Примеры заданий для итоговой оценки достижения планируемых результатов по геометрии в 9 классе

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
1 Глава 1 . Примеры заданий для итоговой оценки достижения планиру е мых результатов Раздел «Геометрические фигуры» Планируемый результат пользоваться языком геометрии для описания окр у ж а- ющего мира. Умения , характеризующие достижения этого результата:  описать реальную ситуацию, используя яз ы к геометрии. Примеры заданий. Умение : описать реальную ситуацию, используя яз ы к геометрии. Задание 1 базового уровня . Используя необходимые геометрические термины, опишите взаимное расположение улицы Пот анина и улицы Бульварной. Ответ: ________________________________________ Варианты правильных ответов : а улицы Потанина и Бульварная параллел ь ны; б улицы Потанина и Бульварная перпендикулярны улице 4 - я линия; в улицы Потанина и Бульварная пересекают ул ицы 1, 2, 3, 4, и т.д. л и нии г улицы Потанина и Бульварная параллельны улице Плех а нова. Планируемый результат распознавать и изображать на чертежах и рисунках геометрические ф и гуры и их отношения. Умения , характеризующие достижения этого результата:  рас познавать на чертежах и рисунках геометрические ф и гуры;  изображать на чертежах и рисунках геометрические фигуры;  изображать на чертежах и рисунках отнош е ния геометрических фигур;  отражать условие задачи на чертежах и р и сунках;  соотносить чертеж, со провождающий задачу, с текстом задачи;  выделять конфигурацию, необходимую для поиска решения задачи, используя определения, признаки и свойства выделяемых фигур или их отношений;  выполнять дополнительные построения, необходимые для решения задач;  опр еделять взаимное расположение фигур, применяя определения, признаки и свойства выделяемых фигур или их отношений. Примеры заданий. Умение :  распознавать на чертежах и рисунках геометрические фиг у ры. Задание 2 базового уровня . 2 Определит е какие многоугольники и с- пользовались при создании паркета, пре д- ставленного на рисунке. Ответ: __________________________ Возможный вариант отв е та: Квадраты и восьмиугольники Умение : изображать на чертежах и рисунках геометрические фигуры, с заданн ы- ми сво йствами. Задание 3 базового уровня . Изобразите ромб ABCD , три вершины которого даны на рисунке. Ответ: Задание 4 повышенного уровня Изобразите четыре прямые так, чтобы у них было шесть точек попарных перес е- чений. Ответ: 6. Комментарий . Задание считается выполненным верно, если приведен правильный рисунок. Задание 5 повышенного уровня На клетчатой бумаге и зобразите центр O окружности, описанной около четырехугольника ABCD , по казанного на рисунке. 3 Ответ: Умение : изображать на чертежах и рисунках отношения геометрических фиг у р. Задание 6 базового уровня На клетчатой бумаге и зобразите тр е- угольник A ’ B ’ C ’ , равный треугольнику ABC , две верш ины которого даны на р и- сунке. Возможный вариант ответа:  A  B  C  =  ABC Задание 7 базового уровня На клетчатой бумаге и зобразите треугольник A ’ B ’ C ’ , подобный тр е- угольнику ABC , две вершины кот о рого даны на рисунке. 4 Ответ :  A  B  C  ~  ABC Задание 7 повышенного уровня На клетчатой бумаге и зобразите касател ь- ную к окружности с центром в точке О , п о- ходящую через точку С . Ответ: Умение : отражать условие зада чи на чертежах и р и сунках; Задание 8 повышенного уровня. Две окружности с радиусами 9 см и 3 см касаются внешним образом в точке А . Через точку А проходит их общая секущая BC , которая второй раз пересекает о к ружность радиусом 9 см в точке B , а окружность р адиусом 3 см в точке C . Найдите дл и ну отрезка AB , если AC равен 5 см. Ответ: ___________________________________ 5 Комментарий . В условии задачи даны две окружности, к а- сающиеся внешним образом в точке А . На рисунке изображаю т- ся две окружности с центрами в точках O 1 и O 2 , которые имеют о д ну общую точку А . Через точку А проводится общая секущая ВС , которая второй раз пересекает окружность с центром в то ч- ке O 1 в точке B , а окружность с центром в точке O 2 в точке C . Задание 9 повышенного уровня . Радиус окружно сти, касающейся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, равен R . Найдите периметр данного треугольн и ка. Ответ: ___________________________________ Комментарий . В условии задачи дан прямоугольный тр е- угольник и о кружность, касающаяся гипотенузы и продолж е- ний катетов. Проведем окружность с центром в точке О . Н а рисуем прямоугольный треугольник АВС так, что точки K и N являются точками касания окружности с продолжениями к а тетов АС и ВС соответственно; а точка M – точ ка касания о к ружности с гипотенузой АВ . Умение : соотносить чертеж, сопровождающий задачу, с текстом задачи. Задание 10 базового уровня . На рисунке треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC . Определ и те  2, если  1 = 56  . Ответ: _________________________________________ Задание 11 повышенного уровня . На рисунке две окружности касаются в точке D . Угол между диаметром FD и хордой FE меньшей окружности равен 20  . Найдите гр а дусную меру угла  . Ответ: _________________________________________ Умение : выделять конфигурацию, необходимую для поиска решения. Задание 12 базового уровня . Во вписанном четырехугольнике ABCD , диагонали которого пересекаются в то ч- ке P , стороны АВ и CD равны соответственно 28 см и 7 см. Найдите длину отрезка А P , е с ли DP  5 см. Ответ: ___________________________________ 6 Комментарий . По условию задачи выполняется чертеж и дел а- ется запись условия задачи. Анализ чертежа и у словия позволяет определить равенство углов ABD и ACD , по свойству вписанных углов; и углов APB и DPC , как вертикальных. Это позволяет опр е- делить отношение треугольников ABP и DCP , как отношение п о- добия   ABP ~  DCP . Таким образом, выделена конфигурация н еобходимая для решения з а дачи. Задание 13 повышенного уровня . В выпуклом четырехугольнике ABCD точка O является точкой пересечения ди а- гоналей. Известно, что A O = O C , а стороны AB и CD параллельны. Определите вид четырехугольника ABCD . Ответ: _____________ ______________________ Комментарий . По условию задачи выполняется чертеж. Ан а- лиз чертежа и условия задачи позволяет опр е делить: углы BAC и DCA – накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC , углы A O B и C O D вертикальные, A O = C O по усл о- вию. Это позволяет определить отношение треугольников A O B и C O D , как отношение равенства   A O B =  C O D , Таким обр а зом, выделена конфигурация, необходимая для реш е ния задачи. Умение : выполнять дополнительные построения, необходимые для решен ия з а дач. Задание 14 базового уровня . В треугольнике A В из вершины В проведена медиана B F и на ее продолжении отмечена точка D так, что B F = F D . Найдите расстояние между точками A и D , если ст о роны треугольника A В и В соответственно равны 6 см и 14 см. О твет: ___________________________________ а б Комментарий . По условию задачи выполняется рисунок. Дополнительное п о- строение: соединим точки А и D рис. б – позволяет доказать равенство треугол ь- ников B F C и DFA . Таким образом, построена конфигурация необходимая для р е- шения задачи. Задание 15 повышенного уровня . В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в о т- ношении 17 : 15, счит ая от вершины, а боковая сторона равна 34 см. Найдите осн о- вание данного треугольн и ка. Ответ: ___________________________________ 7 Комментарий . По условию задачи выполняется че р- теж, на котором изображен равнобедренный треугольник ABD , в к оторый вписана окружность и проведена высота BD . Выполним дополнительное построение: соединим центр вписанной окружности точку О - с точкой K кас а- ния вписанной окружности и стороны АВ . Дополнительное построение позволило выделить пару подобных треугольни ков (  BKO ~  BDA . Таким образом, построена конфигурация необходимая для реш е- ния зад а чи. Умение : определять взаимное расположение фигур по заданным условиям. Задание 16 базового уровня . Дано  1 =  5,  4   5. Определите, какое из утвержд е ний верно. 1. c ∥ d , c ∦ f ; 2. c ∦ d , d ∥ f ; 3. c ∥ f , c ∦ d ; 4. c ∦ d , c ∦ f . О т вет : 2. ( c ∦ d, d ∥ f ). Задание 17 базового уровня . Расстояние от центра окружности до прямой равно 13 см, а диаметр окружности равен 30 см. Определите, сколько общих точек и меют окру ж ность и прямая. О т вет : ________________________________ О т вет : Две точки. Задание 18 повышенного уровня . Равные углы, образованные при пересечении прямых n и m секущей k обозначены буквой  . Определите взаимное расп о- ложение пр ямых n и m , если  = 130  . 1. прямые n и m перпендикулярны ; 2. прямые n и m пересекаются, но не перпендикуля р ны ; 3. прямые n и m параллельны . Ответ : 2. Прямые n и m пересекаются, но не перпендикулярны. Планируемый результат : решать задачи на вычисление д лин линейных эл е- ментов фигур с необходимыми теоретическими обоснованиями, опирающимися на изученные свойства фигур и их элементов. Умения , характеризующие достижения этого результата:  применять при решении задач на вычисление длин линейных элементов ф и- гу р определения, свойства и признаки фигур и их элементов;  применять отношения фигур и их элементов равенство, подобие, симме т- рии, поворот, параллельный перенос, теорему Пифагора, теоремы синусов и кос и- нусов, неравенство треугольника при решении задач на вычисление длин лине й- ных элементов фигур.  применять при решении задач на вычисление длин линейных элементов ф и- гур, формулы для вычисления: стороны правильного многоугольника; радиуса 8 о к ружности, вписанной в правильный многоугольник; радиуса окружности, оп и- са н ной около правильного мног о угольника.  применять сформированные умения находить длины линейных элементов к решению задач с контекстом из реальной жизни. Примеры заданий Умение : применять при решении задач на вычисления длин линейных эл е- ментов фигур, свойства и признаки фигур и их эл е ментов. Задание 19 базового уровня . Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе А D . Найд и- те АВ , если АС  12 см. Ответ: _____________________________________ О т вет : 6 см Комментарий . Решение задачи следует из свойства биссектрисы равнобедренн о- го треугольника и определения медианы. Задание 20 повышенного уровня . В равнобедренную трапецию АВС D вписан четырехугольник KLMN так, что его стороны параллельны диагоналям. Вершина M четырехугольника является с е- ред и но й основания ВС , а вершина K – серединой основания А D . Найдите периметр ч е тырехугольника KLMN , если одна из диагоналей трапеции равна 12 см. Ответ: _________________________________ О т вет : 24 см Комментарий . Решение задачи следует из свойства средней линии треугольн и ка. Умение : применять отношения фигур и их элементов равенство, подобие, симметрии, поворот, параллельный перенос, теорему Пифагора, теоремы синусов и косинусов, неравенства треугольника при решении задач на вычисления длин л и- нейных эл е ментов. Задание 21 базового уровня . В треугольниках B OC и AOD : BC = AD ;  BCO =  OAD . Найдите ВО , если BD  5 см. Ответ: ____________________________ Ответ : 2,5 см. Комментарий . Решение задачи следует из равенства треугольников B OC и AOD . Задани е 22 базового уровня . Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами 7 см и 24 см. Ответ: ____________________________ Ответ : 12,5 см. Комментарий . Решение задачи следует из теоремы Пифагора и свойств диагон а- лей прямоугольника. 9 Зада ние 23 базового уровня . Внутри квадрата отмечена такая точка F , что треугольник AFD равносторонний. Найдите угол AFB . Ответ: ________________________ Ответ : 75  . Комментарий . Решение задачи следует из свойств равностороннего треугольн и- ка и квадрата. Задани е 24 базового уровня . На сторонах угла B отложены равные отрезки BA и BC и о т- мечены точки Е и D так, что  BAD =  BCE . Найдите длину F С , если AF  4 см. Ответ: _______________________________________ Ответ : 4 см. Комментарий . Решение задачи следует из р авенства треугол ь ников CDF и A Е F . Задание 25 повышенного уровня . Три окружности с радиусами 1 см, 2 см и 3 см попарно касаются друг друга. Найдите радиус окружности, проходящей через центры данных окружностей. Ответ: ____________________________________ Ответ : 2,5 см. Комментарий . Решение задачи следует из определений касающихся окружн о- стей, теоремы, обратной теореме Пифагора, и свойства медианы прямоугольного треугольн и ка. Умение : применять при решении задач на вычисление длин линейных элементов фигур ф ормулы для вычисления: стороны правильного многоугольника; радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник; радиуса окружности, оп и- санной около правильного мн о гоугольника. Задание 26 базового уровня . Найдите радиус окружности, о писанной около правил ь- ного треугольника, если радиус вписанной в него окружн о- сти 3 см. 1. 6 см; 2.1,5 см; 3. 6 см; 4. 3 см Ответ : 3. 6 см. Задание 27 базового уровня . Найдите отношение стороны квадрата, описанного около окружности, к ст о роне квадрата, вписанного в нее. 10 1. ; 2. 2; 3. ; 4. . Ответ : 3. ( ). Задание 28 повышенного уровня . Найдите сторону правильного тре угольника, вписанного в окружность, если ст о- рона правильного шестиугольника, оп и санного около этой окружности, равна 2 см. 1. 1,5 см; 2. см; 3. 3 см; 4. см. Ответ : 3. 3 см. Комментарий . Используются фо рмулы, связывающие стороны правильного многоугольника с радиусами вписанной и описанной окружностей. Умение : применять сформированные умения находить длины линейных элеме н- тов к решению задач с контекстом из реал ь ной жизни. Задание 29 б а зового уровня . Угол между эскалаторной лестницей и полом пассажирского зала метро равен 150 о . Используя таблицу тригонометрических функций, найдите приближенную длину эскалаторной лестницы в метрах, если подошва л е стницы равна 117 м Ответ: ___________________________________ ___ Ответ :  152 м. Комментарий . При решении задачи используются определения тригонометрич е- ских функций острого угла прямоугольного треугольника и умение применять та б- лицу тригонометрических функций при решении задач с контекстом из реальной жизни. Задание 30 б а зового уровня . Высота Останкинской телевизионной башни – 540 м. Используя таблицу тригонометрич е- ских функций, найдите приближенное рассто я- ние в метрах от нее до челов е ка, который видит башню под углом 37 о . Ответ: _________________ _____ Ответ : :  720 м. Комментарий . При решении задачи используются определения тригонометрич е- ских функций острого угла прямоугольного треугольника, таблица тригонометр и- ческих функций. Для спектакля театра теней из картона вырезали сил уэт елочки выс о- той 10 см. Источник света размещен на расстоянии 1,2 м от экрана. На каком расстоянии от экрана надо разместить силуэт елочки, чтобы ее изображение на экране имело высоту 20 см 11 Ответ: ______________________ Ответ : 60 см. Комментарий . При р ешении задачи используются определения средней линии, либо подобие треугольников. Планируемый результат : решать задачи на вычисление градусной меры у г- лов от 0  до 180  с необходимыми теоретическими обоснованиями, опирающим и ся на изученные свойства фигур и их элементов. Умения , характеризующие достижения этого результата;  применять при решении задач градусных мер углов от 0  до 180  определ е- ния, свойства и признаки фигур и их элементов;  применять отношения фигур и их элементов равенство, подобие, симме т- рии, поворот, параллельный перенос, теорему Пифагора, теоремы синусов и кос и- нусов при решении задач на вычисление градусных мер углов от 0  до 180  ;  применять при решении задач на вычисление градусных мер углов от 0  до 180  формулы для вычисления: стор оны правильного многоугольника; радиуса о к ружности, вписанной в правильный многоугольник; радиуса окружности, оп и- са н ной около правильного мног о угольника.  применять сформированные умения находить градусные меры углов к р е- шению задач с контекстом из реальн ой жизни. Примеры заданий Умение : применять при решении задач на вычисление градусных мер углов от 0  до 180  определения, свойства и признаки фигур и их элементов. Задание 31 базового уровня . В равнобедренной трапеции ABCD острый угол при основании равен 70  . Найд и- те угол BQC , образованный биссектр и сами тупых углов В и С . Ответ: _____________________________________ О т вет : 70  . Комментарий . Решение задачи следует из свойств равнобедренной трапеции. Задание 32 базового уровня . Внутри равностороннего треугол ьника ABC отмечена точка D такая, что  BA D =  BC D = 15  . Найдите угол A D C . О т вет: ________________________ О т вет : 90  . Комментарий . Решение задачи следует из теоремы о сумме углов треугольника Задание 33 повышенного уровня . Три стороны AB , BC и CD трапеци и ABCD равны. Диагональ BD равна основ а- нию AD . Найдите угол BCD . Ответ: _________________________________ О т вет : 108 о . 12 Комментарий . Решение задачи следует из свойств равнобедренной трапеции, свойств равнобедренного треугольника и теоремы о сумме углов треу гол ь ника. Задание 34 повышенного уровня . В ромбе ABCD из вершины тупого угла B , равного 142  , проведена высота BM к стороне CD , а из вершины острого угла A проведена высота A N к стороне BC . О п ределите, под каким углом пересекаются пр я мые BM и A N . Ответ: _ ___________________________ Ответ : 38  . Комментарий . Решение задачи следует из свойств углов со взаимно параллел ь- ными или перпендикулярными сторонами. Умение : применять отношения фигур и их элементов равенство, подобие, симметрии, поворот, параллельный пе ренос, теорему Пифагора, теоремы синусов и косинусов при решении задач на вычисление градусных мер углов от 0  до 180  Задание 35 повышенного уровня . Найдите угол между диагоналями параллелограмма, если его большая сторона равна см, а диагонали равны см и 1 см. Ответ: ___________________________________ Ответ : 30  . Комментарий . Решение задачи следует из теоремы косинусов. Умение : применять при решении задач на вычисление градусных мер углов от 0  до 1 80  формулы для вычисления: стороны правильного многоугольника; радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник; радиуса окружности, оп и- санной около правильного мн о гоугольника. Задание 36 повышенного уровня . Определите градусную меру внешнего угла правильного многоугольника, у кот о- рого сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468  . Ответ: ___________________________________ Ответ : 72  . Комментарий . Используется теорема о сумме внешних углов правильного мн о- гоугольн и ка. Умение : применять с формированные умения находить градусные меры углов к решению задач с контекстом из реальной жизни. Задание 37 базового уровня . Какой угол описывает часовая стрелка за 20 мин Ответ: ___________________________________ Ответ: 10 о . 13 Планируемый результат опер ировать с начальными понятиями тригонометрии и выполнять элементарные операции над функциями углов. Умения , характеризующие достижения этого результата:  находить углы по заданным значениям тригонометрич е ских функций,  находить значения тригонометрически х функций по заданным значениям углов,  находить для углов от 0  до 180  значения тригонометрических функций по значению одной из них;  выражать тригонометрические функции угла  90°    180° через тр и- гономе т рические функции угла 180  -  ). Примеры заданий. Умение: находить углы по заданным значениям тригонометрических фун к ций. Задание 38 базового уровня . Найдите приближенную градусную меру угла, под которым на землю падает луч солнца, если вертикально воткнутый в землю шест возвышается над землей на 18 м и отбрасыв а ет тень, равную 22,2 м. Ответ: _______________________________ Ответ : 54  Задание 39 повышенного уровня . Найдите больший угол параллелограмма, если его стороны равны 1 и , а одна из диагоналей равна . Ответ: _______________________________ Ответ : 150  Умение: находить значения тригонометрических функций по заданным зн а- чениям у г лов. Задание 40 повышенного уровня . В треугольнике A B C сторона АС равна 8 см, угол C , равен 45  , а угол B равен 30  . Найдите с торону АВ . Ответ: _______________________________ Ответ : см.. Задание 41 повышенного уровня . Диагональ параллелограмма делит его угол на части равные 45  и 30  . Найдите отношение большей стороны параллелограмма к его меньшей стороне . Ответ: _______________________________ Ответ : . 14 Умение: находить значения тригонометрических функций по значению о д- ной из них. Задание 42 базового уровня . Найдите значение тангенса угла  , если его косинус равен 0,8. Ответ: _______ ________________________ Ответ : 0,75. Умение: выражать тригонометрические функции угла  90°    180° ч е- рез тригономе т рические функции угла 180  -  ). Задание 43 базового уровня . Косинус угла равен – 0,6. Определите вид угла: прямой; т у пой; острый. Отв ет: _______________________________ Ответ : Тупой. Планируемый результат решать задачи на доказательство. Умения , характеризующие достижения этого результата:  анализировать текст задачи на доказательство, выстаивать ход ее решения, в процессе решения выде лять условия, позволяющие применять изученные теоремы о сво й ствах, признаках и отношениях фигур;  использовать свойства и признаки фигур, а также их отношения при решении зад а ч на доказательство,  владеть методами доказательств метод от противного, мето д перебора вариа н- тов, алгебраический метод, метод подобия, метод геометрических мест точек и др. Примеры заданий. Умение : анализировать текст задачи на доказательство, выстаивать ход ее решения, в процессе решения выделять условия, позволяющие применять и зуче н- ные теоремы о сво й ствах, признаках и отношениях фигур. Задание 44 базового уровня . В трапеции ABCD , основания которой BC и AD , проведены диагонали AC и BD , которые пересекаются в точке O . Докаж и те, что  COB ∾  AOD . Комментарий . При анализе условия задачи устанавл и ваем равенство углов, используя свойство углов при пара л лельных прямых и теоремы о вертикальных углах. Затем - прямое применение признака подобия треугол ь ников. Задание 45 повышенного уровня . Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого. Д о- кажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трап е- ции. Комментарий . Используются свойства параллелограмма и ромба. Умение : использовать свойства и признаки фигур, а также их отношения пр и р е- шении зад а ч на доказательство 15 Задание 46 базов ого уровня . Точки A , B , C принадлежат одной прямой. Точки D 1 и D 2 лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники ABD 1 и ABD 2 ра в- ны, то треугольники BCD 1 и BCD 2 тоже равны. Задание 4 7 базов ого уровня . На продолжениях сторон квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 . Докажите, что четырехугольник A 1 B 1 C 1 D 1 – квадрат. Задание 48 повышенного уровня . В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и BC равны, а с торона AD меньше стороны CD . Док а жите, что  A   C . Задание 49 повышенного уровня . Две окружности касаются внутренним образом, причем меньшая окру ж- ность проходит через центр большей. Докажите, что всякая хорда большей о к ружности, проходящая через точку ка сания, делится меньшей окружностью пополам. Задание 50 повышенного уровня . В треугольнике АВС проведена медиана ВМ . Определите, какая из его сторон АВ или ВС больше, если  ВМА = 80  . Ответ: ___________________________________ Ответ : В C  АВ . Комментарий . И спользуется теорема косинусов. Задание 51 повышенного уровня . Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается. Умение : владеть методами доказательств метод от противного, метод пер е- бора вариантов, алгебраический метод, метод подобия, метод геометрических мест точек и др. Задание 52 базового уровня . Точки A , B и C лежат на одной прямой. Может ли точка B принадлежать о т- резку AC , если AC  7 см, а BC  9 см. Комментарий . Используется метод от противного. Задание 53 повышенного уровня . Докажите, что если три окружности имеют общую хорду, то их центры расп о- ложены на одной прямой. Комментарий . Используется метод геометрических мест точек. Задание 54 повышенного уровня . Точка K - середина медианы BF треугольника ABC . Пря мая AK пересекает ст о рону BC в точке D . Докажите, что BD = BC . Комментарий . Используется метод подобия или те о рема Фалеса. Задание 55 повышенного уровня . 16 Расстояние от точки A до точек B и C равны 3 см и 14 см соответственно, а ра с- с тояние от точки D до точек B и C равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки A , B , C и D лежат на одной прямой. Комментарий . Используется неравенство треугольника. Планируемый результат решать несложные задачи на построение. Умение , характеризую щие достижения этого результата.  решать несложные задачи на построение, используя основные алгоритмы деление отрезка пополам; построение треугольника по трем сторонам; построение перпендикуляра к прямой; построение биссектрисы угла; деление отрезка на n ра в- ных частей;  решать несложные задачи на построение, используя метод подобия, метод геометрических мест точек серединный перпендикуляр, биссектриса угла, окру ж- ность. Примеры заданий. Умение : решать несложные задачи на построение, используя основные а л- горитмы деление отрезка пополам; построение треугольника по трем сторонам; построение перпендикуляра к прямой; построение биссектрисы угла; деление о т- резка на n ра в ных частей. Задание 56 базового уровня . Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при о с- новании. Комментарий . Решение начать с построения заданного угла. Задание 57 повышенного уровня . Построить треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и р а- диусу описанной окружности. Комментарий . Решение начать с постр оения окружности. Умение : решать несложные задачи на построение, используя метод подобия, м е- тод геометрических мест точек серединный перпендикуляр, биссектриса угла, о к ружность. Задание 58 базового уровня . Постройте треугольник ABC по углу A и стороне BC , если известно, что AB : AC = 2 : 3. Комментарий . Используется метод подобия. Задание 59 повышенного уровня . Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, имеющих заданную длину, меньшую диаметра этой окружности. Ответ: _______________ ____________________ 17 а б Решение . Рассмотрим окружность с це н- тром О и радиусом R . Пусть хорда АВ им е- ет заданную длину d ( d 2 R , рис. а. Если M – середина АВ , то ОМ  АВ , п о- этому, из прямоугольного треугольника B ОМ получим, что ОМ = = . Следовательно, середины всех хорд заданной длины равноудалены от точки О , то есть лежат на указанной окру ж ности. Обратное: если точка М лежит окружнос ти с центром О и радиусом r , то пров е- дем через М касательную АВ , являющуюся хордой данной окружности рис. б. Так как ОМ  АВ , то М – середина АВ , причем АВ = = d , что и требовалось доказать. Ответ : окружность с тем же центром и рад иусом r = , где R – радиус данной окружности, d – заданная длина хорды. Планируемый результат решать простейшие планиметрические задачи в пр о- стра н стве. Умение , характеризующие достижения этого результата.  распознавать на чертежах и рисунках пространственные;  изображать на чертежах и рисунках пространственные фигуры;  решать задачи на нахождение геометрических величин в пространстве с использованием свойств и теорем планиметрии;  решать задачи на нахождение геометрических величин в пространстве, и с- пользуя развертки и модели пространственных геометрических фигур. Примеры заданий. Умение : распознавать на чертежах и рисунках пространственные фигуры. Задание 60 базового уровня . Определите, какие простра н- ственные фи гуры изображены на рисунке. Ответ: ______________________ Ответ : Конус, пирамида, куб Задание 61 высокого уровня 18 На рисунке изображён многогранник – звезда Кеплера, составле н- ный из двух тетраэдров. Какой многогранник является общей час тью этих тетраэдров Ответ: ______________________ Ответ : Правильный октаэдр Комментарий . Кроме выше приведенного ответа, верным считается от вет: «Ф и- гура состоит из 8 тетраэдров треугольных пирамид». Умение : изображать на чертежах и рису н ках пространств енные фигуры. Задание 62 базового уровня . На клетчатой бумаге изобразите куб, три ребра котор о го изображены на рисунке. Задание 63 повышенн ого уровня . На клетчатой бумаге изобразите правильную шест и- угольную призму, четыре ребра которой изображены на рисунке. Умение : решать задачи на нахождение геометрических величин в пространстве с использованием свойств фигур и формул планиметрии. Задание 64 базового уровня . Основаниями прямой четырехугольной п ризмы являются ква д- раты ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 . Сторона основания призмы равна 7 см, а боковое ребро равно 6 см. Найдите сумму площадей боковых гр а- ней при з мы. Ответ: _______________________________ Ответ : 168 см 2 . Задание 65 повышенн ого уровня . 19 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение AB 1 C 1 D – прям о- угольник. Найдите диагональ сечения, если ребро куба равно 2 см. Ответ: _______________________________ Ответ : 2 см. Умение : решать задачи на нахождение геометрических величин в пространстве, используя развертки и модели пространственных геометрических фигур. Задание 66 повышенного уровня . Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба из ве р шины A в вершину B . Ответ: ___________________________ ____ Ответ :. Задание 67 высокого уровня Найдите длину кратчайшего пути по поверхности многогра н- ника, составленного из прямоугольных параллелепипедов, из о б- раженного на рисунке, из вершины A в вершину B . Ответ: __________________________ _____ Ответ : . Преобразования плоскости Планируемый результат : решать несложные задачи на преобразование плоскости, применяя определения понятий симметрий, поворота, параллельный п е- ренос. Умения , характеризующие достижения этого результата:  определять в ид движения.  распознавать симметричные фигуры; фигуры, полученные параллельным пер е- носом, и фиг у ры, полученные поворотом;  устанавливать элементы движений данных фигур;  изображать симметричные фигуры, выполнять параллельный перенос и пов о- рот;  привод ить примеры симметричных объектов в окружающем м и ре. Примеры заданий. Умение: определять вид движения. Задание 68 базового уровня 20 Определите по рисунку вид движения, при котором одна фигура переходит в другую. Укажите на рисунке, как оно м о- жет быть задан о. 1. центральная симметрия ( указать цент ); 2. поворот ( указать угол и направление ); 3. осевая симметрия ( указать ось ); 4. параллельный перенос ( указать вектор ). Ответ: центральная си м- метрия Задание 69 базового уровня 2 . Определите по рисунку вид движения, при котором одна фигура переходит в другую. Укажите на рисунке, как оно может быть задано. 1. центральная симметрия ( указать центр ); 2. поворот ( указать угол и направление ); 3. осевая симметрия ( указать ось ); 4. параллельный перен ос ( указать вектор ). Ответ: параллельный пер е- нос = = Умение: распознавать симметричные фигуры; фигуры, полученные параллел ь- ным переносом, и фиг у ры, полученные по воротом; Задание 70 базового уровня Определите, какие среди приведенных на рисунке трапеций имеют оси симме т- рии. Укажите номера этих рисунков в отв е те. ___________________ 21 Ответ: 3). Задание 71 базового уровня Определите, какие среди приве денных на рисунке фигур получены при помощи поворота. Укажите номера этих рису н ков в ответе. 1) 2) 3) 4) 5) Ответ: ___________________ Ответ: 1); 4 ); 5). Умение: устанавливать элементы симметрии данных фигур. Задание 72 базового уровня . Какие фигуры, изображённые на рисунке, имеют центр симметрии В ответе отметьте букву, соо т- ветс т вующую правильному ответу. а, б, в, г, д, е . Ответ: б; в; г; е. Задание 73 базового уровня . Какие фигуры, изображённые на рисунке, имеют ось симметрии В ответе отметьте букву, соотве т- ствующую пр а вильному ответу. Ответ: а, б, в, г, д, е . За дание 74 базового уровня . Сколько осей симметрии имеет правильный: а пятиугольник; б шестиугольник; в сем и угольник Ответ: а________________________ б_______________________ в_______________________ _ 22 Ответ: а 5; б 6; в 7. Умение: Изображать фигуры, симметричные данным. Задание 75 базового уровня . Даны прямая а и точка О . Постройте фигуру, симметрич ную прямой а относ и- тельно О , если: а О  а ; б О  а ; Ответ : а О  а Ответ : б О  а Задание 76 базового уровня . Постройте четыре х- угольник, симметри ч- ный данному четыре х- угольнику ABCD отн о- сительно середины ст о- роны BC . Ответ : Задание 77 базового уровня . Постройте фигуру, симметричную данной окруж ности относительно данной прямой: а не пересекающей окружность; б пересекающей окружность; в касающейся окру ж ности. Ответ : а прямая не пересекает окружность Ответ : б прямая пересек а- ет окружность Ответ : в прямая касается о к руж ности. Задание 78 базового уровня . 23 Постройте фигуру, в которую переходит данный треуголь ник ABC при параллельном перен о- се, переводящем точку А в то ч- ку С . Ответ: Задание 79 базо вого уровня . Изобразите треугольник, полученный поворотом данного треугольника ABC вокруг точки O на угол 90 о против ч а совой стрелки Ответ : Планируемый результат : использовать определения и свойства преобраз о- ваний п ло с кости для решения задач. Умения , характеризующие достижения этого результата:  решать задач на вычисление;  решать задачи на доказательство. Примеры заданий. Умение: решать задач на вычисление. Задание 80 базового уровня В результате параллельного пер еноса окружности радиуса r получили окружность, к а- сающуюся данной. Найдите расстояние между центрами данной и полученной окружн о- стей. Ответ: _____________________________________ 24 О т вет : 2 r Задание 81 базового уровня . Отрезок АВ при повороте около точки А н а 60° переходит в отрезок АВ 1 . На й дите расстояние ВВ 1 , если АВ  3 см . Ответ: _____________________________________ О т вет : 3 см. Задание 82 базового уровня Внутри угла АОВ , равного 40°, отмечена точка М . Точки M 1 и М 2 симме т- ри ч ны точке М относительно сторо н угла. Найдите градусную меру угла M 1 O М 2 . О т вет: _____________________________________ О т вет : 80  . Задание 83 повышенного уровня . Квадрат ABCD повернули около его вершины А так, что вершина В пер е- шла в вершину D , а вершина С в некоторую точку С 1 . Найдите отрезок СС 1 , если AB = 4 см . О т вет: _____________________________________ О т вет : 8 см. Умение: решать задачи на доказательство. Задание 84 базового уровня Точки A ’ и B ’ симметричны относительно центра O соответственно точкам A и B . Докаж и те, что отрезок A ’ B ’ равен отрезку AB . Задание 85 базового уровня Докажите, что если у треугольника есть две оси сим метрии, то он равносторо н- ний. Задание 86 повышенного уровня . Треугольник A 1 BC 1 симмет ричен треугольнику ABC относительно вершины B . Опред е лите вид ч етырехугольника A C 1 A 1 C . Задание 87 повышенного уровня . Докажите, что четырехугольник, имеющий центр симметрии, является параллел о- граммом. Раздел «Измерение геометрических величин» Планируемый результат : использовать свойства измерения длин, площадей и угло в при решении задач на нахождение длины отрезка, длины окружности, дл и- ны дуги окружности, градусной меры угла. Умения , характеризующие достижения этого результата:  находить длину отрезка, длину окружности, длину дуги окружности, и с- пользуя свойства измере ния длин отрезков;  находить градусную меру угла, используя свойства измерения углов; 25  находить длину отрезка, длину окружности, длину дуги окружности, гр а- дусную меру угла, используя свойства площади. Примеры заданий Умение : находить длину отрезка, длин у окружности, длину дуги окружности, используя свойства измерения длин. Задание 88 базового уровня . Треугольник A 3 A 4 A 5 – равносторонний и его периметр равен 21см. Найдите периметр многоугольника A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 , если периметр шестиугольн ика A 1 A 2 A 3 A 5 A 6 A 7 в два раза больше пер и- метра равностороннего треугольника A 3 A 4 A 5 . Ответ: ______________________________ . Решение . Периметр многоугольника A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 равен P A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 = A 1 A 2 + A 2 A 3 + A 3 A 4 + A 4 A 5 + A 5 A 6 + A 6 A 7 + A 7 A 1 = = ( A 1 A 2 + A 2 A 3 + A 3 A 5 + A 5 A 6 + A 6 A 7 + A 7 A 1 ) + A 3 A 4 + A 4 A 5 - A 3 A 5 = = P A 1 A 2 A 3 A 5 A 6 A 7 + A 3 A 4 + A 4 A 5 - A 3 A 5 = 2 P A 3 A 4 A 5 + ( A 3 A 4 + A 4 A 5 - A 3 A 5 ). Стороны A 3 A 4 , A 4 A 5 и A 3 A 5 являются сторонами равностороннего треугольника A 3 A 4 A 5 и, значит, каждая равна 7 см. Следовательно , P A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 = 2 · 21 + 7 + 7 - 7 = 49 ( см ). Ответ : 49 см Задание 89 повышенного уровня . На прямой от одной точки в одном направлении отложены три отрезка, сумма к о- торых равна 28 см. Конец первого отрезка служит серединой второго, а конец вт о- рого о т резка – серединой третьего. Найдите длину меньшего отрезка. Ответ: __________________________ Решение . Анализируем условие задачи: На прямой n от одной точки точка A  в одном направл е- нии все вторые концы отрезков лежат на одном луче, с начало м в точке A  отложены о т резки: AB , AC и AD . Теперь собственно решение . Пусть AB = x , тогда AC = 2 x , так как точка B является серединой отрезка AC , а, следовательно, AD = 4 x , так как точка C является серед и- ной отрезка AD . Отс ю да AB + AC + AD = x + 2 x + 4 x = 28. x = 4 см . Ответ : 4 см. Умение : находить градусную меру угла, используя свойства измерения у г лов. Задание 90 базового уровня . Луч k – биссектриса угла  gh , градусная мера которого равна 72  . Луч t – биссектриса угла  kh . Найдите г радусную меру у г- ла  k t ). Ответ: ___________________________ Ответ : 18  . Задание 91 повышенного уровня . 26 Лучи k и t проходят между сторонами угла  gh . Угол, образ о- ванный биссектрисами углов  gk  и  th , равен 48  . Найдите гр а- дусную мер у угла  kt  , если градусная мера угла  gh  равна 70  . Ответ: ___________________________ Ответ : 26  . Умение : находить длину отрезка, длину окружности, длину дуги окружности, используя свойства площади. Задание 92 базового уровня . Фиг ура на рисунке состоит из квадрата и тр е- угольника. Высота треугольника равна стороне, к которой она проведена. Найти сторону квадр а- та, если площадь ф и гуры равна 96 см 2 . Ответ: ___________________________ Ответ : 8 см. Комментарий . При решении задачи, чтоб ы найти длину стороны квадрата, и с- пользуется свойство площади: площадь фигуры равна сумме площадей составля ю- щих ее частей. Площадь треугольника  S = a 2  в два раза меньше площади ква д- рата  S = a 2 ). Задание 93 базового уровня . Найти длину границы фигуры, изображенной на рисунке, если площадь ф и гуры равна 2  см 2 . Ответ: ___________________________ Ответ : 6  см. Комментарий . При решении задачи, чтобы найти длину границы фигуры, из о б- раженной на рисунке, используется свойство площади: площадь фигуры равна су м- ме площадей составляющих ее частей. Площадь фигуры равна: площадь пол у- окружности с центром в точке О 3 минус площадь полуокружности с центром в то ч- ке О 1 плюс площадь полуокружности с центром в то ч ке О 2 . Планируемый результат : вычислять длины линейных элементов фигур и их углы, используя формулы длины окружности и длины дуги окружности, формулы площадей фигур; Умения , характеризующие достижения этого результата:  применять формулы длины окружности и длины дуги окружн ости для в ы- числения длин отрезков;  применять формулы длины окружности и длины дуги окружности для в ы- числения величин углов;  применять формулы площадей фигур для вычисления длин отрезков;  применять формулы площадей фигур для вычисления вел и чин углов. Примеры заданий Умение : применять формулы длины окружности и длины дуги окружности для в ы числения длин отрезков. 27 Задание 94 базового уровня . Длина дуги ВС равна 4  см , длина дуги АВ равна 2  см. Найти длину хорды АВ . Ответ: ____________ _________________ Ответ : 6 см . Комментарий . Заметим, что точки А , В и С являются вершинами прямоугольн о- го треугольника.  применять формулы длины окружности и длины дуги окружности для вычисл е- ния величин углов. Задание 95 повышенного уровня . Радиус окружности равен 15 см, длина дуги АВ равна 4  см, длина дуги CD равна 3  см. Найти градусную меру угла α. Ответ: _____________________________ Ответ : 42°. Комментарий . Применяя формулу для вычисления длины дуги находим граду с- ную меру дуг АВ и CD . Затем по теореме о градусной мере угла, образованного при пересечении хорд, находим градусную меру угла α Умение : применять формулы площадей фигур для вычисления длин отрезков. Задание 96 базового уровня . Площадь ромба ABCD равна 242 см 2 . Вычислите сторону ромба, если один из его углов равен 135  . Ответ: _____________________________ Ответ : 22 см. Комментарий . Применить формулу S = а 2 sin  = 242 см 2 ,   = 45  . Отсюда а =  22 см. Задание 97 повышенного уровня . На рисунке площадь заштрихованной фигуры в 15 раз бол ь ше площади белой. Найти отношение радиусов окружностей Ответ: ___________________________ Ответ : 2. 28 Комментарий . Отношение радиусов находится, используя формулы площади. Площадь белой фигуры равна  r 2 , а площадь заштрихованной ф и гуры равна  R 2 -  r , = 15, R = 2 r . Задание 98 повышенного уровня . Площадь треугольника, описанно го около окружности, равна 84 см 2 . Найдите п е- риметр треугольника, если радиус окружн о сти равен 3 см. Ответ: __________________________________ Ответ : 24 см. Комментарий . Следует воспользоваться формулой S = rp , где p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной окружности Задание 99 повышенного уровня . Параллелограмм и прямоугольник имеют соответственно равные стороны. На й дите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольн и ка. Ответ: _____________________________ Ответ : 30  Комментарий . S прямоугольник = ab , S параллелограмм = absin  S параллелограмм = S прям о- угольник , absin  = ab , sin  = . О т сюда  =30  .  применять формулы площадей фигур для вычисления вел и чин углов. Задание 100 базового уровня . Площадь треугольника ABC равна 14 см 2 . Стороны AB и AC соответственно равны 7 см и 8 см. Найдите угол между стор о- нами AB и AC . Ответ: ________________________________ Ответ : 30  Комментарий . Следует воспользо ваться формулой S = ab sin  , и найти синус угла BAC . 7 ⋅ 8 ⋅ sin  = 14, sin  = ,  BAC = 30  . Планируемый результат : вычислять площади фигур. Умения , характеризующие достижения этого результата :  находить площади треугольников, прямоугольников, параллелограммов, трапеций, кругов и секторов, непосредственно применяя соответствующие форм у- лы.  находить площади фигур, равновеликость и равносоставленность фигур, с о- отношение между площадями подобны х фигур; 29 Примеры заданий Умение : находить площади треугольников, прямоугольников, параллел о- граммов, трапеций, кругов и секторов, непосредственно применяя соответствующие формулы. Задание 101 базового уровня . Сторона CD параллелограмма A BCD равна 6 см. Ди а- гональ AC перпендикулярна стороне CD и равна 8 см. Найдите площадь параллелограмма. Ответ: __________________________ Ответ : 48 см 2 . Комментарий . Заметим, что точки треугольник АВС – прямоугольный и его площадь равна S =  AC  CD , а площадь параллелограмма ABCD равна 2 S . Задание 102 базового уровня . Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 14 см и образует с большей стороной угол, равный 30  . Ответ: ______________________________ Ответ : 98 см 2 Воз можный вариант решения . Стороны прямоугольника равны 14  sin 30  и 14  cos 30  . S = ab = 14 2  sin30   cos30  = 14 2   = 49 см 2 . Задание 103 повышенного уровня . Одна из диагоналей прямоугольной тра пеции делит эту трапецию на два прям о- угольных равнобедренных треугольника. Какова площадь трапеции, если её бок о- вая сторона, прилежащая к прямому углу, равна 4 Ответ: ________________________________ Ответ : 24 . Решение . Площадь трапеции состоит из суммы п лощадей двух прямоугольных равнобедренных треугольников, стороны которых равны 4 и 4 . S 1 = 4 2 , S 2 = (4 ) 2 , S = S 1 + S 2 = 8 + 16 = 24 Задание 104 повышенного уровня . В равнобедренной трапеции ABCD проведены диагональ АС и высота С H . Найд и- те отношение площади трапеции к площади треугольника A С H . Ответ:__________________________________ Ответ : 2 : 1. 30 Комментарий . Если провести через вершину C прямую, параллельную стороне AB , то получим пара л- лелограмм ABCF точка F – точка пересечения прямых AD и CF . Диагональ AC делит параллел о грамм ABCF на два равных треугольника ABC и ACF . Тр е угольник FCD – равнобедренный, и высота С H делит его на два равных треуго льника CDH и CFH . Отсюда, площадь трапеции в два раза больше площади треугол ь ника A С H . Умение : находить площади фигур, используя: свойства площади, равновел и- кость и равносоставленность фигур, соотношение между площадями подобных ф и- гур. Задание 105 базовог о уровня . По данным рисунка найдите площадь заштрихованной фиг у ры. Ответ: _______________________ Ответ : 16 см 2 . Комментарий . Площадь заштрихованной фигуры равновелика площади квадр а- та. Задание 106 повышенного уровня . Проти воположные стороны выпуклого шестиугольника равны и параллельны. Его вершины соединены диагоналями через одну. Найдите отношение площади заштрихованной части фигуры к площади незаштрихованной. Ответ:__________________________________ Ответ : 1. Комментарий . Площадь заштрихованной части фигуры равнов е лика площади . незаштрихованной. Планируемый результат : вычислять длину окружности, длину дуги окружн о- сти. Умения , характеризующие достижения этого результата:  применять для нахождения д лин окружностей и дуг формулы длины окру ж- ности и длины дуги;  находить длины окружностей и дуг, используя формулы площадей фигур. Примеры заданий Умение : применять для нахождения длин окружностей и дуг формулы длины окружности и длины дуги. 31 Задание 107 ба зового уровня . Найдите длину границы заштрихованной фигуры, испол ь- зуя да н ные рисунка. 1. 6  + 6; 2. 12  ; 3. 6  + 6; 4. 3  +6. Ответ:____________________________ Ответ : 3 ( 6  + 6) . Решение . Длина границы заштрихованной фигуры равна сумме длин полуокру ж- ности BC радиуса r  3, дуги окружности AC радиуса R  6, градусная мера к о торой равно 90  , и радиуса окружности AB равного 6. Таким образом, длина границы з а- штрихованной ф и гуры равна L = (2  r ) + (2  R ) + AB = 3  + 3  + 6 = 6  + 6. Задание 108 повышенного уровня . На рисунке изображен поперечный разрез листа гофрированного железа. Его высота равна 10 см. Опр е- делите, какой длины нужен плоский лист железа, чтобы сделать 1 м гофрир о ванног о железа. Ответ: _____________________________ Ответ : 50  см . Комментарий . Заметим, что профиль состоит из полуокружностей, при этом 10 см – это диаметр этих полуокружностей. Отсюда в один метр гофрированного железа состоит из 10 полуокружностей. Значит, площадь его поверхности равна 50  см. Умение : находить длины окружностей и дуг, используя формулы площадей фигур. Задание 109 базового уровня . Внутри круга радиуса 2 проведена окружность, делящая его на две равнов еликие фигуры. Найти длину этой окружн о- сти. Ответ: _________________________________________ Ответ : 4  см Решение . Площадь круга, ограниченного окружностью радиуса r , равна S =  r 2 , а площадь фигуры, ограниченной окружностями радиусов R и r , равна разност и пл о- щади круга, ограниченного окружностью радиуса R , и площади круга, ограниче н- ного окружностью радиуса r , то есть S =  R 2 -  r 2 . По условию  R 2 -  r 2 =  r 2 . О т- сюда, r 2 см и  = 4  ( см. Планируемый результат : решать задачи на доказательство с использо ванием формул длины окружности и длины дуги окружности, формул площадей фигур. Умения , характеризующие достижения этого результата: 32  использовать свойства измерений длин, площадей и углов для решения з а- дач на доказательство;  использовать формулы длины о кружности и длины дуги окружности для решения задач на доказательство;  использовать формулы площадей фигур для решения задач на доказател ь- с т во. Примеры заданий Умение : использовать свойства измерений длин, площадей и углов для реш е- ния задач на доказатель ство. Задание 110 базового уровня . Точки А , В и С лежат на одной прямой, точки M и N – середины отрезков АВ и АС . Докажите, что ВС = 2 MN . Задание 111 повышенного уровня . Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О . Докажите, что если АС = АО + СО , то угол между биссектрисами углов АОВ и ВОС равен 90°. Умение : использовать формулы длины окружности и длины дуги окружности для решения задач на доказательство. Задание 112 базового уровня . Докажите, что длины дуг окружности, заключенных между парал лельными хо р- дами, равны. Задание 113 повышенного уровня . Длины дуг AB и CD равны. Докажите, что А Q = QD . Умение : использовать формулы площадей фигур для решения задач на док а- зательство. Задание 114 базового уровня . Основание CD трапеции ABCD и основание KL тр а- пеции ABKL лежат на одной прямой. Докажите, что площади трапеций ABCD и ABKL равны, если CD = KL . Задание 115 повышенного уровня . В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке О . Площ ади треугольников B О C и A О D равны S 1 и S 2 . Докажите, что площадь трап е- ции равна . 33 Планируемый результат : решать практические задачи, связанные с нахо ж- дением геометрических величин используя при необходимости справочники и те х- ни ческие средс т ва. Умение , характеризующие достижения этого результата:  применять свойства измерений длин, площадей и углов и изученные форм у- лы для решения практических задач, связанные с нахождением геометрических в е- личин используя при необходимости сп равочники и технические средс т ва. Примеры заданий Умение : применять свойства измерений длин, площадей и углов и изученные формулы для решения практических задач, связанные с нахождением геометрич е- ских величин используя при необходимости справочники и те хнические средс т ва. Задание 116 базового уровня . Рассчитать количество краски, необходимой для окраш и- вания внешней поверхности ангара, имеющего форму пол у- цилиндра, если на окрашивание 1 м 2 уходит 0,25 кг краски. В ответе указать мини мальное количество 10 - ти килограмм о- вых ведер кра с ки, которое необходимо купить. Ответ: ____________________________________ Ответ : 7 ведер. Задание 117 повышенного уровня . От треугольного  ABC  листа кровельного железа весом 5 кг нужно отрезать параллельно стороне BC полосу весом 2 кг. Найти отнош е ние F В к А F . Ответ: __________________ Ответ : – 1. Раздел «Координаты» Планируемый результат : Объяснять и иллюстрировать понятие декартовой с и- с темы коо р динат. Умения , характеризующие достижения этого результата:  изображать на коорд и натной плоскости точки с заданными свойствами ,  находить координаты точек; Примеры заданий. Умение :  изображать точки на коорд и натной плоскости; Задание 118 базового уровня . На координат ной плоскости прямая заданна уравнением 2 х + 3 y  6. Найдите то ч- ки пересечения прямой с осями координат. Ответ : 3, 0 и 0, 2. З а дание 119 базового уровня 34 Изобразите точку A ’ , симметричную точке A (4, - 3 относительно оси о р динат. Ответ : ( - 4, - 3). Умение :  находить координаты точек на координатной пло с кости. З а дание 120 базового уровня Точки O (0, 0), B (6, 2), C 0, 6 и A являются вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки A . Ответ: (6, 8). Планируемый результат : исполь зовать координатный метод для исследов а- ния свойств прямых и отрезков. Умения , характеризующие достижения этого результата:  применять формулы для нахождения координат середины отрезка  прим е нять формулы для вычисления длин отрезков.  составлять уравнен ия прямой;  устанавливать взаимное расположение прямых по их уравн е ниям. Примеры заданий. Умение : применять формулы для нахождения координат середины отрезка. Задание 121 базового уровня . В треугольнике ABC с вершинами в точках A (7, 3), B (5, 1), C (1,14) проведена м е- диана CD . Найдите координаты ее основания. 1. (1; 1); 2. (1; 2); 3. (6; 1); 4. (6; 2). 35 Ответ: 4. D (6; 2). З а дание 122 повышенного уровня . Точки O (0, 0), A (10, 8), B (8, 2), C (2, 6) являются вершина ми четырехугольника. Найдите координаты точки P пересечения его диагоналей. Ответ: (5, 4).  прим е нять формулы для вычисления длин отрезков З а дание 123 базового уровня В треугольнике ABC с вершинами в точках A (7, 3), B (5, 1), C 1,14 проведена м е- диана CD . Найдите ее длину. Ответ: ___________________________________ Ответ : 13. Решение . Основание медианы CD треугольника ABC делит сторону AC пополам, то есть AD = DB . Координаты середины отрезка находим по формулам: x = и y = . Точка D является серединой отрезка AB , концы которого имеют к о- ординаты A 7, 3 и B 5, 1. Значит, x = = 6, y =  2. Таким образом, D (6, 2. Расстояние между точками вычисляется по формуле d 2 = ( x 1 – x 2 ) 2 + ( y 1 – y 2 ) 2 . Координаты концов отрезка CD : C 1, 14 и D 6, 2, значит, CD = = 13. Задание 124 п о вышенного уровня . Найдите длину отрезка касательной, проведенной из начала координат O к окружности с ц ентром в точке P ( - 3, 3 и радиусом 1. Ответ: ___________________ Ответ: . Решение: Пусть Q – точка касания. Так как кас а- тельная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то треугольник OPQ прямоу гольный, OP = , PQ = 1. По теореме Пифагора, искомый отрезок OQ равен . Задание 125 повышенного уровня . Определите вид четырехугольника ABCD , вершинами которого являются точки A (2, 1), B (0, 3), C (2, 5 и D (4, 3). Ответ: ___________________ 36 Ответ : квадрат. Умение составлять уравнение прямой. Задание 126 базового уровня . Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (1, – 1 и B (2, 2) Ответ: ___________________ Ответ : y = 3 x – 4. З а дание 127 базовог о уровня Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A 2, 2 и параллельную прямой, заданной уравнением y = 2 x . Ответ : y = 2 x – 2. З а дание 128 повышенного уровня Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A 2, 1 и перпендикуля р- ную прямой, за данной уравнением y = x . Изобразите эту прямую. Ответ: x + y – 3 = 0. . З а дание 129 повышенного уровня. Напишите уравнение прямой, симметричной прямой, заданной уравнен и ем 2 x + 3 y – 6  0, относительно оси абсцисс. Изобразите эту прямую. Ответ: 2 x – 3 y – 6 = 0. . Задание 130 повышенного уровня . Напишите уравнения касательных к окружности x 2 + y 2 – 9  0, параллельных биссектрисе первого координатного угла. Ответ: ___________________ Ответ : y = x + , y = x – . 37 Умение : устанавливать взаимное расположение прямых по их уравн е ниям. Задание 131 повышенного уровня . Даны координаты точек А ( – 1, 1), В (0, 3), С (2, 7) D ( – 2, – 1. Определите взаимное расположение прямых AB и CD : Ответ: ___________________ Ответ : прямые совпадают Задание 132 базового уровня . Прямые a и b заданы своими уравнениями: y = 2 x + 3, y = 2 x – 2 соответстве н- но. Определите взаимное расположение этих прямых. Ответ: ___________________ Ответ : прямые параллельны. З а дание 133 повышенного уровня Определите взаимное расположение прямых, заданных уравн е ниями: а y = 3 x , x + y – 4 = 0. б ) x + y - 1 = 0, x + y + 1 = 0; в x + y - 1 = 0, x - y - 1 = 0; Ответ : а прямые пересекаются в т очке 1, 3; б параллельны; в перпендикулярны. Планируемый результат : использовать координатный метод для исследов а- ния свойств окружностей. Умения , характеризующие достижения этого результата:  составлять уравнение окружности с заданными свойствами;  п о заданному уравнению окружности находить центр и радиус. Примеры заданий  составлять уравнение окружности с заданными свойствами З а дание 134 базового уровня Составьте уравнение окружности с центром в точке P 2, 1 и радиусом 3. Ответ : ( x - 2) 2 +( y - 1) 2 = 9. Задание 135 базового уровня . Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А 1, 6 с центром в точке O (3, – 1). 38 Ответ: ___________________ Ответ : x 2 + y 2 – 6 x + 2 y = 43. Задание 136 повышенного уровня . Напишите уравнение окружности описанной о коло треугольника ABC , если з а- даны координаты его вершин А (0, 3), B (4, 0) C (4, 3). Ответ: ___________________ Ответ : ( x – 2) 2 + ( y – 1,5) 2 = 6, 25. Задание 137 повышенного уровня . Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник OAB , если его верш ины имеют координаты O (0, 0), A (0, 3), B (4, 0). Ответ: ___________________ Умение находить центры и радиусы окружностей по их уравн е ниям З а дание 138 базового уровня Найдите координаты центра и радиус окружности , заданной уравнением x 2 + y 2 – 2 x – 6 y + 1 2 = 0. Ответ : P (2, 3), R = 1. З а дание 139 базового уровня Найдите координаты центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD , вершины которого имеют координаты соответственно A ( - 2, - 2), B (6, - 2), C (6, 4), D ( - 2, 4). Ответ: ___________________ Ответ : (2, 1). Задание 140 базового уровня . Отрезок AB - диаметр окружности. Определите координаты центра окружности, если A (1, 5), B (7, - 3). 1. (4; 1); 2. (4; 4); 3. ( - 3; - 4); 4. (4; - 1). Ответ : 1 ( O (4, 1)). Решение . Центр окружн ости, точка O , лежит на ее диаметре AB и делит его п о- полам, то есть A O = B O . Координаты точки O находим по формулам: x = и y 39 = . Точка O является серединой отрезка AB , концы которого имеют коорд и- наты A 1, 5 и B (7, - 3. Значит, x = = 4, y =  1. Таким образом, O (4, 1). Задание 141 повышенного уровня . Окружность задана уравнением x 2 + y 2 – 8 ax + 2 ay = b ( a � 0, b � 0). Определите, в каком координатном угле распол ожен центр окружности. Ответ: ___________________ Ответ : в четвертом Раздел «Векторы» Планируемый результат : оперировать с векторами, заданными геометрич е- ски: Умения , характеризу ю щие достижение этого результата:  устанавливать равенство векторов;  находи ть длину вектора;  выполнять операции сложения векторов и умножения вектора на число;  вычислять скалярное произведение векторов. Примеры заданий Умение: устанавливать равенство векторов; З а дание 4 базового уровня Диагонали правильног о шестиугольника ABCDEF перес е- каются в точке O . Укажите векторы, равные вектору . Ответ: ___________________ Ответ : ; ; . Комментарий . Задание считается выполненным , если ук а- зан хотя бы один из векторов. Умение: находить длину вектора ; Задание 142 базового уровня Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину вектора . Ответ: ___________________ Ответ :10. Задан ие 143 повышенного уровня . Стороны правильного треугольника ABC равны 1 . Найдите длину вект о- ра + . Ответ: ___________________ Ответ: . 40 Умение : выполнять операции сложения векторов и у множения вектора на число. Задание 144 базового уровня . В прямоугольнике ABCD д иагонали AC и BD пересекаю т ся в точке O . Ук а жите векторы, равные сумме векторов и . Ответ: ___________ ________ Ответ : , . Комментарий . Задание считается выполненным, если указан хотя бы один из векторов. Задание 145 базового уровня . Длина вектора в три раза больше длины вектора , векторы и против о- положно направлены. Выразите вектор через вектор . Ответ: ___________________________________ Ответ : = - 3 . Задание 146 повышенного уровня . Дан прямоугольник ABCD . Найти длину вектора + + + , где то ч- ка O является точкой пересечения диагон алей прямоугол ь ника. Ответ: _______________________________ Ответ : 0. Вариант решения . От прои з- вольной точки плоскости отложим ве к тор . От точки A ( O  отложим вектор, равный . Затем отложим векторы соо т ветственно равные и . Векторы и лежат на диагонали AC , а векторы и лежат на ди агонали BD , следовательно, они попарно коллинеарны. Отсюда следует, что у полученного четырехугольника стороны попарно параллельны. Значит, полученный четырехугольник – параллелограмм. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся поп олам, то стороны полученного параллелограмма равны. Следовательно, полученный параллелограмм – ромб. По правилу мног о- угольника сложения векторов + + + = 0. Зада ние 147 повышенного уровня . Упростите выражение + + . Решение . В силу переместительного закона + + = + + = + . Векторы и равны по модулю, но противоположно направлены, зн а чит + = . Ответ: ___________________ Ответ : . 41 Задание 148 повышенного уровня . Даны два вектора = и = , точка C – середина отрезка AB , C ′ – сер е- дина отрезка A ′ B ′ . Выразить вектор = через векторы и . Ответ: ___________________ Ответ : ( + ). Задание 149 повышенного уровня . Выразите вектор через вектор , если = + , где O – прои з- вольная точка. Ответ: ___________________ Ответ : = . Решение . Вычтем из обеих частей вектор , тогда - = + - = - , то есть = . . Отсюда следует, что эти векторы коллинеарны, то есть точка K лежит на отрезке СА и делит его в отношении 2 : 5. Умение : вычислять скалярное про изведение векторов; Задание 150 базового уровня . Вычислить скалярное произведение векторов = 3 + 4 и = 2 – . Ответ: _______________________________ Ответ : 5. Задание 151 повышенного уровня . Найдите скалярное произведение векторов ·и , если векторы ·и сон а- пра в лены и   = 3,   = 1 Ответ: _______________________________ Ответ : 3. Планируемый результат : опери ровать с векторами, заданными координат а- ми. Умения , характеризующие достижение этого результата:  находить координаты начала и конца вектора;  находить координаты вектора по координатам его начала и конца ;  находить длину вектора; находить координаты су ммы и произведения вект о ра на число;  вычислять скалярное произведение векторов по их координатам. 42 Примеры заданий Умение : находить координаты начала и конца вектора Задание 152 базового уровня . Вектор 5; 2 отложен от начала коо рдинат. Определите координаты его ко н- цов. Ответ:_________________________ Ответ : (0; 0), (5; 2). Задание 153 базового уровня . Конец вектора 9, 3 имеет координаты (12, 9) . Найдите координаты точки A . Ответ:_____________________ ____ Ответ : (3, 6) Умение : находить координаты вектора по координатам его начала и конца Задание 154 базового уровня . Даны точки A (0;1), B (1;0) C 1;2 и D 2; 1. Докажите равенство векторов и . Задание 11 8 повышенного уровня . Даны три точки A (1; 1), B ( - 1; 0 и C 0; 1. Найдите такую точку D , чтобы вект о- ры и были равны. Ответ:_________________________ Ответ : D ( - 2, 0) Умение : находить длину вектора. Задание 155 базового уровня . Даны координаты точек А (2, 4), B (5, 1), C (1, – 1. Найти длину вектора , если извес т но, что точка D принадлежит отрезку AB и  AD | : | DB | =1 : 2. Ответ:_________________________ Ответ : . Задание 156 повышенного уровня . Пусть А - точка пересечения прямой y = x  2 и биссектрисы первого коорд и- натного угла. Найти длину вектора , Ответ: _______________________________ Ответ : 3 . Умение : находить координаты суммы и произведения вект о ра на число; Задание 157 базового уровня . Найдите координаты вектора = 2 – 3 ., если ( – 2 ; 1); (1; 0). 43 Ответ: _______________________________ Ответ : ( - 7; 2) Задание 158 базового уровня . В треугольнике ABC точка O является точкой п е- ресечения его медиан. В треугольнике A O C пров е- дена медиана ON . Найдите координаты вект о- ра , если = ( - 3; - 1). Ответ: ___________________________ Ответ : =( – 9; – 3) Задание 159 повышенного уровня . В треуг ольнике АВ C проведены медианы В M и А N , которые пересекаются в точке O . = (1; – 3),  2; 2. Найдите координаты ве к тора . Ответ: _______________________________ Ответ : = (8; – 8). Планируемый результат : применять скалярное произведение векторов при решении задач. Умения , характеризующие достижение этого результата:  находить угол между векторами;  определять взаимное расположение прямых. Примеры заданий Умение : наход ить угол между векторами. Задание 160 базового уровня . Найдите косинус угла между векторами = (2, 3), =(1, - 2). Ответ: _______________________________ Ответ : . Задание 161 повышенного уровня . Векторы и направлены из вершины равнобедренного треугольника к вершинам основания. Найдите угол между векторами и . Ответ: _______________________________ Ответ : 90  . Решение . Перемножим: · = = = . По условию вектора и имеют общее начало в вершине равнобедренного треугол ь- ника, а их концы находятся в вершинах при основании этого треугольника, значит, 44 модули этих векторов равны, так как отрезки a и b являются сторонами равнобе д- ренного треуг ольника. Следовательно, скалярное произведение векторов ·  0. По следствию из теоремы о скалярном произведении векторов, если ск а- лярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Следов а- тельно, угол между векторами и равен 90  . Умение : определять взаимное расположение прямых.. Задание 162 базового уровня . Известны координаты точек A ( – 1, 4), B 1, 3. Определить взаимное располож е- ние прямой AB и прямой y =2 x + 7. 1. прямые параллельны ; 2. прямые совпадают ; 3. прямые пересекаются, но не перпендикулярны ; 4. прямые перпендикулярны Ответ: _______________________________ Ответ : 4. ( прямые перпендикулярны ). Задание 163 повышенного уровня . Составьте уравнение серединного перпендикуляра к отрезку AB , если точка A имеет к о ординаты  - 2; 3, а координаты точки B – (1; – 4). Ответ: _______________________________ Ответ : 3 x – 7 y – 2 =0.