Учебное пособие на тему Нестандартное применение производной в профильных классах математического направления

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Лицей физики, математики и информатики №40»
при Ульяновском государственном университете




ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ
Тема: «Нестандартное применение производной
в профильных классах математического направления»


Выполнила:
Учитель математики МОУ «Лицей физики, математики и информатики №40» при УлГУ
Курилова О.Л.





Ульяновск – 2013

Содержание

13 TOC \h \z \t "Мой заголовок 2;2;Мой заголовок 3;3;ксюша параграф;1" 1413 LINK \l "_Toc354960189" 14Введение. 13 PAGEREF _Toc354960189 \h 14- 3 -1515
13 LINK \l "_Toc354960190" 141. Теоретический материал. 13 PAGEREF _Toc354960190 \h 14- 6 -1515
13 LINK \l "_Toc354960191" 141.1. Из истории дифференциального исчисления 13 PAGEREF _Toc354960191 \h 14- 6 -1515
13 LINK \l "_Toc354960192" 141.2. Определение производной 13 PAGEREF _Toc354960192 \h 14- 6 -1515
13 LINK \l "_Toc354960193" 141.3. Стих о производной 13 PAGEREF _Toc354960193 \h 14- 7 -1515
13 LINK \l "_Toc354960194" 141.4. Теорема Лагранжа и теорема о промежуточном значении непрерывной функции. 13 PAGEREF _Toc354960194 \h 14- 7 -1515
13 LINK \l "_Toc354960195" 142. Практическая часть. 13 PAGEREF _Toc354960195 \h 14- 9 -1515
13 LINK \l "_Toc354960196" 142.1. Уравнения. 13 PAGEREF _Toc354960196 \h 14- 9 -1515
13 LINK \l "_Toc354960197" 142.1.1. Решение уравнений 13 PAGEREF _Toc354960197 \h 14- 9 -1515
13 LINK \l "_Toc354960198" 142.1.2. Определение количества корней 13 PAGEREF _Toc354960198 \h 14- 13 -1515
13 LINK \l "_Toc354960199" 142.1.3. Определение количества корней в зависимости от параметра 13 PAGEREF _Toc354960199 \h 14- 15 -1515
13 LINK \l "_Toc354960200" 142.1.4. Доказательство того, что уравнение имеет заданное число корней 13 PAGEREF _Toc354960200 \h 14- 20 -1515
13 LINK \l "_Toc354960201" 142.2. Неравенства. 13 PAGEREF _Toc354960201 \h 14- 23 -1515
13 LINK \l "_Toc354960202" 142.2.1. Решение неравенств 13 PAGEREF _Toc354960202 \h 14- 23 -1515
13 LINK \l "_Toc354960203" 142.2.2. Доказательство неравенств 13 PAGEREF _Toc354960203 \h 14- 25 -1515
13 LINK \l "_Toc354960204" 142.3. Сравнение чисел 13 PAGEREF _Toc354960204 \h 14- 31 -1515
13 LINK \l "_Toc354960205" 142.4. Наибольшее и наименьшее значение функции. 13 PAGEREF _Toc354960205 \h 14- 35 -1515
13 LINK \l "_Toc354960206" 142.4.1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке 13 PAGEREF _Toc354960206 \h 14- 35 -1515
13 LINK \l "_Toc354960207" 142.4.2. Решение текстовых задач 13 PAGEREF _Toc354960207 \h 14- 39 -1515
13 LINK \l "_Toc354960208" 14Приложение 13 PAGEREF _Toc354960208 \h 14- 46 -1515
13 LINK \l "_Toc354960209" 14Заключение 13 PAGEREF _Toc354960209 \h 14- 47 -1515
13 LINK \l "_Toc354960210" 14Список использованной литературы и информационных источников. 13 PAGEREF _Toc354960210 \h 14- 48 -1515
15Введение.
Тем, кто учит математикуТем, кто учит математикеТем, кто любит математикуТем, кто еще не знает,Что может полюбить математикуПредмет математики настолько серьезен,что полезно не упускать случаевсделать его немного занимательным.
Б. Паскаль
Тема исследования
Нестандартное применение производной в профильных классах математического направления.
Актуальность проблемы
Тема «Производная и ее применение» - это один из важнейших разделов курса алгебры и начал математического анализа. Часто, ученики, сталкиваясь с этим понятием в первый раз, не понимают для чего нужно его изучать. Они не видят практического применения этой темы. Хочется заинтересовать учащихся, чтобы изучение данной темы было более осознанно, показать многогранность применения понятия производной. Поэтому данный проект направлен на то, чтобы ученики выяснили, зачем нужно изучать производную, в каких задачах применять, где можно использовать знания, связанные с производной в жизни, а также в других предметах.
Цели проекта:
получение учащимися новых знаний по теме “Нестандартное применение производной”;
формирование собственного опыта учащихся, связанного с организацией самообучения; а также устойчивого, познавательного интереса к предмету;
приобретение навыков научно-исследовательской деятельности у школьников;
развитие интеллектуальных творческих способностей личности,
воспитание у учащихся духа сотрудничества, соавторства.
Задачи
1. Исследовать материал по применению производной для работы с
уравнениями,
неравенствами,
при сравнении чисел,
применении производной для решения текстовых задач на наибольшее и наименьшее значение функции.
2. Изучить исследуемый материал.
3. Классифицировать задачи по применению производной.
4. Привести решения типичных задач для каждого класса.
5. Разработать серию задач для самостоятельного решения.
Гипотеза
Нестандартное применение производной в задачах разного типа помогает успешно освоить программу школьного курса и сдать экзамены ЕГЭ.
Этапы исследования
Формулировка цели и задач, выдвижение гипотезы, обсуждение методов исследования, сбор информации, анализ экспериментальных данных, выводы, оформление результатов.
Объект исследования
Раздел математики: Производная и ее применение
Предмет исследования
Нестандартное применение производной.
Методы
Поисковый, исследовательский, научно-познавательный

В данной работе хотелось бы акцентировать внимание на применении производной для решения задач.
Рассмотрим вопросы, касающиеся производной в обязательном минимуме содержания основных образовательных программ в стандарте среднего (полного) общего образования по математике для базового и профильного уровней.
Для базового уровня:
АЛГЕБРА
Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции данной функции с линейной.

Для профильного уровня:
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Вторая производная. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Использование производных при решении уравнений и неравенств, текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений.
Очевидно, что для профильных классов изучение производной происходит более углубленно, поэтому в данном педагогическом проекте, хотелось бы остановиться более подробно на применении производной для работы с уравнениями, неравенствами, при сравнении чисел, а также на применении производной для решения текстовых задач на наибольшее и наименьшее значение функции. Здесь не будут рассмотрены традиционные примеры применения производной, а именно: геометрический и физический смысл производной, задачи на экстремумы, исследование функций на монотонность и т.д.
На рис. 1 представлена классификация задач, решаемых с помощью производной в данном педагогическом проекте.
В педагогическом проекте представлены упражнения с решениями, дидактический материал, а также необходимые теоретические пояснения, причем часть задач дидактического материала используется в ЕГЭ.





13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Рис.1 Классификация задач, решаемых с помощью производной.

1. Теоретический материал.
1.1. Из истории дифференциального исчисления
Основное понятие дифференциального исчисления - понятие производной – возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определения скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.
Займёмся первой из них.
Пусть s, пройденный прямолинейно и неравномерно движущейся точкой, есть функция от времени t. Пусть это движение выражается некоторым законом
13 EMBED Equation.3 1415
и требуется найти скорость движения в момент t1. Если t1 и t2 являются двумя различными значениями аргумента t, а s1 и s2 – соответствующими им значениями функции s, то «средняя» скорость Vср движения за промежуток времени t2-t1 выразится так:
13 EMBED Equation.3 1415
Чем ближе будет t1 к t2, т.е. чем короче промежуток времени t2-t1, тем точнее эта формула определит скорость в мгновенье t1. Поэтому естественно принять за мгновенную скорость v движущейся точки в момент t1 предел, к которому стремится средняя скорость Vср точки, когда промежуток времени t2-t1 стремиться к нулю, или, что то же самое, когда t2 стремится к t1 .Итак,
13 EMBED Equation.3 1415
Эта задача была впервые решена Ньютоном. Функции он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной (от латинского fluere-течь), производную же – флюксией (от того же fluere). Ньютон обозначал функции последними буквами латинского алфавита u, x, y, z, а их флюксии, т.е. производные от флюэнт по времени,- соответственно теми же буквами с точкой над ними: u, x, y, z.
Ньютон пришёл к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои результаты в этой области он изложил в трактате, названном им «Метод флюксий и бесконечных рядов», который был составлен около 1671г. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксии ещё в середине 60-х годов XVII века, однако вышеназванный его трактат был опубликован посмертно лишь в 1736г.

1.2. Определение производной
Существуют разные определения производной:
1) Математический энциклопедический словарь:
Производная есть функция, определяемая для каждого числа x как предел отношения:
13 EMBED Equation.3 1415 если он существует. Производную функции y = f(x) обозначают 13 EMBED Equation.3 1415
2) А.Н.Колмогоров: Производной функции f в точке 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, к которому стремится разностное отношение
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 стремящемся к нулю.
Найденное таким образом число иногда называют (по аналогии с физикой)
скоростью изменения функции f в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Н.Я.Виленкин: Производной функции f называется функция 13 EMBED Equation.3 1415 значение которой в точке x выражается формулой
13 EMBED Equation.3 1415
4) Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой её окрестности. Дадим аргументу x приращение 13 EMBED Equation.3 1415, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдём соответствующее приращение функции 13 EMBED Equation.3 1415 и составим отношение 13 EMBED Equation.3 1415 Если существует предел этого отношения при 13 EMBED Equation.3 1415 то указанный предел называют производной функции y = f(x) в точке x и обозначают 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак,
13 EMBED Equation.3 1415
Для обозначения производной часто используют символ 13 EMBED Equation.3 1415

1.3. Стих о производной
(из учительского фольклора)
В данной функции от икс, нареченной игреком, 13 EMBED Equation.3 1415
Вы фиксируете x, отмечая индексом. 13 EMBED Equation.3 1415
Придаёте вы ему тотчас приращение, 13 EMBED Equation.3 1415
Тем у функции самой вызвав изменение. 13 EMBED Equation.3 1415
Приращений тех теперь, взявши отношение, 13 EMBED Equation.3 1415
Пробуждаете к нулю 13 EMBED Equation.3 1415 стремление. 13 EMBED Equation.3 1415
Предел такого отношенья вычисляется,
Он производною в науке называется. 13 EMBED Equation.3 1415
1.4. Теорема Лагранжа и теорема о промежуточном значении непрерывной функции.
Критическими точками функции y=f(x) называются внутренние точки области определения f(x), в которых производная равна нулю или не существует.
В критических точках, где производная не существует функция y=f(x) также может иметь экстремум, например y=|x| - эта функция не имеет производной в т. х=0, но имеет минимум в этой точке.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то найдется по крайней мере одно значение 13 EMBED Equation.3 1415 такое, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем. Пусть АВ – хорда, соединяющая точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)) (рис. 2). Тогда отношение 13 EMBED Equation.3 1415 равно тангенсу угла наклона к оси ОХ прямой, проходящей через точки А и В, а производная f'(c) равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y=f(x) в точке касания (c;f(c)). Другими словами, у графика непрерывной на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b) функции существует хотя бы одна точка (c;f(c)), через которую проходит касательная, параллельная хорде АВ.













Рис. 2

Теорема (о промежуточном значении непрерывной функции). Пусть y=f(x) – непрерывная и монотонная функция на отрезке [a;b], причем f(x) принимает положительные и отрицательные значения на этом отрезке, тогда существует единственное решение уравнения f(x)=0.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке надо:
Найти значение функции на концах отрезка;
Найти значение функции в точках, где производная равна 0;
Найти значение функции в точках, где производная не существует;
Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
2. Практическая часть.
2.1. Уравнения.
2.1.1. Решение уравнений
№ 1 Решить уравнение
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Рассмотрим
13 EMBED Equation.3 1415 Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 - критические точки f(x).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
В точках x=-1, x=1 f(x) непрерывна, поэтому x=-1 – локальный min f(x),
x=1 – локальный max f(x).
13 EMBED Equation.3 1415, поэтому y=0 – горизонтальная асимптота f(x).
f(-1)=-1; f(1)=1.
Рассмотрим функцию g(x)=x2-2x+2, g(x) определена на всей числовой прямой.
g'(x)=2x-2
g'(x)=0 при x=1, поэтому х=1 – критическая точка g(x)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
В точке х=1 g(x) непрерывна, поэтому х=1 – локальный min g(x). g(1)=1.
Изобразим графики функций f(x) и g(x)
Из графиков видно, что уравнение имеет единственное решение х=1.
Ответ: х=1.

2) lnx-x=-1+(x-1)2
Решение: Рассмотрим f(x)= lnx-x.
D(f): x>0.
13 EMBED Equation.3 1415.
f'(x)=0 при х=1, поэтому х=1 – критическая точка f(x). Заметим, что f'(x) не существует при х=0, но т.к. D(f): x>0, поэтому х=0 не является критической точкой f(x).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
В точке x=1 f(x) непрерывна, поэтому x=1 – локальный max f(x). f(1)=-1.
Рассмотрим функцию g(x) =-1+(x-1)2, g(x) определена на всей числовой прямой.
g'(x)=2(x-1)
g'(x)=0 при x=1, поэтому х=1 – критическая точка g(x)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
В точке х=1 g(x) непрерывна, поэтому х=1 – локальный min g(x). g(1)=-1.
Изобразим графики функций f(x) и g(x).


Из графиков видно, что уравнение имеет единственное решение х=1.
Ответ: х=1.

3) xe-x+e-x+0,5x2-1=0
Решение:
Рассмотрим функцию f(x) = xe-x+e-x+0,5x2-1, f(x) непрерывна и определена на всей числовой прямой. Найдем участки возрастания и убывания f(x).
Т.к. f'(x)= e-x-xe-x+x-e-x=x(1-e-x), то
f'(x)=0 при х=0,
f'(x)>0 при х>0 и x<0.
Таким образом функция f(x) непрерывной и возрастающей на всей числовой прямой, поэтому ее график может пересечь ось ОХ только в одной точке. Следовательно, решение данного уравнения единственно. Учитывая, что f(0)=0, заключаем, что решением уравнения является х=0.
Ответ: х=0.

4) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Перепишем это уравнение в виде: 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 1415и g(x)=3-x.
Заметим, что решением данного уравнения являются абсциссы точек пересечения или касания графиков функций f(x) и g(x). Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(x). Область определения f(x) состоит из всех x
·0.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 при х>0, поэтому f(x) возрастает при х
·0.
Областью определения функции g(x)=3-x является вся числовая прямая и функция g(x) убывает.
Так как f(x) возрастает при х
·0, а функция g(x) убывает на всей числовой прямой, то решение уравнения f(x)=g(x) единственно, если существует.
Нетрудно заметить, что при х=1 f(1)=2 и g(1)=2, х=1 – это решение данного уравнения.
Ответ: х=1.

5) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Рассмотрим функцию
13 EMBED Equation.3 1415 Сделаем замену переменных: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Область определения f(y) состоит из всех y>0.
Найдем промежутки возрастания и убывания функции.
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем критические точки f(y).
f'(y)=0, если (2y+1)ln3=(y+1)ln12 и следовательно y(2ln3-ln12)=ln12-ln3
13 EMBED Equation.3 1415
Точка 13 EMBED Equation.3 1415<0 и, следовательно не входит в область определения f(y).
f'(y) – не существует при y=0 и y=-1, но эти точки тоже не входят в область определения f(y), поэтому критических точек у функции нет.
При y>0 f'(y)<0, поэтому f(y) убывает при y>0.
Следовательно, если решение уравнения f(y)=0 существует, то оно единственно. Нетрудно заметить, что при y=3 f(y)=0, следовательно y=3 - решение уравнения f(y)=0.
Найдем x, зная что 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Поэтому х=40,5 решение уравнения f(x)=0.
Ответ: х=40,5

6) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: решением данного уравнения являются абсциссы точек пересечения или касания графиков функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Исследуем на монотонность f(x). Область определения f(x) состоит из всех х
·0.
13 EMBED Equation.3 1415
При х
·0 f'(x)>0, поэтому при х
·0 f(x) –возрастает.
Область определения g(x) состоит из всех х, таких что 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем промежутки возрастания и убывания g(x).
13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 g'(x)<0, поэтому g(x) убывает.
Область определения уравнения f(x)=g(x) состоит из всех 13 EMBED Equation.3 1415, причем на этом интервале f(x) возрастает, а g(x) убывает, поэтому если решение существует, то оно единственно. Нетрудно заметить, что при х=16 f(x)=5 и g(x)=5, поэтому х=16 решение уравнения f(x)=g(x).
Ответ: х=16.

7) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: пусть f(x)= 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Исследуем функции на монотонность. Область определения f(x) состоит из всех х>0.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то критической точкой f(x) является х=1.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна, то в точке х=1 имеется локальный min f(x), т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Область определения g(x) состоит из всех y>0.
Так как g'(y)=3(1-lny)-3=-3lny, то критической точкой g(y) является y=1, т.к. g'(y)=0 при y=1.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом при любом при любом х>0 13 EMBED Equation.3 1415, а
при любом y>0 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом данное уравнение имеет единственное решение при 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

8) 4x+1=2x+1siny
Решение: преобразуем данное уравнение к следующему виду: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415.
Исследуем функцию на монотонность. Областью определения является все множество действительных чисел R.
Так как f'(x)=2x-1ln2-2-x-1ln2=13 EMBED Equation.3 1415), то критической точкой является х=0.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415, а siny
·1.
Итак siny
·1
·f(x), поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
2.1.2. Определение количества корней
№2 Найти число действительных корней уравнения.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: пусть 13 EMBED Equation.3 1415, D(f): x
·1.
Найдем промежутки возрастания и убывания непрерывной функции f(x).
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то f(x) возрастает при любом х
·1.
Заметим, что f(1)=13 EMBED Equation.3 1415
f(10)=13 EMBED Equation.3 1415.
Так как f(x) возрастает при х
·1, то f(x) возрастает и при 13 EMBED Equation.3 1415. Так как на концах отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывная функция принимает значения разных знаков, то по теореме о промежуточном значении непрерывной функции заключаем, что функция f(x)=0 при 13 EMBED Equation.3 1415 в единственной точке х1, такой что 13 EMBED Equation.3 1415, то есть f(x1)=0, поэтому данное уравнение имеет единственное решение.
Ответ: один.

2) x5+x2+1=0
Решение: пусть f(x)= x5+x2+1, тогда D(f)=R.
f'(x)=x(5x3+2)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, причем f(x) непрерывна в своей области определения. Схематично график функции выглядит следующим образом:

Очевидно, что график функции f(x) пересекает ось ОХ в одной точке, поэтому в уравнении f(x)=0 одно решение.
Ответ: одно.

3) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: перепишем уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть f(x)= 13 EMBED Equation.3 1415
D(f): x
·2.
Найдем промежутки возрастания и убывания непрерывной функции f(x).
13 EMBED Equation.3 1415, то f(x) возрастает при 13 EMBED Equation.3 1415, f(2)=2.
Поэтому при 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется неравенство f(x)
·f(2)=2.
Равенство f(x)=0 в данном случае никогда не выполняется, поэтому данное уравнение решений не имеет.
Ответ: нет.

4) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: перепишем уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть f(x)= 13 EMBED Equation.3 1415
D(f): x
·1/2.
Найдем промежутки возрастания и убывания непрерывной функции f(x).
13 EMBED Equation.3 1415,
то f'(x)=0 при х=17/6.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Заметим, что f(200)13 EMBED Equation.3 1415>0
Так как f(x) возрастает при х
·17/6, то f(x) возрастает и при 13 EMBED Equation.3 1415. Так как на концах отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывная функция принимает значения разных знаков, то по теореме о промежуточном значении непрерывной функции заключаем, что функция f(x)=0 при 13 EMBED Equation.3 1415 в единственной точке х1, такой что 13 EMBED Equation.3 1415, то есть f(x1)=0, поэтому данное уравнение имеет единственное решение.


Схематично график функции выглядит следующим образом:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Исследования показали, что график функции пересекает ось абсцисс ровно в одной точке, следовательно данное уравнение имеет единственное решение.
Ответ: одно.
2.1.3. Определение количества корней в зависимости от параметра
№ 3 Для каждого значения а найти число действительных решений уравнения.
1) x4-4ax3-2=0
Решение: перепишем уравнение в виде: 13 EMBED Equation.3 1415. Заметим, что х=0 при любом а не является решением данного уравнения.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Исследуем эту функцию и построим ее график.
D(f)=R\{0}.
f(-x)=-f(x), поэтому f(x) нечетная функция и график ее будет симметричен относительно начала координат.
Найдем нули и промежутки знакопостоянства функции.
13 EMBED Equation.3 1415
Поэтому f(x)=0 при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Критических точек у f(x) нет, функция возрастает при любом х из D(f).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Найдем асимптоты f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой f(x).
Найдем наклонную асимптоту f(x).
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 - наклонная асимптота f(x).
График f(x) выглядит следующим образом:


Чтобы найти число действительных корней данного уравнения надо выяснить взаимное расположение графика функции y=f(x) и прямой y=a. Из того, что f(x) является непрерывной и возрастающей на интервалах 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 следует, что данное уравнение имеет 2 решения при любом значении а.
Ответ: два.

2) 2x3-3ax2+1=0
Решение: перепишем уравнение в виде: 13 EMBED Equation.3 1415. Заметим, что х=0 при любом а не является решением данного уравнения.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Исследуем эту функцию и построим ее график.
D(f)=R\{0}.
13 EMBED Equation.3 1415
Критическая точка f(x) это х=1.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Так как f(x) непрерывна в точке х=1, то эта точка является локальным min f(x).
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем асимптоты f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой f(x).
Найдем наклонную асимптоту f(x).
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 - наклонная асимптота f(x), х=0 – вертикальная асимптота f(x).
График f(x) выглядит следующим образом:



Чтобы найти число действительных корней данного уравнения надо выяснить взаимное расположение графика функции y=f(x) и прямой y=a.
Следовательно, при а<1 уравнение f(x)=a имеет одно решение,
при а>1 уравнение f(x)=a имеет 3 решения,
при а=1 уравнение f(x)=a имеет 2 решения.
Ответ: при а<1 - одно решение; при а>1 - 3 решения, при а=1 - 2 решения.

3) lnx=ax
Решение: перепишем уравнение в виде: 13 EMBED Equation.3 1415. Заметим, что х=0 при любом а не является решением данного уравнения.
Пусть13 EMBED Equation.3 1415. Исследуем эту функцию и построим ее график.
D(f):x>0.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то f'(x)=0 при х=е, эта точка является критической.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке х=e, то эта точка является локальным max f(x).
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем асимптоты f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.

Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой f(x).
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 - горизонтальная асимптота f(x).
График f(x) выглядит следующим образом:


Чтобы найти число действительных корней данного уравнения надо выяснить взаимное расположение графика функции y=f(x) и прямой y=a.
Следовательно, при а=1/е, а
·0 уравнение f(x)=a имеет одно решение,
при а>1/e уравнение f(x)=a не имеет решений,
при 0<а<1/e уравнение f(x)=a имеет 2 решения.
Ответ: при а=1/е; а
·0 - одно решение,
при а>1/e - не имеет решений,
при 0<а<1/e - 2 решения.

4) ex=ax2
Решение: перепишем уравнение в виде: 13 EMBED Equation.3 1415. Заметим, что х=0 при любом а не является решением данного уравнения.
Пусть13 EMBED Equation.3 1415. Исследуем эту функцию и построим ее график.
D(f)=R\{0}.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то f'(x)=0 при х=2, эта точка является критической.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке х=2, то эта точка является локальным min f(x).
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем асимптоты f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415

Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой f(x).
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 - горизонтальная асимптота f(x) при 13 EMBED Equation.3 1415.
График f(x) выглядит следующим образом:

Чтобы найти число действительных корней данного уравнения надо выяснить взаимное расположение графика функции y=f(x) и прямой y=a.
Следовательно, при 13 EMBED Equation.3 1415уравнение f(x)=a имеет одно решение,
при а
·0 уравнение f(x)=a не имеет решений,
при 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение f(x)=a имеет 2 решения,
при 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение f(x)=a имеет 3 решения.
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415 - одно решение, при а
·0 - не имеет решений, при 13 EMBED Equation.3 1415 - имеет 2 решения, при 13 EMBED Equation.3 1415 - 3 решения.

5) cos3xsinx=a при 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Пусть f(x)=cos3xsinx . Исследуем эту функцию и построим ее график.
D(f)=R.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415,
то f'(x)=0 при cosx=0, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415,
tgx=13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
На числовой прямой отметим точки, удовлетворяющие условию: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке х=13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным max f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как f(x) непрерывна в точке х=13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным min f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
График f(x) выглядит следующим образом:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Чтобы найти число действительных корней данного уравнения надо выяснить взаимное расположение графика функции y=f(x) и прямой y=a.
Следовательно, при 13 EMBED Equation.3 1415уравнение f(x)=a имеет одно решение,
при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение f(x)=a не имеет решений,
при 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415уравнение f(x)=a имеет 2 решения,
при 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение f(x)=a имеет 3 решения.
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415 - одно решение, при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - не имеет решений,
при 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 - имеет 2 решения, при 13 EMBED Equation.3 1415 - имеет 3 решения.
2.1.4. Доказательство того, что уравнение имеет заданное число корней
№4 Определить все значения а, при каждом из которых уравнение имеет заданное число корней.
1) Один корень 2х3-13х2-20х+а=0
Решение: перепишем уравнение в виде: -2х3+13х2+20х=а.
Пусть f(x)= -2х3+13х2+20х. Исследуем эту функцию и построим ее график.
D(f)=R.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415,
то f'(x)=0 при х=5 и х=-2/3, эти точки является критическими.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке х=-2/3, то эта точка является локальным min f(x).
13 EMBED Equation.3 1415,
и так как f(x) непрерывна в точке х=5, то эта точка является локальным max f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
График f(x) выглядит следующим образом:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Чтобы найти число корней данного уравнения надо выяснить взаимное расположение графика функции y=f(x) и прямой y=a.
Следовательно, данное уравнение имеет один корень при а>175 и a<-188/27.
Ответ: при а>175 и a<-188/27.

2) Два корня 10х=ах.
Решение: перепишем уравнение в виде:13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть13 EMBED Equation.3 1415. Найдем участки возрастания и убывания f(x) и построим ее график.
D(f)=R\{0}.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415,
то f'(x)=0 при 13 EMBED Equation.3 1415, эта точка является критической.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным min f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем асимптоты f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415

Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой f(x).
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 - горизонтальная асимптота f(x) при 13 EMBED Equation.3 1415.
График f(x) выглядит следующим образом:














Чтобы найти число корней данного уравнения надо выяснить взаимное расположение графика функции y=f(x) и прямой y=a.
Следовательно, данное уравнение имеет два корня при а>eln10.
Ответ: при а>eln10.

3) Три корня 6arctgx-x3+a=0.
Решение: перепишем уравнение в виде: -6arctgx+x3=a.
Пустьf(x)=-6arctgx+x3 . Найдем участки возрастания и убывания f(x) и построим ее график.
D(f)=R.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415,
то f'(x)=0 при 13 EMBED Equation.3 1415 и х=-1, эти точки являются критическими.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным min f(x).
.
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным max f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
График f(x) выглядит следующим образом:















Чтобы найти число корней данного уравнения надо выяснить взаимное расположение графика функции y=f(x) и прямой y=a.
Следовательно, данное уравнение имеет три корня при 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415.
2.2. Неравенства.
2.2.1. Решение неравенств
№5 Решить неравенство.
1) x3+4x-16>0
Решение: пустьf(x)=x3+4x-16. Найдем участки возрастания и убывания f(x) . D(f)=R.
f'(x)=3x2+4>0 при любом х, следовательно f(x) возрастает на всей числовой прямой и является непрерывной, поэтому график может пересечь ось ОХ только в одной точке, т.е. решение у данного неравенства единственно. При х=2 f(x)=0, поэтому f(x)>0 при х>2.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415, D(f): x
·0.
13 EMBED Equation.3 1415
f'(x)=0 при х=0 и х=3/5, поэтому эти точки критические.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным max f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
f(0)=0.
График f(x) выглядит следующим образом:














Можно сделать вывод, что множеством решений данного неравенства будет 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: .

3) х27+х18+448<0
Решение: сделаем замену переменных: x9=t.
Неравенство имеет вид: t3+t2+448<0
Рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415, D(f)=R.
13 EMBED Equation.3 1415
f'(x)=0 при t=0 и t=-2/3, поэтому эти точки критические.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным max f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным min f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
График f(x) выглядит следующим образом:














Значения функции в точках локального min и локального max положительны, причем f(t) возрастает при 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, график может пересечь ось ОХ только в одной точке, поэтому уравнение f(t)=0 имеет единственное решение.
Нетрудно заметить, что при t=-8 f(t)=0, поэтому f(t)<0 при t<-8.
x9<-8; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415

4) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: перепишем неравенство в виде: 13 EMBED Equation.3 1415.
Сделаем замену переменных: 13 EMBED Equation.3 1415.
Неравенство имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим13 EMBED Equation.3 1415, D(f): t>0.
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем критические точки f(t). f'(t)=0 , если
tln4-(1+t)ln5=0
13 EMBED Equation.3 1415 <0 – эта точка критической не является, т.к. t>0.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
f(t) убывает при t>0, поэтому если решение уравнения f(t)=0 существует, то оно единственно.

Нетрудно заметить, что при t=4 f(t)=0, поэтому f(t)>0 при t13 EMBED Equation.3 1415.
00<13 EMBED Equation.3 1415<16; 0Ответ: 02.2.2. Доказательство неравенств
№6 Доказать неравенство.
1) доказать, что если13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: перепишем неравенство в виде: 13 EMBED Equation.3 1415 и докажем его.
Пусть f(x)= 13 EMBED Equation.3 1415.
f(0)=0
13 EMBED Equation.3 1415
f'(0)=0
13 EMBED Equation.3 1415, поэтому f'(x) возрастает при 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
f'(x)>f'(0)=0, следовательно f'(x)>0, т.е. f(x) возрастает при 13 EMBED Equation.3 1415.
f(x)>f(0)=0, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415

2) доказать, что если13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: пусть 13 EMBED Equation.3 1415
f(0)=0
13 EMBED Equation.3 1415
f'(0)=0
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому f'(x) возрастает, т.е.
f'(x)>f'(0)=0, следовательно f'(x)>0, т.е. f(x) возрастает при 13 EMBED Equation.3 1415.
f(x)>f(0)=0, следовательно13 EMBED Equation.3 1415

3) доказать, что если13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: пусть 13 EMBED Equation.3 1415, D(f): 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - критическая точка.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным min f(x).
13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
4) доказать, что если13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: перепишем неравенство в виде: 13 EMBED Equation.3 1415 и докажем его.
Пусть f(x)= 13 EMBED Equation.3 1415.
f(0)=0
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
f(x) убывает при 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Следовательно f(x)
5) При x>a>0 доказать 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: перепишем неравенство в виде: 13 EMBED Equation.3 1415 и докажем его.
Пусть f(x)= 13
· EMBED Equation.3 1415, причем x>a.
f(а)=0.
13 EMBED Equation.3 1415 при x>a>0.
f(x) убывает
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Следовательно f(x)
6) докажите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, при решении можно использовать теорему Лагранжа.
Решение: рассмотрим f(x)=lnx на отрезке [a;b]. По теореме Лагранжа:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415. Умножим неравенство на положительную величину 2ab(b-a)
13 EMBED Equation.3 1415.
7) при 0Решение: перепишем неравенство в виде: 13 EMBED Equation.3 1415 и докажем его.
Пусть f(x)= 13 EMBED Equation.3 1415, D(f): 13 EMBED Equation.3 1415.
f(0)=0.
13 EMBED Equation.3 1415 при 0f(x) убывает
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Следовательно f(x)
8) при x>0 доказать неравенство: 2x4-4x3+3x2+4x+1>0
Решение: перепишем неравенство в виде: 2x4-4x3+3x2>-4x-1.
Пусть f(x)=2x4-4x3+3x2, D(f)=R.
g(x)= -4x-1, D(f)=R.
f'(x)=8x3-12x2+6x=2x(4x2-6x+3).
f'(x)=0 при x=0.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке x=0, то эта точка является локальным min f(x).
13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 при любом х.
g'(x)=-4<0, поэтому g(x) убывает при любом х.
g(0)=-1.
Следовательно при х>0
13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 2x4-4x3+3x2>-4x-1,
2x4-4x3+3x2+4x+1>0.
9) при x>0 доказать неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415,
Решение: докажем сначала, что 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим f(x)= 13 EMBED Equation.3 1415, D(f)=R.
f(0)=0.
13 EMBED Equation.3 1415, поэтому f(x) убывает
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Следовательно f(x)Теперь докажем 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим g(x)= 13 EMBED Equation.3 1415, D(f)=R.
g(0)=0.
13 EMBED Equation.3 1415, поэтому g(x) убывает
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Следовательно g(x)10) доказать неравенство a4+b4
·a3b+ab3
Решение: перепишем неравенство в виде: a4+b4-a3b-ab3
·0 .
Преобразуем левую часть неравенства:
a4+b4-a3b-ab3=a3(a-b)+b3(b-a)=(a-b)(a3-b3)=(a-b)2(a2+b2+ab)
·0 – докажем это неравенство.
Докажем, что a2+b2+ab>0.
Пусть f(a)=a2+b2+ab, D(f)=R.
f'(а)=2a+b.
Точка a=-b/2 – критическая для f(a).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(a) непрерывна в точке a=-b/2, то эта точка является локальным min f(а).
13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415- доказали, что требовалось, поэтому (a-b)2(a2+b2+ab)
·0. Равенство, достигается при a=b.

11) при 0Решение: перепишем неравенство в виде: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть13 EMBED Equation.3 1415. Исследуем эту функцию и построим ее график.
D(f)=R\{0}.
13 EMBED Equation.3 1415
Критическая точка f(x) это х=1.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке х=1, то эта точка является локальным min f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем асимптоты f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой f(x).
Найдем наклонную асимптоту f(x).
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 - наклонная асимптота f(x), х=0 – вертикальная асимптота f(x).
График f(x) выглядит следующим образом:


При 13 EMBED Equation.3 1415 f(x) убывает.
f(1/2)=0, поэтому при 13 EMBED Equation.3 1415 f(x)>0, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
12) при x>0 доказать неравенство: ln(1+x)<х . При доказательстве можно использовать теорему Лагранжа.
Решение: перепишем неравенство в виде ln(1+x)-х<0.
Рассмотрим f(x)=ln(1+x) на отрезке [0;b], где b – это любое положительное число. По теореме Лагранжа:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415,
Из правой части получившегося неравенства следует ln(1+b)
13) доказать неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415. При доказательстве можно использовать теорему Лагранжа.
Решение: перепишем неравенство в виде 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим f(x)=lnx на отрезке [n;n+1].
По теореме Лагранжа: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
14) доказать, что если13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Пусть f(z)= 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
f(z) убывает при 13 EMBED Equation.3 1415 .
f(x)>f(y), т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
14) доказать неравенство cos200<1+cos201
Решение: перепишем неравенство в виде 200+cos200<201+cos201.
Рассмотрим f(x)=x+cosx.
f'(x)=1-sinx
·0, поэтому при любом х f(x) возрастает, следовательно
f(200)200+cos200<201+cos201
cos200<1+cos201

15) доказать неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: перепишем неравенство в виде 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим f(x)=2x-xlnx, D(f): х>0.
13 EMBED Equation.3 1415
f'(x)=0 при х=e, поэтому эта точка критическая.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным max f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому f(x)2x-xlnx13 EMBED Equation.3 1415, поэтому неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
2.3. Сравнение чисел
Для сравнения двух чисел часто бывает полезно перейти к более общему функциональному неравенству.
№7 Какое из чисел больше?
1) sin99+1 или sin100 ?
Решение: рассмотрим f(x)=x-sinx.
f'(x)=1-cosx
·0, поэтому при любом х. Причем f'(x)=0 при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому f(x) возрастает на множестве всех действительных чисел, поэтому
f(99)99-sin99<100-sin100
sin100<1+sin99
Ответ: sin100<1+sin99

2) 18tg2°tg11° или 11tg3°tg12°
Решение: рассмотрим f(x)=tgx/x на интервале 13 EMBED Equation.3 1415 .
13 EMBED Equation.3 1415
Числитель выражения x-sinxcosx=1/2(2x-sin2x)>0 при 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому f(x) возрастает на интервале 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
И, следовательно, 18tg2°tg11° < 11tg3°tg12°.

3) sin31°+ sin34° или sin32°+ sin33°
Решение: рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Чтобы узнать знак f'(x) рассмотрим
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому g(x) возрастает, следовательно g(x)< 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415, поэтому f'(x)<0 и f(x) убывает при 13 EMBED Equation.3 1415,
следовательно f(x)>f13 EMBED Equation.3 1415, при x=13 EMBED Equation.3 1415°
sin31°- sin32° или sin33°-sin34°, поэтому
sin31°+ sin34° или sin32°+ sin33°.

4) 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: рассмотрим f(x)=13 EMBED Equation.3 1415, D(f): х>0.
13 EMBED Equation.3 1415
f'(x)=0 при х=e, поэтому эта точка критическая.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным max f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому f(x) возрастает при 13 EMBED Equation.3 1415 и убывает при 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому если 013 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично, если е
·x13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда, с учетом неравенства
13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415 < 13 EMBED Equation.3 1415.

№8 Расставьте числа в порядке возрастания:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: рассмотрим функцию f(x)=lnx на отрезке [52;53].
По теореме Лагранжа: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415,
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

2) 13 EMBED Equation.3 1415 и ln2
Решение: рассмотрим f(x)=13 EMBED Equation.3 1415, D(f): х>0.
13 EMBED Equation.3 1415
f'(x)=0 при х=e, поэтому эта точка критическая.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным max f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому f(x) возрастает при 13 EMBED Equation.3 1415 и убывает при 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому если 13 EMBED Equation.3 1415 , то 213 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
3) tg55° и 1,3
Решение: рассмотрим функцию f(x)=tgx при 13 EMBED Equation.3 1415 .
По теореме Лагранжа: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
Из правой части неравенства следует, что
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
4) 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: перепишем неравенство в виде: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
рассмотрим f(x)=13 EMBED Equation.3 1415, D(f): х>0.
13 EMBED Equation.3 1415
f'(x)=0 при х=1/e, поэтому эта точка критическая.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным min f(x).
13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому f(x) возрастает при 13 EMBED Equation.3 1415 и убывает при 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 верно неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 > 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 > 13 EMBED Equation.3 1415.
5) log1112 и lg11
Решение: рассмотрим f(x)=logx(x+1),
D(f): 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Критических точек нет.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
При x>1 f(x) возрастает, поэтому f(10)Следовательно lg11< log1112.
Ответ: lg11< log1112.
2.4. Наибольшее и наименьшее значение функции.
2.4.1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
№9 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: перепишем функцию в виде 13 EMBED Equation.3 1415
D(f): 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Отрезку 13 EMBED Equation.3 1415 принадлежит только одна критическая точка х=4.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным минимумом f(x) и в этой точке функция принимает свое наименьшее значение:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 1.
2) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: уравнение 1+х=0 имеет единственный корень х=-113 EMBED Equation.3 1415, поэтому найдем наибольшее и наименьшее значение f(x) при 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, т.е. при 13 EMBED Equation.3 1415 f(x) убывает.
Так как f(x) непрерывна при х=-2;х=-1, то f(x) убывает на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, т.е. при 13 EMBED Equation.3 1415 f(x) возрастает.
Так как f(x) непрерывна при х=0;х=-1, то f(x) возрастает на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
График f(x) выглядит следующим образом:

Ответ: 1; 0.

3) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: перепишем функцию в виде 13 EMBED Equation.3 1415
D(f): R
13 EMBED Equation.3 1415.
Критической точкой является х=0, но она не принадлежит отрезку 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 f(x) убывает, причем f(x) непрерывна в точках 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.Следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 16; 2.

4) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: у функции 13 EMBED Equation.3 1415
D(f): R.
13 EMBED Equation.3 1415
Чтобы легче было найти критические точки f(x) сделаем замену13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Критическими точками являются y=1/2; y=-4. Точка y=-4 не удовлетворяет условию положительности y, поэтому y=1/2 – единственная критическая точка f(y).
13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 является локальным минимумом f(x). Следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415.
f(0,14)=e-0,72+2e0,72-2,02,
f(1)=13 EMBED Equation.3 1415
f(1)>f(0,14), следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

5) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: решим уравнение
13 EMBED Equation.3 1415=0
13 EMBED Equation.3 1415
Сделаем замену: 13 EMBED Equation.3 1415
y2-y-2=0, корни y1=2; y2=-1.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Данному отрезку принадлежит только х=2, поэтому найдем наибольшее и наименьшее значение f(x) при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 верно неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
·0, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415=0 13 EMBED Equation.3 1415 является критической точкой f(x).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 является локальным максимумом f(x). Следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415.
f(1/2)=2,
f(2)=0 ,
следовательно 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 верно неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
·0, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
На данном отрезке f'(x)>0, причем f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 , поэтому f(x) возрастает на отрезке13 EMBED Equation.3 1415 . Следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
.
Ответ: 9/4; 0.

6) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: уравнение 1+х=0 имеет единственный корень х=-113 EMBED Equation.3 1415, поэтому найдем наибольшее и наименьшее значение f(x) при 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 f'(x)>0 , причем f(x) непрерывна при х=-2;х=-1, поэтому f(x) возрастает на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
х=2 – критическая точка f(x).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным минимумом f(x) и в этой точке функция принимает свое наименьшее значение:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: e5; -e3.
2.4.2. Решение текстовых задач
№10 Найти расстояние между графиками функций y=x2 и y=x-1.
Решение: графики этих функций не пересекаются и не касаются друг друга.
Наименьшим будет расстояние между прямой y=x-1 и точкой параболы y=x2, такой что касательная проведенная через нее будет параллельна прямой.
Взаимное расположение функций показано на графике:

Пусть это будет точка (x1;y1) параболы.
Уравнение касательной через эту точку имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Прямая y=x-1 и касательная g(x) должны быть параллельны, т.е. 1=2х1, поэтому
х1=1/2; y1=1/4.
(1/2;1/4) – точка параболы y=x2.
Найдем теперь расстояние от т. (1/2;1/4) до прямой y=x-1.
13 EMBED Equation.3 1415, причем D(f)=R.
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным минимумом f(x) и в этой точке функция принимает свое наименьшее значение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Искомое наименьшее расстояние равно 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№11 Найти все значения a, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение х2-(a-2)x-a-1=0
Решение: найдем корни данного уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим

где 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(а) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным минимумом f(а) и в этой точке функция принимает свое наименьшее значение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а=1.
№12 Доказать, что если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Для доказательства данного неравенства достаточно доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415, где
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Критическими точками f(x) являются 13 EMBED Equation.3 1415, но учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415получим:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и f(x) возрастает при13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным минимумом f(x) и в этой точке функция принимает свое наименьшее значение:
13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 - доказали, что требовалось.

№13 Найти наибольшее значение функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: D(f)=R.
13 EMBED Equation.3 1415
Чтобы проще было найти критические точки сделаем замену 5х=y, y>0.
13 EMBED Equation.3 1415
Критическими точками f(y) являются корни уравнения -y2+20y+125=0
y1=-5; y2=25.
5x=-5 – не удовлетворяет условию что y>0.
5x=25 , то х=2.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 является локальным максимумом f(x). Следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

№14 Найти минимум квадрата расстояния от точки М(-1;0) до точек графика функции 13 EMBED Equation.3 1415, где13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Задача сводится к отысканию наименьшего значения функции
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
x=2 – критическая точка g(x)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как g(x) непрерывна в точке x=2, то эта точка является локальным минимумом g(x) и в этой точке функция принимает свое наименьшее значение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 27/2.

№15 Каким должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади S, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?
Решение: S – площадь треугольника АВС.

S=1/2CK*AB
OK=OL=r - радиус вписанной окружности.
СК=r+OC; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; AB=2AK
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Задача сводится к отысканию аргумента функции f(13 EMBED Equation.3 1415), при котором эта функция принимает наибольшее значение.
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Критическими точками f(13 EMBED Equation.3 1415) являются:
13 EMBED Equation.3 1415 и корни уравнения
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
f(13 EMBED Equation.3 1415) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 является локальным максимумом f(13 EMBED Equation.3 1415). Следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

№16 На интервале 13 EMBED Equation.3 1415задана функция f(x)=1-cosx. Найти наибольшее значение абсциссы точек пересечения касательных к графику данной функции с осью ОХ.
Решение: пусть касательная проведена к f(x)=1-cosx в точке (х1;1-cos х1).
Уравнение касательной в этой точке имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415


Если касательная пересекает ось ОХ, то f(x)=0, следовательно

13 EMBED Equation.3 1415
Задача сводится к отысканию наибольшего значения 13 EMBED Equation.3 1415 на интервале 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Критическими точками 13 EMBED Equation.3 1415 являются:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Для данного интервала подходит только точка 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
g(x1) непрерывна в точке13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 является локальным максимумом g(x). Следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

№17 Найти координаты точки М, лежащей на графике функций f(x)=1+cosx, 13 EMBED Equation.3 1415 и наименее удаленной от прямой 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Нахождение наименьшего расстояния между т.М и заданной прямой равносильно поиску расстояния между параллельными прямыми: прямой, проходящей через т.М и данной прямой. Заметим, что прямые параллельны, если угол наклона к оси ОХ у них одинаков.

Пусть М(х1;1+cosx1). Угол наклона прямой 13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение прямой через т. М с углом равным 13 EMBED Equation.3 1415имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Расстояние между параллельными прямыми (1) и (2) вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415, где ay+bx+c1=0 и ay+bx+c2=0 – две параллельные прямые.
(1) имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415, а
(2) имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача сводится к поиску аргумента x1, при котором функция g(x1) (расстояние между параллельными прямыми) принимает наименьшее значение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Критическими точками 13 EMBED Equation.3 1415, которые принадлежат отрезку 13 EMBED Equation.3 1415 являются:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
g(x) непрерывна в точках 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому13 EMBED Equation.3 1415является локальным максимумом g(x), а 13 EMBED Equation.3 1415 является локальным минимумом g(x).
Нам требуется найти 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, поэтому х1=0; y1=1+1=2
Ответ: M(0;2).

№18 В фигуру, ограниченную линиями y=4-x2 и y=0, причем 13 EMBED Equation.3 1415 вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти эту площадь.
Решение:

Задача сводится к поиску наибольшего значения функции:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Так как f(x) непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то эта точка является локальным максимумом f(x) и в этой точке функция принимает свое наибольшее значение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

№19 Криволинейная трапеция ограничена параболой y=x2+1 и отрезками прямых y=0, х=1; х=2. В какой точке М данной кривой y=x2+1,13 EMBED Equation.3 1415 следует провести касательную, чтобы она отсекала от криволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей площади?
Решение:

Пусть М=(х1;х12+1). Уравнение касательной через т. М будет иметь вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
Точки пересечения касательной с прямой:
х=1 13 EMBED Equation.3 1415
х=2 13 EMBED Equation.3 1415
А=(1; 13 EMBED Equation.3 1415; В=(2; 13 EMBED Equation.3 1415;
Задача сводится к поиску наибольшего значения функции:
13 EMBED Equation.3 1415
при13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
f(х) непрерывна в точке х=3/2, поэтому х=3/2 является локальным максимумом f(х). Следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому х1=3/2; y1=13/4
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Приложение
Решение уравнений
№1 Для каждого значения а найти число действительных решений уравнения.
1) 3х4+4x3-36x2=a
Ответ: при а=-189 - одно решение,
при а<-189 - не имеет решений,
при -189<а<-64; a>0 - 2 решения,
при а=-64; a=0 - 3 решения,
при -64<а<0 – 4 решения.
2) xlnx=a
Ответ: при а=-1/e; a
·0 - одно решение,
при а<-1/e - не имеет решений,
при -1/e№2 Определить все значения а, при каждом из которых уравнение имеет заданное число корней.
1) ни оного корня х2-х-lnx +a=0
Ответ: при а>0.
2) один корень ах=х
Ответ: а=13 EMBED Equation.3 1415; 0 3) два корня х3+ах2+2=0
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
4) Три корня 13 EMBED Equation.3 1415.
Неравенства
№3 Решить неравенство.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 (замечание: при решении рекомендуется сделать замену 13 EMBED Equation.3 1415)
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: х>-1.
№4 Доказать неравенство.
1) доказать, что если13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 (замечание: при решении рекомендуется подсчитать третью производную).
2) доказать, что если13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
3) доказать, что если13 EMBED Equation.3 1415, p>0, q>0, то 13 EMBED Equation.3 1415
4) доказать, что если13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
5) доказать, что если13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 (замечание: при решении рекомендуется использовать формулу 13 EMBED Equation.3 1415)
6) при x<0 доказать неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415 (замечание: при решении рекомендуется рассмотреть функцию f(x)=e-x+x)
7) при x>1 доказать неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415
8) при x
·1 доказать неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415
9) при x
·0 доказать неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415
10) при x
·0 доказать неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415
11) доказать неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415 (замечание: при решении рекомендуется рассмотреть функцию f(x)= 13 EMBED Equation.3 1415)
12) доказать неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. При доказательстве можно использовать теорему Лагранжа. (Замечание: при решении рекомендуется рассмотреть функцию f(x)=tgx на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415)
Сравнение чисел.
№5 Какое из чисел больше?
1) 13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Наибольшее и наименьшее значение функции.
№6 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 105; -11/27.
2) 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:1/3; 1/9.
№7 В фигуру, ограниченную линиями y=x2 и y=2x2, х=6 вписан параллелограмм наибольшей площади. Найти эту площадь.
Ответ: 32.
№8 В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема. Найти его радиус, высоту и объем.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№9 Найти наибольшее значение функции 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2.
№10 Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.

Заключение
В результате нестандартного применения производной, изложенной в данном педагогическом проекте, выпускники стали быстрее и правильнее решать задачи, связанные с применением производной.
 Список использованной литературы и информационных источников.
Асланян, И. Решаем задачи повышенной трудности: Аспект подготовки к ЕГЭ [Текст] / И. Асланян // Методическая работа в школе. – 2010. - № 3. – С. 58-64.
Безрукова, Г. К. ЕГЭ по математике: Анализ типичных ошибок [Текст] / Г. К. Безрукова, Ю. А. Глазков. А. Р. Рязановский // ОКО. Оценка качества образования. – 2009. - № 3. – С. 10-20.
Глазков. Ю. А. Тренировочные варианты для подготовки к ЕГЭ [Текст] / Ю. А. Глазков // Математика в школе. – 2009. - № 2. – С. 8-19.
Денищева, Л. О. Типы заданий Единого государственного экзамена [Текст] / Л. О. Денищева // Математика в школе. – 2008. - № 2. – С. 32-44.
Ершова, С. Н. Рекомендации по подготовке обучающихся к ЕГЭ по математике [Текст]/ С. Н. Ершова, А. Б. Румянцева, Н. В. Яровикова // Справочник заместителя директора школы. – 2010. - № 4. – С. 33-38.
Самсонов. П. Ошибки в решении задач части С в вариантах ЕГЭ-2009 по математике [Текст] / П. Самсонов // Математика – Первое сентября. – 2009. - № 20, 16-31 октября. – С. 10-14.
Семенко, Е. Наш ответ ЕГЭ: разноуровневое обобщающее повторение [Текст[ / Е. Семенко, Е. Белай // Математика – Первое сентября. – 2009. - № 4, 16-28 февраля. – С. 16-21.
Чанина. В. В. Наследие Декарта в задачах ЕГЭ [Текст] / В. В. Чанина // Мастер-класс: Приложение к журналу “Методист”. – 2009. - № 7. – С. 24-32.
Шноль, Д. Э. Медленное падение: ЕГЭ по математике и реальный уровень математического образования современных школьников [Текст] / Д. Э. Шноль // Учительская газета. – 2009. - № 23, 9 июня. – С. 4.
П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский Задачи с параметрами. "Илекса" , "Гимназия", Москва-Харьков 2002г.
И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник Примени математику. "Наука", Москва 1989 г.
А.В. Самусенко, В.В. Казаченок Типичные ошибки абитуриентов. "Вышэйшая школа", Минск 1991 г.
С.В. Процко, А.И. Азаров, В.С. Федосенко Руководство к решению конкурсных задач по математике. "ТетраСистемс", Минск 2000 г.
С.В. Кравцев, Ю.Н. Макаров Методы решения задач по алгебре. "Экзамен. Оникс 21 век" Москва 2001 г.
В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие.
В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко Задачи по математике. Начала анализа. Справочное пособие."Наука", Москва 1990г.
Е.Д. Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко 3000 конкурсных задач
Ю.В. Нестеренко, С.Н. Олехник, М.К. Потапов Задачи вступительных экзаменов по математике.
И.Ф. Шарыгин Математика для поступающих в ВУЗы. "Дрофа", Москва 1999 г.
И.И. Мельников, И.Н. Сергеев Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах.
В.П. Супрун Избранные задачи повышенной сложности по математике.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Применение производной к исследованию производственных функций в экономике
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]  Производная
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Математика для экономистов
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]  Экономика  - Википедия
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Приложения производной









13PAGE 15


13PAGE 14- 3 -15



1

-1

fґ(x)

f(x)

g(x)



1

gґ(x)

g(x)

f(x)

f(x)

1

0

fґ(x)

gґ(x)

1



g(x)

f(x)

g(x)

уравнения

Применение производной

неравенства

нахождение наибольших и наименьших значений f(x)

РЕШЕНИЕ

+

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА КОРНЕЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА КОРНЕЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПАРАМЕТРА

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОГО, ЧТО УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ ЗАДАННОЕ ЧИСЛО КОРНЕЙ

РЕШЕНИЕ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

С использованием свойств монотонности f(x)

С использованием свойств экстремума f(x)

С использованием т. Лагранжа

Решение текстовых задач

++

f(x)

1

fґ(x)

g(y)

1

gґ(y)

++

0

f(x)

fґ(x)

f(x)

0

13 EMBED Equation.3 1415

fґ(x)

+

+

-

0

0

++

17/6

f(x)

fґ(x)

1/2

Y

X

X1

Ѕ
|

f(x)

0


0

0

f(x) _

+

+

13 EMBED Equation.3 1415

-

13 EMBED Equation.3 1415

++

f(x)

fґ(x)

++

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

1

f(x)

0

+

+



-

fґ(x)

f(x)

e

fґ(x)

0

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

0

fґ(x)

2

f(x)

+

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

+

+

0

fґ(x)

f(x)

13 EMBED Equation.3 1415

Y

X

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

f(x)

0


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

f(x)

5

fґ(x)

-2/3

f(x)

0


+

X

Y

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

0

+

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

fґ(x)

1/ln10

f(x)

13 EMBED Equation.3 1415

+

fґ(x)

13 EMBED Equation.3 1415

-1

Y

X

f(x)

0


13 EMBED Equation.3 1415

1

f(x)

+

0


f(x)

X

Y

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

f(x)

3/5

0

fґ(x)

+

0


f(x)

X

Y

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

f(x)

13 EMBED Equation.3 1415

0

fґ(x)

-2/3

+

+

13 EMBED Equation.3 1415

+

f'(x)

0

f''(x)

13 EMBED Equation.3 1415

Y

0

13 EMBED Equation.3 1415

f(x)

T

fґ(x)

0

f(t)

0


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Y
X
f(x)
-1

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Y
X
f(x)
-1

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Y
X
f(x)
-1

13 EMBED Equation.3 1415

f'(x)

f''(x)

0

+

13 EMBED Equation.3 1415

-

-

0

f''(x)

f'(x)

13 EMBED Equation.3 1415

-

а

f''(x)

f'(x)



C(c;f(c))

13 EMBED Equation.3 1415

Y

X

B(b;f(b))

0


B(b;f(b))

(c2;f(c2))

Y

X

_

0


A(a;f(a))

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

A(a;f(a))

(c1;f(c1))

0

f''(x)

f'(x)



1

_

0

f''(x)

f'(x)



_

+

0

f''(x)

f'(x)



_

0

g'(x)

g'(x)



+

_

-b/2

f''(a)

f'(a)

-



+

+

fґ(x)

0

f(x)

1

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

e

0

fґ(x)

f(x)

+

+

f(x)

e

0

fґ(x)

+

сравнение чисел

fґ(x)

0

e

f(x)

+

fґ(x)

0

1/e

f(x)

+

fґ(x)

0

1

f(x)

+

fґ(x)

1

4

f(x)

6

+

fґ(x)

-8

-1

f(x)

0

+

fґ(x)

0,14

(1-ln2)/2

f(x)

1

f(x)

13 EMBED Equation.3 1415

1/2

fґ(x)

+

2

4

f(x)

2

-1

fґ(x)

+

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

f(x)



7/8

fґ(x)

fґ(а)

1



f(а)

fґ(x)

0

13 EMBED Equation.3 1415

f(x)

2

+

fґ(x)

gґ(x)

f(x)

2



g(x)

-1

+

fґ(a)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415)

f(a)

п/6

п

0

+

gґ(x1)

g(x1)

п/2

п

0

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

f(x)

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

0


Y

X

13 EMBED Equation.3 1415

+

gґ(x)

g(x)

п/3

2п/3

0

fґ(x1)

+

п

13 EMBED Equation.3 1415

+

f(x1)

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

-2

13 EMBED Equation.3 1415

2

+

fґ(х)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415)

f(х)

3/2

2

1

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native4Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeЗаголовок 1Заголовок 2Заголовок 315