Опорные конспекты по основным темам математики 6 класса

Опорный конспект №1
ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ.
N
а : ДЕЛИТЕЛЬ
N , на которое делится а
называется

Примеры:
ГОВОРИМ: Число 12 имеет делители 1; 2;3;4;6;12.
ПИШЕМ: 12 : 1; 2; 3; 4; 6; 12.

1 –ДЕЛИТЕЛЬ ЛЮБОГО НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА а

N
КРАТНОЕ : а
N
называется
которое делится ..на а

Примеры :
ГОВОРИМ: Числа 8; 16; 32; 40. – кратные числа 8.
ПИШЕМ: 8; 16; 32; 40 : 8
?
m : ?
? : m ??


Опорный конспект № 2.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Примеры:
Число : 2, если ***2 ; или***4, или***6; или ***8 ; или ***0
477 : 3, если 4+7+7=18 : 3!
Число : 4 , например 45796 : 4, так как 96:4!
Число : 5, если ****0 ; или ****5!
Число : 6, например 522 : 6, **2 : 2!;
5+2+2=9 : 3!
Число : 7 ; например 532 : 7 ; 53 – 2*2 =49 : 7!
Число : 8; например **000 или ***328 , 328: 8!
711 : 9, так как 7+1+1=9 : 9!
Число : 10 , если ***0, или ****00;
Число : 11, например 8261; (8+6) – (2 +1)= 14 – 3 = 11 : 11!
Опорный конспект № 3
Простые и составные числа.
Простым два
N число называется ----------------, если у него--------------------- делителя. С составным более двух

ПРИМЕР:

7 : 1; 7 простое; 9 : 1; 3; 9. составное

Два делителя три делителя

Эратосфен - таблица простых чисел
1 : 1


ни простое число ни составное число


Любое составное число можно
разложить на простые множители.

378 2
189 3
63 3
21 3
7 7
1


378 = 2*3*3*3*7 =2*33 *7

представить в виде произведения простых множителей.

! СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА!

28 : 14;7;4;2;1 , ТАК КАК сумма всех делителей

14+7+4+2+1=28!


НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №4

НОД ( 36; 48)
Разложить на простые множители
36 2 48 2
18 2 24 2
9 3 12 2
3 3 6 2
1 3 3
1
Выпиши совпадающие множители.
НОД (36; 48) = 2*2*3 = 12

НОД ( m; n) СОКРАТИТЬ ДРОБЬ m
n

m и n называется взаимно простыми , если НОД (m; n)=1

натуральные ( N)

Наибольший общий делитель –
наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и в .

Задача: Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты?
Решение:
Найди НОД (36,48)!





НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №5
НОК ( 36; 48)
Разложить на простые множители
36 2 48
18 24

9 3 12 2
3 3 6 2
1 3
1
Выпиши совпадающие множители
НОК (36; 48) = * * * .
Дополни оставшимися множителями
НОК (36; 48) = * * *3 * 2* 2
НОК ( 36; 48) = 144.


НОК ( m; n) приводить дроби к общему знаменателю;
сравнивать дроби;
складывать и вычитать дроби.

и =
m n НОК ( m; n)


!!
НОК – наименьшее натуральное число, которое является кратным m и n!





ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №6

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить
на одно и тоже число, то получится равная ей дробь.

приведение дроби к общему знаменателю

2 = 2 * 12 = 24
3 3 * 12 36
О. С. Д.
15 = 15 : 5 = 3 основное свойство
20 20 : 5 4 дроби

сокращение дробей

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель не равный 1 называется сокращение дроби.

150 = 150 : НОД ( 150; 225) = 2 несократимая дробь
225 225 : НОД ( 150; 225) 3

Пишем:
НОД (150; 225) = 75 ; 1502 = 2
2253 3
Говорим: числитель, знаменатель.,
сокращаю на..(НОД),
получаю., ответ



Приведение дроби к общему знаменателю ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №7

@ ЗНАМЕНАТЕЛИ:
Взаимно простые числа (НОД (m; n) =1)
и =
3 4 3 * 4
Кратные числа (18: 6 = 3 !)
и =
6 18 18
Разные
и =
16 24 НОК (16 ; 24)
Чтобы привести дроби к общему знаменателю НАДО:
1.Найти НОВЫЙ знаменатель (см @);
2. Найти ДОПОЛНИТЕЛНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ;
3. Выполнить вычисления.
ПРИМЕРЫ:
7 5
1 и 2 ; 7 и 10
5 7 35 35
взаимно простые
2
4 и 3 ; 8 и 3
5 10 10 10

кратные
5 3
1 и 4 ; 5 и 12
9 15 45 45

Разные


ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №8
Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Чтобы сравнить, сложить или вычесть дроби с разными знаменателями НАДО:

1.Привести дроби к общему знаменателю (см @);
2. Найти дополнительный множитель в каждую дробь;
3. Сравнить, сложить или вычесть числители!

ПРИМЕРЫ:
7 5
1 и 2 ; 7 10
5 7 35 35
взаимно простые
2
4 - 3 ; 8 - 3 = 5
5 10 10 10 10

кратные
5 3
1 + 4 ; 5 + 12 = 17
9 15 45 45 45

Разные
14 9 16
4 1 + 2 ; 14 + 18 = 32 = 16
9 14 126 126 126 63
взаимно простые 63

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· кратные
4
6 1 и 4 ; 5 16
12 15 60 60

Разные



ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №9

Вычитание смешанных чисел.
1 – 1 = 7 __ 1
7 7 7


Представить

3 - 1 = 2 6 -- 1 = 2 5
6 6 6 6


Представить

3 7 -- 2 =(3 - 2) +7 = 1 7
9 9 9

Выполнить вычитание

Выполнить вычитание

7 -- 37 = 6 8 -- 3 7 = (6 -3) +(8 -- 7 ) = 3 1
8 8 8 8 8 8

Представить выполнить вычитание


Выполнить вычитание
9 5
3 3 --- 1 2 = ( 3 – 1) + ( 3 -- 2 ) = 2 + 27 - 10 = 2 17
5 9 5 9 45 45

Выполнить вычитание взаимно простые
СРАВНИТЬ: 3 и 2 ; 27 10
5 9 45 45
взаимно простые

представить
1
3 3 --- 14 = 2 13 -- 14 = ( 2 – 1)+ (13 - 8 ) =1+5 = 11
10 5 10 5 10 10 2
Кратные 2

210
10

СРАВНИТЬ:
3 и 4 ; 3 8
10 5 10 10



ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №10
Сложение смешанных чисел


СМЕШАННОЕ ЧИСЛО
6 3
8
ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ ДРОБНАЯ ЧАСТЬ


6 3 = 6 + 3
8 8


12 + 2 = ( 1 + 2) +2 = 3 2
3 3 3

Выполнить сложение

5 7
3 2 + 3 = 3 + (2 + 3 ) = 3 10 +21 = 3 31
7 5 7 5 35 35
Взаимно простые

Выполнить сложение



6 3 + 9 1 = ( 6 + 9) + (3 + 1 ) = 15 + 9 + 4 = 15 13
8 6 8 6 24 24

Выполнить сложение разные





















Умножение дробей ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №11



ПРАВИЛО: Чтобы умножить дробь на дробь надо,
ЧИСЛИТЕЛЬ УМНОЖИТЬ НА ЧИСЛИТЕЛЬ,
ЗНАМЕНАТЕЛЬ УМНОЖИТЬ НА ЗНАМЕНАТЕЛЬ,
ЕСЛИ МОЖНО СОКРАТИТЬ!


ПРЕДСТАВИТЬ

3 * 5 = 3 * 5 = 3*5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 3
( 1 )3 = 1 * 1 * 1 = 1
3 3 * 3 * 3 27






















Нахождение дроби от числа ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №12

ДРОБЬ ОТ ЧИСЛА ДРОБЬ Ч ЧИСЛО

Примеры:
5
3 ОТ 20 = 3 Ч 20 = 3 Ч 20 = 15 = 15
4 4 1 1 4Ч 1 1

2 ОТ 4 = 2 Ч 4 = 2 Ч 4 = 8
3 5 3 5 3 Ч 5 15

0,7 ОТ 4,2 = 0,7 Ч 4,2 =2,94

45 % ОТ 8 = 45 Ч 8 = 4
·5 Ч 8 = 360 = 3,60
100 1 100 Ч 1 100




ЧИТАЕМ!
В книге 140 страниц. Алеша прочитал 4 этой книги.
5
Сколько прочитал страниц Алеша?


ПИШЕМ!
28
4 ОТ 140 = 4 Ч 140 = 132 СТРАНИЦЫ
5 1 5 Ч 1










РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН УМНОЖЕНИЯ.ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №13

Распределительное свойство умножения позволяет
УПРОЩАТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ!

(a + b) Ч c = a Ч c + b Ч c
(a - b) Ч c = a Ч c - b Ч c

Примеры:
2 + 5 Ч 21 = 2 Ч 21 + 5 Ч 21 = 6 + 5 = 11
7 21 7 1 21 1


кратные

2. 6 1 Ч 7 = 6 + 1 Ч 7 =6 Ч 7 + 1 Ч 7 =42 +1 =42 1
14 14 14 2 2
кратные


3. 2 3 t - 1 7 t = t Ч 2 3 - 1 7 = 7 Ч t
4 8 4 8 8


5 3 Ч 2 + 1 5 Ч 2 = 2 Ч 5 3 + 1 5 = 2 Ч 7 = 2
8 7 8 7 7 8 8 7








ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №14

ЧИСЛА

7 19
ПРОСТЫЕ 7 ; 19
1 1

9 12
СОСТАВНЫЕ 9 3 ; 12 6
4
3
2
1
КРАТНЫЕ 8 и 4; 8 : 4 (ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА!)
16 и 2; 16 : 2 (ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА!)


5
5
1 НЕТ
ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ 9 ОБЩИХ
9 3 ДЕЛИТЕЛЕЙ
1




ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ

8/15 И 15/8 ( 8/15 * 15/8 = 1)
ј И 4 ( ј * 4 = 1)
а/в и в/а ( а/в *в/а = 1)
1 1/3 и ѕ ( 4/3 * ѕ = 1)

Произведение чисел равно 1 , следовательно, эти числа
называются ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ.

Деление. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №15
: заменить *

3/8 : 5/7 = 3 * 7 = 3 * 7 = 21
8 5 8 *5 40

дробь заменить обратной

: заменить *


7/8 * 2 = 7 * 1 = 7 * 1 = 7
8 2 8 * 2 16


дробь заменить обратной

: заменить *

3. 5 : 2/5 = 5 * 5 = 25 = 121/2
1 2 2

дробь заменить обратной
: заменить *
3
4 1/2 : 11/2 = 9 : 3 = 9 * 2 = 3 = 3
2 2 2 3 1

дробь заменить обратной
: заменить *


m : а = m * 1 = m
k k a k a


дробь заменить обратной

Чтобы дробь разделить на дробь НАДО:
Первую дробь ПЕРЕПИСАТЬ.
Деление заменить умножением.
Для второй дроби записать ОБРАТНУЮ.

ОТНОШЕНИЯ. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №16


Правило: Отношением двух чисел называют частное этих чисел.

Читаем: Найдите отношение: 2 к 5
Пишем: 2 : 5 = 2
5

Отношение показывает:
- во сколько раз первое число больше второго;
- какую часть первое число составляет от второго;
-сколько % составляет первое число от второго.

Если две величины измерены одной и той же единицей измерения, то отношение их значений называют также
отношением этих величин.

( отношением масс; отношением длин; отношением площадей)

Числа 2/3 и 3/2 взаимно-обратные, поэтому и отношения 2 к 3 и 3 к 2 называют взаимно обратными.


Читаем: Какую часть число а составляет от числа в.

Пишем: а : в или а
в

Читаем: Сколько процентов число а составляет от числа в.

Пишем: а Ч 100%
в

Задача: В классе 40 учащихся , из них 8 учащихся учатся на «5».

Какую часть составляют отличники? 8 : 40 = 8/40 =1/5

Сколько процентов составляют отличники? 8 Ч 100% = 20%
40



ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №17
Пропорции.

РАВЕНСТВО ДВУХ ОТНОШЕНИЙ НАЗЫВАЮТ ПРОПОРЦИЕЙ.

Пример: 3,6 : 1,2 = 6,3 : 2,1 или 3,6 = 6,3
1,2 2,1

С помощью букв пропорцию записывают a : в = с : d
крайние члены


a : в = с : d

средние члены

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ:
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
a Ч d = с Ч в

крайние члены
Пример: 0,5 : а = 2 : 13

средние члены
а Ч 2 = 0,5 Ч 13
2а = 6,5
а= 3,25.

Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.

Верная пропорция 0,5 : 2= а : 13
0,5 : а = 2 : 13
13: а = 2 : 0,5 !!!!

Координаты на прямой. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №18

I.
Числа со знаком «+» (+7 или 7; 2/3= + 2/3; +6,3= 6,3) называются
положительными
Числа со знаком «-» ( - 7; - 2/3; - 6,3) называются
отрицательными

–нуль
II.
КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ
А В

-3 0 1 2,5
Прямая
Начало отсчета (нуль)
Единичный отрезок
Положительное направление

Число, показывающее положение точки на прямой, называется координатой точки.

А( -3); В (2,5); О (0)
III.

ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ПО КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ

ВПРАВО НА 3 ЕД.ОТ. «+»
-4


ВЛЕВО НА 4 ЕД. ОТ. «-« 3










Противоположные числа. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №19
-5 0

+ 5

Числа, отличающиеся только ЗНАКОМ, называются
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ.

ПРИМЕРЫ: 7 и -7; -2,7 и 2,7 ; -3/4 и 3/4


0
Число а -а противоположное

-N 0 N

ЦЕЛЫЕ (z)

МОДУЛЬ ЧИСЛА

М(-5) 0 С(3)


5 единичных отрезков 3 един. отрезков

РАССТОЯНИЕ от начала координат до точки –МОДУЛЬ числа.

Обозначение: а или - а

Примеры: 7 = 7; - 7 = 7 ; 0 = 0.


ЧИСЛА = ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО




Сравнение чисел. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №20

-5 -2 0 2 4

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ НУЛЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ


ПОЛОЖ. ЧИСЛА НУЛЬ;
ОТРИЦ. ЧИСЛА НУЛЬ;
ПОЛОЖ. ЧИСЛА ОТРИЦ. ЧИСЛА;

Из двух отрицательных чисел БОЛЬШЕ то,
у которого МОДУЛЬ МЕНЬШЕ.
Из двух отрицательных чисел БОЛЬШЕ то,
которое БЛИЖЕ к НУЛЮ.

Примеры: 1. 9 0;
2. 0 -8 ;
3. -15 2;
4. - 7 * - 9;
-7 - 9

+7 +9 - 7 - 9.





Раскрытие скобок ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №21
+ ( -а +в –с) = -а +в -с

Скобки опускаю, знаки в скобках НЕ меняю!

- ( -а +в –с) = +а - в + с

Скобки опускаю, знаки в скобках МЕНЯЮ!

РЗУ : а ( в – с) = ав - ас
а ( в + с) = ав + ас
Чтобы число умножить на скобку надо, это число умножить на каждое слагаемое!

Примеры:
3,5 - (2,7 – 4,2) = 3,5 – 2,7 + 4,2 =.

Скобки опускаю, знаки в скобках МЕНЯЮ!

– 2с + ( 4с – 1/3 с ) + с = -2с +4с - 1/3с + с =

Скобки опускаю, знаки в скобках НЕ меняю!
0,6 (х +7) – 0,5(х -3) = 0,6х + 4,2 -0,5х +1,5 =..
Чтобы число умножить на скобку надо, это число умножить на каждое слагаемое!




ПОДСКАЗКА ПО РАБОТЕ С ЧИСЛАМИ. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №22



ОТРИЦАТЕЛЬ НЫЕ ЧИСЛА


СЛОЖЕНИЕ УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ


1.ПОСТАВЬ ЗНАК «МИНУС» 1.ПОСТАВЬ ЗНАК «ПЛЮС»


2.ВЫПОЛНИ СЛОЖЕНИЕ 2.ВЫПОЛНИ УМНОЖЕНИЕ ИЛИ ДЕЛЕНИЕ


- 8 -17 = - (8+17) = -25 -18Ч (-20) = 360

-18ч (-2) = 9



II) ЧИСЛА С РАЗНЫМИ ЗНАКАМИ


СЛОЖЕНИЕ УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ

1. ПОСТАВЬ ЗНАК БОЛЬШЕГО 1. ПОСТАВЬ ЗНАК МИНУС

2.ВЫПОЛНИ ВЫЧИТАНИЕ 2. ВЫПОЛНИ УМНОЖЕНИЕ ИЛИ
ДЕЛЕНИЕ

-14 + 89 = + (89-14)= 75 - 5* 36 = - (5* 36)= - 180

67 - 124= - (124 - 67)= - 57 45 : (-9)= - (45:9)= - 5




2

2

3

2

2

3

2

2

2

2

3

3

2

2

3

2

2

3



Таблица признаков делимости чисел. Делимость чисел, признаки делимости. Признаки делимости целых чисел на 2 (два), 3 (три), 4 (четыре), 5 (пять), 6 (шесть), 7 (семь), 8 (восемь), 9 (девять), 10 (десять), 11 (одиннадцать). Четные и нечетные числа. Таблица. Скачать бесплатно таблицу.15