Занятие по теме «Решение уравнений, неравенств, построение графиков функций и зависимостей, содержащих переменную под знаком модуля»
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 1»
Предметный курс по выбору «МОДУЛЬ»
Занятие по теме «Решение уравнений, неравенств, построение графиков функций и зависимостей, содержащих переменную под знаком модуля»
Курск 2008
Тема занятия: Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Построение графиков функций, содержащих модуль.
Цель занятия:
-обобщить знания и умения решать определённый класс уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля; навыки построения графиков функций и зависимостей, содержащих модуль;
-развивать креативное мышление;
-воспитывать толерантность, коллективизм, взаимопомощь.
План занятия:
Орг. этап - 2 мин.
Информационный ввод - 5мин.
Выступление - отчет творческих групп о проделанной работе над проектом – 15 мин.
Решение уравнений и неравенств, построение графиков с использованием материалов творческих групп – 15 мин.
Итог коллективного занятия – 3 мин.
На занятия приглашаются учащиеся 8 классов, которые выступают в роли обучающихся.
Ход занятия.
1. Орг. этап – 2 мин.
2. Информационный ввод-3 мин.
Задания с модулями уже многие годы предлагаются на вступительных экзаменах по математике, в том числе среди заданий единого государственного экзамена. И как показывает практика, эти примеры вызывают трудности у значительной части школьников. Изучение модуля начинается в 6 классе, затем эту тему мы рассматриваем в 8 классе. Материала по данной теме недостаточно, а если он есть, то рассчитан на учащихся 10-11 классов. Целью нашего курса было создание методички, которой могли бы пользоваться учащиеся 8 классов при изучении данной темы. Сегодня наше занятие посвящено отчёту творческих групп о проделанной работе. Каждая группа выбрала направление в работе, которое ей показалось наиболее интересным. На нашем занятии присутствуют и учащиеся 8 класса, которые выступают в роли обучающихся. Сначала, мы выслушаем выступление творческих групп, а затем ребята 8 класса под руководством своих наставников попробуют выполнить те задания, которые им покажутся наиболее интересными.
3. Выступление - отчет творческих групп о проделанной работе над проектом – 15 мин.
1. Понятие модуля.
Модулем действительного числа (абсолютной величиной числа х) называют само это число, если х
· 0, и противоположное число, если х < 0.
Из определения следует, что 13 EMBED Equation.3 1415
Геометрически 13 EMBED Equation.3 1415означает расстояние на координатной прямой от точки х до 0.
Расстояние 13 EMBED Equation.3 1415между точками х и b координатной прямой равно 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. 13 EMBED Equation.3 1415
Расстояние между точками х и 1 на координатной прямой равно 2. Этими точками являются х1 = 3, х2 = -1.
Пример 2. 13 EMBED Equation.3 1415 > 2
Расстояние между точками х и 1 больше 2, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. 13 EMBED Equation.3 1415
· 2
Расстояние между точками х и 1 не больше 2., т.е 13 EMBED Equation.3 1415
Таким же образом можно решать и более сложные уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Например:
13 EMBED Equation.3 1415
2. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
В своём проекте мы рассматриваем методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Чтобы решить такие уравнения, надо освободиться от знака модуля. Рассмотрим несколько случаев.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Решением является объединение решений двух систем:
13 EMBED Equation.3 1415
Решить уравнение:13 EMBED Equation.3 1415
1 способ
Используя определение модуля имеем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
х= ± 5.
Ответ: ± 5.
2 способ Данное уравнение можно решить, используя метод замены переменой. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415= у, тогда данное уравнение примет вид: у2 - 2у - 15 = 0 (т.к. х2 = 13 EMBED Equation.3 14152) Решая его , получаем корни у1= - 3; у2 = 5.Возвращаясь к замене, получим 13 EMBED Equation.3 1415= -3 или 13 EMBED Equation.3 1415 = 5. первое уравнение корней не имеет, а второе имеет два корня -5 и 5.
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Если:
а < 0 , то данное уравнение не имеет корней;
а = 0, то данное уравнение равносильно уравнению f(x) = 0;
a > 0, то
13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415
Решить уравнение:13 EMBED Equation.3 1415
х2 - 2х – 7 = 4 или х2 - 2х – 7 = - 4
х2 - 2х – 11 = 0 х2 - 2х – 3 = 0
х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415 х3 = -1; х4 = 3.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; - 1; 3.
в) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415.
3. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
а)13 EMBED Equation.3 1415, где а > 0 равносильно двойному неравенству -а
· f(x)
· а,
если а = 0 , то равносильно уравнению f(a) = 0.
Пример: 13 EMBED Equation.3 1415
-2< х-1 < 2
-2 +1 13 EMBED Equation.3 1415< х < 2+1
-1 < х < 3.
Ответ:( -1;3)
б) 13 EMBED Equation.3 1415, где а
· 0 равносильно неравенствам:
f(x)
· a или f(x)
· -a
Пример: 13 EMBED Equation.3 1415
2х + 5
· 7 или 2х + 5
· -7
2х
· 2 2х
· - 12
х
· 1 х
· -6
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
4. Построение графиков функций, содержащих знаки модуля.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Для построения графика данной функции необходимо изобразить график функции у = f(x) после чего часть графика, лежащую выше оси абсцисс и на ней, оставить неизменной, а часть графика, лежащую ниже этой оси, заменить ее образом при симметрии относительно оси абсцисс.
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Для построения графика данной функции надо взять часть графика функции у = f(x), лежащую в полуплоскости х
· 0, симметрично отобразить её относительно оси у и объединить получившиеся множества.
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Для построения данного графика достаточно применить алгоритм построения графика функции 13 EMBED Equation.3 1415, а потом функции 13 EMBED Equation.3 1415, или наоборот.
г) 13 EMBED Equation.3 1415
Для построения графика данного уравнения необходимо ту часть графика уравнения у = f(x) , которая лежит выше оси абсцисс и на ней симметрично отобразить относительно оси х и объединить получившиеся множества. Данную зависимость между переменными х и у, выраженную данным равенством нельзя отнести к функциональной. Именно в таких случаях надо говорить об уравнении, а не о функциях.
4. Решение уравнений и неравенств, построение графиков с использованием материалов творческих групп – 15 мин.
А каждая творческая группа предлагает ряд заданий, которые предлагается решить учащимся 8 классов с использованием их рекомендаций.
Задания для себя дети выбирают свободно, те, которые им понравятся.
Консультанты каждой творческой группы активно помогают учащимся 8 классов. После выполнения 8-классниками нескольких заданий консультанты показывают учащимся красивые графики и соответствующие уравнения.
Задания для работы
Решить уравнения используя геометрическое определение модуля
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
Решить уравнения
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенства
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
Построить графики уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
6. Итог занятия.
13PAGE 15
13PAGE 14215
Подготовила учитель математики МОУ «Средняя общеобразовательная школа №1» Миргородова Татьяна Геннадьевна
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native