)}=min{18; 10+16}=18
d(5)=min{d(5) ; d(2)+a(2,5)}=min{
·; 10+21}=31
d(6)=min{d(6) ; d(2)+a(2,6)}=min{20; 10+
·}=20
Минимальную длину имеет путь от вершины № 1 до вершины № 3 d(3)=18.
Включаем вершину № 3 в текущее ориентированноe дерево, а так же дугу ведущую в эту вершину.
Согласно выражению это дуга (1,3)
5.
Четвертый шаг.
d(5)=min{d(5) ; d(3)+a(3,5)}=min{31; 18+
·}=31
d(6)=min{d(6) ; d(3)+a(3,6)}=min{20; 18+15}=20
Минимальную длину имеет путь от вершины № 1 до вершины № 6 d(6)=20.
Включаем вершину № 6 в текущее ориентированноe дерево, а так же дугу ведущую в эту вершину.
Согласно выражению это дуга (4,6)
6.
Пятый шаг.
d(5)=min{d(5) ; d(6)+a(6,5)}=min{31; 20+23}=31
Минимальную длину имеет путь от вершины № 1 до вершины № 5 d(5)=31.
Включаем вершину № 5 в текущее ориентированноe дерево, а так же дугу ведущую в эту вершину.
Согласно выражению это дуга (2,5)
7.
Заключение.
Мы получили ориентированное дерево кратчайших путей начинающихся в вершине №1 для исходного графа.
d(1)=1 Длина маршрута L=0
d(2)=1-2 Длина маршрута L=10
d(3)=1-3 Длина маршрута L=18
d(4)=1-4 Длина маршрута L=8
d(5)=1-2-5 Длина маршрута L=31
d(6)=1-4-6 Длина маршрута L=20
Ориентированное дерево с корнем в вершине №1:
12. Пример построения конечного автомата:
Формулировка задания: d|a2(ab)*c
Диаграмма переходов конечного автомата:
Примечание:
– обозначение начального состояния
13 EMBED PBrush 1415
– обозначение конечного состояния
13 EMBED PBrush 1415
– обозначение перехода из состояния q1 в cсостояние q2 или по a или по b
Построенный автомат является недетерминированным, потому что есть е-переходы. Детерминируем конечный автомат.
Для полученного конечного автомата построим таблицу состояний.
a
b
c
d
q0
q1
q2
q1
q3
q2
q3
q4
q2
q4
q5
q5
q4
q2
Конечный автомат является неминимизированным. Минимизируем .
Вводим дополнительное состояние q6
Строим дерево разбора.
Алгоритм минимизации.
Пусть множество П(0,1,2,3,4,5,6) – множество всех состояний. Разобьем его на два подмножества согласно условию с состояниями (0,1,2,3,4,6) и (5).
Первое подмножество разбиваем еще на 2 с состояниями (0,1,3,6) и (2,4), потому что для всех входных символов переход по входному символу в состояние из одной и той же группы.
Первое подмножество делим на 2 с состояниями (0,1,6) и (3).
Перовое подмножество делим на 2 с состояниями (0,6) и (1).
Первое подмножество после предыдущего деления делим на 2 с состояниями (0) и (6).
В результате получили, что из состояний 2 и 4 можно оставить только одно, например 2. Количество состояний конечного автомата уменьшилось на одно.
Из полученного дерева видим, что состояния q2 и q4 можно объединить в одно состояние q3.
Получили детерминированный и минимизированный конечный автомат.
13. Примеры конечного автомата.
Блок-схема драйвера в виде конечного автомата
Модель конечного автомата для объекта Температура.
14. Автомат, модель которого представлена на рисунке, описывает поведение студента и преподавателей.
состояния;
- входные сигналы: "н", "2" и "5".
- выходные реакции:
- отмечаем "н";
- успокаивать;
- хвалим студента;
- поощряем;
- надеемся;
- предупреждаем;
- отчисляем.
Способы задания конечных автоматов
Представление конечного автомата фактически сводится к описанию задающих его автоматных функций.
Существуют три способа задания конечных автоматов:
~ Табличный (матрицы переходов и выходов);
~ Графический (с помощью графов);
~ Аналитический (с помощью формул).
Аналитический способ – автомат задается системой уравнений. Из такой системы следует, что при конечном числе возможных внутренних состояний количество возможных значений автоматных функций также оказывается конечным. Примером такого задания служат системы уравнений, задающие автоматы Мили и автоматы Мура
Табличный способ. Составляется таблица состояния автомата для функции перехода
· и функции выхода. При этом:
~ столбцы таблицы соответствуют элементам входного алфавита X,
~ строки таблицы соответствуют состояниям (элементы конечного множества Q).
Пересечению i-и строки и j-го столбца соответствует клетка (i, j), которая является аргументом функций 8 и
· автомата в момент, когда он находится в состоянии qi на его входе слово xj, а в самой соответствующей клетке запишем значения функций 8 и
·. Таким образом, вся таблица соответствует множеству Q х X.
При заполнении таблицы переходов каждая клеточка однозначно определяется парой символов: символом следующего состояния и символом выходного сигнала.
На практике автоматные функции задаются двумя конечными таблицами, именуемыми соответственно матрицей перехода и матрицей выводов. При этом строки обозначаются буквами входного алфавита, а столбцы буквами внутреннего алфавита (символами, кодирующими внутреннее состояние автомата).
В матрице переходов на пересечении строки xk и столбца qr помещается значение функции перехода
·(qi, х) и функции выводов
·(q, х). В ряде случаев обе таблицы объединяются в одну таблицу.
Графический способ.
Автомат задается с помощью графа, схемы, графика и др. Задание с помощью ориентированного гра фа более удобная и компактная форма описания автомата.
Граф автомата содержит
~ Вершины, соответствующие состоянию qiОQ,
~ Дуги, соединяющие вершины переходы автомата из одного состояния в другое. На дугах принято указывать пары вход ных и выходных сигналов сигналов переходов.
Если автомат переходит из состояния q1 в состояние q2 под воз действием нескольких входных сигналов, то на соответствующей дуге графа этот вариант будет представлен через дизъюнкцию. Для представления автомата используют двухполюсные графы с выде ленными начальным и конечным состояниями.
15. Задача 1.
Построить МТ, которая определяет четность или нечетность числа 1 в строке. Конец последовательности помечается символом В, затем в эту ячейку будет записан результат.
Допущение: Управляющая головка (УГ) находится под первым символом последовательности (если специально не оговорено, определяется человеком решающим задачу).
1
0
1
1
0
1
1
В
^
Алгоритмическая идея: МТ требуется 2 состояния: одно для нечетного числа 1, другое для четного. Исходя из условия, результат будет записан в ячейку с символом В – 0 при четном числе 1, 1 – при нечетном. Для учета уже посчитанных/пройденных 1, каждая встретившаяся и учтенная 1 стирается, т.е. на ее место записывается 0.
S1
S2
Установим: S1 – состояние для четного числа 1, S2 – для нечетного.
0
S1 П
S2 П
В начальный момент времени, находимся в состоянии S1
1
0 S2 П
0 S1 П
B
0 S1 !
1 S2 !
Действие: УГ устанавливается в очередную ячейку. Если там записана 1, то на ее место записывается 0, МТ переходит в противоположное состояние, и УГ передвигается в следующую ячейку. Движение УГ слева направо. Если в рассматриваемой ячейке записан 0, то состояние не меняется, УГ передвигается вправо к следующей ячейке. Если встретился символ В – надо анализировать, в каком состоянии находится МТ в этот момент. Если в S1, то на место В записывается 0, если в S2, то записывается 1 и происходит остановка МТ.
Задача 2.
Построить МТ, для проверки скобочных выражений. МТ должна решить, является ли последовательность из левых и правых скобок правильной, т.е. каждой левой скобке ( должна соответствовать правая ). Начало и конец последовательности ограничены символами А.
Допущение: Управляющая головка (УГ) находится под первой слева скобкой.
0
0
А
(
(
)
(
)
)
А
^
Алгоритмическая идея: Ищется первая правая ) скобка, затем первая левая (, ей парная, и обе заменяются символом Х. Вычеркивание парных скобок продолжается до тех пор, пока не произойдет одно из событий:
МТ, продвигаясь влево не находит парного символа ( , при достижении символа А она на его месте печатает символ 0 и останавливается.
МТ, продвигаясь вправо не находит ни одного символа ) и достигает символа А. В этом случае МТ начинает движение влево и проверяет – не остался ли какой-то из символов ( :
Если такой ( символ найден, то на месте А печатается 0
Если нет символа ( , то на месте символа А печатается 1.
Состояние S1 предписывает движение вправо (П)
Состояние S2 предписывает движение влево (Л)
Состояние S3 предписывает движение влево (Л), когда не найдено ни одной ")". Т.е. головка приходит к правому А и при продвижении влево при нахождении "(" переходит в S4, для того, чтобы поставить символ 0 вместо левого А
Начальное состояние S1.
S1
S2
S3
S4
)
Х S2 Л
Л
-
-
(
П
Х S1 П
S4 Л
Л
А
S3 Л
0 !
1 !
0 !
Х
П
Л
Л
Л
Прочерк "-" в программе МТ означает, что быть такой ситуации для данной задачи не может.
Задача 3. Построить МТ, переворачивающую любое слово в алфавите А={а,в}. Т.е. построить зеркальное отображение заданного слова.
Например.
Чтобы знать, где начинается слово, в соответствующую ячейку ленты запишем *. Конец последовательности символов слова означает пробел (().
*
а
а
в
а
в
(
(
(
^
Таким образом, алфавит для написания программы МТ будет состоять из: а, в, *, (.
Алгоритмическая идея: УГ устанавливается на последний символ слова. МТ находится в состоянии S1. Если это символ алфавита А={а,в}, то символ стирается, т.е. вместо него ставиться пробел (, МТ переходит в другое состояние, УГ начинает движение направо и ищет первый пробел. Найдя его она печатает на его месте стертый символ и переходит в состояние, отвечающее за продвижение налево, т.е. за возврат к анализируемому слову. В этом состоянии УГ движется налево до первого пробела, а найдя его сдвигается еще раз налево (к следующей ячейке) и переходит в состояние S1, отвечающее нахождение очередного символа слова для стирания. Если в состоянии S1 МТ в ячейке обнаруживает *, то это означает, что все символы проанализированы, зеркальное отображение построено. Происходит останов МТ.
Пошаговый пример построения зеркального отображения слова.
*
а
а
в
а
в
(
(
(
^
*
а
а
в
а
(
в
(
(
^
(
*
а
а
в
а
(
в
(
(
^
(
*
а
а
в
(
(
в
а
(
^
*
а
а
в
(
(
в
а
(
^
*
а
а
(
(
(
в
а
в
(
(
^
*
а
а
(
(
(
в
а
в
(
(
^
*
а
(
(
(
(
в
а
в
а
(
^
*
а
(
(
(
(
в
а
в
а
(
^
*
(
(
(
(
(
в
а
в
а
а
^
*
(
(
(
(
(
в
а
в
а
а
^
Программа МТ
Начальное состояние S1.
S1
S2
S3
S4
а
( S2 П
П
П
Л
в
( S3 П
П
П
Л
*
!
-
-
-
(
Л
а S4 Л
в S4 Л
S1 Л
Состояния S2 и S3 отличаются тем, что на месте найденного пробела в одном случае (S2) печатают "а", соответственно вместо стертой "а", а в другом печатается "в".
Задача 4. Построить МТ для сложения двух чисел в унарной с/с.
Например.
|
|
|
+
|
|
|
^
Алгоритмическая идея. Перенести все символы второго числа на свободное место перед первым числом, таким образом, все символы окажутся вместе – получится суммарное унарное число.
УГ установить на последний символ второго числа. Записать на его место пробел (стереть символ), перейти в другое состояние (чтобы при встрече очередной "|" выполнять другие действия, а не стирания, как в предыдущем состоянии) и двигаться налево до первого пробела. Найдя его, записать на его место стертую "|" и перейти в другое состояние, отвечающее за движение направо – для поиска очередного символа второго числа. Действовать, пока все "|" второго числа не будут записаны перед первым числом.
Программа МТ
Начальное состояние S1.
S1
S2
S3
1
( S2 Л
Л
П
(
-
1 S3 Л
S1 Л
+
!
Л
П
Есть еще вариант. Последний символ второго унарного числа перенести на место "+". Получится суммарное унарное число ни чем не разделенное.
Но в этом случае надо быть точно уверенным, что между числами и знаком "+" не стоят никакие другие символы (пробелы и т.п.), либо проверять.
Пример 1.
Машина А, имеющая программу, данную в таблице 5, выше уже рассмотрена.
Таблица 5
A
s0
|
q1
|Нq0
|Пq1
Пример 2.
Машина B воспринимает любое число из набора x1, x2, ..., xn, уменьшает число палочек в его записи на одну и останавливается, воспринимая уменьшенное число. Так работает машина с программой, данной в таблице 6.
Таблица 6
B
s0
|
q1
s0Лq0
Пример 4.
Машина D, отправляясь от воспринятого в стандартном положении числа, не самого правого на ленте, заполняет промежуток из пустых клеток (если имеется такой) между этим числом и ближайшим справа, оставляя между ними пустую клетку, и останавливается, воспринимая в стандартном положении получающееся число.
Так, машина D, примененная к ленте
s0
|
|
s0
s0
s0
|
s0
|
|
s0
s0
s0
q1
в качестве результата выдает следующую запись на ленте:
s0
|
|
|
|
s0
|
s0
|
|
s0
s0
s0
q0
Так работает машина с программой, данной в таблице 8.
Таблица 8
D
s0
|
q1
|Пq2
q2
|Пq2
|Лq3
q3
s0Лq0
Пример 5.
Машина r, примененная к произвольной записи на ленте, сдвигает воспринимаемую ячейку на одну ячейку вправо и затем останавливается, не изменяя записи на ленте.
Так работает машина с программой, данной в таблице 9.
Таблица 9
r
s0
|
q1
s0Пq0
|Пq0
Пример 7.
Машина R, отправляясь от воспринятого в стандартном положении числа, не самого правого на ленте, идет вправо к стандартному положению ближайшего справа числа.
Программа машины R помещена в таблице 10.
Таблица 10
R
s0
|
q1
s0Пq2
|Пq1
q2
s0Пq2
|Пq3
q3
s0Лq0
|Пq3
Пример 9.
Рассмотрим машину Тьюринга, производящую следующую операцию: если на ленте дан набор чисел x1, x2, ..., xn, воспринимаемый машиной в стандартном положении, то машина в заключительном состоянии имеет на ленте набор чисел x1, x2, ..., xn, 3, воспринимаемый ею также в стандартном положении.
Так работает машина с программой, данной в таблице 11.
Таблица 11
s0
|
q1
s0Пq2
|Пq1
q2
|Нq3
q3
|Нq4
|Пq3
q4
|Нq5
|Пq4
q5
|Нq0
|Пq5
16. Дискретный марковский процесс. Пять состояний.
Таблица переходов:
1
2
3
4
5
1
0.1
0.2
0.3
0
0.4
2
0
0.5
0.1
0.4
0
3
0
0
0
0.7
0.3
4
0.2
0.1
0
0.3
0.4
5
0.1
0.2
0.4
0
0.3
Система уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Результат:
----------------Экспериментальная часть----------------
Матрица состояний имеет следующий вид:
0.1 0.3 0.6 0.6 1.0
0.0 0.5 0.6 1.0 1.0
0.0 0.0 0.0 0.7 1.0
0.2 0.3 0.3 0.6 1.0
0.1 0.3 0.7 0.7 1.0
Вероятности равны:
p1 = 0.11 p2 = 0.186 p3 = 0.165 p4 = 0.262 p5 = 0.277
----------------Теоретическая часть----------------
Изначальная матрица переходов имеет вид:
0.1 0.2 0.3 0.0 0.4
0.0 0.5 0.1 0.4 0.0
0.0 0.0 0.0 0.7 0.3
0.2 0.1 0.0 0.3 0.4
0.1 0.2 0.4 0.0 0.3
Среднее значение рядка 1 = 1.0
Среднее значение рядка 2 = 1.0
Среднее значение рядка 3 = 1.0
Транспонируем матрицу:
0.1 0.0 0.0 0.2 0.1
0.2 0.5 0.0 0.1 0.2
0.3 0.1 0.0 0.0 0.4
0.0 0.4 0.7 0.3 0.0
0.4 0.0 0.3 0.4 0.3
Умножаем матрицу на следующий вектор:
1.0
0.0
0.0
0.0
0.0
Вероятности равны:
p1= 0.1 p2= 0.2 p3= 0.3 p4= 0.0 p5= 0.4
Вероятности равны:
p1= 0.05 p2= 0.2 p3= 0.21 p4= 0.29 p5= 0.25
Вероятности равны:
p1= 0.088 p2= 0.189 p3= 0.135 p4= 0.314 p5= 0.274
Вероятности равны:
p1= 0.099 p2= 0.1983 p3= 0.1549 p4= 0.2643 p5= 0.2835
Вероятности равны:
p1= 0.0912 p2= 0.2021 p3= 0.1629 p4= 0.267 p5= 0.2769
Вероятности равны:
p1= 0.0902 p2= 0.2014 p3= 0.1584 p4= 0.2749 p5= 0.2753
Вероятности равны:
p1= 0.0915 p2= 0.2013 p3= 0.1573 p4= 0.274 p5= 0.2762
17. Задача. Пусть необходимо синтезировать автомата Мили, заданный совмещенной таблицей переходов и выходов:
xj /ai
a0
a1
a2
x1
a1/y1
a1/y2
a1/y2
x2
a2/y3
a2/y3
a0/y1
В качестве элементарных автоматов будем использовать JK-триггера, а в качестве логических элементов – элементы И, ИЛИ, НЕ.
A = {a0, a1, a2}; X = {x1, x2}; Y = {y1, y2, y3}. Здесь M + 1 = 3; F = 2, G = 3.
1. Перейдем от абстрактного автомата к структурному, для чего определим количество элементов памяти R и число входных L и выходных N каналов:
= 2,
= 1,
=2.
Таким образом необходимо иметь два элементарных автомата Q1 и Q2, один входной канал a и два выходных канала z1 и z2 (каналы a и z называют еще физическими входами и выходами автомата соответственно).
2. Закодируем состояния автомата, входные и выходные сигналы совокупностью двоичных сигналов.
Таблица кодирования состояний автомата
aj
Q1
Q2
a0
0
0
a1
0
1
a2
1
0
Таблица кодирования входных сигналов
xf
O1
x1
0
x2
1
Таблица кодирования выходных сигналов
yg
z1
z2
y1
0
0
y2
0
1
y3
1
0
Поскольку автомат имеет 3 состояния, то комбинация состояний элементарных автоматов 11 не используется и является запрещенной (автомат в это состояние никогда не попадет). Здесь и в дальнейшем будем использовать естественное кодирование, когда наборы значений двоичных переменных расписываются в порядке возрастания их номеров. С учетом кодирования перерисуем совмещенную таблицу переходов и выходов абстрактного автомата.
xj /ai
00
01
10
0
01/00
01/01
01/01
1
10/10
10/10
00/00
3. Построим кодированные таблицы переходов и выходов. Эти таблицы определяют зависимости состояний элементарных автоматов и выходных сигналов в момент времени (t + 1) от значения входного сигнала и внутренних состояний автоматов в предшествующий момент времени t, т.е.:
Кодированная таблица переходов и выходов имеет следующий вид:
t
t + 1
a
O1
Q2
z1
z2
O1
Q2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
-
-
-
-
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
-
-
-
-
18. Пример . Таблица 1 задает функции переходов и выходов для автомата с алфавитами А={а1, а2, а3}, Q={q1, q2, q3, q4}, V={v1, v2}.
Еще один распространенный и наглядный способ задания автомата ориентированный мультиграф, называемый графом переходов или диаграммой переходов. Вершины графа соответствуют состояниям; еслиd(qi, аj) = qk и l(qj, аj) = vl, то из qi в qj ведет ребро, на котором написаны qj и vl.
19. ПОКАМиМ - программа обработки конечных автоматов Мили и Мура. Данная программа обрабатывает конечные автоматы Мили и Мура, включая автоматы с неопределенными состояниями. Программа выполняет следующие функции: 1) Преобразование входных последовательностей в выходные 2) Преобразование автомата Мили в эквивалентный автомат Мура и обратно 3) Минимизация числа состояний автоматов Мили и Мура 4) Преобразование таблично заданных автоматов Мили и Мура в графическую форму Допустимое число состояний не более 32. Исходные данные вводятся в таблицы при помощи клавиатуры. При этом указывается только номер состояния или выходного сигнала (без буквенного префикса). Направление преобразования автомата определяется радиокнопкой на вкладке "Автоматы". Для преобразования автомата необходимо нажать кнопку "Преобразовать автоматы". После преобразования станет доступным построение графов. Минимизация проводится и для автомата Мили и для автомата Мура одновременно. При задании входного слова следует последовательно ввести только номера входных сигналов.
20. Примеры решений
I тип. Правила суммы и произведения
Задача. На столе лежат 4 учебника по литературе и 7 по русскому
языку. Сколькими способами можно выбрать один учебник?
Решение
В данной задаче речь идет о выборе одного элемента из двух множеств:
A – учебники по литературе, B – учебники по русскому языку. Учебник можно
выбрать по литературе или по русскому языку. Так как множества объединены
с помощью союза «или», то воспользуемся правилом суммы. Мощность
множеств А и В равны соответственно m(A) = 4 и m(B) = 7, т. е. учебник по
литературе можно выбрать 4 способами, а по русскому языку – 7. Таким
образом, общее число способов 4 + 7 = 11.
Ответ: 11.
Задача. На столе лежат 4 учебника по литературе и 7 по русскому
языку. Сколькими способами можно выбрать пару, состоящую из учебника по
литературе и учебника по русскому языку?
Решение
1 способ (перебор возможных способов)
Пронумеруем учебники по литературе и по русскому языку. Составим
таблицу 17, характеризующую возможные выборы пар учебников (переберем
все возможные варианты).
Первый элемент в паре – это учебник по русскому языку, второй – по
литературе. В таблице 17 представлены все возможные варианты пар, которые
можно составить из учебника по русскому языку и литературе. Подсчитаем их
количество: 4 строки умножим на 7 столбцов, получим 28 пар. То есть пару,
состоящую из учебников по русскому языку и литературе, можно выбрать 28
способами.
2 способ (правило произведения)
В задаче речь идет о двух множествах, выбрать нужно учебник по
литературе и русскому языку. То есть элементы из этих множеств
объединяются союзом «и». Применим правило произведения. Мощность
множеств А и В равны соответственно m(A) = 4 и m(B) = 7, т. е. учебник по
литературе можно выбрать 4 способами, а по русскому языку – 7. Таким
образом, общее число способов выбрать пару учебников по разным предметам
4 7 = 28.
Ответ: 28.
Задача. Сколько существует четырехзначных чисел? _____
Решение Четырехзначное число состоит из четырех цифр: abcd . Первую
цифру – число тысяч (множество А), можно выбрать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, т. е. множество
А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Таким образом, задачу можно переформулировать: сколькими способами
(N) из элементов множеств A, B, C, D можно составить четверку
упорядоченных элементов? Согласно правилу произведения N = 9 · 10 · 10 · 10
= 9000.
Ответ: 9000.
II тип. Перестановки, размещения, сочетания без повторений
Задача. На Ассамблее ООН должны выступить: В. Путин, Дж. Буш, К.
Аннан. Порядок выступления лидеров имеет существенное значение для
мировой политики. Сколько существует способов выстроить порядок
выступлений?
Решение
1 способ (перебор всех возможных вариантов)
Возможны следующие варианты перестановок:
Путин, Буш, Аннан;
Путин, Аннан, Буш;
Буш, Путин, Аннан;
Буш, Аннан, Путин;
Аннан, Буш, Путин;
Аннан, Путин, Буш.
Итак, всего 6 вариантов расстановки выступающих.
2 способ (правило подсчета перестановок)
В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию
нужно переставить 3 элемента из 3 без повторов, поэтому применим формулу
числа перестановки P3. P3 = 3! = 3 2 1 = 6.
Ответ: 6.
Задача. На Ассамблее ООН необходимо выступить только двум лидерам
из трех. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений в
данном случае?
Решение
1 способ (перебор всех возможных вариантов)
Путин, Буш;
Путин, Аннан;
Буш, Аннан;
Буш, Путин;
Аннан, Путин;
Аннан, Буш.
Итого 6 способов.
2 способ (правило подсчета размещений)
В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию
нужно разместить 2 элемента из 3 без повторов, поэтому применим правило
размещения (порядок в задаче существенен) без повторения, а именно, А23
= 3 · 2 = 6.
Ответ: 6.
Задача. Сколькими способами из десяти различных букв можно записать
шестибуквенные слова, при условии, что буквы в слове не повторяются?
Решение
В задаче речь идет об одном десятиэлементном множестве. По условию
нужно разместить 6 элементов из 10 без повторов, поэтому применим правило
размещения (порядок в задаче существенен) без повторения, а именно, А610 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 151 200.
Ответ: 151 200.
Задача. На Ассамблее ООН необходимо выступить только двум лидерам
из трех. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений в
случае, если порядок выступлений не играет серьезной роли?
Решение
1 способ (перебор всех возможных вариантов)
Так как порядок выступлений не существенен, то получим следующие
различные сочетания:
{Путин, Буш} = {Буш, Путин};
{Путин, Аннан} = {Аннан, Путин};
{Буш, Аннан} = {Аннан, Буш}.
Итого 3 способа.
2 способ (правило подсчета сочетаний)
В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию
нужно разместить 2 элемента из 3 без повторов, поэтому применим правило
подсчета сочетаний (порядок в задаче не существенен) без повторения, а
именно, Ответ: 3.
Задача. Из четырех коробок конфет разных сортов нужно выбрать две
коробки в подарок. Сколькими способами это можно осуществить?
Решение
В задаче речь идет об одном четырехэлементном множестве. По условию
нужно разместить 2 элемента из 4 без повторов, порядок, в котором будут
выбраны конфеты для подарка, не существенен. Следовательно, применим
правило подсчета сочетаний (порядок не существенен) без повторения, а
именно,
Ответ: 6.
III тип. Размещения, сочетания с повторениями
Задача. На Ассамблее ООН должны быть заслушаны ровно два доклада
на разные темы. Всего три кандидата на выступление: В. Путин, Дж. Буш,
К. Аннан, причем каждый из кандидатов может выступить с обсуждением
каждой из тем, в том числе и обеих. Порядок выступления лидеров имеет
существенное значения для мировой политики. Сколько существует способов
выстроить порядок выступлений?
Решение
1 способ (перебор всех возможных вариантов)
Возможны следующие варианты:
Путин, Буш;
Путин, Аннан;
Буш, Аннан;
Буш, Путин;
Аннан, Путин;
Аннан, Буш;
Путин, Путин;
Буш, Буш;
Аннан, Аннан.
Итого 9 способов.
2 способ (правило подсчета размещений с повторениями)
В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию
нужно разместить 2 элемента из 3 с повторениями, поэтому применим правило
размещения (порядок в задаче существенен) с повторениями, а именно, Г23 = 32
= 9.
Ответ: 9.
Задача. На Ассамблее ООН должны быть заслушаны ровно два доклада
на разные темы. Всего три кандидата на выступление: В. Путин, Дж. Буш, К.
Аннан, причем каждый из кандидатов может выступить с обсуждением
каждой из тем, в том числе и обеих. Сколько существует способов выстроить
порядок выступлений, если последовательность выступающих не имеет
значения?
1 способ (перебор всех возможных вариантов)
Возможны следующие варианты
{Путин, Буш} = {Буш, Путин};
{Путин, Аннан} = {Аннан, Путин};
{Буш, Аннан} = {Аннан, Буш};
{Путин, Путин}; {Буш, Буш}; {Аннан, Аннан}.
Итого 6 способов.
2 способ (правило подсчета размещений с повторениями)
В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию
нужно разместить 2 элемента из 3 с повторениями, поэтому применим правило
сочетания (порядок в задаче несущественен) с повторениями, а именно,
Ответ: 6.
21.1 Общая характеристика методов моделирования.
При использовании явного метода сигнал, заданный какой-либо функцией, моделируется путем обращения к встроенным функциям языка программирования (библиотечным функциям).
Пример: использование программы MS Excel.
По теореме Котельникова шаг дискретизации по времени должен быть менее 1/2f (в примере f = 30 Гц).. Практика моделирования показывает, что неравенство должно выполняться со значительным запасом.
Пример: использование программы MS Excel.
Построить график сигнала y(t) = cos (t .
.
Пример: использование программы MS Excel.
Построить график сигнала в виде последовательности прямоугольных импульсов. Дано: интервал времени 1 с; длительность импульса 1/10 с; скважность импульсов 2. Варианты сигналов: сигнал из двух импульсов (3-го и 7-го); сигнал в виде «меандра».
21.2 Построение кривой Гильберта
х
у
-1,5
0,52178
-1,4
0,103948
-1,3
0,063043
-1,2
0,59714
-1,1
1,030184
-1
0,665378
-0,9
-0,22576
-0,8
-0,62748
-0,7
-0,0368
-0,6
0,824852
-0,5
0,825765
-0,4
-0,17584
-0,3
-1,09805
-0,2
-0,9257
-0,1
0,023614
0
0,304188
0,1
0,023614
0,2
-0,9257
0,3
-1,09805
0,4
-0,17584
0,5
0,825765
0,6
0,824852
0,7
-0,0368
0,8
-0,62748
0,9
-0,22576
1
0,665378
1,1
1,030184
1,2
0,59714
1,3
0,063043
1,4
0,103948
1,5
0,52178
кривая гильберта
Функции Гильберта могут помочь в индексировании пространственных баз данных; при поиске записи, близкой по географическому положению они дают возможность определить приоритет для поиска.
В более высоких размерностях они могут быть использованы для планирования задач в компьютерных программах с параллельной обработкой данных, преобразования многомерного распределения задач в одномерное и привязки близких задач к точкам размещения с более высоким уровнем близости.
22.1 Пример. Найти математическое ожидание числа появлений события A в одном испытании, если вероятность события A равна p.
Решение: Случайная величина X – число появлений события A имеет распределение Бернулли, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Вычислим математическое ожидание биномиальной случайной величины X – числа наступления события A в n опытах.
Решение: Общее число X появлений события A в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Введем случайные величины Xi – число появлений события в i-ом испытании, которые являются Бернуллиевскими случайными величинами с математическим ожиданием 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. По свойству математического ожидания имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и p равно произведению np.
Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Решение: Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание
13 EMBED Equation.3 1415 (попаданий).
22.2 Пример. Найти дисперсию случайной величины X , которая задана следующим рядом распределения:
X
1
2
5
P
0,3
0,5
0,2
Решение: Математическое ожидание M(X) = 1
·0,3+2
·0,5+5
·0,2 = 2,3.
Тогда D(X) = (1 - 2,3)2
·0,3 + (2 - 2,3)2
·0,5 + (5 - 2,3)2
·0,2 = 1,69
· 0,3 + 0,09
· 0,5 + 7,29
· 0,2 = 2,01.
Пример. Найти дисперсию случайной величины X , которая задана следующим рядом распределения:
X
2
3
5
P
0,1
0,6
0,3
Решение: Математическое ожидание M(X) = 2
·0,1+3
·0,6+5
·0,3 = 3,5. Тогда M(X2) = 22
·0,1+32
·0,6+52
·0,3 = 13,3. Дисперсия D(X) = M(X2) – [M(X)]2=13,3 – (3,5)2=1,05.
Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p = 0,6. Найти дисперсию общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Решение: Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и ,следовательно, искомая дисперсия
13 EMBED Equation.3 1415 (q = 1-p = 1-0,6 = 0,4).
23. Пример. По мишени производится три выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти ее ряд распределения.
Решение: Случайная величина X принимает значения 0,1,2,3 с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли, где n = 3, p = 0,8 (вероятность попадания), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (вероятность непопадания).
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:
0
1
2
3
0,008
0,096
0,384
0,512
Пример: Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение: По условию n = 400, k = 80, p = 0,2, q = 0,8 . Вычислим определяемое данными задачи значение x: 13 EMBED Equation.3 1415. По таблице приложения 1 находим 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда искомая вероятность будет:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей, если вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2.
Решение: По условию n = 400, p = 0,2, q = 0,8, k1 = 70, k2 = 100 . Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415.
По таблице приложения 2 находим, что 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 . Тогда искомая вероятность равна:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность, что на базу прибудут ровно три негодных изделия.
Решение: По условию n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Найдем
·:
· = np = 5000·0,0002 = 1.
По формуле Пуассона искомая вероятность равна:
13 EMBED Equation.3 1415, где случайная величина X – число негодных изделий.
Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
Решение: По условию p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Искомая вероятность равна:
P ( X = 3 ) = 0,42·0,6 = 0,096.
Пример. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.
Решение: По условию задачи, N = 50, M = 20, n = 5, m = 3. Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
24. По каждой случайной величине Х определяют еще три величины – центрированную Y, нормированную V и приведенную U. Центрированная случайная величина Y – это разность между данной случайной величиной Хи ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y = Х – М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Y равно 0, а дисперсия – дисперсии данной случайной величины: М(Y)= 0, D(Y) =D(X). Функция распределения FY(x) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F(x) исходной случайной величины X соотношением:
FY(x) =F(x + M(X)).
Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство
fY(x) = f(x + M(X)).
Нормированная случайная величина V – это отношение данной случайной величины Х к ее среднему квадратическому отклонению , т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики Х так:
,
где v – коэффициент вариации исходной случайной величины Х. Для функции распределения FV(x) и плотности fV(x) нормированной случайной величины V имеем:
,
где F(x) – функция распределения исходной случайной величины Х, а f(x) – ее плотность вероятности.
Приведенная случайная величина U – это центрированная и нормированная случайная величина:
.
Для приведенной случайной величины
. (7)
Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.
Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если Y = aX + b, где a и b – некоторые числа, то
(8)
Пример 7. Если то Y – приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).
С каждой случайной величиной Х можно связать множество случайных величин Y, заданных формулой Y = aX + b при различных a>0 и b. Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством, порожденным случайной величиной Х. Функции распределения FY(x) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F(x). Вместо Y = aX + b часто используют запись
(9)
где
Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что Х – результат измерения некоторой величины – переходит в У – результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с, а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.
Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение Х называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).
Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины Х рассматривают Y = lg X, где lg X – десятичный логарифм числа Х. Цепочка равенств
FY(x) = P(lgX < x) = P(X < 10x) = F(10x)
связывает функции распределения Х и Y.
25. Условие задачи:
В мастерской работает 4 мастера. Клиенты приходят на обслуживание в среднем каждые 10 минут, время обслуживания 1 клиента составляет 30 минут. Определить вероятности первых 7-и состояний системы, вероятность отказа и среднюю длину очереди.
Построение математической модели СМО
Тип системы: СМО с ожиданием
Количество каналов: n=4
Интенсивность поступления заявок:
· = 1/10
Интенсивность обслуживания: µ = 1/30
Коэффициент загрузки каналов:
· =
·/ µ = 3
Размеченный граф состояний системы:
S0 – состояние, в котором в системе отсутствуют заявки;
S1 – состояние, при котором в системе 1 заявка;
S4 – состояние, при котором в системе 4 заявки, все каналы заняты;
S5 – состояние, при котором в системе 5 заявок, 1 заявка в очереди.
Решение задачи
P0 = 1/ (13 EMBED Equation.3 1415)
I. при k<=n Pk=P0*
·k/k!
II. при k>n Pk=P0*
·k/(n!*nk-n)
Pотк = Pn=P4
Lq= Pn*13 EMBED Equation.3 1415
P0=0.0379 P1=0.1132 P2=0.1698 P3=0.1698 P4=0.1274
26. Пример построения и решения оптимизационной модели
Трикотажная фабрика предполагает предложить потребителям полотна 150 и 90 артикулов. Требуется определить ассортимент указанных тканей, позволяющий фабрике получить максимальную прибыль на имеющемся оборудовании (машины Текстима и Кокетт). При этом следует определить, какие артикулы трикотажного полотна и в каких объемах нужно выпускать на каждой из машин. Исходные данные приведены в таблицах 1, 2.
Таблица 1 – Исходные данные для решения задания 3
Артикулы
полотна
Величина прибыли в тыс. руб. при
выработке 1 т полотна на машине
Фактическая производительность
в кг/час машины
текстима
кокетт
текстима
кокетт
150
13,40
13,46
2,42
3,76
90
7,06
7,17
4,08
7,66
Таблица 2 – Исходные данные для определения максимального ассортимента трикотажной фабрики
Машины
Фонд машинного времени, в маш/час (план)
Текстима
9305
Кокетт
6534
Решение:
I ЭТАП (решение задачи с помощью симплекс-метода)
Составим экономико-математическую модель задачи.
Введем следующие обозначения:
Х1 – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине Текстима (т);
Х2 – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине Текстима (т);
Х3 – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине Кокетт (т);
Х4 – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине Кокетт (т).
Составим целевую функцию, выражающую прибыль, получаемую от выпуска всей продукции
13 EMBED Equation.3 1415.
Составим ограничения на фонд машинного времени имеющегося оборудования
13 EMBED Equation.3 1415
Для того чтобы решить задачу симплекс-методом, нужно ограничения неравенств преобразовать в равенство.
В первое ограничение добавим положительную величину х5.
Во второе ограничение добавим положительную величину х6.
13 EMBED Equation.3 1415
Так как неизвестные х5 и х6 выражают неиспользуемое время работы соответствующего оборудования и следовательно, не влияют на прибыль, то в целевую функцию эти неизвестные входят с нулевыми коэффициентами
13 EMBED Equation.3 1415.
В результате получим математическую модель, представляющую общую задачу линейного программирования.
Решим задачу симплекс-методом.
Преобразуем целевую функцию:
алгоритм симплекс-метода
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Этапы задачи оформлены в виде симплекс-таблицы (см. таблицу 3).
Таблица 3 – Симплекс-таблица
Базисные
неизвестные
Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
Х6
Свободный
член
Х5
413,22
245,09
0
0
1
0
9305
Х6
0
0
265,96
130,55
0
1
6534
-L
13,4
7,06
13,46
7,17
0
0
0
Х5
413,22
245,09
0
0
1
0
9305
Х3
0
0
1
0,49
0
0,004
24,57
-L
13,4
7,06
0
0,57
0
-0,05
-330,71
Х1
1
0,59
0
0
0,002
0
22,52
Х3
0
0
1
0,49
0
0,004
24,57
-L
0
-0,85
0
0,57
-0,027
-0,05
-632,48
Х1
1
0,59
0
0
0,002
0
22,52
Х4
0
0
2,04
1
0
0,008
50,14
-L
0
-0,85
-1,16
0
-0,027
-0,054
-661,06
Чтобы получить первую строчку второй таблицы, переписываем первую строчку первой таблицы. Для того чтобы получить вторую строчку второй таблицы, делим вторую строчку первой таблицы на 265,96. Чтобы получить третью строчку второй таблицы, нужно вторую строчку второй таблицы умножить на 13,46 и вычесть из третьей строчки первой таблицы.
Чтобы получить первую строчку третьей таблицы, делим первую строчку второй таблицы на 413,22. Чтобы получить вторую строчку третьей таблицы, переписываем вторую строчку второй таблицы. Чтобы получить третью строчку третьей таблицы, нужно первую строчку третьей таблицы умножить на 13,4 и вычесть из третьей строчки второй таблицы.
Чтобы получить первую строчку четвертой таблицы, переписываем первую строчку третьей таблицы. Чтобы получить вторую строчку четвертой таблицы, делим вторую строчку третьей таблицы на 0,49. Чтобы получить третью строчку четвертой таблицы, умножаем вторую строчку четвертой таблицы на 0,57 и вычитаем из третьей строки третьей таблицы.
В результате в четвертой симплекс-таблице получили в строке –L все коэффициенты ( 0. Значит план оптимальный и задача решена.
Х1 = 22,52 т – выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине текстима;
Х2 = 0 т – выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине текстима;
Х3 = 0 т – выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине кокетт;
Х4 = 50,14 т – выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине кокетт;
Х5 = 0 т – дополнительно вводимая положительная величина;
Х6 = 0 т– дополнительно вводимая положительная величина.
13 EMBED Equation.3 1415 тыс. руб. – прибыль общая, получаемая от реализации всех видов изделий.
13 EMBED Equation.3 1415,
т.е. для получения максимальной прибыли 661,06 тыс. руб. трикотажной фабрике необходимо выпускать:
– трикотажного полотна артикула 150 на машине текстима в объеме 22,52 т;
– трикотажного полотна артикула 90 на машине текстима не выпускать;
– трикотажного полотна артикула 150 на машине кокетт не выпускать;
– трикотажного полотна артикула 90 на машине кокетт выпускать в объеме 50,14 т.
Проведем анализ использования оборудования
Машина текстима используется для выпуска 22,52 т полотна артикула 150; полотно артикула 90 на машине не выпускается, следовательно, будет затрачено
13 EMBED Equation.3 1415,
и фонд рабочего времени машины текстима будет использоваться сверхустановленного лимита, т. к.
13 EMBED Equation.3 1415 – будет использоваться сверхустановленного лимита.
Машина кокетт используется для выпуска 50,14 т полотна артикула 90, а полотно артикула 150 на машине кокетт не выпускается, следовательно, будет затрачено
13 EMBED Equation.3 1415,
и фонд рабочего времени машины кокетт будет использоваться сверхустановленного лимита, т. к.
13 EMBED Equation.3 1415 – будет использоваться сверхустановленного лимита.
Ответ: Таким образом, для получения максимальной прибыли, равной 661,06 тыс. руб., трикотажной фабрике рекомендуется выпускать 22,52 т трикотажного полотна артикула 150 на машине текстима и 50,14 т трикотажного полотна артикула 90 на машине кокетт. Остальные виды продукции не производить. При этом имеющийся фонд рабочего времени машины текстима будет использоваться сверхустановленного лимита на 1 маш/час., а фонд рабочего времени машины кокетт будет использоваться сверхустановленного лимита на 12 маш/час.
II ЭТАП (решение задачи с помощью утилиты «Поиск решения»)
Прикладной программный продукт ТП Excel фирмы Microsoft содержит в своем составе достаточно мощное средство для решения задач оптимизации с учетом ограничений. Это так называемая утилита «Поиск решения» (см. рисунок 1). Прокомментируем некоторые аспекты работы с этой утилитой.
Рисунок 1 – Окно утилиты «Поиск решения»
Искомые переменные – ячейки рабочего листа Excel – называются регулируемыми ячейками.
Целевая функция L(х1, х2, ..., хn), называемая иногда просто целью, должна задаваться в виде формулы в ячейке рабочего листа. Эта формула может содержать функции, определенные пользователем, и должна зависеть (ссылаться) от регулируемых ячеек. В момент постановки задачи определяется, что делать с целевой функцией. Возможен выбор одного из вариантов:
– найти максимум целевой функции L(х1, х2, ..., хn);
– найти минимум целевой функции L(х1, х2, ..., хn);
– добиться того, чтобы целевая функция L(х1, х2, ..., хn) имела фиксированное значение: L(х1, х2, ..., хn) = а.
Функции G(х1, х2, ..., хn) называются ограничениями. Их можно задать как в виде равенств, так и неравенств.
На регулируемые ячейки (искомые параметры – х1, х2, ..., хn) можно наложить дополнительные ограничения: неотрицательности и/или целочисленности, тогда решение ищется в области положительных и/или целых чисел.
Под эту постановку попадает самый широкий круг задач оптимизации, в том числе решение различных уравнений и систем уравнений, задачи линейного и нелинейного программирования.
Управление диалоговым окном утилиты «Поиск решения» (см. рисунок 1) осуществляется следующим образом:
установить целевую ячейку – служит для указания целевой ячейки, значение которой необходимо максимизировать, минимизировать или установить равным заданному числу. Эта ячейка должна содержать формулу для вычисления целевой функции;
равной – служит для выбора варианта оптимизации значения целевой ячейки (максимизация, минимизация или подбор заданного числа). Чтобы установить число, его необходимо ввести в поле;
изменяя ячейки – служит для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в поле «Установить целевую ячейку». В этих ячейках должны содержаться переменные оптимизационной модели;
ограничения – служат для отображения списка граничных условий поставленной задачи;
выполнить – служит для запуска поиска решения поставленной задачи.
«Поиск решения» позволяет представить результаты в виде трех отчетов: Результаты, Устойчивость и Пределы.
Для генерации одного или нескольких отчетов выделяются их названия в окне диалога «Результаты» утилиты «Поиск решения».
Отчет по устойчивости содержит информацию о том, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Этот отчет имеет два раздела: один для изменяемых ячеек, а второй для ограничений.
Отчет по результатам содержит три таблицы: в первой приведены сведения о целевой функции до начала вычисления, во второй – значения искомых переменных, полученные в результате решения задачи, в третьей – результаты оптимального решения для ограничений. Кроме того, содержится информация о параметрах каждого ограничения: статус и разница. Статус может принимать три состояния: связанное, несвязанное или невыполненное. Значение разницы – это разность между значением, выводимым в ячейке ограничения при получении решения, и числом, заданным в правой части формулы ограничения.
Отчет по пределам содержит информацию о том, в каких пределах значения изменяемых ячеек могут быть увеличены или уменьшены без нарушения ограничений задачи.
Постановка задачи в терминах рабочего листа Excel для использования утилиты «Поиск решения».
Разместим исходные данные на листе MS Excel.
В окне «Поиск решения» зададим целевую ячейку, изменяемые ячейки и ограничения (рисунок 2).
Рисунок 2 – Окно утилиты «Поиск решения» задачи
В приложениях 4, 5, 6, 7, 8 представлены результаты работы утилиты «Поиск решения».
Таким образом, для получения максимальной прибыли, равной 660,60 тыс. руб., трикотажной фабрике рекомендуется выпускать 22,52 т трикотажного полотна артикула 150 на машине текстима и 50,05 т трикотажного полотна артикула 90 на машине кокетт. Остальные виды продукции не производить. При этом имеющиеся фонды рабочего времени машин текстима и кокетт будут использованы полностью.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
8. Критерии оценки:
8.1. Теоретические задания
Формы проверки выполнения теоретического задания: устный или письменный развернутый ответ.
Оценивание – по 5-балльной системе:
оценка «5» (отлично) выставляется, если обучающийся последовательно, связно излагает материал, показывает знание и глубокое понимание всего материала; делает необходимые выводы; в пределах программы отвечает на поставленные вопросы
оценка «4» (хорошо) – если обучающийся усвоил основной материал программы; ответ, в основном, удовлетворяет установленным требованиям;
но при этом делает несущественные пропуски при изложении фактического материала, предусмотренного программой;
допускает две негрубые ошибки или неточности в формулировках;
оценка «3» (удовлетворительно) – если обучающийся знает и понимает основной материал программы; материал излагается упрощенно, с ошибками и затруднениями;
оценка «2» (неудовлетворительно) – если обучающийся излагает материал бессистемно; при отсутствии ответа.
8.2. Практические задания
Оценка «5» ставится, если верно и рационально решено 90%-100% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет, не искажающий сути решения;
оценка «4» ставится при безошибочном решении 80% предлагаемых заданий;
оценка «3» ставится, если выполнено 70% предлагаемых заданий, допустим один недочет;
оценка «2» - решено менее 70% предлагаемых заданий.
9. Перечень материалов, оборудования и информационных источников, используемых при проведении текущего контроля
Основные источники (ОИ)
№ п/п
Наименование
Автор
Издательство, год издания
ОИ 1
Сетевые операционные системы
Олифер В.Г
Питер, 2009
ОИ 2
Дискретная математика
Спирина М.С.
Спирин П.А.
Академия, 2012
Дополнительные источники (ДИ)
№ п/п
Наименование
Автор
Издательство, год издания
ДИ 1
Математика: учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования
Григорьев С.Г.
Академия, 2012.
ДИ 2
Операционные системы
Бондаренко М. Ф.
Качко Е. Г.
Компания СМИТ, 2009
ДИ 3
Компьютерные сети
Таненбаум Э.
Питер, 2012
Интернет-ресурсы (И-Р)
И-Р 1. Российское образование. Федеральный образовательный портал: учреждения, программы, стандарты [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www. edu.ru, свободный. – Загл. с экрана.
И-Р 2. Справочные данные по математике: Элементы теории графов. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://book.itep.ru/10/grap1021.htm, свободный. – Загл. с экрана.
И-Р 3. ALGOLIST.MANUAL.RU.Алгоритмы методы исходники. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://algolist.manual.ru/maths/graphs/, свободный. – Загл. с экрана.
И-Р 4. Классическая вероятностная схема. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/lec.html, свободный. – Загл. с экрана.
И-Р 5. Применение теории автоматов. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://teorya.hut.ru/page2.htm, свободный. – Загл. с экрана.
Материально-техническое обеспечение занятий
№ п/п
Материально-техническое обеспечение (МТО) занятий
МТО 1
Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы обучающихся по дисциплинам «Теория графов», «Элементы теории конечных автоматов» и «Элементы теории вероятности»
МТО 2
Методические указания по выполнению практических и лабораторных работ по дисциплине «Математический аппарат компьютерных сетей»
МТО 3
Видеофильмы и презентации по темам дисциплины
13PAGE 15
13PAGE 14- 96 -15
Рисунок 1.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
0
1
1
0
0
0
x2
0
1
0
0
1
0
A=
x3
0
0
0
0
0
0
x4
0
0
1
0
0
0
x5
1
0
0
1
0
0
x6
1
0
0
0
1
1
13 EMBED Equation.3 1415
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
0
1
1
0
0
1
x2
1
0
1
0
0
0
A=
x3
1
1
0
1
0
0
x4
0
0
1
0
1
1
x5
0
0
0
1
0
1
x6
1
0
0
1
1
0
Рисунок 2.
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
x1
1
1
0
0
0
0
0
-1
-1
0
x2
-1
0
(1
1
0
0
0
0
0
0
B=
x3
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
x4
0
0
0
0
-1
-1
0
0
0
0
x5
0
0
0
-1
1
1
-1
1
0
0
x6
0
0
0
0
0
0
1
0
1
(1
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
x1
1
1
0
0
0
0
0
1
x2
1
0
1
0
0
0
0
0
B=
x3
0
1
1
1
0
0
0
0
x4
0
0
0
1
1
1
0
0
x5
0
0
0
0
0
1
1
0
x6
0
0
0
0
1
0
1
1
Таблица переходов D-триггера.
Таблица функции входов D-триггера.
Таблица переходов T-триггера.
Таблица функции входов T-триггера.
Таблица переходов RS-триггера.
Таблица переходов JK-триггера.
Поздний срок наступления
события, 13 EMBED Equation.3 1415
Ранний срок наступления
события, 13 EMBED Equation.3 1415
Резерв времени события, 13 EMBED Equation.3 1415
Номер события i
Рисунок 1.6 – Отображение временных параметров событий
в вершинах сетевого графика
Иди на одну ячейку влево
В воспринимаемой ячейке стоит буква |
Иди на одну ячейку вправо
Через одну пустую ячейку от воспринимаемого числа напечатай
В пустой ячейке справа от | напечатай
Иди на одну ячейку вправо
Через одну пустую ячейку от воспринимаемого числа напечатай
остановись
Да
Нет
Иди левее воспринимаемого числа на две ячейки
В воспринимаемой ячейке стоит буква s0
Иди справа к стандартному положению ближайшего справа числа
Сотри все палочки слева до ближайшей слева пустой ячейки
остановись
Да
Нет
программа машины M2
программа машины M1, заключительное состояние которой q0 заменено на состояние q'1
программа машины М3, заключительное состояние которой q''0 заменено на q0
программа машины М2, заключительное состояние которой q'0 заменено на q0
команда условного перехода
программа машины M1, заключительное состояние которой q0 заменено на состояние qp+1
M1
M2
M3
программа машины l, заключительное состояние которой заменено на q2
команда условного перехода
программа машины r, заключительное состояние которой заменено на q4
программа машины С с начальным состоянием q4 и заключительным q0
программа машины r
программа машины С
программа машины A
машина Р, идущая на две ячейки влево от числа
команда условного перехода
машина R
машина Q, стирающая все единицы слева от ближайшей пустой ячейки
А2
А1
А5
А4
А3
А6
1
3
1
9
7
3
3
2
11
4
2
А1
А2
А3
А5
А4
7
3
4
2
1
5
6
А2
А1
А5
А4
А3
А6
2
7
4
3
2
3
2
3
1
5
1
А1
А2
А3
А5
А4
1
3
5
1
3
7
1
2
А3
А5
А4
А1
А2
3
2
2
1
5
7
4
3
А1
А2
А3
А4
А5
А6
3
7
2
3
3
9
8
5
1
А3
А5
А4
А1
А2
1
2
3
7
8
9
6
5
А1
А2
А3
А4
А5
А6
1
2
3
2
3
9
2
1
5
1
6
А1
А2
А6
А4
А3
А5
3
2
3
2
5
1
3
А1
А3
А2
А4
А6
А5
2
4
9
6
4
3
5
4
7
7
А1
А3
А2
А4
А6
А5
А1
А2
А6
А4
А3
А5
1
3
1
5
2
6
9
3
2
11
3
6
5
2
8
7
3
2
5
4
А1
А2
А3
А4
А5
6
3
3
1
2
5
7
2
А1
А3
А2
А4
А6
А5
2
7
6
3
6
5
3
4
5
А1
А2
А3
А4
А5
6
3
3
3
2
5
8
5
2
А1
А3
А2
А4
А6
А5
1
2
2
5
4
3
7
9
3
6
А4
А1
А2
А3
А5
А6
7
11
2
9
3
2
5
7
А5
А1
А2
А4
А3
8
7
3
2
1
5
2
4
9
А4
А1
А2
А3
А5
А6
3
5
8
4
9
7
7
А5
А1
А2
А4
А3
6
5
7
5
4
2
7
3
1
4
1
1
1
0
0
1
1
0
0
q3
q0
q2
q1
q7
q8
q4
q5
0
a
b
a
b
b
a
q1
q0
q2
a
a
b
b
a
b
a
q0
q1
q2
1
0
0
0
1
1
1
1
q0
q1
q2
q3
0
1
0
0
1
1
0
q1
q0
q2
a
b
b
b
b
a
a
a
a
q0
q1
q3
q2
b
b
b
b
b
a
a
a
a
q0
q1
q2
q3
a
b
c
a
b
b
c
b
a
a
q0
q1
q2
q3
q4
b
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
q0
q1
q2
q3
q4
13 EMBED Mathcad 1415
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
0
1
1
0
0
0
x2
0
1
0
0
1
0
A=
x3
0
0
0
0
0
0
x4
0
0
1
0
0
0
x5
1
0
0
1
0
0
x6
1
0
0
0
1
1
Рисунок 1.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
0
1
1
0
0
1
x2
1
0
1
0
0
0
A=
x3
1
1
0
1
0
0
x4
0
0
1
0
1
1
x5
0
0
0
1
0
1
x6
1
0
0
1
1
0
Рисунок 2.
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
x1
1
1
0
0
0
0
0
-1
-1
0
x2
-1
0
(1
1
0
0
0
0
0
0
B=
x3
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
x4
0
0
0
0
-1
-1
0
0
0
0
x5
0
0
0
-1
1
1
-1
1
0
0
x6
0
0
0
0
0
0
1
0
1
(1
13 EMBED Mathcad 1415
13 EMBED Mathcad 1415
13 EMBED Mathcad 1415
і і
14 $(,0ц