Конспект лекции по дисциплине ОУД.03 Математика: Алгебра и начала математического анализа геометрия по теме Векторы на плоскости и в пространстве
Векторы на плоскости и в пространстве
Определение вектора. Основные понятия.
Операции над векторами и их свойства.
Декартова система координат в пространстве.
Скалярное произведение векторов и угол между ними.
Вектор – это направленный отрезок. Он определяется начальной точкой А и конечной точкой В.
Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Два вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равны, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае пишут АВ=CD.
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415называют противоположным вектору 13 EMBED Equation.3 1415 Вектор, длина которого равна нулю, называют нулевым и обозначают 13 EMBED Equation.3 1415. Вектор, длина которого равна 1 называют единичным.
Два ненулевых вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Три ненулевых вектора называют компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Операции над векторами
Суммой двух векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называют такой вектор 13 EMBED Equation.3 1415, начало которого совпадает с началом вектора 13 EMBED Equation.3 1415, а конец – с концом вектора 13 EMBED Equation.3 1415, при условии, что путём параллельного переноса начало вектора 13 EMBED Equation.3 1415 было совмещено с концом вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Разностью двух векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называют такой вектор 13 EMBED Equation.3 1415, который будучи сложен с вектором 13 EMBED Equation.3 1415, даёт сумму, равную 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Свойства сложения и вычитания:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - нулевой вектор.
Произведением ненулевого вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на число 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор 13 EMBED Equation.3 1415, который:
имеет длину 13 EMBED Equation.3 1415
коллинеарен вектору 13 EMBED Equation.3 1415 и направлен одинаково с ним, если 13 EMBED Equation.3 1415 и противоположно ему, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойства умножения вектора на число.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- нулевой вектор
Проекция вектора на ось.
Пусть даны ось l и вектор 13 EMBED Equation.3 1415. Обозначим через А( и B( соответственно проекции точек А и В на ось l.
Проекцией вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на ось l (пре 13 EMBED Equation.3 1415) называют число, равное длине вектора 13 EMBED Equation.3 1415, взятой со знаком “+”, если направление вектора 13 EMBED Equation.3 1415 совпадает с направлением оси l и со знаком “-”, в противном случае.
Свойства проекции вектора на ось:
пр 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - угол между вектором 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
пр 13 EMBED Equation.3 1415 = пр 13 EMBED Equation.3 1415+пр 13 EMBED Equation.3 1415
пр13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 пр 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 пр 13 EMBED Equation.3 1415 = пр 13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры.
В треугольнике ABC проведена медиана AD. Выразить вектор AD через векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415(рис. 1)
B
13 EMBED Equation.3 1415
A D
13 EMBED Equation.3 1415 C
рис.1
Решение. Очевидно, что вектор 13 EMBED Equation.3 1415 есть разность векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, чтобы выполнялось равенство 13 EMBED Equation.3 1415?
Решение. Отложим данные векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 от некоторой точки О и построим на них параллелограмм (рис.2). Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- соответственно длины диагоналей ОС и АВ этого параллелограмма. Для того, чтобы диагонали параллелограмма были равны, необходимо и достаточно, чтобы этот параллелограмм был прямоугольником. Таким образом, равенство 13 EMBED Equation.3 1415 возможно только в случае перпендикулярности векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED PBrush 1415
Декартовы прямоугольные координаты в пространстве.
Координаты вектора.
Координаты точек. Прямоугольная декартова система координат в пространстве считается заданной, если указаны:
1) Три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке О, на каждой из которых выбрано положительное направление, - оси координат. Первая из осей называется осью абсцисс, вторая - осью ординат, третья – осью аппликат; точка О - начало координат;
z
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
x
2) Линейная единица для измерения длин.
Базисными ортами называют единичные векторы 13 EMBED Equation.3 1415, направленные соответственно по координатным осям Ох, Оу, Oz.
Пусть М - некоторая точка пространства; обозначим через Мх проек
цию точки М на ось Ох. Абсциссой х точки М называется длина вектора 13 EMBED Equation.3 1415, взятая со знаком «плюс», если направление этого вектора совпадает с направлением орта 13 EMBED Equation.3 1415, и со знаком «минус» в противном случае. Аналогично определяются ордината у и аппликата z точки М. Упорядоченная тройка чисел х, у, z составляет координаты точки М. Тот факт, что точка М имеет координаты х, у, z, записывают так: М(x;y;z).
Координаты векторов. Координатами 13 EMBED Equation.3 1415 вектора 13 EMBED Equation.3 1415 называются проекции этого вектора на оси Ox, Oy, Oz. В этом случае пишут: 13 EMBED Equation.3 1415. Координаты вектора являются коэффициентами его разложения по ортам:
13 EMBED Equation.3 1415.
Радиусом-вектором некоторой точки M(x;y;z) называется вектор 13 EMBED Equation.3 1415, направленный из начала координат в эту точку.
Если известны координаты точек13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то координаты вектора AB равны разностям соответствующих координат его конца B и начала A, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415.
При сложении(вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются(вычитаются), при умножении векторов на число его координаты умножаются на это число.
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 равен вектору 13 EMBED Equation.3 1415 тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 заключается в пропорциональности соответствующих координат:13 EMBED Equation.3 1415
Длина вектора 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Расстояние между двумя точками13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры:
Даны три вектора 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найти вектор 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Так как при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число, то 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Далее, при сложении векторов их их соответствующие координаты складываются; следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415={9;16;-1}.
Проверить, что точки А(2;1;0), В(0;4;-3), С(-2;3;-5) и D(2;-3;1) являются вершинами трапеции. Найти длины их оснований.
Решение. Найдем координаты векторов АВ, ВС, CD и AD, построенных на сторонах четырехугольника: АВ={-2;3;-3}, BC={-2;-1;-2}, CD={4;-6;6}, AD={0;-4;1}. Координаты векторов AB и CD пропорциональны: 13 EMBED Equation.3 1415; следовательно, эти векторы коллинеарны, т.е. прямые AB и CD параллельны.
Векторы BC и AD не являются коллинеарными, так как их координаты не пропорциональны; поэтому прямые BC и AD не параллельны. Таким образом, четырехугольник ABCD – трапеция, основаниями которой служат AB и CD. Используя формулу (1), найдем длины этих сторон:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Если точка М(x,y,z) делит отрезок АВ в отношении 13 EMBED Equation.3 1415, то ее координаты вычисляются по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
При делении отрезка пополам, т.е. при 13 EMBED Equation.3 1415=1, получаем
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Скалярным произведением векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними :
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415cos13 EMBED Equation.3 1415
Свойства скалярного произведения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Пусть векторы 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415заданы в декартовой системе координат.
Тогда скалярное произведение равно:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
косинус угла между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равен:
13 EMBED Equation.3 1415
АА
А
ВА
ВА
D
C
АА
ВА
C
D
C
ВА
АА
D
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native