НИР по математике Золотое сечение

Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение
средняя образовательная школа с. Васильевки




Исследовательская работа
Золотое сечение вокруг нас.


Маслова Ирина Борисовна,
ученица 9 класса
МОАУ СОШ с. Васильевки.
Шумилова Наталья Ивановна,
учитель математики,
I квалификационная категория
















Амурская область
Белогорский район
2015
Сведения об авторах.
Маслова Ирина Борисовна, ученица 9 класса МОАУ СОШ с. Васильевки.
Шумилова Наталья Ивановна,
учитель математики, I квалификационная категория.






























Содержание работы
Введение
Цели и задачи. Методы исследования стр. 4
1. Историческая справка стр. 6
1.1. Золотое сечение в математике стр. 7
1.2. Золотоые фигуры стр. 8
1.3. Числа Фибоначчи стр. 11
1.4. Золотое сечение в архитектуре стр. 12
1.5. Золотое сечение в искусстве стр. 14
1.6. Золотая пропорция и тело человека стр. 16
1.7. Золотое сечение в живой природе стр. 17
2. Мои исследования стр. 19
3. Заключение стр. 21
4. Использованные ресурсы стр. 22
Приложения стр. 23




















Введение.
 “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них –
это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем
и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота;
второе же больше напоминает драгоценный камень”.
Иоганн Кеплер
С древности, наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, то есть пытались вывести "формулу красоты".
Ряд "формул красоты" известен. Это - правильные геометрические формы: квадрат, круг, равнобедренный треугольник и т.д.; это - законы симметрии. Можно привести множество примеров присутствия симметрии в окружающем мире. Симметрию легко обнаружить в природных и рукотворных формах. Эстетическое наслаждение, получаемое при наблюдении совершенных форм предмета, объясняется не только выполнением законов симметрии, но и присутствием так называемой "божественной" пропорции, "золотого сечения" в соотношении частей, на которые предмет делится естественным образом. Соблюдение пропорций в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульпторы, здания. "Золотое сечение" являлось критерием гармонии и красоты во времена Пифагора и в эпоху Возрождения.

Гипотеза.
"Золотое сечение" в окружающем мире есть.

Актуальность темы.
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес, к форме какого – либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике, музыке и природе. Поэтому, не только в древние времена скульпторы, художники, музыканты, архитекторы уделяли большое внимание сечению и гармоническому отношению, но и настоящее время помнят и используют это сечение.
Цель.
Воспользоваться различной литературой по геометрии, по черчению и различными справочными материалами для более подробного изучения темы "Золотое сечение"; исследовать наличие "золотого сечения" в растительном мире и в отдельных частях тела человека.

Задачи.
1. Дать понятие "золотое сечение" (немного об истории). Алгебраическое нахождение "золотого сечения", геометрическое построение "золотого сечения".
2. Рассмотреть применение "золотого сечения" в искусстве Древней Греции.
3. Рассмотреть "золотую пропорцию" и связанные с нею отношения.
4. Продемонстрировать и разобрать понятие "золотой спирали" в живой природе.
5. Показать применение "золотого сечения" в эпоху Возрождения.

Методы исследования:
Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
Математический расчет.
Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

















1. Историческая справка.
В дошедшей до нас античной литературе "золотое сечение" впервые встречается во II книге "Начал" Евклида, где дается его геометрическое построение, равносильное решению квадратного уравнения вида x(a + x)=а2. Евклид применял "золотое сечение" при построении правильных 5- и 10-угольников, а также в стереометрии при построений правильных 12- и 20-гранников. Несомненно, что "золотое сечение" было известно до Евклида. Весьма вероятно, что задача "золотого сечения" была решена еще пифагорейцами, которым приписываются построение правильного 5-угольника и геометрического построения, равносильные решению квадратных уравнений. Именно пентаграмму Пифагорейцы выбрали символом своего союза - религиозной секты во главе с Пифагором (ок. 580-500 до н.э.), которая проповедала братскую любовь друг к другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т.д. Пифагорейцев отличало от других то, что они считали возможным добиться очищения духа при помощи математике. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) - мужскими. Число 5- как сумма первого женского числа (2) и первого мужского числа (3) - считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов. После Евклида исследованием "золотого сечения" занимались Гипсил (II в. до н.э.), Папп Александрийский (III в. до н.э.) и др.
В средневековой Европе с "золотым сечением" познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик и комментатор Евклида Дж. Кампано из Навары (XIII в.) добавил к 13 книге "Начал" предположение, содержание арифметическое доказательство несоизмеримости отрезка и обеих частей его "золотого сечения".
В XV-XVI вв. усилился интерес к "золотому сечению" среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. В середине века считалось, что пентаграмма служит охранным законом от сатаны. Вспомним, например, как описывает Гете проникновение дьявола Мефистофеля и доктора Фауста, на которой была начертана пентаграмма. Мефистофель сначала позвал черного пуделя отгрызть кончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он сам смог предстать перед Фаустом. Л. Пачоли посвятил "золотому сечению" тракт "О божественной пропорции" (1509); о "золотом сечении" много писал в одном из своих ранних произведений И. Кеплер (1596). Леонардо да Винчи считал, что идеальные пропорции человеческого тела должны быть связаны числом Ф, деление отрезка в отношении Ф он назвал "золотым сечением". "Золотое сечение" или близкие к нему пропорциональные отношения легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, например, Капелла Пации во Флоренции, архитектора Ф. Брунеллески, XV в.

Золотое сечение в математике.
Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. В истории утвердилось ещё одно название – «золотая пропорция».
Пусть, С13 EMBED Equation.3 1415АВ, и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка
13 EMBED Equation.3 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

АС: АВ =СВ: АС (1)

Золотым сечением называется такое деление отрезка, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая часть к большей.
Если длину отрезка АВ обозначить через а, а длину АС – через х, то (а-х)- длину отрезка СВ, и пропорция (1) примет вид:

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (2)
В пропорции, как известно, произведение крайних членов равно произведению средних и пропорцию (2) перепишем в виде:


х2 = а (а – х).

Получаем квадратное уравнение:

х2 +ах – а2 = 0
Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней, следует выбрать положительный.

Х=13 EMBED Equation.3 1415 или Х =13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Число 13 EMBED Equation.3 1415 обозначается буквой 13 EMBED Equation.3 1415 в честь древнегреческого скульптора Фидия (родился вначале V века до н. э), в творениях которого это число встречается многократно. Число 13 EMBED Equation.3 1415 приблизительно равно 0,61803398
Таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.
Золотые фигуры.
Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Деление отрезка прямой по золотому сечению
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618, если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382 Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая 38 частям.




Деление прямоугольника линией второго золотого сечения
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.
Построение правильного пятиугольника и пентаграммы
Пентаграмма служил символом Пифагорейского союза. Пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей, а гармония приводит противоположности к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) – мужскими. Число 5 – как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) – считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов. Пятиконечная звезда пентаграмма очень красива, недаром ее помещают на свои флаги и гербы многие страны! Ее красота, оказывается, имеет математическую основу.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (14711528). Пусть O центр окружности, A точка на окружности и Е середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Пентаграмма представляет собой вместилище "золотых пропорций" (стороны пентаграммы, пересекаясь, делят друг друга на отрезки, длины, которых образуют "золотую пропорцию").
Форму правильного пятиугольника можно встретить в живой природе. Такую форму имеют, например, морские звезды. Ученые-археологи обнаружили на камне отпечаток части древнего растения. Можно было различить лишь два лепестка какого-то цвета. В его построении присутствует правильный пятиугольник, а значит и "золотое сечение".
Можно привести и другие примеры присутствия правильного пятиугольника в окружающем мире. Так, раскрой кожи для футбольных мячей представляет собой набор правильных пятиугольников и шестиугольников, причем сторона пятиугольника равна стороне шестиугольника.
Интересно отметить, что в строении тела человека также можно обнаружить присутствие правильного пятиугольника. В него легко вписать человеческую фигуру, пропорции которой подчинены принципу "золотого сечения". Многие исследователи математических закономерностей строения человеческого тела называют позу человека с разведенными на 1800 и чуть опущенными руками и расставленными на 900 ногами пентаграммой, так как эта поза действительно напоминает звездчатый пятиугольник (пентаграмму). Для нахождения размеров подходящего пятиугольника необходимо измерить расстояние между кончиками пальцев разведенных рук и построить правильный пятиугольник по данной диагонали.

Построение золотого треугольника
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Числа Фибоначчи
С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышел в свет его математический труд “Книга об абаке” (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.
Этот ряд известен как ряд чисел Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда. Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция.

Золотое сечение в архитектуре.
Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону.
"Золотое сечение" многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона. Даже сейчас, когда он стоит в развалинах, это одно из самых красивых сооружений мира. Храм построен в эпоху расцвета древнегреческой математики, и его красота основана на строгих математических законах.
Всю вторую половину V в. до н.э. на Акрополе шло строительство храмов, пропилей (преддверий), алтаря и статуи Афины Воительницы. В 447 году начались работы над храмом Афины – Парфеноном и продолжались до 434 года до н.э. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь.
Как указывает исследователь Г. И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном относятся как отрезки золотого сечения. При взгляде на Парфенон от места расположения пропилей отношения массива скалы и храма также соответствуют золотое сечение.
Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1 : 2 , а план образует прямоугольник со сторонами 1 и 13 EMBED Equation.3 1415. Известно, что диагональ прямоугольника 1:2 имеет размер 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии Парфенона.
Ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов (3089 см), а размер высоты несколько варьирует у различных авторов. Так, по данным Н. Бруно, высота Парфенона 61,8 , высота трех ступеней основания и колонны – 38,2 , высота перекрытия и фронтона – 23,6 футов. Указанные размеры образуют ряд золотой пропорции: 100 : 61,8 = 61,8 : 38,2 = 38,2 :23,6 (1,6
На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники.
Здесь же были обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.
Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число «пи» и золотое сечение, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т.п.
Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.
Угол наклона граней пирамиды еще в 1837 году определил английский полковник Г.Вайз: он равен 13 EMBED Equation.3 1415. Указанному значению угла отвечает тангенс, равный 1,272. Эта величина, отвечающая отношению высот пирамиды к половине ее основания, очень близка к корню квадратному из золотой пропорции 13 EMBED Equation.3 1415= 1,27202 и является иррациональной величиной. Поэтому, скорее всего, в основу треугольника OMN пирамиды Хеопса и было заложено отношение OM/MN, равное 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, примем отношение катетов, т.е. высоты пирамиды H к половине ее основания, равным 1,272. При этом высота пирамиды Хеопса будет равна точно 318 локтей, или 148,28 м. Такую высоту, очевидно, имела пирамида Хеопса при завершении ее сооружения ( или должна была иметь по проекту).
Таким образом, основные элементы конструкции пирамиды имели следующие размеры: сторона основания – 500 локтей, высота – 318 локтей. Отсюда следует, что апофема боковой грани ON равна 404,5 локтя.
Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (т.е. неизмеримые) величины – ( и Ф со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях.
Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари)




В качестве примера «золотого сечения» в России можно полюбоваться фасадом знаменитого Большого театра в Москве.




Золотое сечение в искусстве.
Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.
Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.
Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.
Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всем на свете”.
Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.
Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.
Портрет Монны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).
На картине И.И. Шишкина "Сосновая роща" просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины приблизительно в золотом сечении. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит в золотом сечении правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины в пропорциях золотого сечения. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника.









Золотая пропорция и тело человека
Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. “Человеческое тело – лучшая красота на земле”, - утверждал Н.Чернышевский. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. И не случайно величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений.
Разработку теории пропорций человеческого тела в эпоху Возрождения начал Альбрехт Дюрер. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Pост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.
Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.
Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона.
Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.




Золотое сечение в живой природе
Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил - тяготения и инерции. "Золотая пропорция" - символ этого взаимодействия, поскольку диктуемое отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный взлет легкого юного побега до зрелости и замедленный рост "по инерции" до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу.
Одним из первых проявления "золотого сечения" в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571 -1630). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.
Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.
Рассмотрим один из установленных фактов: отсекая от "золотого прямоугольника" квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим "золотой прямоугольник" (рис.1).

Рисунок 1. Рисунок 2.
Если продолжить такие построения на одном чертеже, как это сделано на рис.1, и затем из полученных квадратов вписать по четверти окружности, как это выполнено на рис. 2, то получим изображение так называемой равноугольной или логарифмической спирали. Равноугольная спираль, часть которой изображена на рис. 2, напоминает раковину улитки. Красивая форма раковины обусловлена тем, что ее сегменты, представляющие собой дуги окружностей, имеют разные размеры, но их форма одинакова. На примере раковины улитки мы можем увидеть соблюдение важного принципа ее строения: размеры отдельного элемента возрастают, а его форма не изменяется. Действительно, при росте раковины размеры ее секций растут, а форма остается прежней. Мы можем наблюдать, как ракушка становится шире и длиннее, сохраняя при этом те же пропорции.
Логарифмическая спираль единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров.
Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.
Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д.
Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.
Пауки всегда плетут свои паутины в виде логарифмической спирали. (Рис. 4) Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. В ящерице– длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни». (Приложение 1).
И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.



Мои исследования
Исследование присутствия золотого сечения в окружающей жизни.
Исследование№1 «Золотое сечение в природе»
Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В).



Чтобы проверить, так ли это, я выбрала 5 различных комнатных растений (Приложение 2):
1) Юкка
2) Гибискус (роза китайская)
3) Циссус
4) Диффенбахия
5) Санхеция
Все эти растения есть в нашей школе, и я посчитала именно их наиболее красивыми. Сделала необходимые измерения между тройками листьев и посчитала соответствующие отношения (с точностью до тысячных).
Данные измерений и вычислений занесены в таблицу (Приложение 3).
Вывод: из таблицы видно, что все отношения получаются близкими к числу 0,618.
Наиболее совершенным с точки зрения математики, оказался цветок под номером 3 циссус. Следовательно, действительно расположение листьев на стебле подчиняется «божественной пропорции».



Исследование №2 «Золотое сечение в пропорциях тела человека»
Для того чтобы проверить, выполняется ли золотое сечение в пропорциях тела человека я провела исследование среди учащихся 9 класса. У каждого участника были сняты мерки двух видов: мерка от верхней точки головы до талии, мерка от талии до пола. Их отношение сравнивалось с числом отношения золотого сечения. (Приложение 4).
Вывод: из 12-ти человек, участвовавших в исследовании наименьшее отклонение от золотого сечения среди юношей имеют: Соболевский Илья (0,006), Мохов Антон(0,006). Среди девушек – Муталлимова Карина имеет пропорции тела точно соответствующие золотому сечению. Те ребята, у которых пропорции тела близки к золотому сечению, имеют хорошую фигуру.

Исследование №3. «Золотое сечение в переплётах книг»
В учебнике математики 6 класса я прочитала, что переплёты многих книг, имеют отношение длины и ширины близкое к числу «Золотого сечения». (Приложение 5). Это меня очень заинтересовало, и я решила проверить. (Приложение 6).
Я провела необходимые измерения для всех своих учебников и вычислила отношения ширины и длины с точностью до тысячных. У меня получились такие результаты.
Вывод: наименьшее отклонение от золотого сечения получилось в учебнике геометрии, а наибольшие - в учебнике биологии.
















3.Заключение.
Значение золотого сечения в современной науке очень велико. Эта пропорция используется практически во всех областях знаний. Её пытались изучить многие известные ученные и гении: Аристотель, Геродот, Леонардо Да Винчи, но никому полностью этого сделать не удалось.
На протяжении веков художники и учёные спорили: золотое сечение - «божественная пропорция» или «математическая эстетика»?
На самом деле, это продукт закона природы, основанный на правилах пропорциональности. Каждому творению в природе установлена соразмерность. Высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в природе и искусстве – принцип золотого сечения. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты, гармонии и функциональности.
Золотое сечение – это не математический вымысел. Закономерности “золотой” симметрии проявляются в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов, элементарных частиц. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении растительных и животных организмов, отдельных органов человека и его тела в целом.
В своей работе я хотел продемонстрировать красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни. Произведя ряд вычислений и преобразований, я выявил закономерность и определил, что «золотое сечение» в окружающем мире есть.
Мне понравилось освещать эту тему. Было интересно! Хочу дальше продолжить изучение этой темы.













4.Используемые ресурсы.
Большой энциклопедический словарь: математика. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1988.
Н. Васютинский “Золотая пропорция” – М.,”Молодая гвардия”, 1990
М.В.Величко “Математика 9-11 классы. Проектная деятельность учащихся” – Волгоград: Учитель, 2007
Газета «Математика», приложение к учебно-методическому пособию «Первое сентября». – Издательский дом «Первое сентября», 2005.
Журнал “Математика в школе”, 1994, № 2, № 3
Квант: научно-популярная физико-математическая энциклопедия. – М.: Бюро «Квантум», 1973 г, № 8.
Математический энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия, 1989.
Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.
Интернет Ресурсы.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].com


















Приложения.
Приложение 1

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Золотое сечение. Ящерица живородящая
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.


Золотое сечение. Спираль Архимеда[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]





Приложение 2
Гибискус


Юкка







Циссус


Диффенбахия
Санцехия


Приложение 3
№
Название
а
в
с
а/в
в/с

1.
Гибискус
(роза китайская)
5.6 см
9.3 см.
14.9 см.
0.602
0.624

2.
Юкка
2.2 см.
З.5 см.
5.7 см.
0.629
0.614

3.
Циссус
0,8 см.
1,3 см.
2,1 см.
0,615
0,619

4.
Диффенбахия
1.8 см.
3 см.
4.8 см.
0.6
0.625

5.
Санхеция
3.7 см.
6 см.
9.7 см.
0,617
0,619







Приложение 4
Ученик (ца)
От головы до талии (в)
От талии до пола (а)
а/в

1.Булатова Полина
58
95
1,638

2.Ленчик Полина
69
109
1,580

3.Медведева Ирина
64
99
1,547

4.Мохов Антон
64
102
1,594

5.Музыка Валентина
60
95
1,610

6.Муталлимова Карина
65
104
1,6

7. Осипенко Анна
61
98
1,607

8. Ремесло Анастасия
68
107
1,574

9.Самойлова Алина
61
99
1,623

10. Соболевский Илья
66
106
1, 606

11.Ткачёва Анжелика
57
94
1,649

12.Чулимова Вероника
60
102
1,7


Приложение5

Приложение 6

Название учебника
Длина
Ширина
Отношение

РУССКИЙ ЯЗЫК
21,5см
14,5см
0,674

ХИМИЯ
22см
17см
0,773

ИСТОРИЯ
22см
14,5см
0,659

ФИЗИКА
22см
17см
0,773

БИОЛОГИЯ
27,3см
21,9см
0,802

ГЕОГРАФИЯ
21,6см
16,7см
0,773

ГЕОМЕТРИЯ
21,5см
13см
0,605

АЛГЕБРА
21,4см
13,7см
0,639











13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115



в

а

в

а

в

а

в

а

в

а