Система повторения по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» для 11 класса

Система повторения по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»
учителя МОУ Октябрьская СОШ Радищевского района Ульяновской области

Волик Татьяны Геннадьевны

Примерное планирование учебного времени при организации повторения темы «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» (проведено на занятиях кружка «Готовимся к ЕГЭ по математике» в 11 классе)

Содержание занятий
Цели занятий
Количество часов

Простейшие тригонометрические уравнения
Повторить общие и частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений, опираясь на единичную окружность. Деление множеств корней уравнений sinx=a и cosx=a на две группы с целью упрощения дальнейшего отбора.
1

Виды тригонометрических уравнений и методы их решения
Повторение основных методов решения тригонометрических уравнений: однородных 1 и 2 степеней – делением на степень косинуса; вынесением общего множителя за скобки; применением формул приведения, двойного угла, понижения степени и т.д.
2

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений
Повторение алгоритмов отбора корней в тригонометрических уравнениях: по единичной окружности; непосредственным перебором; аналитически с помощью решения неравенств; графически.
2

Проверочная работа по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений
Проверка умений решать задания ЕГЭ типа С1.
1

План-конспект урока-обобщения по теме
"Отбор корней при решении тригонометрических уравнений"

Цели:
- повторить основные тригонометрические формулы и закрепить их знания в ходе выполнения упражнений;
-развивать вычислительные навыки, логическое мышление, навыки контроля и самоконтроля, умение работать с компьютерной презентацией;
-воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов;
-рассмотреть основные способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений: аналитический, графический, по единичной окружности, перебором целых значений.
Девиз урока: «Не бойтесь формул!
Учитесь владеть этим инструментом
Человеческого гения!
В формулах заключено величие и могущество
разума»
Марков А.А.
Тип урока: обобщающий
Оборудование: дидактические карточки, мультимедийная аппаратура.
Ход урока
Актуализация. Оргмомент.
Проверка знаний учащимися тригонометрических формул.

У доски 3 уч-ся записывают тригонометрические формулы:
1 уч.: Формулы, которые устанавливают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.
2 уч.: Формулы сложения.
3 уч.: Формулы суммы и разности и разности тригонометрических функций.
В это время с остальными уч-ся провести устную разминку.
Устная разминка (задания на экране):
1.Какому выражению соответствует значение 13 EMBED Equation.3 1415 ?
а) sin3013 EMBED Equation.3 1415; б) cos13 EMBED Equation.3 1415; в) tg13 EMBED Equation.3 1415
2.Выбрать возможный вариант.
а) sin( =13 EMBED Equation.3 1415; б) cos ( = 13 EMBED Equation.3 1415-2; в) sin ( = -3,7.
3. Какой из углов является углом II четверти?
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) –145( ; в) 13 EMBED Equation.3 1415
4.В каких четвертях sin( и cos ( имеют разные знаки?
а) II, III и IV; б) I и III; в) I и IV.

5. Каким выражением можно заменить 13 EMBED Equation.3 1415?
а) cos ( ; б) sin( ; в) - sin(.
Работа в парах.
Задание: заполнить 3 столбец таблицы: формулы решения простейших тригонометрических уравнений .
Значения
а
Уравнение
Формулы решения уравнений

sinx=a

sinx=a
уравнение решений не имеет

а=0
sinx=0

а=1
sinx= 1

а= -1
sinx= -1

cosx=a

cosx=a
уравнение решений не имеет

а=0
cosx=0

а=1
cosx= 1

а= -1
cosx= -1

tgx=a

ctgx=a

Учащиеся заполняют 3 столбец таблицы, проверка осуществляется сразу же по слайду на экране.
Учащимся предлагается выполнить задание С1:
а) Решите уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Решение.
а) (один ученик у доски): Так как[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (формула косинуса двойного угла), [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (формула приведения), то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (вынесение за скобки общего множителя).Корни уравнения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , .б) Работа по группам:
1 группа. Отбор корней по единичной окружности.
Корни уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]изображаются точками А и В, а корни уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- точками C и D, промежуток [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]б)Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].2 группа. Отбор корней по графику.б) Корни, принадлежащие промежутку[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], отберем по графику[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Прямая [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](ось [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) пересекает график в единственной точке[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], абсцисса которой принадлежит промежутку[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Прямая [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](см. рис.). Так как период функции[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то эти абсциссы равны, соответственно, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]В промежутке[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]содержатся три корня: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].3 группа. Отбор корней перебором значений.б) Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Подставляя [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], получаем [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Промежутку[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] принадлежит только [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Подставляя [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], получаем:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Промежутку[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] принадлежат только [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Промежутку[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] принадлежат корни: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
4 группа. Отбор корней аналитически с помощью неравенств.
б) Отберем корни, принадлежащие промежутку[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].. Тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Корень, принадлежащий промежутку[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Z.Тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Корень, принадлежащий промежутку[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Z.Тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Корень, принадлежащий промежутку[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Промежутку[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] принадлежат корни: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Отчет групп.
Каждая группа подробно рассказывает о процедуре отбора корней уравнения.
Рефлексия.
В каких случаях необходимо производить отбор корней в тригонометрических уравнениях?
Какими способами можно произвести отбор корней?
Какой способ вам показался легче и понятнее? Почему?
Домашнее задание.

6 sin2x + cos x 13 QUOTE 1415 если x
·13 QUOTE 1415.

4 cos2x + 4cos (13 QUOTE 1415если x
·13 QUOTE 1415.

cos 2x + 3 sin2x = 1,25, если x
·13 QUOTE 1415.

sin 2x = cos x|cosx|, удовлетворяющие условию x 13 EMBED Equation.3 1415 [0; 213 QUOTE 1415].

Проверочная работа по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»

Краткий анализ результатов
Количество выполнявших работу
Процент учащихся, допустивших ошибки в №1-№2
Процент учащихся, допустивших ошибки в применении формул приведения
Процент учащихся, допустивших ошибки при решении простейшего тригонометрического уравнения
Процент учащихся, допустивших ошибки при отборе корней

21
20
30
10
40

Результаты показывают, что тема «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» представляет большую сложность для многих учащихся, чем весьма оправдано включение задания на эту тему во вторую часть ЕГЭ. Несмотря на это 60% выполнявших работу верно отобрали корни. Из этих учащихся 40 % выбрали способ отбора корней с помощью решения неравенств, 20 % - способ отбора по единичной окружности, графический способ и способ перебора целых значений не выбрал никто.
Выводы: продолжить работу по закреплению навыков отбора корней в тригонометрических уравнениях, применяя при этом различные способы.
Root Entry