Методика реализации межпредметных связей при организации практического занятия по математике «Производная функция и ее приложение»

Федеральное агентство по образованию
ГОУ СПО «Комсомольский-на-Амуре Металлургический техникум»





Методическая разработка
Тема: Методика реализации межпредметных связей
при организации практического занятия по математике
«Производная функция и ее приложение»




Преподаватель:
Грибанова Г.Ф.

Рассмотрено
на заседании ПЦК ЕНД
«___»___________ 2014 г.
___________ /Коростылева Н.И./




2014
Тема: Производная функция и ее приложения
Вид занятия: Практическое занятие
Цели урока:
Обобщение теоретических знаний по теме «Производная»
Применение знаний к решению задач с использованием физического и геометрического смысла производной.
Развитие умений и навыков решения задач
Привитие интереса к предмету через межпредметные связи.
Дидактическое обеспечение:
ТСО: ПК, экран, проектор.
Учебно-дидактический материал: таблицы, карточки-задания, раздаточный материал.

План урока

Повторение ранее изученного материала.
Выбрать соответствие между формулами дифференцирования (устно).
Самостоятельная работа (дифференцированная оценка знаний)
Творческая работа студентов
Сообщение на тему: «Возникновение дифференциального исчисления и его основоположники»
Решение задач на приложение понятия производной (предварительная подготовка группы)
Физический смысл производной
а) презентация задачи;
б) решение задач по физическому смыслу производной.
2) Геометрический смысл производной
а) презентация задачи;
б) решение задач по геометрическому смыслу производной.
3) Решение задач на max и min
а) презентация задачи;
б) решение задач на max и min.
4) Построение графиков с помощью производной
IV. Самостоятельная работа по решению задач (при наличии времени)
Итоги урока. Выставление оценок.
Ход занятия
Повторение
Составить соответствие: Ответы
(xn)` 1) cos x 1 - 2
(ex)` 2) nxn-1 2 - 12
(sin x)` 3) 1 3 - 1
(tg x)` 4) 0 4 - 10
(ax)` 5)13 EMBED Equation.DSMT4 1415 5 - 13
(ln x)` 6) –sin x 6 - 7
(coa x)` 7) 1/x13 QUOTE 13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Самостоятельная работа «Найти производные»
Критерии оценки: 10 заданий – «5»
8 заданий – «4»
5 заданий - «3»
I. II. III. IV.
1) y=2x-4 1) y=3x+6 1) y=7x+1 1) y=5x - 8
2) y=x2-3x 2) y=x3+4x 2) y=x5 – 2x 2) y=3x – x2
3) y=cosx+2 3) y=3 – cosx 3) y=2 – sin x 3) y=sin x +1
4) y=sin x – 5 4) y=4+sin x 4) y=cos x+2 4) y=2 – cos x
5) y=ex+x2 5) y=x3 – ex 5) y=ex – x5 5) y=ex+x3
6) y=ln x+2x 6) y=ln x – 3x 6) y=2x – ln x 6) y=ln x +4x
7) y=x2cos x 7) y=x3sin x 7) y=x4cos x 7) y=x2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Историческая справка.
Творческая работа студентов - сообщение «Возникновение дифференциального исчисления и его основоположники».
Применение производной к решению задач (применение ПK; Презентация)
Физический смысл производной
а) Презентация:
Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном:
Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.


Задача 1. Тело движется прямолинейно по закону S=3t2 - 2t+4. Найти скорость движения тела в конце пятой секунды.
V=S`(t). S`=(3t2-2t+4)`=6t-2
S`(5)=6
·5-2=28(м/c) v=28(м/с)

Задача 2. Высота тела, брошенного вертикально вверх, меняется по закону H=200t-4,9t2. Найти скорость тела в конце 10- ой секунды. Сколько секунд тело будет лететь вверх и какой высоты может достичь?
V=H`(t) V=200-9,8t, при t=10с
V(t)=200-9,8
·10=102(м/с)
В момент наивысшей высоты, скорость тела равна нулю, тогда
200-9,8t=0 => t=13 QUOTE 1415(с)
S(t)=200
·20,4-4,9
·20.4213 QUOTE 14152040.8(м)

Задача 3. Рассмотрим задачу из раздела теоретической механики:
При торможении маховик за t секунд поворачивается на угол
·=5+6t-t2 радиан.
Найти:
а) Угловую скорость
· вращения маховика в момент времени t=2(c)
б) Момент времени t, когда вращение прекратиться.
Определение: Угловой скоростью
· называется скорость изменения угла
· за время
· t.

·=
·`(t).

·=
·`(t)=(5+6t-t2)`=6-2t
a) t=2.
·=6-2
·2=2(рад/с)
б) Угловое ускорение – это производная от угловой скорости
· по времени t.

·=
·`(t)
·=(6-2t)`=-2(рад/с)
в) во время остановки маховика
·=0, тогда 6-2t=0 t=3/в конце третьей секунды маховик остановится.

б) Задачи для самостоятельного решения:
1) Материальная точка движется по закону S=2t3-6t2+4t. Найти скорость точки в конце третьей секунды
v=S`(t) v=6t2-12t+4
v(3)=6
·9-12
·3+4=42(м/с)
2) Тело брошено вертикально вверх. В какой момент времени оно достигнет наивысшей точки S=2+9t-5t2
v=S`(t) v=9-10t v=0 – тело в наивысшей точке.
9-10t=0 t=9/10(c)
Геометрический смысл производной
Геометрическая интерпретация производной впервые дана в конце XVII в. Лейбницем. «Значение производной функции y=f(x) в точке х равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой же точке х.
k=f`(x)=tg
·

Задача 1. Шоссе проходит через речку. Мост имеет форму параболы y=px2. Каким надо сделать уклон насыпи к мосту, чтобы переход с моста на насыпь был плавным? длина моста l=20м, стрела провеса f=0,5
Пусть угол наклона касательной х
·, тогда tg
·=y`(x)
tg
·=(px2)`=2px точка 0(10;0,5)
р=13 QUOTE 1415 для 0 (10;0,5)
p=13 QUOTE 1415
tg
·=2
·0.005
·10=0.1 по таблице <
·=?

б) задачи для самостоятельного решения
1) найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y=x3 в точке (-2;-8)
y`=3x2 tg
· =y`(x) =3
·(-2)2=12

Решение задач на max и min
а) Презентация задачи:
задача 1. Сопротивление f догори движению автомобиля при скорости движения v (км/ч) выражается
1. на асфальте f=14.5+0.25v
2. на хорошем шоссе f=24-2/3v+1/30v2
3. на бульварной мостовой f=29-2/3v+1/15v2
4. на грунтовой дороге f=36.5-3/4v+1/30v2
Определить для тех случаев, когда это возможно, скорость, при которой сопротивление будет наименьшим
Функция линейная v=0.25 – min – нет
v=-2/3+2/15v v=10км/ч
v=-2/3+2/15v v=5км/ч
м=-3/4+1/15v v=11.25км/ч
задача 2. Разложить число 100 на слагаемые так, чтобы их произведение было наибольшим
Пусть 1 число – х, тогда 2 (100-х) составим произведение y=x
·(100-x) =>y =100x-x2
y`=100-2x
y`=0 100-2x=0 x=50
y` + - x=50 – max
y 50 оба числа равны 50
б) Задачи для самостоятельного решения
1) найти такое число , чтобы разность между этим числом и квадратом его была наименьшей
Пусть число х, тогда его квадрат х2
у=х2-х
у`=2x-1 y`=0 2x-1=0 y` - +
2x=1 y 1/2
X=1/2
2) каковы должны быть стороны прямоугольного участка, периметр которого 120 м, чтобы площадь его была наибольшей? (квадрат со стороной 30м).

4) применение производной к построению графиков
1. Презентация
а) алгоритм построения графиков
б) построить график функции:
у=х2+2х-3
ОДЗ: x13 QUOTE 1415R
y(-x)=(-x)2+2(-x)-3 – не является четной; не является нечетной
найдем точки пересечения с осями:
с ОХ: х2+2х-3=0
у=0 х1,2=13 QUOTE 1415 х1,2=-3;1
с ОУ: у=02+2
·0-3=-3
х=0
найдем пересечение точки:
у`=(x2+2x-3)`=2x+2
y`=0 2x+2=0
x=-1
определим промежутки монотонности y
y` - + -3 -1 1 x
y -1 x
-3
6. у(-1)=-4

б) задача для самостоятельного решения.
Построить график функции у=8-2х-х2

Самостоятельная работа (при наличии времени)
Построить графики функций
Решить задачи на max и min (раздаточный материал)



Литература
Г.М. Яковлев «Алгебра и начала анализа». 1ч
Ш.А. Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11кл
В.М. Богомолов «Практические задания по математике»