Методические рекомендации к внеаудиторным самостоятельным работам по дисциплине ЕН.01 Математика

Коми Республикаса велцдан да том йцз политика министерство

Министерство образования и молодёжной политики Республики Коми

«Печораса промышленнцй да экономическцй техникум»
уджсикасц велцдан канму учреждение
(УВКУ «ППЭТ»)

государственное профессиональное образовательное учреждение
«Печорский промышленно-экономический техникум»
(ГПОУ «ППЭТ»)
















Методические рекомендации
к внеаудиторным самостоятельным работам по дисциплине
ЕН.01 Математика основной профессиональной образовательной программы
по специальности среднего профессионального образования
34.02.01 Сестринское дело

















г. Печора, 2016 год
Пояснительная записка

Внеаудиторные самостоятельные работы являются обязательным элементом учебной программы по дисциплине ЕН.01 Математика для специальности среднего профессионального образования 34.02.01 Сестринское дело. Календарно – тематическим планом предусмотрено выполнение пяти самостоятельных работ общей продолжительностью 16 часов: самостоятельная работа № 1 «Вычисление пределов функции» (3 ч); самостоятельная работа № 2 «Дифференциальное исчисление» (3 ч), самостоятельная работа № 3 «Интегральное исчисление» (4 ч), самостоятельная работа № 4 «Решение дифференциальных уравнений I и II порядков» (3 ч) и самостоятельная работа № 5 «Операции над множествами» (3 ч).
Методические указания к самостоятельным работам предназначены для развития навыков самостоятельной работы обучающихся, а также формирования общих и профессиональных компетенций. Они содержат примеры решения различных задач по указанным темам, с подробным планом решения задач.
Для оформления самостоятельных работ рекомендуется использовать тоненькие тетради в клетку или отдельные листы, скрепленные между собой. На титульном листе необходимо указать название учебного заведения, номер, тему и вариант самостоятельной работы, а также номер группы, инициалы и фамилию студента.
Методические рекомендации к самостоятельной работе № 1

Тема: Вычисление пределов функций.

Цель: Закрепить знания и умения вычисления пределов функций.
Пример № 1. Найдите предел 13 EMBED Equation.3 1415.
План решения:
Вычисление пределов числовых последовательностей и функций, представляющих собой рациональные и иррациональные дроби, сводится к следующему алгоритму:
Подставьте предельное значение аргумента в исследуемое выражение.
Определите вид неопределенности. (Имеем неопределенность типа 13 EMBED Equation.3 1415).
Выделите старшую степень числителя и знаменателя 13 EMBED Equation.3 1415.
Разделите числитель и знаменатель на старшую степень 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите предел полученного выражения.

Решение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример № 2. Найдите предел 13 EMBED Equation.3 1415.
План решения:

Подставьте предельное значение аргумента в исследуемое выражение.
Определите вид неопределенности. (Имеем неопределенность типа 13 EMBED Equation.3 1415).
Умножьте и разделите выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное ему выражение 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите предел полученного выражения.

Решение:

13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: 0.

Пример № 3. Найдите предел 13 EMBED Equation.3 1415.
План решения:
Подставьте предельное значение аргумента в исследуемое выражение.
Определите вид неопределенности. (Имеем неопределенность типа 13 EMBED Equation.3 1415).
Преобразуйте функцию, таким образом, чтобы для вычисления данного предела можно было использовать первый замечательный предел: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите предел полученного выражения.

Решение:
13 EMBED Equation.3 1415.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример № 4. Найдите предел 13 EMBED Equation.3 1415.
План решения:
Подставить предельное значение аргумента в исследуемое выражение.
Определить вид неопределенности. (Имеем неопределенность типа 13 EMBED Equation.3 1415).
Преобразуйте функцию, таким образом, чтобы для раскрытия неопределенности можно было воспользоваться вторым замечательным пределом: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите предел полученного выражения.

Решение:
13 EMBED Equation.3 1415.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Методические рекомендации к самостоятельной работе № 2

Тема: Дифференциальное исчисление.

Цель: Закрепить знания и умения вычисления производных, полученные на уроках. Научить применять производную для исследования функций, решать прикладные задачи с помощью дифференцирования.

Пример 1. Вычислите производную функции f(х) = 13 EMBED Equation.3 1415 в точке х13 EMBED Equation.3 1415= 2.
План решения:

1. Вычислите производную функции, применяя правило дифференцирования частного: 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите значение производной в заданной точке 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение:

1. Вычислим производную функции:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
2. Найдем значение производной в заданной точке:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 2. Вычислите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке х=1.

План решения:
Вычислите производную сложной функции 13 EMBED Equation.3 1415, применяя правила дифференцирования сложной функции.
Найдите значение производной в заданной точке 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение:

Найдем производную данной функции: 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислим значение производной в точке:
13 EMBED Equation.3 1415.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону S = 2t3 + t2 – 4. Найдите значение скорости и ускорения в момент времени t = 4. (Скорость измеряется в м/с , ускорение в м/с2 ).

План решения:
При прямолинейном движении точки скорость v в данный момент времени t = t0 есть производная 13 EMBED Equation.3 1415 от пути s по времени t , вычисленная при t = t0 .
Ускорение a в данный момент времени t = t0 есть производная 13 EMBED Equation.3 1415 от скорости v по времени t , вычисленная при t = t0.
Запишите зависимость скорости от времени в виде производной от пути по времени: 13 EMBED Equation.3 1415и найдите ее.
Вычислите значение скорости при t = t0.
Запишите зависимость ускорения от времени в виде производной от скорости по времени: 13 EMBED Equation.3 1415и найдите ее.
Вычислите значение ускорения при t = t0

Решение:
Запишем зависимость скорости движения точки от времени: v = 13 EMBED Equation.3 1415= 6t2 + 2t.
Вычислим скорость движения точки в момент времени t = 4: v (4) = 613 EMBED Equation.3 141542 + 213 EMBED Equation.3 14154 = 104 (м/c).
Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t:
a = 13 EMBED Equation.3 1415 = 12t + 2.
Вычислим ускорение движения точки в момент времени t = 4:
а (4) = 1213 EMBED Equation.3 14154 + 2 = 50 (м/с2).

Ответ: 104 м/c, 50 м/с2.
Пример № 4. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции 13 EMBED Equation.3 1415. Вычислите наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
План решения:
Вычислите производную данной функции.
Найдите стационарные точки кривой и точки, в которых производная функции не существует.
Отметьте на числовой оси найденные точки и определите знаки производной 13 EMBED Equation.3 1415 в каждом их полученных интервалов.
Определите интервалы монотонности функции, воспользовавшись достаточным условием монотонности функции: если 13 EMBED Equation.3 1415, то функция убывает, если 13 EMBED Equation.3 1415, то функция возрастает.
Используя достаточное условие локального экстремума, определите точки экстремумов функции и вычислите значение функции в этих точках.
Вычислите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Вычислим производную функции:
13 EMBED Equation.3 14152. Найдем стационарные точки и точки, в которых производная функции не существует:
13 EMBED Equation.3 1415 при х=0.
13 EMBED Equation.3 1415не существует при х=-1.
Отметим на числовой оси найденные точки и определим знаки производной 13 EMBED Equation.3 1415 в каждом их полученных интервалов:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 1

Определим интервалы монотонности функции:

13 EMBED Equation.3 1415 - функция убывает;
13 EMBED Equation.3 1415 - функция возрастает.
Определим точки экстремума функции:
13 EMBED Equation.3 1415- точка максимума.
13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим значение функции на концах отрезка:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 - функция убывает;13 EMBED Equation.3 1415 - функция возрастает; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример № 5. Исследуйте функцию y = х3 – 6х2 + 9х – 3 и постройте ее график.

План решения:
Исследование функции проводится по общей схеме:
1. Найдите область определения функции.
2. Выясните, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
3. Найдите точки пересечения с осями координат (если это не вызывает затруднений).
4. Найдите асимптоты графика функции.
5. Найдите промежутки монотонности функции и ее экстремумы.
6. Найдите промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
7. Постройте график, используя полученные результаты исследования.
Решение:
1. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(y)=R.
2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.
Найдем точку пересечения графика с осью Оу: полагая х = 0, получим у = -3.
Точки пересечения графика с осью Ох в данном случае найти затруднительно.
4. Очевидно, что график не имеет асимптот.
5. Найдем производную функции: 13 EMBED Equation.3 1415.
Приравнивая ее нулю, найдем точки возможного экстремума: 3х2–12х+9=0.
Значит х1 = 1 и х2 = 3 являются точками возможного экстремума. Они делят область определения функции на три промежутка (рис. 2). Используя достаточные условия локального экстремума функции, определим интервалы монотонности функции.





Рис. 2

Функция убывает при х13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,т.к. 13 EMBED Equation.3 1415< 0; функция возрастает при х13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,т.к. 13 EMBED Equation.3 1415> 0.
При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х = 3 – с минуса на плюс.
Значит, уmax = у(1) = 1, уmin = у(3) = - 3.

Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба (рис. 3):

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, 6х – 12 = 0; х = 2.




Рис. 3
При х13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, значит кривая выпукла вверх. При х13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, кривая выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба 13 EMBED Equation.3 1415.

7. Используя полученные данные, строим график функции (рис.4):
Методические рекомендации к самостоятельной работе № 3

Тема: Интегральное исчисление.

Цель: Закрепить знания и умения вычисления определенных и неопределенных интегралов, полученные на уроках. Научить решать прикладные задачи с помощью интегрирования.


Пример № 1. Вычислите интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
План решения:
Данный интеграл вычисляется методом непосредственного интегрирования. При этом используется таблица простейших интегралов и основные свойства неопределенных интегралов:
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:
13 EMBED Equation.3 1415.

Постоянный множитель можно выносить из под знака интеграла:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример № 2. Найдите интеграл 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

План решения:
Данный интеграл вычисляется с помощью метода интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.3 1415.
Введите новые переменные u и v.
Вычислите интеграл, используя формулу интегрирования по частям.

Решение:
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 , можно допустить что С = 0.
Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример № 3. Вычислите интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
План решения:
Данный интеграл вычисляется с помощью метода интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.3 1415.
Введите новые переменные u и v.
Вычислите интеграл, используя формулу интегрирования по частям.
В полученное выражение, подставьте пределы интегрирования и, используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислите определенный интеграл.

Решение:
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислим интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример № 4. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции
13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415.

План решения:
Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями х = a , х = b и графиком функции 13 EMBED Equation.3 1415, применяется формула вычисления площади криволинейной трапеции 13 EMBED Equation.3 1415 и свойство аддитивности площадей, согласно которому площадь фигуры равна сумме площадей непересекающихся частей фигуры.
Изобразите схематически фигуру, площадь которой требуется вычислить.
Определите пределы интегрирования.
Вычислите площадь фигуры, как сумму площадей частей фигуры, расположенных выше оси Ох и ниже ее.

Решение:
Фигура, ограниченная графиком функции 13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415 и осью Ох, имеет вид, изображенный на рис.5.
Пределы интегрирования: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем площадь фигуры как сумму площадей частей фигуры, лежащих ниже оси Ох и выше нее:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 (кв.ед.)
13 EMBED Equation.3 1415(кв. ед.)
13 EMBED Equation.3 1415(кв.ед.)
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415кв.ед.

Пример № 5. Найдите путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения. Если скорость тела 13 EMBED Equation.3 1415 (м/с).

План решения:
Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении, скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Интегрируя полученное равенство в пределах от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415.

Запишите зависимость пути от времени в виде интеграла.
Определите пределы интегрирования.
Используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислите интеграл.

Решение:
Запишем зависимость пути от времени в виде13 EMBED Equation.3 1415.
Пределами интегрирования являются 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим интеграл: 13 EMBED Equation.3 1415(м).
Ответ: 88 м.

Методические рекомендации к самостоятельной работе №4

Тема: Решение дифференциальных уравнений I и II порядков.

Цель: Закрепить методы решения дифференциальных уравнений первого порядка и простейших дифференциальных уравнений второго порядка.

Пример №1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
13 EMBED Equation.3 1415.
План решения:
Представьте уравнение в виде: 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - функции, зависящие только от одной переменной.
Найдите решение уравнений 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415.
Разделите переменные в области, где 13 EMBED Equation.3 1415, записав уравнение в виде
13 EMBED Equation.3 1415.
Проинтегрируйте полученное уравнение с разделенными переменными.
Запишите общий интеграл уравнения в виде: 13 EMBED Equation.3 1415(в области13 EMBED Equation.3 1415), при этом постоянные 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 можно опустить.
Учитывая найденные ранее решения вида 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, запишите все решения исходного дифференциального уравнения

Решение:
1. Введем функции 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдем решение уравнений13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415- решения исходного дифференциального уравнения.
3. Разделим переменные: 13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Проинтегрируем полученное уравнение с разделенными переменными:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
5. Тогда общий интеграл данного дифференциального уравнения в области 13 EMBED Equation.3 1415 примет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Т.к 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415не определенны при13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415, соответственно, то решения 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415ни при каких 13 EMBED Equation.3 1415не входят в общий интеграл уравнения13 EMBED Equation.3 1415, найденный в пункте 5.
Следовательно, множество всех решений дифференциального уравнения есть
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Пример №2. Решите однородное дифференциальное уравнение первого порядка
13 EMBED Equation.3 1415.
План решения:
Введите новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415 и с ее учетом перепишите уравнение.
Разделите переменные в полученном уравнении и проинтегрируйте его.
Вернитесь к старой переменной и получите общий интеграл исходного уравнения.

Решение:
Сделаем замену переменной 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Подставляя новую переменную в исходное уравнение, получим 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Разделяя переменные, получим 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Проинтегрируем полученное уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставляя 13 EMBED Equation.3 1415, получим общий интеграл исходного уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Получить у как явную функцию от х в данном случае невозможно. Здесь легко выразить х через у: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример №3. Решите линейное дифференциальное уравнение первого порядка
13 EMBED Equation.3 1415.

План решения:
Методом подбора найдите некоторое решение линейного неоднородного уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите общее решение соответствующего однородного уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Общее решение уравнения представьте в виде 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение:
Подбором найдем некоторое решение данного уравнения13 EMBED Equation.3 1415.
Решим соответствующее однородное уравнение13 EMBED Equation.3 1415.
Общее решение однородного уравнения имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - некоторая заданная функция. В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому общее однородного уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда общее решение данного линейного неоднородного уравнения задается формулой:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример № 4. Найдите общее решение дифференциального уравнения второго порядка
13 EMBED Equation.3 1415.
План решения:
Данное уравнение относится к дифференциальным уравнениям второго порядка, допускающим понижение степени.
Введите новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415.
Приведите уравнение к дифференциальному уравнению первого порядка с разделяющимися переменными.
Решите дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными и найдите его общий интеграл.
Вернитесь к переменной х и получите общее решение исходного уравнения.

Решение:
Введем новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415.
Приведем исходное уравнение к дифференциальному уравнению первого порядка с разделяющимися переменными 13 EMBED Equation.3 1415.
Решим полученное дифференциальное уравнение.
Очевидно, что у = 0 решение этого д.у., тогда 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415 - решение исходного д.у.
Разделяя переменные в уравнении для у 13 EMBED Equation.3 1415, получаем 13 EMBED Equation.3 1415. Интегрируя уравнение, получаем 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Для 13 EMBED Equation.3 1415имеем13 EMBED Equation.3 1415.
Для 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 общее решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Вернемся к старой переменной и найдем общий интеграл исходного уравнения:
Для 13 EMBED Equation.3 1415имеем 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Для 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда

13 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, множество решений исходного д.у. есть
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример № 5. Решите дифференциальное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.

План решения:
Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения применяется следующий алгоритм:
Составьте характеристическое уравнение.
Найдите корни характеристического уравнения.
Найдите общее решение уравнения.

Решение:
Так как данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, то для его решения составим характеристическое уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решим характеристическое уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415.
Корни характеристического уравнения действительные: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, общее решение уравнения будем искать в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - любые постоянные величины.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример № 6. Найдите решение дифференциального уравнения 13 EMBED Equation.3 1415,
удовлетворяющее начальным условиям:13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.

План решения:
Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения применяется следующий алгоритм:
Составьте характеристическое уравнение.
Найдите корни характеристического уравнения.
Найдите общее решение уравнения.
Найдите, частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решение:
Составим характеристическое уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решим характеристическое уравнение.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, общее решение уравнения будем искать в виде:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда, общее решение имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
4. Для определения постоянных коэффициентов найдем производную 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Учитывая начальные условия13 EMBED Equation.3 1415, получим алгебраическую линейную систему уравнений относительно 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Решением задачи является функция 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Методические рекомендации к самостоятельной работе № 5

Тема: Операции над множествами

Цель: Закрепить знания и умения, полученные на уроках, для выполнения операции над множествами.

Пример. Даны два множества 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415
Найдите: а) 13 EMBED Equation.3 1415б) 13 EMBED Equation.3 1415в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Установите, является ли соответствие 13 EMBED Equation.3 1415заданное формулой 13 EMBED Equation.3 1415взаимно - однозначным?

План решения:
Определите, какие элементы принадлежат множеству, а какие нет.
Найдите объединение, пересечение и разность множеств.
Установите, является ли соответствие множеств взаимно – однозначным.

Решение:
Множеству А принадлежат числа 5, 11, 17, 23, 29, и не принадлежат числа 0, 1, 2, 3, 4, 6,7, 8 ,9 ,
Множеству В принадлежат числа 2, 5, 8, 11, 14, 17 и не принадлежат числа 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10,
Найдем объединение, пересечение и разность множеств: 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415. Это множество можно задать также в виде: 13 EMBED Equation.3 1415.
Соответствие 13 EMBED Equation.3 1415 не является взаимно – однозначным, так как имеются элементы множества В, например 2, которым не соответствуют ни один элемент множества А.

Ответ: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Соответствие не является взаимно – однозначным.

13PAGE 15


13PAGE 14215



__

__

+

-1

0

х

1

3

+

 _

+

13 EMBED Equation.3 1415

х

13 EMBED Equation.3 1415(х)

+

-

х

2

у=х3-6х2+9х-3.


S1

S2


2

3


0

х

у


рис.5



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native