Конспект урока по физике на тему Применение производной в физике и технике
Министерство образования и науки Республики Северная Осетия-Алания Муниципальное казенное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа с. Новый Батако»
Интегрированный урок
(алгебра и начала анализа + физика)
по теме:
«Применение производной в физике и технике»
(в рамках подготовки к ЕГЭ)
Учитель физики и математики Кудухова Н. В.
2015-2016 учебный год
Применение производной в физике и технике
« Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение »
Ф. Энгельс
« Нет ни одной области в математике, которая когда – либо не окажется применимой к явлениям действительного мира »
Н.И. Лобачевский
ЦЕЛЬ УРОКА
ОБУЧАЮЩАЯ :
повторить, обобщить, систематизировать знания по данной теме ;
показать учащимся необходимость знания материала изученной темы при решении прикладных задач;
обратить внимание на связь данной темы с физикой и другими науками
сформировать начальное представление об истории развития математического анализа.
РАЗВИВАЮЩАЯ:
способствовать формированию умений применять приемы: сравнения , обобщения, выделения главного, перенос знаний в новую ситуацию,;
развитию математического кругозора, мышления, математической речи, внимания и памяти.
ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ:
содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, развивать культуру общения, активность;
способствовать развитию творческой деятельности учащихся.
ПЛАН УРОКА
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания и постановка проблемы.
III. Обобщение и систематизация знаний.
IV. Самопроверка знаний.
V. Решение прикладных задач.
VI. Подведение итогов.
VII. Домашнее задание.
Механический смысл производной
Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. . Таким образом, если закон движения
материальной точки задан уравнением s=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную s’=f ’(t) и подставить в неё соответствующее значение t.
Ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.
Решение задач
1. Точка движется по закону x(t) = -1/3 t3 + 2 t2 + 5t
а) выведите формулу для вычисления скорости движения
точки в любой момент времени t ( t > 0);
б) найдите скорость в в момент t = 2c;
в) через сколько секунд после начала
движения точка остановится?
Решение:
а) v(t) = - t 2 + 4 t + 5.
б) v(2) = - 2 2 + 4
·2 + 5 = - 4 + 8 + 5 = 9(м/с).
в) v(t) = 0, - t 2 + 4 t + 5 = 0, t1 = -1, t2 = 5,
-1 < 0, не удовлетворяет условию задачи.
Точка остановится через 5 секунд после начала движения.
2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью v0 движется по закону , где h – путь в метрах, t- время в секундах.
Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если g = 10м/с2.
Решение:
=125.
Ответ: 125 м.
Примеры применения производной
С помощью производных функций, характеризующих физические явления, задаются и другие физические величины. Рассмотрим некоторые из них.
Мощность есть производная работы по времени
N = A (t)
Пусть дан неоднородный стержень длиной l и массой m(l), начало которого в точке l = 0. Тогда производная функции массы стержня по его длине l есть линейная плотность стержня в данной точке:
·(l) = m (l)
3) Теплоёмкость есть производная теплоты по температуре:
C(t) = Q ’(t)
4) Сила тока есть производная заряда по времени:
I = q (t)
Решение задач
.3/ В тонком неоднородном стержне, имеющем длину 25 см, масса (в граммах)
распределяется по закону , где l – расстояние в сантиметрах от начала стержня до любой его точки. Найти плотность стержня на расстоянии 4 см от начала стержня.
Решение:
·(l) = m(l)
·(l)= 8l – 2,
·(4) = 32 – 2 = 30
Ответ: 30 г\см3
4. Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0 С до температуры t (по Цельсию), известно, что в диапазоне от 95 до 0 , формула
дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.
Решение:
5. Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю?
Решение:
I(t) = q (t), ,
Отсюда, t = 2 или t = -2; t = -2 не подходит по условию задачи.
Ответ: t = 2.
6задача.
Дождевая капля падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так ,что её масса m изменяется по закону m(t)=1-2t/3.
Через сколько времени после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?
m(t)=0; 1-2t/3=0;
t=3/2/
Капля испарится на 3/2 сек.
Обозначим время падения капли через t;
V(t)=gt;
·(t)=m(t)
·VІ(t) 2.
Найдем критические точки на [0;3/2]
·'(t) = gІt - gІtІ = gІt(1-t).
2)
·'(t)=0; gІt(1-t)=0
t=0 или t=1
3)
·(0)=0;
·(1)=gІ/6;
·(3/2)=0;
ОТВЕТ: через 1 секунду после падения кинетическая энергия капли будет наибольшей.
Самостоятельная работа
Вариант 1.
Материальная точка движется по закону s(t)=12t+3t3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2с.
Решение: v(t)=s’(t)= 12+9tІ;
v(2)=12+36= 48 (м/с);
a(t)=v’(t)= 18t;
a(2)=18·2= 36 (м/сІ).
Тело, масса которого 5кг, движется прямолинейно по закону [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- измеряется в метрах, а [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]в секундах. Найти кинетическую энергию тела через 10с после начала движения.
Решение.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], задается формулой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите силу тока в момент времени [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Решение.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– длина стержня, отсчитавшая от его начала. Найти линейную плотность в точке:
отстоящей от начала стержня на 3см;
в конце стержня.
Решение.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: 15г/см; 103г/см.
.Температура тела Т изменяется по закону Т( t)=0,2t2+ 5t -3. Какова скорость изменения температуры при =2с?
Ответ: 5,8 К
Самостоятельная работа по группам. Один ученик одновременно работает у доски
1 группа
Задания 1 варианта:
Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t3+t-3. В какой момент времени ускорение будет равно 24 м/с2. (х – координата точки в метрах, t- время в секундах)
Ответ: 2 с
Колебательное движение точки описывается уравнением х=0,05cos20[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]t. Найти проекцию скорости спустя[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]с.
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задания 2 варианта
работа в паре
7.Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна
x(t)=t[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-2t. Найдите ускорение точки в момент времени t=3.
Ответ: 108 м/с2
Тело массой 2кг движется прямолинейно по закону x(t) = 5t 3 – 4t 2+ 3t -7. Найти силу при t=4c.
Ответ: 224 Н
10.Заряд q изменяется по закону q(t)= 0,4t2+ 1,2t. Найти силу тока при t=4c.
Ответ: 4,4 А
Задания 3 варианта
11. Тело массойт8кг движется прямолинейно по закону x(t)=2t2+3t -6. Найти импульс тела в момент времени t=1c.
Ответ: 56 кг.м/с
Тело массой 300г движется прямолинейно по закону x(t)=6t3+ 2t-7. Найти силу, действующую на это тело при t=3c.
Ответ: 32,4 Н
13.Температура тела Т изменяется по закону Т( t)=0,2t2+ 5t -3. Какова скорость изменения температуры при =2с?
Ответ: 5,8 К
Задача на применение геометрического смысла производной.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Шарик ка тит ся по же ло бу. Из ме не ние ко ор ди на ты ша ри ка с те че ни ем вре ме ни в инер ци аль ной си сте ме от сче та по ка за но на гра фи ке. Вы бе ре те два утвер жде ния, ко то рые со от вет ству ют ре зуль та там опыта.
1) Про ек ция ско ро сти ша ри ка по сто ян но уве ли чи ва лась и оста ва лась от ри ца тель ной на всем пути.
2) Пер вые 2 с ско рость ша ри ка воз рас та ла, а затем оста ва лась по сто ян ной.
3) Пер вые 2 с шарик дви гал ся с умень ша ю щей ся ско ро стью, а затем по ко ил ся.
4) На шарик дей ство ва ла все уве ли чи ва ю ща я ся сила.
5) Пер вые 2 с про ек ция уско ре ния ша ри ка не из ме ня лась, а затем стала рав ной нулю.
Физический смысл производной. Приложение№2.
Вариант 1.
1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) =[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]t3-5t2, равна
a) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]t3-5t2;
б) .t3- 5t;
в) .t2-10t;
г) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]t4-5t.
2. Точка движется по прямой по закону s(t) =2t2-2t-1. Её мгновенная скорость v(3) равна
a) 8;
б) 6;
в) 10;
г ) 9.
3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) =t3-5t2 равно:
a) 2(3t-5);
б) 9t2-10;
в) 3t2-10t;
г) 6t-8.
4. Тело массой m движется по закону x(t) =3cos3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Сила, действующая на тело в момент времени t=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равна:
a) 0;
б) 27[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2m;
в) 9[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2m;
г) 9m.
Вариант 2.
1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) =[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] t2-4t, равна
a) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]t-4t; б) .t- 4t; в) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].t3-4t2; г) t-4.
2. Точка движется по прямой по закону s(t) =4t2-5t+7
Её мгновенная скорость v(2) равна
a) 11; б) 13; в) 12; г ) 10.
3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) =-t3+2t2 равно:
a) 6-6t; б) 2(2-3t) ; в) -3t2+4t; г) -3t+4.
4. Тело массой m движется по закону x(t) =-2sin2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Сила, действующая на тело в момент времени t=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равна:
a) 0; б) 8m; в) 8[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2m ; г) 4[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2m .
Вариант 3.
1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) =3 t3+2t2, равна
а) 9t2 +4t; б) 3t2 +2t; в) .9t2+2t; г) 3t4+2t3.
2. Точка движется по прямой по закону s(t) =-t2+10t-7
Её мгновенная скорость v(1) равна
a) 6; б) 8 в) 10 г ) 9
3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) =[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]t3-6t равно:
a) t2 -6; б) 3t-1; в) 2t; г) 2t-6.
4. Тело массой m движется по закону x(t) =2sin4[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Сила, действующая на тело в момент времени t=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равна:
a) 0; б) 16[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]m; в) 16m ; г) -32[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2m.
Вариант 4.
1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) =2 t3+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]t2, равна
a) 2t2+ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]t; б) .6t2 +0,5t; в) 6.t2+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]t; г) 6t2+ 0,5.
2. Точка движется по прямой по закону s(t) =3t2+2t-1
Её мгновенная скорость v(3) равна
a) 18; б) 16; в) 20; г) 14.
3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) =t3-5t2 равно:
a) 2( 3t-5); б) 9t2-10; в) 3t2-10t; г) 6t-8.
4.Тело массой движется по закону x(t) =-3cos2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Сила, действующая на тело в момент времени t=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равна:
a) -12[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]m; б) 0; в) -12m; г) 12m.
Самостоятельная работа в двух вариантах
Задания 1 варианта:
1. Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t3+t-3. В какой момент времени ускорение будет равно 24 м/с2. (х – координата точки в метрах, t- время в секундах)
2. Колебательное движение точки описывается уравнением х=0,05cos20[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]t. Найти проекцию скорости и проекцию ускорения спустя [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]с.
Задания 2 варианта
1. Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна x(t)=t[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-2t. Найдите ускорение точки в момент времени t=3.
2. Колебание маятника совершается по закону х = 0,2sin10[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]t. Определите проекцию скорости маятника и ускорение через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]с.
Задача №4. Одна задача из ЕГЭ .(Фронтальная работа)
а) Постановка проблемного вопроса:
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника постоянного тока, реостата, ваттметра, подключенного к реостату, ключа и соединительных проводов. Будут ли меняться показания ваттметра при увеличении сопротивления реостата?
б) Выслушиваются ответы учащихся, затем проделывается опыт. Учащиеся убеждаются, что сначала мощность на реостате увеличивается, а потом уменьшается.
в) Учитель предлагает решить задачу:
При каком сопротивлении нагрузки полезная мощность источника тока максимальна? ЭДС источника равна
·, внутреннее сопротивление r.
Учитель: эту задачу можно решить разными способами. Мы будем решать ее математическим методом как задачу на оптимизацию. Решение задачи физическим методом вы попробуете найти дома - это ваше домашнее задание.
Решение: начертим схему цепи; выведем формулу для расчета полезной мощности, выделяющейся на реостате:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Переменная величина – внешнее сопротивление R.
Составляем математическую модель функции: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
определяем порядок нахождения производной (производная частного, степенной функции).[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: полезная мощность максимальна при внешнем сопротивлении, равном внутреннему сопротивлению источника тока.
Домашняя работа
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
а) начальная координата точки;
б) зависимость проекции скорости от времени;
в) зависимость проекции ускорения от времени;
г) зависимость проекции равнодействующей всех
сил от времени;
д) зависимость кинетической энергии от времени;
е) моменты времени, когда тело покоилось
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415