ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ НЕКОТОРЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Исследовательская работа по математике ученика 10 Б класса МОУ СОШ №73 Перевозникова Михаила
Использование векторного произведения ВЕКТОРОВ
для вычисления площади
некоторых геометрических фигур
Исследовательская работа по математике
Ученика 10 Б класса
МОУ СОШ №73
Перевозникова Михаила
Руководители:
Учитель математики МОУ СОШ№73 Драгунова Светлана Николаевна
Ассистент каф. математического анализа механико-математического факультета СГУ им. Н.Г. Чернышевского Бердников Глеб Сергеевич
Саратов, 2015
Содержание
Введение.
1. Теоретический обзор.
1.1. Векторы и вычисления с векторами.
1.2. Использование скалярного произведения векторов в решении задач
1.3 Скалярное произведение векторов в координатах
1.4. Векторное произведение векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве: определение понятия.
1.5. Координаты векторного произведения векторов.
2. Практическая часть.
2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма. Выведение формулы и геометрический смысл векторного произведения векторов.
2.2. Зная только координаты точек, найти площадь треугольника. Доказательство теоремы
2.3. Проверка на примерах правильности формулы.
2.4. Практическое использование векторной алгебры и произведения векторов.
Заключение
Введение
Как известно, многие геометрические задачи имеют два ключевых способа решения – графический и аналитический. Графический метод связан с построением графиков и чертежей, а аналитический предполагает решение задач преимущественно с помощью алгебраических действий. В последнем случае алгоритм решений задач связан с аналитической геометрией. Аналитическая геометрия – это область математики, а точнее линейной алгебры, которая рассматривает решение геометрических задач средствами алгебры на основе метода координат на плоскости и в пространстве. Аналитическая геометрия позволяет анализировать геометрические образы, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений. При этом в этой науке для расширения пространственного понимания фигур помимо [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] иногда применяется векторное произведение векторов.
В связи с широким распространением трехмерных пространственных технологий, изучение свойств некоторых геометрических фигур с использованием векторного произведения представляется актуальным.
В связи с этим была обозначена цель данного проекта – использование векторного произведения векторов для вычисления площади некоторых геометрических фигур.
В связи с поставленной целью решались следующие задачи:
1. Теоретически изучить необходимые основы векторной алгебры и дать определение векторному произведению векторов в системе координат;
2. Проанализировать наличие связи векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма;
3. Вывести формулу площади треугольника и параллелограмма в координатах;
4. Проверить на конкретных примерах верность выведенной формулы.
1. Теоретический обзор.
Векторы и вычисления с векторами
Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В данном случае началом отрезка является точка А, концом отрезка – точка В. Сам вектор обозначен через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 . Чтобы найти координаты вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = {Bx - Ax ; By - Ay}
Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой. При этом вектор отрезок, характеризующийся длиной и направлением.
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Длина вектора |13 EMBED Equation.DSMT4 1415| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
С векторами можно совершать различные действия.
Например, сложение. Чтобы их сложить, нужно провести сначала второй вектор из конца первого, а потом соединить начало первого с концом второго (рис. 1). Суммой векторов является другой вектор с новыми координатами.
Сумму векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = {ax ; ay} и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415+ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= {ax + bx; ay + by}
13 EMBED PBrush 1415
Рис. 1. Действия с векторами
Вычитая векторы, нужно сначала провести их из одной точки, а потом соединить конец второго с концом первого.
Разность векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = {ax ; ay} и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = {bx ; by} можно найти по формуле:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = {ax - bx; ay - by}
Также, векторы можно умножать на число. Результатом также будет вектор, который в k раз больше (или меньше) данного. Его направление будет зависеть от знака k: при положительном k векторы сонаправлены, а при отрицательном – противоположно направлены.
Произведение вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = {k · ax; k · ay}
А можно ли умножать вектор на вектор? Конечно, и даже двумя вариантами!
Первый вариант – скалярное произведение.
13 EMBED PBrush 1415
Рис. 2. Скалярное произведение в координатах
Для нахождения произведения векторов можно использовать угол ( между данными векторами, показанный на рисунке 3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Из формулы следует, что скалярное произведение равно произведению длин данных векторов на косинус угла между ними, его результатом является число. Важно, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.к. косинус прямого угла между ними равен нулю.
В координатной плоскости вектор также имеет координаты. Вектора, их координаты и скалярное произведение являются одними из самых удобных методов вычисления угла между прямыми (или их отрезками), если введена система координат. И если координаты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то их скалярное произведение равно:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В трехмерном пространстве существует 3 оси и, соответственно, у точек и векторов в такой системе будет по 3 координаты, а скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1.2. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве.
Вторым вариантом вычисления произведения векторов является векторное произведение. Но, чтобы его определить требуется уже не плоскость, а трехмерное пространство, в котором начало и конец вектора имеют по 3 координаты.
В отличие от скалярного произведения векторов в трёхмерном пространстве операция «векторное умножение» над векторами приводит к иному результату. Если в предыдущем случае скалярного умножения двух векторов результатом было число, то в случае векторного умножения векторов результатом будет другой вектор, перпендикулярный обоим вступившим в произведение векторам. Поэтому это произведение векторов называется векторным.
Очевидно, что при построении результирующего вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, перпендикулярного двум, вступившим в произведение - 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, может быть выбрано два противоположных направления. При этом направление результирующего вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определяется по правилу правой руки, или правилу буравчика. Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, а четыре пальца правой руки показывали направление вращения (как бы охватывая вращающийся цилиндр), то оттопыренный большой палец покажет направление вектора-произведения (рис. 7).
13 EMBED PBrush 1415
Рис. 7. Правило правой руки
1.3. Свойства векторного произведения векторов.
Длина результирующего вектора определяется по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
При этом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 векторное произведение. Как было сказано выше, результирующий вектор будет перпендикулярен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а его направление определяется по правилу правой руки.
Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Векторное произведение ненулевых векторов равно 0, если они коллинеарны, тогда синус угла между ними будет равен 0.
Координаты векторов в трехмерном пространстве выражаются следующим образом: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда координаты результирующего вектора находим по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Длина результирующего вектора находится по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Практическая часть.
2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма в плоскости. Геометрический смысл векторного произведения векторов.
Пусть нам дан треугольник ABC (рис. 8). Известно, что 13 EMBED Equati
·on.DSMT4 1415.
Если представить стороны треугольника АВ и АС в виде двух векторов, то в формуле площади треугольника мы находим выражение векторного произведения векторов:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Из выше сказанного можно определить геометрический смысл векторного произведения (рис. 9):
длина векторного произведения векторов равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], если их отложить от одной точки.
Другими словами, длина векторного произведения векторов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равна площади параллелограмма, построенного на векторах [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], со сторонами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и углом между ними, равным [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 9. Геометрический смысл векторного произведения векторов
В связи с этим, можно привести еще одно определение векторного произведения векторов:
Векторным произведением вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 вокруг вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис. 10).
Рис. 10. Определение векторного произведения векторов
с использованием параллелограмма
2.2. Вывод формулы для нахождения площади треугольника в координатах.
Итак, нам дан треугольник АВС в плоскости и координаты его вершин. Найдем площадь этого треугольника (рис. 11).
13 EMBED PBrush 1415
Рис. 11. Пример решения задачи на нахождение площади треугольника по координатам его вершин
Решение.
Для начала, рассмотрим координаты вершин в пространстве и вычислим координаты векторов АВ и АС.
По данной прежде формуле подсчитаем координаты их векторного произведения. Длина этого вектора равна 2 площадям треугольника АВС. Площадь треугольника равна 10.
Более того, если мы рассмотрим треугольник на плоскости, то первые 2 координаты векторного произведения всегда будут равны нулю, поэтому мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема: Пусть дан треугольник АВС и координаты его вершин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис. 12).
Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED PBrush 1415Рис. 12. Доказательство теоремы
Доказательство.
Рассмотрим точки в пространстве и вычислим координаты векторов ВС и ВА. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По приведенной раньше формуле вычислим координаты векторного произведения этих векторов. Обратим внимание, что все члены, содержащие z1 или z2, равны 0, т.к. z1и z2 = 0. УБРАТЬ!!!
Итак, следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2.3. Проверка правильности формулы на примерах
Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.
Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:
a Ч b=
i
j
k
=
-1
2
-2
2
1
-1
= i(2 · (-1) - (-2) · 1) - j((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k((-1) · 1 - 2 · 2) = = i(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5j - 5k = {0; -5; -5}
Из свойств векторного произведения:
S
· =
1
|a Ч b| =
1
·02 + 52 + 52 =
1
·25 + 25 =
1
·50 =
5
·2
2
2
2
2
2
Ответ: S
· = 2.5
·2.
Заключение
2.4. Приложения векторной алгебры
и скалярного и векторного произведения векторов.
Где же нужны векторы? Векторное пространство и векторы носят не только теоретический характер, но и имеют вполне реальное практическое применение в современном мире.
В механике и физике многие величины имеют не только численное значение, но и направление. Такие величины называются векторными. Вместе с использованием элементарных механических понятий, опираясь на их физический смысл, многие величины рассматриваются как скользящие векторы, а их свойства описываются как аксиомами, как это принято в теоретической механике, так и при помощи математических свойств векторов. Наиболее яркими примерами векторных величин являются скорость, импульс и сила (рис. 12). Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются с помощью векторов.
В физике важны не только сами вектора, но в большой степени важны и их произведения, которые помогают вычислять некоторые величины. Векторное произведение полезно для определения коллинеарности векторов модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы сонаправленны или противоположно направленны.
Еще один пример: скалярное произведение используется для вычисления работы по приведенной ниже формуле, где F – вектор силы, а s – вектор перемещения.
Одним из примеров использования произведения векторов является момент силы, равный произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.
Многое из того, что вычисляется в физике по правилу правой руки является векторным произведением. Найти подтверждения, привести примеры.
Стоит еще заметить, что двухмерным и трехмерным пространством не исчерпываются возможные варианты векторных пространств. Высшая математика рассматривает пространства большей размерности, в которых также определяются аналоги формул для скалярного и векторного произведения. Несмотря на то, что пространства большей размерности, чем 3, человеческое сознание неспособно представить визуально, они удивительным образом находят себе приложения во многих областях науки и промышленности.
В то же время результатом векторного произведения векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве является не число, а результирующий вектор со своими координатами, направлением и длиной.
Направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, что является одним из самых удивительных положений аналитической геометрии.
Векторное произведение векторов может быть использовано в нахождении площади треугольника или параллелограмма по заданным координатам вершин, что было подтверждено выведением формулы, доказательством теоремы и решением практических задач.
Векторы широко используются в физике, где такие показатели как скорость, импульс и сила могут быть представлены в виде векторных величин и вычисляются геометрически.
Список использованных источников
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], 2013. 383 с.
Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. М.: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], 2013. 255 с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
????Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, Физматлит, 1998.
Аналитическая геометрия.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Математика. Клевер.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
-----Изучение математики онлайн.
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/
Сайт В. Глазнева.
http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm
------Википедия.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED%E8%E5
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Понятие вектора. Определение вектораRoot EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native