Урок по теме Решение уравнений и неравенств с параметром 9-й класс
9-й класс
Урок по теме "Решение уравнений и неравенств с параметром" (45 мин)
Цель: Выработка навыка решения уравнений и неравенств с параметром различными способами. Развитее творческих способностей, математической культуры.
Ход урока
I. Устно: (5 мин)
а) Сравнить: –а и 3а
если а=0, то –а=3а
если а<0, то –а>3а
если а>0, то –а<3а
б) Решить уравнение: ах=1
если а=0, то 0х=1 нет решений
если а
·0, то х=1/а
в) Решить неравенство: ах<1
если а=0, то 0<1 верно х- любое
если а>0, то х<1; х<1/а
если а<0, то х>1/а
г) Решить неравенство: ах>1
если а=0, то 0>1 нет решений
а>0, то х>1/a
а<0, то x<1/a
II. Сегодня на уроке решение уравнений и неравенств, содержащих модуль и параметр. (15 мин)
Решение задач с параметром часто вызывает затруднения. Каждая такая задача требует рассмотрения нескольких задач, для каждой из которых требуется найти решение.
При выбранном значении параметра возможны следующие ситуации:
не имеет смысла;
не имеет корней;
имеет несколько корней;
имеет бесконечное множество корней.
Ответ зависит от выбранного параметра.
При решении необходимо выполнять некоторые условия:
«Задача с параметром» - рассмотреть множество возможных задач;
«Область допустимых значений параметра» - множество значений параметра, при подстановке которых задача имеет смысл;
«Решить задачу» -для любого допустимого значения параметра найти множество решений данной задачи.
Рассмотрим задачи с параметром двух основных типов.
Первый тип – для каждого значения параметра решить задачу.
Для этого необходимо:
Разбить допустимых значений параметра на части, на каждой из которых задачу можно решить.
На каждой из полученных частей решить задачу.
Второй тип – найти все значения параметра, при каждом из которых выполнены те или иные заданные условия.
Рассмотрим некоторые уравнения и неравенства.
Пример №1 Решить уравнение а(а-1)х=а-1 а- может быть любое.
Разделим обе части уравнения на а-1 и а, но делить на ноль нельзя, следовательно а
·1, а
·0.
а=1, 0*х=0, х – любое число;
а=0, 0*х=-1, корней нет;
а
·1, а
·0, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1) если а
·1, а
·0, то х=1/а;
2) если а=1, х – любое число;
3) а=0, корней нет.
(ответ – это описание множества ответов при конкретном значении параметра.)
Пример №2 Решить неравенство: |x+3|> - aІ
если а=0, то |x+3|>0 при всех х
·-3 13 EMBED Equation.3 1415;
если а
·0, то x - любое.
Ответ: 1) если а=0, 13 EMBED Equation.3 1415;
2) если а
·0, то х – любое число.
Пример № 3 Решить уравнение х|х-4|=а
Воспользуемся равносильностью: 13 EMBED Equation.3 1415
1. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 0, тогда х 0.
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, от корень первого уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 - посторонний.
Корни второго уравнения определены и положительны при 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Пусть а 0, тогда х 0
13 EMBED Equation.3 1415
Получили а 0 и х 0, то 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть а=0,
Тогда х=0 или х=4.
Ответ: 1) если а=0, то х=0 и х=4;
2) если 0 а
· 4, то
Пример № 4 Решить уравнение с параметром и модулем
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим возможные случаи:
а) если х0, 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415;
б) если х0, то 13 EMBED Equation.3 1415
а) х0 б) х0
13 EMBED Equation.3 1415
Если Д=0, а=1, то 13 EMBED Equation.3 1415
Если Д0, а
·0, то
13 EMBED Equation.3 1415
Так как х0, то а0,
13 EMBED Equation.3 1415
Если а=1, 13 EMBED Equation.3 1415
Если а
·1, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: при а=1, х=±1;
при а
·1, х= -а;
при а=0, х=±1, х=0.
III Работа с классом. (10 мин)
На доске учащиеся решают уравнения и неравенства (вместе с учителем).
1. Решить уравнение для каждого m
13 EMBED Equation.3 1415
1) если m=1, то 0х=0, х – любое;
2) если m
·1, то х=1.
Ответ: 1) если m=1, то 0х=0, х – любое;
2) если m
·1, то х=1.
2. Для каждого а решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) При х
· 3а 13 EMBED Equation.3 1415
а) При х
· 3а, а
·-2 то 13 EMBED Equation.3 1415.
б) При х= 3а, а=0 то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решений нет.
в) При х
· 3а, а
·0, а=-2, то 13 EMBED Equation.3 1415
Решений нет
Ответ: 1) при а=-2, а=0 решений нет;
2) при а
·-2, а
·-0 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
а) При а=5, то 13 EMBED Equation.3 1415
Решений нет.
б) При а-5>0,
а>5, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
в) При а<5, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
IV. Решаем самостоятельно (10 мин)
1. Решить для каждого а ахІ-5х+1=0
2. Найти значение параметра а, при котором уравнение (а-2)хІ-2ах+2а-3=0 положительно.
3. Для каждого m, решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
4. При каком m корни уравнения xІ-2x+m=0 удовлетворяет условию 7хІ-2х1=47 (дополнительно).
V. Подведение итогов урока(3 мин)
VI. Домашнее задание (2 мин) карточки на дом.
1. Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415;
2. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415;
3. Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415;
4. а) 3+кх
·3х+к
б) ах-6
·2а-3х.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native