Урок 1. Определение золотого сечения. Золотое отношение. Спецкурс Математика Золотого Сечения

Определение золотого сечения.
Золотое отношение
Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.
Например, отрезок АВ можно разделить точкой М на две части следующими способами:
1) на две равные части, тогда АМ : АВ = ВМ : АВ;
2) на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
3) таким образом, когда АМ : МВ = МВ : АВ (рис.1).
Рисунок 1
Рисунок 1

Последнее и есть золотое сечение отрезка или деление отрезка в среднем и крайнем отношении.
Определение 1. Золотое сечение отрезка – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Для начала вычислим значение золотого отношения. Обозначим его греческой буквой φ.
Итак, .
Для удобства пусть АВ = 1, тогда МВ = φ и АМ = 1 - φ.
Имеем:
φ2 + φ – 1 = 0,


Так как первый корень отрицательный, то это число мы рассматривать не будем.
Итак, значение золотого отношения .
Это иррациональное число, приближенно равное 0,6180339887… Оно одновременно и доля меньшей части от большей, и доля большей части от целого, и длина большей части при условии, что целое равно 1.
Понятие о золотом делении восходит к Древнему Египту и Вавилону. Но первое письменное упоминание о нем, дошедшее до нас, содержится в «Началах» Евклида (III век до н.э.). Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур, и задачу о золотом делении отрезка они решали с помощью циркуля и линейки.
Существует много решений этой задачи. Одно из самых простых и наглядных предложил Клавдий Птолемей (ок.90–ок.160), имя которого хорошо известно – именно он разработал то учение о строении Солнечной системы, которым пользовались астрономы и мореплаватели до Николая Коперника. Итак, решаем задачу, следуя, в основном, Птолемею.
Необходимо отметить на отрезке АВ точку М так, чтобы .
На отрезке АВ как на катете строим прямоугольный треугольник АВС, у которого другой катет АС = АВ (рис.2).
Рисунок 2
Рисунок 2

Проведем дугу AD с центром в точке С и радиусом СА до ее пересечения с отрезком ВС в точке D. Проведем дугу DМ с центром В и радиусом, равным BD, до ее пересечения с отрезком AВ в точке М.
Точка М – искомая. Почему?
Пусть АВ = 1. Тогда АС = и по теореме Пифагора гипотенуза ВС =
СD = АС = . BМ = BD = ВС – СD = , тогда и .